📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚙️ Sciences de l'Ingénieur

Réponse fréquentielle et Bode

L'analyse harmonique des SLCI en PSI : fonction de transfert H(jω), gain en décibels (20·log|H|), phase, diagrammes de Bode et additivité logarithmique (démontrée), tracés asymptotiques du premier ordre (−20 dB/décade, −45° à la cassure, démontré) et du second ordre (−40 dB/décade, résonance), briques intégrateur/dérivateur, pulsation de coupure et bande passante, gabarit et marges de stabilité. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

7 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

La réponse fréquentielle décrit comment un SLCI répond à une entrée sinusoïdale de pulsation $ω$ : il la restitue amplifiée (ou atténuée) et déphasée. Toute cette information est contenue dans la fonction de transfert complexe $H (j ω)$ , qu'on représente par les diagrammes de Bode (gain en décibels et phase, en échelle logarithmique). Leur force : le produit des fonctions de transfert devient une somme de tracés, d'où la méthode des asymptotes. Cette fiche donne les outils, les 3 résultats incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges de copie.

Au programme PSI SII (officiel) — Réponse d'un SLCI à une entrée sinusoïdale. Fonction de transfert en régime harmonique

H (j ω)

. Gain (décibel) et phase. Diagrammes de Bode. Tracés asymptotiques du premier et du second ordre. Pulsation de coupure, bande passante, comportement intégrateur et dérivateur.

Prérequis

Nombres complexes : module, argument
Fonction de transfert $H (p)$ et forme canonique
Fonction logarithme et échelle décimale
Régime sinusoïdal forcé (notation complexe)

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1. Régime harmonique, gain et phase

Définition 1.1 — Fonction de transfert en régime harmonique

En régime sinusoïdal établi, on remplace $p$ par $j ω$ : à une entrée $e (t) = E_{0} cos (ω t)$ , le système répond $s (t) = S_{0} cos (ω t + φ)$ , avec :

H (j ω) = \frac{S}{E}, \frac{S _{0}}{E _{0}} = ∣ H (j ω) ∣, φ = ar g H (j ω) .

Définition 1.2 — Gain en décibels

Le gain en décibels est $G_{dB} = 20 lo g_{10} ∣ H (j ω) ∣$ . L'échelle logarithmique transforme les produits en sommes : $20 lo g ∣ H_{1} H_{2} ∣ = 20 lo g ∣ H_{1} ∣ + 20 lo g ∣ H_{2} ∣$ . C'est ce qui permet d'additionner les contributions.

Définition 1.3 — Diagrammes de Bode

Les diagrammes de Bode tracent $G_{dB} (ω)$ et $φ (ω)$ en fonction de $lo g_{10} ω$ (abscisse logarithmique). Une décade est un facteur 10 en pulsation ; une octave un facteur 2.

Définition 1.4 — Pulsation de coupure et bande passante

La pulsation de coupure à −3 dB est la pulsation où le gain chute de 3 dB (facteur $1/ 2$ ) par rapport au gain de référence. La bande passante est l'intervalle de pulsations transmises « sans atténuation notable » — elle mesure la rapidité du système (large bande = système rapide).

Théorème 1.5 — Additivité logarithmique (gain et phase) ★ À savoir démontrer

Pour un produit $H = H_{1} \cdot H_{2} \dots$ , le gain en dB et la phase s'additionnent :

G_{dB} = i \sum 20 lo g_{10} ∣ H_{i} ∣, φ = i \sum ar g H_{i} .

Démonstration (module et argument d'un produit)

Le module d'un produit de complexes est le produit des modules, l'argument est la somme des arguments : $∣ H_{1} H_{2} ∣ = ∣ H_{1} ∣ ∣ H_{2} ∣$ et $ar g (H_{1} H_{2}) = ar g H_{1} + ar g H_{2}$ . En prenant $20 lo g_{10}$ du module :

20 lo g_{10} ∣ H_{1} H_{2} ∣ = 20 lo g_{10} ∣ H_{1} ∣ + 20 lo g_{10} ∣ H_{2} ∣.

Le logarithme transforme le produit en somme : on trace donc chaque facteur séparément puis on additionne les courbes. C'est le fondement de la méthode asymptotique.

2. Briques élémentaires et tracés asymptotiques

Théorème 2.1 — Bode du premier ordre ★ À savoir démontrer

Pour $H (j ω) = \frac{K}{1 + j ω / ω _{c}}$ , le diagramme asymptotique est :

Basses pulsations ( $ω ≪ ω_{c}$ ) : gain $20 lo g K$ (horizontale), phase $0$ .
Hautes pulsations ( $ω ≫ ω_{c}$ ) : pente $- 20$ dB/décade, phase $- 9 0^{\circ}$ .
À $ω = ω_{c}$ : gain réel à $- 3$ dB du gain BF, phase $- 4 5^{\circ}$ .

Démonstration (comportements asymptotiques)

Le module est $∣ H ∣ = \frac{K}{1 + ( ω / ω _{c} ) ^{2}}$ . Pour $ω ≪ ω_{c}$ , $∣ H ∣ \to K$ donc $G_{dB} \to 20 lo g K$ (asymptote horizontale). Pour $ω ≫ ω_{c}$ , $∣ H ∣ \approx \frac{K ω _{c}}{ω}$ , donc :

G_{dB} \approx 20 lo g (K ω_{c}) - 20 lo g ω,

une droite de pente $- 20$ dB/décade. À $ω = ω_{c}$ , $∣ H ∣ = K / 2$ , soit $- 3$ dB, et $ar g H = - arctan (1) = - 4 5^{\circ}$ . La phase passe de $0$ à $- 9 0^{\circ}$ .

Proposition 2.2 — Intégrateur et dérivateur

Intégrateur $H = \frac{1}{p}$ : gain $- 20$ dB/décade constant, phase $- 9 0^{\circ}$ .
Dérivateur $H = p$ : gain $+ 20$ dB/décade, phase $+ 9 0^{\circ}$ .
Gain pur $K$ : horizontale à $20 lo g K$ , phase nulle.

Toute fonction de transfert se décompose en ces briques, qu'on additionne.

Théorème 2.3 — Bode du second ordre

Un second ordre $H = \frac{K}{1 + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + \frac{1}{ω _{0}^{2}} p ^{2}}$ a une asymptote HF de pente $- 40$ dB/décade et une phase tendant vers $- 18 0^{\circ}$ . Pour $ξ < \frac{1}{2}$ , un pic de résonance apparaît près de $ω_{0}$ : le facteur de surtension au pic vaut $Q = \frac{1}{2 ξ 1 - ξ ^{2}}$ , d'autant plus grand que $ξ$ est petit.

À la pulsation $ω_{0}$ , la phase traverse $- 9 0^{\circ}$ : c'est un repère commode pour caler le tracé de phase du second ordre.

💡 Exemple — Filtre passe-bande. En cascadant un passe-haut (

+ 20

dB/décade en BF) et un passe-bas (

- 20

dB/décade en HF), le gain forme un « toit » : plat dans la bande, atténué de part et d'autre. Le Bode montre directement la bande passante et la fréquence centrale — d'où son usage pour concevoir des filtres à gabarit.

📝 Pourquoi l'échelle logarithmique ? Elle rend les tracés affines par morceaux (des droites de pente entière), transforme les produits en sommes, et couvre plusieurs décades sur un même graphe. Sans elle, un premier ordre donnerait une courbe illisible ; avec elle, deux asymptotes et un point de cassure suffisent.

💡 Exemple — Dérivateur filtré. Un vrai dérivateur

H = \frac{τ p}{1 + τ p}

monte à

+ 20

dB/décade en basses fréquences puis plafonne à 0 dB au-delà de

1/ τ

: il dérive les signaux lents et laisse passer les rapides. Le Bode révèle immédiatement cette double nature, invisible sur la seule expression algébrique.

📐 Méthode-type — Tracer un diagramme de Bode asymptotique.

Forme canonique : factoriser $H (j ω)$ en briques (gain, intégrateurs, premiers/seconds ordres).
Pulsations de cassure : repérer les $ω_{c}$ de chaque facteur.
Gain : partir de la pente basses fréquences (fixée par la classe) et ajouter $\pm 20$ (ou $\pm 40$ ) dB/décade à chaque cassure.
Phase : additionner les phases élémentaires (transitions autour des $ω_{c}$ ).
Corriger les $- 3$ dB aux cassures et les pics de résonance éventuels.

💡 Exemple — Filtre passe-bas du premier ordre.

H = \frac{1}{1 + j ω / ω _{c}}

: gain plat à 0 dB puis chute à

- 20

dB/décade au-delà de

ω_{c}

, phase de

0

- 9 0^{\circ}

. La bande passante à

- 3

dB est

[0, ω_{c}]

: au-delà, le signal est atténué. C'est le comportement d'un moteur en vitesse ou d'un capteur filtré.

💡 Exemple — Tracé complet d'un système de classe 1. Soit

H (j ω) = \frac{K}{j ω ( 1 + j ω / ω _{1} )}

(un intégrateur + un premier ordre). On superpose les briques :

Gain : l'intégrateur donne $- 20$ dB/décade dès les basses fréquences ; à la cassure $ω_{1}$ , la pente passe à $- 40$ dB/décade.
Phase : $- 9 0^{\circ}$ (intégrateur) puis transition vers $- 18 0^{\circ}$ au-delà de $ω_{1}$ .

Le tracé asymptotique s'obtient donc par simple addition des deux briques — sans aucun calcul de module au-delà des cassures.

⚠ Piège — la pente HF dépend de l'ordre, pas du gain. Un premier ordre chute à

- 20

dB/décade, un second à

- 40

. Le gain statique

K

ne décale que l'ordonnée (translation verticale de

20 lo g K

) : il ne change pas les pentes.

3. Lecture et exploitation d'un diagramme de Bode

Définition 3.1 — Comportement filtrant

Selon la forme des asymptotes, le système se comporte en passe-bas (transmet le continu, coupe le haut), passe-haut, passe-bande ou coupe-bande. La lecture du Bode donne immédiatement la nature du filtrage.

📝 Lien avec la réponse temporelle. Une large bande passante correspond à une petite constante de temps (système rapide) : rapidité temporelle et étendue fréquentielle sont deux visages du même comportement. Un système lent « coupe » vite en fréquence.

Définition 3.2 — Gabarit d'un filtre

Un gabarit est le cahier des charges fréquentiel : il fixe les zones de gain admissibles (bande passante, bande atténuée, transition). Concevoir un filtre, c'est trouver une fonction de transfert dont le Bode reste dans le gabarit. L'ordre du filtre fixe la raideur de la transition (pente).

💡 Exemple — Marges de stabilité sur la FTBO. En asservissement, on lit sur le Bode de la boucle ouverte la marge de phase (à la pulsation de gain unité) et la marge de gain (à la phase

- 18 0^{\circ}

). Des marges positives garantissent la stabilité en boucle fermée : c'est l'usage majeur du diagramme de Bode en SII.

📝 Décibels, un repère mémorisable.

+ 6

\approx

facteur 2 en amplitude,

+ 20

dB = facteur 10,

- 3

dB = facteur

1/ 2

(mi-puissance). Ces repères permettent de lire un Bode sans calculatrice.

💡 Exemple — Résonance d'un second ordre peu amorti. Pour

ξ = 0, 1

, le gain présente un pic marqué près de

ω_{0}

: le système amplifie fortement les excitations à cette pulsation. C'est utile (accord d'un circuit) ou dangereux (résonance mécanique d'une structure) — d'où l'intérêt de contrôler

ξ

Définition 3.3 — Pulsation de résonance

Pour un second ordre peu amorti, la pulsation de résonance (gain maximal) vaut $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ξ^{2}$ , légèrement inférieure à $ω_{0}$ . Elle n'existe que pour $ξ < 1/ 2 \approx 0, 707$ ; au-delà, le gain décroît de façon monotone (pas de résonance).

💡 Exemple — Identifier un système sur son Bode. Une pente nulle en basses fréquences révèle une classe 0 ; une pente

- 20

dB/décade dès les basses fréquences révèle un intégrateur (classe 1). Le nombre de cassures et les changements de pente donnent l'ordre. La lecture d'un Bode est ainsi une méthode d'identification complémentaire de l'essai indiciel.

📝 Bande passante et rapidité. La pulsation de coupure à

- 3

dB est de l'ordre de l'inverse de la constante de temps dominante (

ω_{c} \approx 1/ τ

). Large bande passante ⇔ système rapide : c'est le pont quantitatif entre analyse fréquentielle et analyse temporelle.

⚠ Piège — ne pas confondre pulsation de coupure et pulsation propre. La coupure à

- 3

dB (

ω_{c}

) caractérise la bande passante ; la pulsation propre

ω_{0}

(second ordre) est celle des pôles. Elles coïncident pour un premier ordre mais pas pour un second ordre résonant.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves de SII. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Se tromper de facteur dans le gain en dB. Le gain en décibels est

20 lo g_{10} ∣ H ∣

(pour une amplitude), pas

10 lo g_{10}

. Le facteur 10 concerne les puissances, le facteur 20 les amplitudes (tensions, positions).

⚠ Erreur 2 — Oublier la contribution en phase d'un intégrateur. Un intégrateur

1/ p

apporte

- 9 0^{\circ}

constants et

- 20

dB/décade. L'oublier décale toute la phase et fausse l'analyse de stabilité en boucle fermée.

⚠ Erreur 3 — Confondre pente en dB/décade et en dB/octave.

- 20

dB/décade (facteur 10) équivaut à

- 6

dB/octave (facteur 2). Mélanger les deux références fausse la lecture des pentes.

⚠ Erreur 4 — Tracer les asymptotes sans corriger aux cassures. Le tracé asymptotique est approché : à la cassure d'un premier ordre, le gain réel est

- 3

dB sous l'asymptote, et un second ordre peu amorti fait un pic. Signaler ces écarts est attendu.

⚠ Erreur 5 — Poser $p = j ω$ en régime transitoire. Le passage

p \to j ω

n'est valable qu'en régime sinusoïdal établi. En transitoire, il faut revenir à la réponse temporelle (Laplace complet).

5. Pour aller plus loin

Les diagrammes de Bode sont l'outil central de l'analyse et du réglage des systèmes :

Stabilité des asservissements — les marges de gain et de phase se lisent sur le Bode de la FTBO.
Correcteurs — régler un correcteur, c'est déformer le Bode pour gagner en stabilité et rapidité.
Filtrage — la synthèse de filtres passifs et actifs s'appuie sur les gabarits de Bode.
Réponses temporelles — bande passante et temps de réponse sont deux lectures du même système.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu passer de $H (p)$ à $H (j ω)$ et lire gain et phase (module, argument) ?
Sais-tu que $G_{dB} = 20 lo g_{10} ∣ H ∣$ et pourquoi c'est 20 et non 10 ?
Sais-tu démontrer l'additivité logarithmique (gain et phase d'un produit) ?
Sais-tu tracer le Bode asymptotique d'un premier ordre (pente, $- 3$ dB, $- 4 5^{\circ}$ ) ?
Connais-tu les briques intégrateur, dérivateur, gain pur ?
Sais-tu que la pente HF vaut $- 20$ dB/décade (1er ordre) ou $- 40$ (2nd ordre) ?
Sais-tu qu'un second ordre peu amorti ( $ξ < 1/ 2$ ) résonne près de $ω_{0}$ ?
Sais-tu définir pulsation de coupure à $- 3$ dB et bande passante ?
Sais-tu relier large bande passante et système rapide (petite $τ$ ) ?
Sais-tu additionner les phases (attention à l'intégrateur $- 9 0^{\circ}$ ) ?
Sais-tu que $p = j ω$ n'est valable qu'en régime établi ?
Sais-tu tracer le Bode d'un système de classe 1 (intégrateur + premier ordre) ?
Connais-tu la pulsation de résonance $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ξ^{2}$ et sa condition d'existence ?
Sais-tu identifier classe et ordre sur les pentes d'un Bode ?

Démonstrations à savoir refaire

Additivité logarithmique — module/argument d'un produit → gain en dB et phase s'ajoutent
Bode du premier ordre — asymptotes du module $K / 1 + (ω / ω_{c})^{2}$ et de la phase

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3. Lecture et exploitation d'un diagramme de Bode

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