Lois du frottement solide

Vue d'ensemble

Pourquoi une voiture freine-t-elle mieux quand les roues ne bloquent pas ? Pourquoi une échelle tient-elle contre un mur — jusqu'à un certain angle seulement ? Les lois de Coulomb du frottement solide répondent à ces questions avec un formalisme minimal : deux régimes (adhérence, glissement), un coefficient $f$ , et une méthode unique — faire une hypothèse et la vérifier. C'est un chapitre court mais redoutable en copie, car il force à raisonner par disjonction de cas ; les sujets Mines et Centrale l'adorent, souvent couplé aux référentiels tournants. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points.

Au programme MP (officiel) — Contact entre deux solides : réaction normale et tangentielle, vitesse de glissement ; lois phénoménologiques de Coulomb du frottement de glissement (adhérence et glissement), coefficient de frottement ; méthode de résolution par hypothèse et vérification ; aspects énergétiques (puissance des actions de contact).

Prérequis

Dynamique du point et bilans de forces (sup) : PFD, projections
Référentiels non galiléens : force centrifuge (pour le plateau tournant)
Point de vue énergétique : travail et puissance d'une force

🎯 Accompagnement Majorant

Les « hypothèse de non-glissement, à vérifier » te semblent un rituel obscur ? C'est la seule vraie difficulté du chapitre — et elle se dompte en quelques exercices bien choisis. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font pratiquer la disjonction de cas jusqu'à ce qu'elle devienne un réflexe de rédaction.

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1. Décrire le contact entre deux solides

Définition 1.1 — Réaction normale et tangentielle

L'action de contact qu'exerce un support sur un solide se décompose en :

une réaction normale $N$ , perpendiculaire à la surface de contact, qui empêche l'interpénétration ( $N$ pointe du support vers le solide, $N \geq 0$ : le support ne peut pas « tirer ») ;
une réaction tangentielle $T$ (le frottement), contenue dans le plan de contact, qui s'oppose au glissement.

Définition 1.2 — Vitesse de glissement

La vitesse de glissement du solide 1 par rapport au solide 2 est la vitesse relative du point de contact de 1 par rapport à celui de 2 : $v_{g} = v (I \in 1) - v (I \in 2)$ . Elle est tangente au plan de contact. Pour un objet posé sur un support fixe et en translation, c'est simplement la vitesse de l'objet.

Définition 1.3 — Adhérence et glissement

Deux régimes exclusifs : adhérence (ou non-glissement) si $v_{g} = 0$ ; glissement si $v_{g} \neq = 0$ . Tout le chapitre consiste à déterminer dans quel régime on se trouve — et c'est rarement dit par l'énoncé.

⚠ Piège — N ≥ 0 est une contrainte physique, pas une convention. Si la résolution donne

N < 0

, c'est que le contact est rompu (décollage) : il faut reprendre l'étude sans la réaction. La condition de décollage

N = 0

est une question classique (looping, bosse de route) — la vérifier fait partie de la méthode.

2. Les lois de Coulomb

Définition 2.1 — Coefficient de frottement

Le coefficient de frottement $f$ (parfois noté $μ$ ) est un nombre sans dimension caractérisant le couple de matériaux en contact (acier/acier $\approx 0, 2$ , pneu/route sèche $\approx 0, 8$ , téflon/acier $\approx 0, 04$ ). Le programme MP confond coefficients statique et dynamique ( $f_{s} \approx f_{d} = f$ ) ; certains énoncés les distinguent ( $f_{s} ≳ f_{d}$ ) — suivre l'énoncé.

Théorème 2.2 — Lois de Coulomb (phénoménologiques)

Régime d'adhérence ( $v_{g} = 0$ ) : la réaction tangentielle est indéterminée a priori (fixée par les équations d'équilibre), mais bornée :

∥ T ∥ \leq f ∥ N ∥.

Régime de glissement ( $v_{g} \neq = 0$ ) : la réaction tangentielle est entièrement déterminée — de norme maximale et opposée au glissement :

∥ T ∥ = f ∥ N ∥, T colin \overset{e}{ˊ} aire et oppos \overset{e}{ˊ} e \overset{a}{ˋ} v_{g} .

Ces lois sont phénoménologiques (résumés d'expériences, pas des théorèmes démontrables) : en première approximation, $∥ T ∥$ ne dépend ni de l'aire de contact ni de la vitesse de glissement.

Définition 2.3 — Cône de frottement

La condition d'adhérence $∥ T ∥ \leq f ∥ N ∥$ signifie que la réaction totale $R = N + T$ reste dans un cône d'axe la normale et de demi-angle $φ = arctan f$ (angle de frottement). Le contact « tient » tant que la réaction demandée reste dans le cône — image géométrique très efficace pour l'arc-boutement et les problèmes d'équilibre.

📐 Méthode-type — LA méthode du chapitre : hypothèse puis vérification.

Faire une hypothèse sur le régime (adhérence OU glissement) — guidée par l'intuition physique ou par l'énoncé (« le solide est initialement immobile… »).
Sous hypothèse d'adhérence : écrire l'équilibre (ou $v_{g} = 0$ maintenu), en déduire $T$ et $N$ , puis VÉRIFIER $∥ T ∥ \leq f ∥ N ∥$ . Si la vérification échoue : l'hypothèse était fausse, il y a glissement.
Sous hypothèse de glissement : écrire $∥ T ∥ = f ∥ N ∥$ avec $T$ opposée à $v_{g}$ , résoudre le PFD, puis VÉRIFIER que $v_{g}$ garde le sens supposé (et traiter l'instant où elle s'annule : bascule possible vers l'adhérence).
Conclure par régime, avec les instants de transition. Ne JAMAIS écrire $T = f N$ sans avoir établi le glissement.

3. Le classique absolu : le plan incliné

Théorème 3.1 — Angle limite d'adhérence ★ À savoir démontrer

Un solide posé sur un plan incliné d'angle $α$ reste en équilibre si et seulement si :

tan α \leq f (angle limite α_{l im} = arctan f = φ) .

Démonstration (équilibre + condition de Coulomb)

Hypothèse : adhérence. L'équilibre du solide s'écrit $N + T + m g = 0$ . En projetant sur la normale au plan et sur la ligne de plus grande pente :

N = m g cos α, T = m g sin α

( $T$ dirigée vers le haut de la pente, retenant le solide). La condition d'adhérence $T \leq f N$ donne :

m g sin α \leq f m g cos α ⟺ tan α \leq f .

Réciproquement, si $tan α > f$ , aucune valeur admissible de $T$ ne peut équilibrer le poids : le solide glisse. L'angle limite fournit d'ailleurs la mesure expérimentale de $f$ : incliner progressivement le plan et noter l'angle de décrochage (méthode de TP au programme).

💡 Ordres de grandeur.

f = 0, 5

⟹

α_{l im} \approx 27°

; pneu/route sèche

f = 0, 8

⟹

39°

; verglas

f = 0, 05

⟹

3°

— d'où les routes de montagne limitées à 10-12 % de pente (

\approx 6°

) pour garder de la marge par temps humide. Relier

f

à l'angle limite est le contrôle physique le plus rapide du chapitre.

4. Dynamique avec glissement : deux situations types

Théorème 4.1 — Palet lancé sur un plan horizontal ★ À savoir démontrer

Un palet lancé à la vitesse $v_{0}$ sur un plan horizontal rugueux décélère uniformément :

a = - f g, d_{a r r \overset{e}{^} t} = \frac{v _{0}^{2}}{2 f g}, t_{a r r \overset{e}{^} t} = \frac{v _{0}}{f g} .

Démonstration (glissement établi puis cinématique)

Tant que $v \neq = 0$ , il y a glissement : les lois de Coulomb donnent $N = m g$ (projection verticale, pas de mouvement vertical) et $∥ T ∥ = f m g$ , opposée à la vitesse. Le PFD en projection horizontale :

m \overset{v}{˙} = - f m g ⟹ v (t) = v_{0} - f g t .

Décélération constante $f g$ : le palet s'arrête à $t_{a r r \overset{e}{^} t} = v_{0} / (f g)$ , après la distance $d = v_{0}^{2} / (2 f g)$ (cinématique uniformément décélérée). À l'arrêt, le régime bascule en adhérence : $T$ devient nulle (plus rien à équilibrer horizontalement) — le palet ne repart pas en arrière, contrairement à un ressort !

Bilan énergétique : le travail du frottement $W = - f m g d = - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ dissipe exactement l'énergie cinétique initiale en chaleur. AN : $v_{0} = 10 m/s$ , $f = 0, 5$ : $d = 100/ (2 \times 0, 5 \times 9, 8) \approx 10 m$ — l'ordre de grandeur d'un freinage d'urgence à 36 km/h.

Théorème 4.2 — Objet posé sur un plateau tournant ★ À savoir démontrer

Un objet posé à la distance $r$ de l'axe d'un plateau horizontal tournant à $Ω$ reste immobile sur le plateau (adhérence) si et seulement si :

Ω^{2} r \leq f g soit r \leq r_{ma x} = \frac{f g}{Ω ^{2}} .

Démonstration (équilibre relatif dans le référentiel tournant)

Plaçons-nous dans le référentiel du plateau (rotation uniforme, non galiléen). L'objet y est immobile : $v_{r} = 0$ , donc pas de force de Coriolis. Bilan : poids, réaction $N + T$ , force centrifuge $m Ω^{2} r e_{r}$ .

Équilibre relatif : verticalement $N = m g$ ; horizontalement, la réaction tangentielle doit compenser la centrifuge : $T = - m Ω^{2} r e_{r}$ (dirigée vers l'axe !), de norme $T = m Ω^{2} r$ .

Condition d'adhérence :

T \leq f N ⟺ m Ω^{2} r \leq f m g ⟺ r \leq \frac{f g}{Ω ^{2}} .

Au-delà de $r_{ma x}$ , l'objet glisse vers l'extérieur — c'est le manège qui « éjecte ». AN : $Ω = 2 rad/s$ , $f = 0, 4$ : $r_{ma x} = 0, 4 \times 9, 8/4 \approx 1 m$ . Noter que c'est bien le frottement qui fournit la force centripète nécessaire au mouvement circulaire — vu du référentiel galiléen.

📝 Aspects énergétiques. En glissement, la puissance des actions de contact est strictement négative :

P = T \cdot v_{g} = - f N v_{g} < 0

— le contact dissipe de l'énergie (échauffement). En adhérence,

v_{g} = 0

: la liaison ne dissipe rien ; le frottement statique peut même être « moteur » pour un sous-système (c'est lui qui fait avancer une voiture — sans glissement, sans dissipation au contact pneu-route).

⚠ Piège — Le frottement n'est pas toujours résistant. En adhérence,

T

prend la valeur qu'exige l'équilibre — y compris « vers l'avant » (roue motrice, objet entraîné par un tapis roulant). Seul le frottement de glissement est systématiquement opposé au mouvement relatif. Écrire d'office «

T

s'oppose au mouvement » sans avoir identifié le régime est une erreur de fond.

🧑‍🏫 La disjonction de cas, proprement

Adhérence ? Glissement ? Transition ? Les sujets enchaînent les phases et les copies s'y perdent. Un mentor Majorant te fait rédiger trois problèmes complets (plan incliné, tapis roulant, plateau) avec la structure hypothèse-vérification-transition — celle que les correcteurs attendent explicitement.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le frottement solide est un festival de disjonctions de cas bâclées. Relevé des rapports (Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Écrire T = fN en adhérence. L'égalité ne vaut QU'EN glissement. En adhérence,

T

est une inconnue déterminée par les équations du mouvement, soumise à l'inégalité

T \leq f N

. Écrire l'égalité d'office fausse tout le problème — c'est l'erreur n°1 du chapitre, de très loin.

⚠ Erreur 2 — Oublier de vérifier l'hypothèse. « On suppose l'adhérence » sans la vérification finale

T \leq f N

(ou « on suppose le glissement » sans contrôler le sens de

v_{g}

) laisse le problème logiquement incomplet. Les rapports parlent de « raisonnements non conclusifs » — la moitié des points de la question est dans la vérification.

⚠ Erreur 3 — Se tromper de sens pour T en glissement.

T

s'oppose à la vitesse de glissement (relative), pas forcément au mouvement absolu : sur un tapis roulant qui va plus vite que la valise, le frottement ENTRAÎNE la valise vers l'avant. Toujours déterminer

v_{g}

avant d'orienter

T

⚠ Erreur 4 — Ignorer la rupture de contact. La résolution peut donner

N < 0

(impossible) ou

N = 0

(décollage) : il faut tester. De même, à l'instant où

v_{g}

s'annule, le régime peut basculer vers l'adhérence — l'oublier fait « repartir » des palets qui devraient rester arrêtés.

⚠ Erreur 5 — Compter une dissipation en adhérence. Sans glissement,

v_{g} = 0

: la puissance des actions de contact est nulle, rien n'est dissipé. La roue qui roule sans glisser ne « perd » pas d'énergie par frottement de contact (les pertes réelles viennent d'ailleurs : roulement, air). Bilan énergétique faux = cascade d'erreurs dans la suite du sujet.

6. Pour aller plus loin

Petit chapitre, grandes ramifications :

Référentiels tournants — plateau, manège, virage relevé : le frottement fournit (ou pas) la force centripète ; la condition d'adhérence borne toujours le domaine de fonctionnement.
TP et oraux expérimentaux — mesure de $f$ par l'angle limite, tribomètre ; les capacités expérimentales « frottements » figurent au programme de formation expérimentale MP.
SII et ingénierie — embrayages, freins, courroies : tout fonctionne à la frontière adhérence/glissement ; l'ABS exploite précisément $f_{s} > f_{d}$ .
Culture physique — l'origine microscopique (aspérités, adhésion moléculaire) explique pourquoi $T$ est indépendante de l'aire apparente : l'aire réelle de contact est proportionnelle à $N$ .

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu décomposer la réaction de contact en N (normale, ≥ 0) et T (tangentielle) ?
Sais-tu définir la vitesse de glissement et les deux régimes (adhérence / glissement) ?
Sais-tu énoncer les lois de Coulomb dans chaque régime, et leur caractère phénoménologique ?
Sais-tu pourquoi T est indéterminée (mais bornée) en adhérence, déterminée en glissement ?
Sais-tu interpréter le cône de frottement et l'angle φ = arctan f ?
Sais-tu dérouler la méthode hypothèse → résolution → VÉRIFICATION → transition ?
Sais-tu démontrer l'angle limite tan α ≤ f du plan incliné, et son usage pour mesurer f ?
Sais-tu traiter le palet lancé (a = −fg, distance d'arrêt v₀²/2fg, bilan énergétique) ?
Sais-tu établir la condition d'adhérence Ω²r ≤ fg sur un plateau tournant ?
Sais-tu quand le frottement peut être moteur (adhérence : roue motrice, tapis roulant) ?
Sais-tu que l'adhérence ne dissipe rien et que le glissement dissipe −fN·v_g ?
Penses-tu à tester N = 0 (décollage) et v_g = 0 (bascule de régime) ?

Démonstrations à savoir refaire

Angle limite du plan incliné — équilibre projeté + condition T ≤ fN
Palet lancé sur plan rugueux — glissement, décélération fg, distance d'arrêt, bilan énergétique
Plateau tournant — équilibre relatif, T = mΩ²r vers l'axe, condition Ω²r ≤ fg

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Décrire le contact entre deux solides

2. Les lois de Coulomb

3. Le classique absolu : le plan incliné

4. Dynamique avec glissement : deux situations types

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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