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Annales X-ENS en MP

61 sujets officiels du concours X-ENS (X (École Polytechnique), ENS) pour la filière Mathématiques-Physique. Énoncés en libre accès, corrigés rédigés par des anciens de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

61sujets

7années

14corrigés

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61 annales X-ENS en filière MP

Énoncés officiels · Corrigés rédigés par les mentors Majorant

Nouveau · 2026

Annales concours 2026 · 10

Les sujets de la session 2026 — Mines-Ponts, X, Centrale-Supélec et CCINP. Corrigés rédigés par nos mentors alumni des grandes écoles.

2026MPX / ENSCorrigé

Informatique A — MP · 2026

Base de données de vecteurs et recherche des plus proches voisins, en trois parties indépendantes : reconnaissance musicale par minHash (signatures temps-fréquence, indice de Jaccard), listes à sauts et graphes navigables, puis quantification de produit et k-moyennes. Programmation OCaml et analyse de complexité.

minHash & indice de JaccardListes à sauts (skip lists)Algorithme des k-moyennes+5

parties · questions4 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Informatique B — MP · 2026

Cycles et unification (X Informatique B, épreuve commune MP-PC-PSI). Dans un graphe orienté acyclique étiqueté : un parcours en profondeur enrichi (époque, sortie) pour détecter en temps amorti constant si l'ajout d'un arc crée un cycle ; la forme normale d'un sommet et l'unification (terminaison, complexité exponentielle sans partage, version linéaire par mémoïsation, algorithme unif) ; puis une représentation relationnelle du graphe avec deux requêtes SQL.

Graphe orienté acyclique, parcours en profondeur, numérotation post-fixeInvariants de programme (époque, sortie) et détection de cyclesPython : dictionnaires, récursivité, mémoïsation+4

3 parties · 16 questions2 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Mathématiques A — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ ). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$ , d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$ . Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$ , par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$ . Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$ , rayon numérique $r(A)$ , inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$ , sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$ , optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.

Norme subordonnée — existence et propriétésConditionnement d'une matrice inversibleMatrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral+9

4 parties · 30 questions4 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Mathématiques B — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la mesure spectrale empirique. Préliminaire (Q1) : suite récurrente $u_n = \alpha u_{n-1} - u_{n-2}$ , quatre régimes selon $|\alpha|\gtrless 2$ . Partie I (Q2–4b) : la loi arc-sinus comme limite des suites de Riemann généralisées ; convergence en loi de $2\cos(\pi U_n/(n+1))$ . Partie II (Q5–9b) : matrice tridiagonale $T_n$ , polynôme caractéristique $\chi_n$ (polynômes de Chebyshev de 2e espèce), valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$ , spectre de $T_n(a,b,c)$ , loi de Marchenko–Pastur arc-sinus généralisée. Partie III (Q10–12) : démonstration constructive du théorème de Weierstrass via approximation de la fonction de Heaviside $H$ par des polynômes $P_n = Q_n((1-X)/2)$ . Partie IV (Q13–17b) : matrices de Wigner, moments de la loi semi-circulaire (nombres de Catalan), convergence en probabilité de la mesure spectrale empirique vers $\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}$ (théorème de Wigner).

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2Loi arc-sinus — intégrale de ChebyshevSommes de Riemann généralisées+10

4 parties · 20 questions4 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Mathématiques C — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des inégalités variationnelles et de l'analyse convexe. Partie I : solutions fortes/faibles d'une inégalité variationnelle, opérateurs monotones, projection sur un convexe fermé ( $\Pi_C$ ) et ses propriétés lipschitziennes. Partie II : existence de solution via un algorithme extrapolé, inégalité minimax de von Neumann pour les jeux à somme nulle. Partie III : itérations de Krasnoselskii–Mann pour les applications 1-lipschitziennes, convergence vers un point fixe. Partie IV : théorème de Baillon–Haddad (co-coercivité du gradient d'une fonction convexe à gradient lipschitzien), convergence de la descente de gradient à pas constant.

Inégalités variationnellesOpérateurs monotonesProjection sur convexe fermé+6

4 parties · 22 questions4 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Mathématiques D — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des approximations probabilistes de lois de Poisson et des inégalités de concentration. Préliminaire : propriétés de la loi de Poisson $Z_\lambda$ (fonction génératrice, encadrements factoriels, inégalité de Markov exponentielle $\mathbb{P}(Z_\lambda\leq k)\leq e^{-\lambda}(e\lambda/k)^k$ ). Partie 1 — Opérateur de Chen–Stein $\mathscr{L}_\lambda$ : équation de Stein, bornes $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ pour l'approximation poissonienne de sommes de Bernoulli dépendantes. Partie 2 — Espérance conditionnelle et couples échangeables : méthode des moments exponentiels, inégalité $\mathbb{P}(|\phi(W)|\geq t)\leq 2e^{-t^2/(2C+2Bt)}$ . Partie 3 — Applications : inégalité de Bernstein–Efron–Stein pour sommes bornées, permutations aléatoires (points fixes), modèle de Curie–Weiss (magnétisation).

Loi de Poisson — fonction génératriceInégalité de Markov exponentielleOpérateur de Chen–Stein+9

4 parties · 27 questions6 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Physique — MP · 2026

Étude des ondes mécaniques dans une plaque élastique. Trois parties : (I) compression unidimensionnelle — chaîne de masses, relation de dispersion, limite continue $c_0=\sqrt{E/\rho}$ ; (II) flexion d'une plaque mince — équation $D\Delta^2 w+\rho e\partial_t^2 w=0$ , dispersion quadratique ; (III) méthode optique de mesure par interférométrie de speckle.

parties · 45 questions4 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Physique et Sciences de l'Ingénieur — MP · 2026

Sur les satellites d'étude du Soleil. Étude des missions SOHO et SMILE — communications spatiales (formule de Friis, antennes paraboliques, modulation BPSK/QPSK), bilan de liaison, théorème de Shannon, codes correcteurs. Application : télémétrie depuis L1.

parties · 32 questions4 heures

2026MPX / ENSÉnoncé seul

Français — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Corrigé en cours de rédaction

2026MPX / ENSÉnoncé seul

Langue Vivante — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Corrigé en cours de rédaction

Année

Matière

Chapitre

61 sujets

🏆 X / ENS / ESPCI

Annales X / ENS / ESPCI · 61

Polytechnique, ENS Ulm, Lyon, Paris-Saclay et ESPCI — sujets de haut niveau, recul théorique, créativité.

2026MPX / ENSCorrigé

Français — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Corrigé en cours de rédaction

2026MPX / ENSÉnoncé seul

Langue Vivante — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Corrigé en cours de rédaction

2025MPX / ENSCorrigé

Informatique A — MP · 2025

Construction d'arbres de décision pour identifier des espèces de plantes à partir d'observations probabilistes : raisonnement bayésien, énumération exhaustive, heuristique gloutonne entropique, optimisation par récursion ouverte et coupure, formules logiques en DNF.

Distributions de probabilité finies et mises à jour bayésiennesReprésentation OCaml des mesures et états (listes d'associations)Arbres de décision et hauteur moyenne+7

5 parties · 26 questions4 heures

2025MPX / ENSCorrigé

Informatique B — MP · 2025

Le jeu de Röckse : recherche d'un chemin de pénalité minimale dans une grille avec sauts par défaut, cases bonus et condition lexicographique stricte. Recherche exhaustive récursive, mémoïsation, heuristique gloutonne par horizon, et programmation dynamique 3D avec encodage binaire des bonus activés.

Chemins dans une grille et sauts lexicographiquement positifsRecherche exhaustive récursive avec horizonMémoïsation et clés d'état (case + horizon + bonus)+7

4 parties · 15 questions4 heures

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