Oscillateurs électroniques

Vue d'ensemble

Un oscillateur, c'est un montage qui produit un signal périodique sans générateur d'entrée : l'énergie vient de l'alimentation, la forme du signal vient de la boucle. Le programme de MP en étudie deux familles aux philosophies opposées : l'oscillateur quasi-sinusoïdal (une boucle amplificateur + filtre réglée à la limite exacte de l'instabilité) et l'oscillateur à relaxation (une boucle franchement non linéaire qui bascule entre deux états). C'est un chapitre très apprécié des concours — l'oscillateur à pont de Wien est un classique absolu des écrits et des TP. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points.

Au programme MP (officiel) — Oscillateur quasi-sinusoïdal : structure en boucle amplificateur–filtre, condition théorique d'oscillation (gain de boucle égal à 1), démarrage sur le bruit, rôle des non-linéarités dans la stabilisation de l'amplitude, exemple de l'oscillateur à pont de Wien. Oscillateur à relaxation : association d'un comparateur à hystérésis et d'un intégrateur, formes d'ondes, calcul de la période.

Prérequis

Rétroaction et ALI : fonction de transfert en boucle fermée, critère de stabilité, comparateur à hystérésis, intégrateur
Filtrage linéaire : filtres passe-bande, fréquence propre, facteur de qualité
Oscillateurs amortis (sup) : équation du second ordre, régimes de fonctionnement

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Tu sais faire les calculs mais l'oral te demande « pourquoi ça oscille » ? La physique des oscillateurs (démarrage sur le bruit, rôle des non-linéarités) est une question d'oral favorite. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines t'entraînent à raconter la boucle proprement, schéma à l'appui.

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1. Principe : une boucle qui s'auto-entretient

Définition 1.1 — Oscillateur auto-entretenu

Un oscillateur électronique est un système bouclé qui délivre un signal périodique sans signal d'entrée. L'énergie est prélevée sur l'alimentation continue des composants actifs (ALI) ; la boucle convertit cette énergie continue en signal périodique.

📝 Le paradoxe apparent. Au chapitre précédent, on voulait des systèmes stables : tous les pôles à partie réelle négative, le transitoire meurt. Ici on veut exactement l'inverse : entretenir le transitoire. Un oscillateur est un système bouclé volontairement placé à la frontière de l'instabilité (quasi-sinusoïdal) ou rendu franchement instable mais borné par les non-linéarités (relaxation).

Définition 1.2 — Les deux familles du programme

Oscillateur quasi-sinusoïdal : boucle linéaire (amplificateur + filtre sélectif) réglée pour que le gain de boucle vaille exactement 1 à une fréquence — le signal est quasiment sinusoïdal.
Oscillateur à relaxation : boucle non linéaire (comparateur à hystérésis + intégrateur) qui bascule périodiquement entre deux états — les signaux sont carrés et triangulaires.

2. Oscillateur quasi-sinusoïdal : condition d'oscillation

Définition 2.1 — Structure et gain de boucle

L'oscillateur quasi-sinusoïdal est une boucle fermée sur elle-même : la sortie d'un amplificateur (fonction de transfert $\underline{A}$ , souvent réelle $= G$ ) attaque un filtre sélectif ( $\underline{β} (j ω)$ ), dont la sortie revient à l'entrée de l'amplificateur. Le gain de boucle est le produit $\underline{A} \underline{β} (j ω)$ .

Théorème 2.2 — Condition théorique d'oscillation (critère de Barkhausen) ★ À savoir démontrer

La boucle peut entretenir une oscillation sinusoïdale à la pulsation $ω_{osc}$ si et seulement si le gain de boucle y vaut exactement 1 :

\underline{A} \underline{β} (j ω_{osc}) = 1 ⟺ {\underline{A} \underline{β} (j ω_{osc}) = 1 ar g [\underline{A} \underline{β} (j ω_{osc})] = 0 [2 π] (condition de gain) (condition de phase)

Démonstration (auto-cohérence de la boucle)

Supposons qu'un signal sinusoïdal $\underline{s} = S_{0} e^{j ω t}$ circule dans la boucle en régime établi. Il traverse l'amplificateur puis le filtre, et le signal qui revient à son point de départ vaut $\underline{A} \underline{β} (j ω) \underline{s}$ . Pour que l'oscillation s'entretienne sans générateur, le signal de retour doit être identique au signal de départ :

\underline{A} \underline{β} (j ω) \underline{s} = \underline{s} avec \underline{s} \neq = 0,

d'où $\underline{A} \underline{β} (j ω) = 1$ . En séparant module et argument, on obtient les deux conditions. La condition de phase sélectionne en général une unique pulsation $ω_{osc}$ (c'est le rôle du filtre sélectif) ; la condition de gain fixe alors la valeur d'amplification nécessaire.

Lecture équivalente par la stabilité : la fonction de transfert en boucle fermée $\underline{A} / (1 + \underline{A} \underline{β})$ diverge quand $1 + \underline{A} \underline{β} = 0$ — ici la boucle est rebouclée sans le signe « moins » du comparateur, ce qui remplace la condition par $\underline{A} \underline{β} = 1$ : le système est à la limite exacte entre stabilité (oscillations amorties) et instabilité (oscillations amplifiées).

📝 Démarrage et stabilisation : les deux questions d'oral. (1) D'où part le signal ? Du bruit électronique, qui contient toutes les fréquences : si le gain de boucle est légèrement supérieur à 1, la composante à

ω_{osc}

est amplifiée à chaque tour de boucle et émerge exponentiellement. (2) Qu'est-ce qui limite l'amplitude ? La non-linéarité de l'amplificateur (saturation de l'ALI) : quand l'amplitude croît, le gain effectif diminue, et l'amplitude se stabilise là où le gain de boucle moyen vaut exactement 1. En pratique on règle donc

∣ \underline{A} \underline{β} ∣

légèrement au-dessus de 1.

⚠ Piège — Le critère linéaire ne fixe PAS l'amplitude. Dans le cadre strictement linéaire, si

\underline{A} \underline{β} = 1

, TOUTE amplitude convient (l'équation est homogène). L'amplitude observée est fixée par la non-linéarité — c'est pourquoi « condition théorique d'oscillation ». Répondre « l'amplitude vaut

V_{s a t}

» sans parler de saturation progressive est une réponse incomplète aux yeux des jurys.

3. L'exemple canonique : l'oscillateur à pont de Wien

Définition 3.1 — Filtre de Wien

Le filtre de Wien est le passe-bande obtenu en associant un dipôle $R$ – $C$ série et un dipôle $R$ – $C$ parallèle en pont diviseur. Sa fonction de transfert s'écrit, avec $x = ω / ω_{0}$ et $ω_{0} = 1/ R C$ :

\underline{β} (j ω) = \frac{1}{3 + j ( x - \frac{1}{x} )} .

Elle est maximale à $ω = ω_{0}$ , où elle vaut $\underline{β} = 1/3$ (réelle : phase nulle). Filtre peu sélectif (facteur de qualité $1/3$ ), mais sa phase ne s'annule qu'en $ω_{0}$ — c'est ce qui compte pour la boucle.

Théorème 3.2 — Conditions d'oscillation du pont de Wien ★ À savoir démontrer

En rebouclant le filtre de Wien sur un amplificateur non inverseur de gain $G = 1 + R_{2} / R_{1}$ , la boucle oscille à la pulsation et à la condition :

ω_{osc} = ω_{0} = \frac{1}{R C} et G = 3 ⟺ R_{2} = 2 R_{1} .

Démonstration (par le critère, puis par l'équation différentielle)

Par le critère de Barkhausen. Le gain de boucle vaut $G \underline{β} (j ω) = \frac{G}{3 + j ( x - 1/ x )}$ . Il est réel positif si et seulement si $x - 1/ x = 0$ , soit $x = 1$ : la condition de phase impose $ω_{osc} = ω_{0} = 1/ R C$ . La condition de gain s'écrit alors $G /3 = 1$ , soit $G = 3$ , c'est-à-dire $1 + R_{2} / R_{1} = 3$ : $R_{2} = 2 R_{1}$ .

Par l'équation différentielle (attendu aux écrits). En notant $v$ la tension de sortie du filtre (entrée de l'ampli) et $s = G v$ la sortie de l'ampli, la relation du filtre $\underline{v} = \underline{β} \underline{s}$ se réécrit $[3 + j (x - 1/ x)] \underline{v} = \underline{s} = G \underline{v}$ . En multipliant par $j ω ω_{0}$ et en repassant en temporel ( $j ω \leftrightarrow d / d t$ ) :

\frac{d ^{2} v}{d t ^{2}} + (3 - G) ω_{0} \frac{d v}{d t} + ω_{0}^{2} v = 0.

Discussion sur le terme d'amortissement $(3 - G) ω_{0}$ :

$G < 3$ : amortissement positif, oscillations amorties — la boucle est stable, pas d'oscillation entretenue ;
$G = 3$ : amortissement nul — oscillateur harmonique de pulsation $ω_{0}$ , oscillation sinusoïdale entretenue ;
$G > 3$ : amortissement négatif — oscillations exponentiellement amplifiées (démarrage !), jusqu'à ce que la saturation ramène le gain effectif vers 3.

📐 Méthode-type — Étudier un oscillateur quasi-sinusoïdal quelconque.

Identifier la boucle : qui amplifie ( $\underline{A}$ ), qui filtre ( $\underline{β}$ ) ? Ouvrir mentalement la boucle et calculer le gain de boucle $\underline{A} \underline{β} (j ω)$ .
Condition de phase : annuler la partie imaginaire (ou l'argument) du gain de boucle → pulsation d'oscillation $ω_{osc}$ .
Condition de gain : écrire $∣ \underline{A} \underline{β} ∣ = 1$ à $ω_{osc}$ → relation entre les composants (condition d'accrochage).
Équation différentielle si demandée : repasser en temporel et discuter le signe du terme en $d v / d t$ (amorti / entretenu / amplifié).
Discussion physique : démarrage sur le bruit (gain réglé un peu au-dessus), stabilisation par la non-linéarité, forme du signal (distorsion si le gain est trop grand).

💡 Exemple numérique. Pont de Wien avec

R = 10 kΩ

C = 16 nF

f_{osc} = \frac{1}{2 π R C} = \frac{1}{2 π \times 1 0 ^{4} \times 16 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 1, 0 kHz

. Pour accorder l'oscillateur, on fait varier

R

(potentiomètre double) : la fréquence varie en

1/ R

, le réglage du gain

R_{2} = 2 R_{1}

n'est pas affecté — c'est l'intérêt pratique de la structure de Wien.

4. L'oscillateur à relaxation (multivibrateur astable)

Définition 4.1 — Oscillateur à relaxation

Un oscillateur à relaxation est une boucle formée d'un comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt non inverseur, de seuils $\pm V_{T}$ ) et d'un intégrateur inverseur (constante $R C$ ). La sortie du trigger (créneaux $\pm V_{s a t}$ ) attaque l'intégrateur, dont la sortie (triangles) revient à l'entrée du trigger. Le système bascule périodiquement : aucun état d'équilibre stable, d'où le nom d'astable.

Théorème 4.2 — Formes d'ondes et période ★ À savoir démontrer

Avec un trigger non inverseur de seuils $\pm V_{T} = \pm \frac{R _{1}}{R _{2}} V_{s a t}$ et un intégrateur inverseur de constante $R C$ , le montage délivre un créneau d'amplitude $V_{s a t}$ (sortie du trigger) et un triangle d'amplitude $V_{T}$ (sortie de l'intégrateur), de période :

T = 4 R C \frac{R _{1}}{R _{2}} .

Démonstration (chronographe d'un demi-cycle)

Notons $u = \pm V_{s a t}$ la sortie du trigger et $v$ la sortie de l'intégrateur inverseur : $\frac{d v}{d t} = - \frac{u}{R C}$ .

Phase 1 : $u = + V_{s a t}$ . Alors $v$ décroît linéairement avec la pente $- V_{s a t} / R C$ . Le trigger non inverseur (entrée $v$ via $R_{1}$ , rétroaction via $R_{2}$ ) bascule quand $v$ atteint son seuil bas $- V_{T} = - \frac{R _{1}}{R _{2}} V_{s a t}$ (le potentiel $v_{+}$ , combinaison de $v$ et $u$ , s'annule). À cet instant, $u$ passe à $- V_{s a t}$ .

Phase 2 : $u = - V_{s a t}$ . $v$ croît avec la pente $+ V_{s a t} / R C$ , jusqu'au seuil haut $+ V_{T}$ , où le trigger rebascule. Et ainsi de suite : $v$ est un triangle entre $- V_{T}$ et $+ V_{T}$ , $u$ un créneau.

Durée d'une phase. $v$ parcourt $2 V_{T}$ à la vitesse constante $V_{s a t} / R C$ :

\frac{T}{2} = \frac{2 V _{T}}{V _{s a t} / R C} = \frac{2 R C V _{T}}{V _{s a t}} = 2 R C \frac{R _{1}}{R _{2}}, d’o \overset{u}{ˋ} T = 4 R C \frac{R _{1}}{R _{2}} .

La période ne dépend pas de $V_{s a t}$ : le rapport des résistances du trigger et la constante $R C$ suffisent — robustesse appréciable en pratique.

Définition 4.3 — Pureté spectrale

Un signal périodique se décompose en série de Fourier : fondamental + harmoniques. La pureté spectrale d'un oscillateur mesure la part du fondamental dans le signal. Le quasi-sinusoïdal bien réglé est spectralement pur (harmoniques faibles) ; le relaxation produit au contraire un spectre riche (les harmoniques impairs du créneau décroissent en $1/ n$ , ceux du triangle en $1/ n^{2}$ ).

⚠ Piège — Ne pas inverser les rôles des deux blocs. C'est l'intégrateur qui produit le triangle (il intègre un créneau) et le trigger qui produit le créneau (il sature). Sur un chronogramme d'écrit, commence par identifier quel signal est lequel — pente constante = sortie d'intégrateur, paliers = sortie de trigger — avant tout calcul.

💡 Exemple — Dimensionner un GBF basique. On veut un triangle à

f = 1 kHz

d'amplitude

5 V

avec

V_{s a t} = 15 V

. Amplitude :

V_{T} = \frac{R _{1}}{R _{2}} V_{s a t} = 5 V

impose

R_{1} / R_{2} = 1/3

. Période :

T = 4 R C /3 = 1 0^{- 3} s

donne

R C = 7, 5 \times 1 0^{- 4} s

, par exemple

R = 7, 5 kΩ

C = 100 nF

. C'est le principe des générateurs de fonctions analogiques.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les oscillateurs mélangent calcul de fonctions de transfert et discussion physique — les rapports de jury (Centrale, CCINP, Mines-Ponts) pointent des erreurs dans les deux registres.

⚠ Erreur 1 — Appliquer $v_{+} = v_{-}$ dans l'étude du trigger de l'oscillateur à relaxation. Le trigger est en rétroaction positive : régime saturé, basculements. La règle du régime linéaire ne s'applique qu'à l'intégrateur (rétroaction négative). Dans un même montage, chaque ALI doit être analysé séparément — c'est exactement ce que testent les sujets.

⚠ Erreur 2 — Écrire la condition d'oscillation avec le mauvais signe. Selon que la boucle contient un comparateur «

e - β s

» ou un simple rebouclage, la condition s'écrit

1 + \underline{A} \underline{β} = 0

\underline{A} \underline{β} = 1

. Ne récite pas une formule : refais le raisonnement d'auto-cohérence (« le signal qui revient doit être identique au signal parti ») sur le schéma du sujet.

⚠ Erreur 3 — Oublier la discussion du démarrage et de la stabilisation. «

G = 3

donc ça oscille » est une réponse de calcul, pas de physique. Il faut dire : on règle

G

légèrement au-dessus de 3, le bruit démarre l'oscillation, la saturation ramène le gain effectif à 3 et fixe l'amplitude. Ces trois phrases valent souvent la moitié des points de la question.

⚠ Erreur 4 — Confondre la période du relaxation avec $R C$ . La période dépend AUSSI des seuils du trigger :

T = 4 R C R_{1} / R_{2}

. Oublier le facteur

R_{1} / R_{2}

(ou le mettre à l'envers) est l'erreur de calcul la plus fréquente du chapitre — vérifie l'homogénéité et le cas limite (seuils resserrés

R_{1} / R_{2} \to 0

⟹ période nulle : cohérent).

⚠ Erreur 5 — Croire qu'un signal triangulaire est « presque sinusoïdal ». Le triangle a des harmoniques en

1/ n^{2}

: il ressemble à un sinus à l'œil, mais son harmonique 3 pèse encore

1/9 \approx 11 %

du fondamental — rédhibitoire pour une mesure fine. Si le sujet demande un signal spectralement pur, la réponse est l'oscillateur quasi-sinusoïdal, pas le relaxation filtré à la va-vite.

6. Pour aller plus loin

Les oscillateurs bouclent (littéralement) le bloc d'électronique de MP et irriguent le reste du programme :

Physique des ondes — la notion de condition d'auto-cohérence (le signal qui revient identique à lui-même après un tour) se retrouve telle quelle dans les cavités résonantes et les modes propres d'une corde.
Équations différentielles (maths) — l'équation $v^{''} + (3 - G) ω_{0} v^{'} + ω_{0}^{2} v = 0$ du pont de Wien est l'exemple physique parfait pour discuter le signe de l'amortissement et le portrait des solutions.
Conversion analogique-numérique et TP — les horloges des systèmes numériques sont des oscillateurs à relaxation (ou à quartz) ; le pont de Wien et le multivibrateur sont des montages de TP-cours et d'oraux expérimentaux.
Culture ingénieur — PLL, oscillateurs à quartz, VCO des synthétiseurs : tous reposent sur les deux structures de cette fiche.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir un oscillateur auto-entretenu et expliquer d'où vient l'énergie du signal ?
Sais-tu décrire les deux familles d'oscillateurs du programme et leurs signaux typiques ?
Sais-tu démontrer le critère de Barkhausen par l'argument d'auto-cohérence de la boucle ?
Sais-tu séparer condition de phase (fréquence) et condition de gain (accrochage) ?
Sais-tu expliquer le démarrage sur le bruit et la stabilisation d'amplitude par la non-linéarité ?
Connais-tu la fonction de transfert du filtre de Wien et ses propriétés en ω₀ = 1/RC ?
Sais-tu établir l'équation différentielle du pont de Wien et discuter les trois cas selon G ?
Sais-tu retrouver les conditions G = 3 (soit R₂ = 2R₁) et f = 1/2πRC ?
Sais-tu décrire la boucle trigger + intégrateur et attribuer créneau et triangle au bon bloc ?
Sais-tu démontrer la période T = 4RC·R₁/R₂ du multivibrateur astable ?
Sais-tu comparer la pureté spectrale des deux familles (harmoniques en 1/n vs 1/n²) ?
Sais-tu analyser séparément chaque ALI d'un montage (linéaire vs saturé) ?

Démonstrations à savoir refaire

Critère de Barkhausen — auto-cohérence : le signal de retour égale le signal de départ
Oscillateur à pont de Wien — critère puis équation différentielle, discussion selon G
Période de l'oscillateur à relaxation — pentes ±Vsat/RC entre les seuils ±(R₁/R₂)Vsat

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Principe : une boucle qui s'auto-entretient

2. Oscillateur quasi-sinusoïdal : condition d'oscillation

3. L'exemple canonique : l'oscillateur à pont de Wien

4. L'oscillateur à relaxation (multivibrateur astable)

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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