📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚙️ Sciences de l'Ingénieur

Systèmes échantillonnés et transformée en Z

La commande numérique en PSI : système échantillonné, bloqueur d'ordre zéro, transformée en Z ($X(z) = \sum x[n] z^{-n}$), propriété du retard $z^{-1}$, fonction de transfert et équation de récurrence, stabilité par le cercle unité ($z = e^{p T_e}$). Les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Les asservissements modernes sont commandés par un calculateur : le correcteur n'est plus un circuit analogique, c'est un programme qui lit la mesure, calcule et agit à intervalles réguliers $T_{e}$ . Ce chapitre de 2e année PSI donne l'outil pour analyser ces systèmes échantillonnés : la transformée en Z, équivalent discret de la transformée de Laplace. Elle transforme une équation de récurrence en fonction de transfert $F (z)$ , permet d'étudier la stabilité (les pôles doivent être dans le cercle unité) et de programmer un correcteur numérique. Cette fiche établit la propriété du retard, le critère de stabilité en $z$ , les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PSI SII (officiel) — Systèmes échantillonnés : échantillonnage, période

T_{e}

, bloqueur d'ordre zéro ; transformée en Z, propriété du retard ; fonction de transfert en

z

, équation de récurrence ; stabilité d'un système échantillonné (pôles dans le cercle unité), correspondance

z = e^{p T_{e}}

; correcteur numérique.

Prérequis

SLCI, transformée de Laplace, fonction de transfert, pôles et stabilité continue
Échantillonnage, théorème de Shannon, bloqueur d'ordre zéro
Suites, notation $x [n] = x (n T_{e})$

🎯 Accompagnement Majorant

La transformée en Z déroute par ses analogies avec Laplace. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manier le retard $z^{- 1}$ , passer d'une récurrence à $F (z)$ et lire la stabilité dans le cercle unité — les automatismes attendus en épreuve de SII.

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1. Système échantillonné et transformée en Z

Définition 1.1 — Système échantillonné et commande numérique

Un système échantillonné mélange grandeurs continues (le procédé physique) et grandeurs discrètes (le calculateur). La commande numérique enchaîne : mesure convertie par un CAN tous les $T_{e}$ , calcul de la commande par le programme, restitution par un CNA. Les signaux internes du correcteur sont des SUITES $x [n] = x (n T_{e})$ , où $T_{e}$ est la période d'échantillonnage.

Définition 1.2 — Bloqueur d'ordre zéro

Le bloqueur d'ordre zéro (CNA) MAINTIENT la commande calculée constante pendant toute la période $T_{e}$ , produisant un signal en escalier. Sa fonction de transfert continue est $B_{0} (p) = \frac{1 - e ^{- T_{e} p}}{p}$ . Il assure l'interface entre la sortie discrète du correcteur et l'entrée continue du procédé.

Définition 1.3 — Transformée en Z

La transformée en Z d'une suite causale $(x [n])_{n \geq 0}$ est la série :

X (z) = Z {x [n]} = n = 0 \sum + \infty x [n] z^{- n} .

C'est l'équivalent discret de la transformée de Laplace : elle transforme les équations de récurrence (discret) en fractions rationnelles en $z$ , comme Laplace transforme les équations différentielles (continu) en fractions en $p$ .

Proposition 1.1 — Transformées en Z usuelles

Quelques transformées de référence, à connaître comme la table de Laplace :

Impulsion unité $δ [n]$ : $X (z) = 1$ .
Échelon unité $u [n]$ : $X (z) = \frac{1}{1 - z ^{- 1}} = \frac{z}{z - 1}$ (pôle en $z = 1$ ).
Suite géométrique $a^{n}$ : $X (z) = \frac{1}{1 - a z ^{- 1}} = \frac{z}{z - a}$ (pôle en $z = a$ ).
Exponentielle échantillonnée $e^{- α n T_{e}}$ : pôle en $z = e^{- α T_{e}}$ .

On lit directement la stabilité sur ces pôles : $∣ z ∣ < 1$ pour l'exponentielle décroissante, $∣ z ∣ = 1$ pour l'échelon (limite).

Théorème 1.1 — Propriété du retard ★ À savoir démontrer

Retarder une suite d'un pas d'échantillonnage revient à multiplier sa transformée par $z^{- 1}$ :

Z {x [n - 1]} = z^{- 1} X (z) (avec x [- 1] = 0) .

Démonstration (décalage d'indice dans la série)

Par définition, avec $x [- 1] = 0$ (suite causale) : $Z {x [n - 1]} = n = 0 \sum + \infty x [n - 1] z^{- n} .$ Posons le changement d'indice $k = n - 1$ (donc $n = k + 1$ ), la somme commençant effectivement à $n = 1$ car le terme $n = 0$ vaut $x [- 1] = 0$ : $n = 1 \sum + \infty x [n - 1] z^{- n} = k = 0 \sum + \infty x [k] z^{- (k + 1)} = z^{- 1} k = 0 \sum + \infty x [k] z^{- k} = z^{- 1} X (z) .$ CQFD. Ainsi $z^{- 1}$ est l'opérateur retard : il joue le rôle que joue $e^{- T_{e} p}$ en continu. Une récurrence se lit directement en $z$ en remplaçant chaque « $n - 1$ » par un facteur $z^{- 1}$ .

2. Fonction de transfert en z et équation de récurrence

Définition 2.1 — Fonction de transfert en z

Pour un système discret linéaire, la fonction de transfert en $z$ est le rapport des transformées de la sortie et de l'entrée (conditions initiales nulles) :

F (z) = \frac{S ( z )}{E ( z )} .

C'est une fraction rationnelle en $z$ , dont les pôles (racines du dénominateur) gouvernent le comportement dynamique, exactement comme les pôles en $p$ en continu.

Définition 2.2 — Équation de récurrence

Une équation de récurrence relie les échantillons de sortie et d'entrée :

s [n] + a_{1} s [n - 1] + \dots = b_{0} e [n] + b_{1} e [n - 1] + \dots

C'est la forme PROGRAMMABLE du correcteur : à chaque période, le calculateur évalue $s [n]$ à partir des valeurs passées. La propriété du retard permet de passer de la récurrence à $F (z)$ et réciproquement.

📐 Méthode-type — Passer d'une F(z) à une récurrence programmable.

Écrire $F (z) = S (z) / E (z)$ sous forme d'un rapport de polynômes en $z^{- 1}$ .
Produit en croix : $S (z) (d \overset{e}{ˊ} nominateur) = E (z) (num \overset{e}{ˊ} rateur)$ .
Interpréter chaque $z^{- k}$ comme un retard de $k$ pas ( $z^{- k} X (z) \leftrightarrow x [n - k]$ ).
Isoler $s [n]$ : on obtient la ligne de code exécutée à chaque période $T_{e}$ .

💡 Exemple — Intégrateur numérique (méthode des rectangles). Approcher

s (t) = \int e

par la somme

s [n] = s [n - 1] + T_{e} e [n]

. En transformée en Z :

S (z) = z^{- 1} S (z) + T_{e} E (z)

, d'où

F (z) = \frac{S ( z )}{E ( z )} = \frac{T _{e}}{1 - z ^{- 1}} = \frac{T _{e} z}{z - 1} .

Le pôle est en

z = 1

(sur le cercle unité) : c'est bien un intégrateur (analogue du pôle en

p = 0

continu). C'est la brique d'un correcteur PI numérique.

📝 Remarque — Valeur finale et gain statique en Z. Comme en Laplace, un théorème de la valeur finale donne le régime permanent :

n \to \infty lim s [n] = z \to 1 lim (z - 1) S (z)

(si la limite existe, c.-à-d. système stable). Le gain statique d'un système discret se lit donc en

z = 1

— le point du cercle unité image de

p = 0

. C'est l'outil pour vérifier qu'un correcteur numérique annule bien l'erreur statique, exactement comme en continu.

🧑‍🏫 La transformée en Z au point

z⁻¹ = retard, récurrence ↔ F(z), pôles dans le cercle : la trilogie du discret. Un mentor Majorant te fait faire l'aller-retour récurrence ↔ fonction de transfert sans erreur d'indice — l'exercice qui revient dans les sujets de SII numérique.

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3. Stabilité d'un système échantillonné

Théorème 3.1 — Critère de stabilité (cercle unité) ★ À savoir démontrer

Un système échantillonné est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert $F (z)$ sont STRICTEMENT à l'intérieur du cercle unité :

∣ z_{k} ∣ < 1 pour tout p \overset{o}{ˆ} le z_{k} .

Démonstration (correspondance z = e^{p Te})

Le lien entre le plan de Laplace $p$ et le plan $z$ est $z = e^{p T_{e}}$ (car un retard continu $e^{- T_{e} p}$ devient $z^{- 1}$ ). En continu, un mode $e^{p_{k} t}$ est stable ssi $Re (p_{k}) < 0$ (demi-plan gauche). Son image discrète a pour module $∣ z_{k} ∣ = ∣ e^{p_{k} T_{e}} ∣ = e^{Re (p_{k}) T_{e}} .$ Or $e^{Re (p_{k}) T_{e}} < 1 ⟺ Re (p_{k}) < 0$ (puisque $T_{e} > 0$ ). Donc le demi-plan gauche stable du continu se transforme EXACTEMENT en l'intérieur du cercle unité $∣ z ∣ < 1$ . Un système discret est stable ssi ses pôles y sont. CQFD. La frontière de stabilité $Re (p) = 0$ (axe imaginaire) devient le cercle $∣ z ∣ = 1$ .

💡 Exemple — Un pôle réel discret et sa dynamique. Un système du premier ordre continu

1/ (1 + τ p)

a un pôle en

p = - 1/ τ

. Son image échantillonnée a un pôle en

z = e^{- T_{e} / τ} \in] 0, 1 [

: il est bien dans le cercle unité (stable). Plus

T_{e}

est petit, plus

z

est proche de

1

(dynamique lente en nombre de pas) ; plus

T_{e}

est grand, plus

z

approche

0

. La position du pôle dans le cercle donne directement la vitesse de la réponse discrète.

📝 Remarque — Un correcteur PI numérique. Un PI

C (p) = K_{p} (1 + 1/ (T_{i} p))

se discrétise (intégrale par rectangles) en une récurrence du type

u [n] = u [n - 1] + K_{p} (e [n] - e [n - 1]) + \frac{K _{p} T _{e}}{T _{i}} e [n]

. C'est exactement le genre de ligne exécutée à chaque période par le calculateur : trois multiplications, deux additions, une mémoire du pas précédent. Le passage

F (z) \to

récurrence est donc directement le passage « théorie

\to

code ».

Théorème 3.2 — Influence de la période d'échantillonnage

Un correcteur analogique performant peut devenir instable une fois échantillonné si $T_{e}$ est trop grand : l'échantillonnage introduit un retard équivalent d'environ $T_{e} /2$ , qui CONSOMME de la marge de phase. On retient la règle pratique :

T_{e} ≪ τ (typiquement T_{e} \approx τ /10),

où $τ$ est la constante de temps dominante. Trop lent ( $T_{e}$ grand) : perte de marge, instabilité. Trop rapide : coût calcul et sensibilité au bruit inutiles.

📝 Remarque — Pourquoi le cercle unité, image de l'axe imaginaire. L'axe imaginaire

p = j ω

(frontière de stabilité continue) a pour image

z = e^{j ω T_{e}}

, de module

1

: c'est le cercle unité, parcouru quand

ω

varie. Le demi-plan gauche (intérieur stable) se replie à l'INTÉRIEUR du cercle, le demi-plan droit à l'extérieur. Cette correspondance conforme est la clé qui transporte tous les critères de stabilité du continu vers le discret.

⚠ Piège — La stabilité discrète n'est PAS « pôles à partie réelle négative ». En continu, stable = pôles à gauche de l'axe imaginaire. En discret, le critère change : stable = pôles DANS LE CERCLE UNITÉ

∣ z ∣ < 1

. Appliquer le critère continu aux pôles en

z

est une faute classique.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le discret déroute par ses analogies partielles avec le continu. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre l'opérateur retard z⁻¹ et une simple division.

z^{- 1}

est l'opérateur RETARD d'un pas (

x [n] \to x [n - 1]

), pas un nombre. C'est l'analogue discret de

e^{- T_{e} p}

. Le manipuler comme une variable ordinaire sans voir le décalage temporel conduit à des récurrences fausses.

⚠ Erreur 2 — Appliquer le critère de stabilité du continu. En

z

, la stabilité s'évalue par

∣ z ∣ < 1

(cercle unité), pas par le signe de la partie réelle. La frontière est le cercle

∣ z ∣ = 1

, pas l'axe imaginaire.

⚠ Erreur 3 — Se tromper d'indice dans la récurrence. Un facteur

z^{- k}

correspond à un retard de

k

pas :

z^{- k} X (z) \leftrightarrow x [n - k]

. Décaler d'un pas de trop (ou de moins) change la dynamique. Vérifier terme à terme.

⚠ Erreur 4 — Oublier le bloqueur d'ordre zéro dans la modélisation. Entre le correcteur numérique et le procédé continu, il y a un bloqueur

B_{0} (p)

: il introduit un retard équivalent

\approx T_{e} /2

. L'ignorer surestime la marge de stabilité réelle.

⚠ Erreur 5 — Choisir Te sans lien avec la dynamique.

T_{e}

doit être petit devant la constante de temps dominante (

T_{e} \approx τ /10

) et respecter Shannon. Un

T_{e}

trop grand déstabilise ; trop petit gaspille des ressources. Justifier le choix.

5. Pour aller plus loin

Le discret est la porte d'entrée de la commande embarquée :

Correcteurs numériques (PID discret) — implanter un PID par équation de récurrence.
Échantillonnage et Shannon — choisir $T_{e}$ , éviter le repliement de spectre.
Commande embarquée — microcontrôleurs, temps réel, quantification.
Identification discrète — estimer $F (z)$ à partir de mesures.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu ce qu'est un système échantillonné et le rôle de la période T_e ?
Sais-tu à quoi sert le bloqueur d'ordre zéro B₀(p) ?
Connais-tu la définition de la transformée en Z (X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ) ?
Sais-tu démontrer la propriété du retard Z{x[n−1]} = z⁻¹ X(z) ?
Sais-tu ce qu'est une fonction de transfert F(z) et ses pôles ?
Sais-tu passer d'une F(z) à une équation de récurrence programmable ?
Connais-tu le critère de stabilité discret (pôles dans le cercle unité |z| < 1) ?
Sais-tu démontrer ce critère via la correspondance z = e^(p T_e) ?
Comprends-tu pourquoi Te trop grand déstabilise (retard ≈ Te/2) ?
Évites-tu d'appliquer le critère de stabilité continu aux pôles en z ?
Sais-tu que z⁻¹ est l'opérateur retard, pas un simple nombre ?

Démonstrations à savoir refaire

Propriété du retard Z{x[n−1]} = z⁻¹X(z) — décalage d'indice dans la série
Critère du cercle unité — correspondance z = e^(pT_e), demi-plan gauche → |z| < 1

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Prérequis

1. Système échantillonné et transformée en Z

2. Fonction de transfert en z et équation de récurrence

3. Stabilité d'un système échantillonné

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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