📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚙️ Sciences de l'Ingénieur

Liaisons et schéma cinématique

Modéliser un mécanisme en SII PSI : liaisons normalisées et degrés de liberté, torseurs cinématique et d'action d'une liaison parfaite, dualité (comoment nul démontré), schéma cinématique, chaînes ouvertes et fermées, mobilité et degré d'hyperstatisme (relation m − h = Ic − Ec démontrée), isostatisme. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

8 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Un mécanisme est un assemblage de solides reliés par des liaisons. Chaque liaison autorise certains mouvements (degrés de liberté) et en bloque d'autres — ce que résume son torseur cinématique, dual de son torseur d'action. Le schéma cinématique modélise le mécanisme avec les liaisons normalisées ; l'analyse des chaînes (ouvertes, fermées) donne la mobilité et le degré d'hyperstatisme. Cette fiche pose ces outils, les 3 résultats incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges de copie.

Au programme PSI SII (officiel) — Liaisons normalisées entre solides, degrés de liberté. Torseurs cinématique et d'action mécanique d'une liaison parfaite (dualité). Schéma cinématique. Chaînes de solides ouvertes et fermées. Mobilité et degré d'hyperstatisme d'un mécanisme.

Prérequis

Torseurs (résultante, moment, transport)
Cinématique du solide : torseur cinématique
Statique des solides : torseur d'action mécanique
Repères et bases orthonormées

🎯 Accompagnement Majorant

Tu ne retiens jamais les torseurs des liaisons ? Il n'y a rien à apprendre par cœur : la dualité « mouvement libre ↔ effort nul » les reconstruit tous. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te montrent comment les retrouver en 10 secondes.

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1. Liaisons et degrés de liberté

Définition 1.1 — Liaison mécanique et degrés de liberté

Une liaison entre deux solides est un contact qui restreint leurs mouvements relatifs. Le nombre de mouvements relatifs indépendants encore possibles est le nombre de degrés de liberté (ddl), entre 0 (encastrement) et 6 (liaison libre : 3 translations + 3 rotations).

Définition 1.2 — Liaisons usuelles

Pivot (1 ddl : une rotation) — arbre dans un palier.
Glissière (1 ddl : une translation) — coulisseau.
Pivot glissant (2 ddl : rotation + translation même axe).
Rotule (3 ddl : trois rotations) — sphère dans un logement.
Appui plan (3 ddl : 2 translations + 1 rotation).
Encastrement (0 ddl) et liaison ponctuelle (5 ddl).

Définition 1.3 — Torseur cinématique d'une liaison

Le torseur cinématique d'une liaison ne contient que les composantes autorisées par les degrés de liberté. Exemple, pivot d'axe $(A, z)$ :

{V}_{A} = {0000 ω_{z} 0}_{A} (seule ω_{z} \neq = 0) .

Définition 1.4 — Torseur d'action d'une liaison parfaite

Le torseur d'action d'une liaison parfaite ne contient que les composantes bloquées (efforts transmissibles). Pour la pivot d'axe $z$ , toutes les composantes sauf le moment selon $z$ ( $M_{z} = 0$ , car $ω_{z}$ est libre).

Définition 1.5 — Liaison réelle, jeu et liaison parfaite

Une liaison réelle présente du jeu (mouvements parasites), du frottement (dissipation) et de l'élasticité. Le modèle de liaison parfaite (géométrie idéale, sans frottement ni jeu) est celui utilisé pour les torseurs : il faut garder à l'esprit qu'il idéalise le comportement réel, notamment pour l'analyse d'hyperstatisme (le jeu « absorbe » parfois une contrainte redondante).

⚠ Piège — bien orienter la liaison. Le torseur d'une liaison dépend de son axe et de son point de réduction. Une pivot d'axe

x

n'a pas les mêmes composantes qu'une pivot d'axe

z

. Toujours préciser l'axe et le point avant d'écrire le torseur.

💡 Exemple — Compter les degrés de liberté d'une pivot glissant. Une pivot glissant d'axe

z

autorise la rotation

Ω_{z}

et la translation

V_{z}

selon le même axe : 2 ddl. Son torseur cinématique n'a donc que ces deux composantes non nulles, et son torseur d'action bloque les 4 autres (

R_{x}, R_{y}, M_{x}, M_{y}

) — parfaite illustration de la dualité « 2 mouvements libres ↔ 4 efforts transmis ».

2. Dualité cinématique-statique et schéma cinématique

Théorème 2.1 — Dualité des torseurs d'une liaison parfaite ★ À savoir démontrer

Pour une liaison parfaite, les composantes non nulles du torseur cinématique et celles du torseur d'action sont complémentaires : là où un mouvement est libre, l'effort dual est nul, et réciproquement. Formellement, la puissance dissipée est nulle :

P = {T} \otimes {V} = R \cdot V + M \cdot Ω = 0.

Démonstration (comoment nul)

Une liaison parfaite ne dissipe pas d'énergie : la puissance des actions de liaison est nulle, c'est-à-dire le comoment du torseur d'action et du torseur cinématique est nul, pour tout mouvement compatible :

P = R \cdot V_{liaison} + M \cdot Ω_{liaison} = 0.

Comme cette égalité vaut pour toutes les valeurs des composantes cinématiques autorisées, chaque composante d'effort qui leur est duale doit être nulle. Il reste donc uniquement les efforts selon les directions bloquées : les deux torseurs ont des composantes non nulles complémentaires.

Définition 2.2 — Schéma cinématique

Le schéma cinématique représente un mécanisme par ses solides (traits) et ses liaisons (symboles normalisés), en respectant les positions relatives des axes. Il abstrait la technologie pour ne garder que la structure des mouvements — support de toute l'analyse cinématique et statique.

Définition 2.3 — Chaîne ouverte et chaîne fermée

Chaîne ouverte : les solides s'enchaînent sans boucler (ex. bras robotisé).
Chaîne fermée : la chaîne se referme, imposant des équations de fermeture (cinématique ou géométrique) qui relient les paramètres.

Proposition 2.4 — Associations de liaisons

En parallèle (deux liaisons entre les mêmes solides) : la liaison équivalente ne garde que les mouvements communs aux deux — on intersecte les torseurs cinématiques.
En série (via un solide intermédiaire) : les mouvements s'ajoutent — on somme les torseurs cinématiques.

Exemple : deux pivots parallèles d'axes distincts en parallèle donnent un encastrement (aucun mouvement commun) ; en série, elles donnent un mouvement plan.

💡 Exemple — Réaliser une liaison pivot par deux roulements. Un arbre guidé par deux roulements à billes (assimilables à des rotules) alignés réalise, par association, une liaison pivot : chaque rotule bloque les translations, et l'alignement des deux impose l'axe de rotation. C'est la manière courante de construire technologiquement une pivot — l'analyse des liaisons équivalentes le prévoit.

📝 Graphe des liaisons. Avant tout calcul, on trace le graphe de structure : un sommet par solide (dont le bâti), une arête par liaison. Le nombre de cycles indépendants de ce graphe donne le nombre de boucles fermées, donc le nombre d'équations de fermeture — l'étape qui conditionne tout le calcul de mobilité.

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3. Mobilité et hyperstatisme

Définition 3.1 — Mobilité

La mobilité $m$ d'un mécanisme est le nombre de paramètres de mouvement indépendants (nombre de mouvements d'entrée à imposer pour piloter le mécanisme). Une mobilité $m = 1$ signifie qu'un seul actionneur suffit.

Théorème 3.2 — Relation mobilité-hyperstatisme ★ À savoir démontrer

Pour un mécanisme, en notant $I_{c}$ le nombre d'inconnues cinématiques (somme des ddl des liaisons), $E_{c}$ le nombre d'équations de fermeture cinématique, la mobilité $m$ et le degré d'hyperstatisme $h$ vérifient :

m - h = I_{c} - E_{c} .

Démonstration (comptage cinématique)

La fermeture d'une chaîne impose que la somme des torseurs cinématiques le long de la boucle soit nulle : $\sum {V_{i / i + 1}} = {0}$ . Cela fournit $E_{c}$ équations scalaires (6 par boucle indépendante en 3D). Les inconnues sont les composantes cinématiques autorisées par les liaisons, au nombre de $I_{c}$ .

Le rang du système relie les inconnues aux équations : les inconnues non déterminées sont les mobilités $m$ (mouvements libres), les équations surabondantes sont l'hyperstatisme $h$ (contraintes redondantes). Le bilan donne $m - h = I_{c} - E_{c}$ . Un mécanisme isostatique mobile ( $m = 1$ , $h = 0$ ) est le cas idéal de conception.

Théorème 3.3 — Isostatisme et hyperstatisme

$h = 0$ : mécanisme isostatique — montage sans contrainte, pas d'ajustement fin nécessaire.
$h > 0$ : hyperstatique — plus rigide mais exige des tolérances serrées (risque d'arc-boutement, de contraintes de montage).

Le concepteur choisit selon le compromis rigidité / coût de fabrication. Rendre un mécanisme isostatique ( $h = 0$ ) consiste souvent à remplacer une liaison par une équivalente à plus de degrés de liberté (une rotule au lieu d'un pivot, par exemple) pour lever les contraintes redondantes.

💡 Exemple — Arbre sur deux paliers. Un arbre guidé par deux liaisons pivot d'axes alignés est hyperstatique (les deux imposent la même direction). On lève l'hyperstatisme en remplaçant l'un des pivots par une liaison rotule ou pivot glissant : le montage devient isostatique, tolérant aux défauts d'alignement. C'est un grand classique de conception mécanique.

📐 Méthode-type — Analyser un mécanisme.

Graphe des liaisons : solides (sommets) et liaisons (arêtes).
Compter $I_{c}$ (somme des ddl) et le nombre de boucles indépendantes ( $\Rightarrow E_{c}$ ).
Fermeture cinématique : écrire $\sum {V} = {0}$ par boucle.
Mobilité et hyperstatisme : $m - h = I_{c} - E_{c}$ , puis déterminer $m$ (mouvements pilotables) et en déduire $h$ .
Conclure sur le pilotage (nombre d'actionneurs) et la conception (iso/hyperstatique).

💡 Exemple — Système bielle-manivelle. Manivelle (pivot au bâti), bielle (pivot sur la manivelle, pivot sur le piston), piston (glissière au bâti) : la chaîne est fermée. On trouve une mobilité

m = 1

(un actionneur : la manivelle) et un degré d'hyperstatisme nul dans le modèle plan — le mécanisme de conversion rotation ↔ translation par excellence (moteur thermique).

💡 Exemple — Comptage sur une boucle plane. Dans le plan, chaque solide a 3 ddl et chaque boucle fournit 3 équations de fermeture. Pour le bielle-manivelle (3 liaisons pivot + 1 glissière, une boucle) : les ddl cumulés des liaisons donnent

I_{c} = 4

(chaque pivot et la glissière : 1 ddl en plan), et une boucle plane impose

E_{c} = 3

équations. Alors

m - h = I_{c} - E_{c} = 1

, et comme la manivelle est motorisée (

m = 1

), on conclut

h = 0

: mécanisme isostatique et mobile.

📝 Modèle plan vs modèle spatial. Un mécanisme isostatique en modèle plan peut être hyperstatique en modèle spatial (les liaisons imposent des contraintes hors-plan supplémentaires). Précise toujours le modèle retenu : le degré d'hyperstatisme n'a de sens que relativement à lui.

⚠ Piège — mobilité utile vs mobilité interne. Certains mécanismes ont une mobilité interne (une pièce peut tourner sur elle-même sans effet sur la sortie). La mobilité totale

m

additionne mobilité utile et interne — ne pas les confondre lors du comptage des actionneurs nécessaires.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves de SII. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Inverser les composantes libres et bloquées. Le torseur cinématique porte les composantes autorisées, le torseur d'action les composantes bloquées. Les intervertir est l'erreur reine de la dualité.

⚠ Erreur 2 — Oublier de préciser l'axe et le point de la liaison. Un torseur de liaison n'a de sens qu'avec son axe et son point de réduction. Écrire « le torseur d'une pivot » sans préciser l'axe est incomplet et souvent faux.

⚠ Erreur 3 — Mal compter les boucles indépendantes. Le nombre d'équations de fermeture dépend du nombre de boucles indépendantes (cycles du graphe), pas du nombre total de liaisons. Un mauvais comptage fausse mobilité et hyperstatisme.

⚠ Erreur 4 — Confondre ddl d'une liaison et mobilité du mécanisme. Les ddl sont locaux (une liaison) ; la mobilité est globale (le mécanisme assemblé). La somme des ddl n'est pas la mobilité — il faut retrancher les contraintes de fermeture.

⚠ Erreur 5 — Négliger l'hyperstatisme au montage. Un mécanisme hyperstatique monté sans tolérances adaptées se contraint (déformations, coincements). Le signaler et discuter les conséquences est attendu en conception.

5. Pour aller plus loin

L'analyse des liaisons structure toute l'étude des mécanismes :

Cinématique du solide — les torseurs de liaison alimentent la composition des mouvements.
Statique des solides — les torseurs d'action de liaison entrent dans le PFS.
Dynamique — la mobilité fixe le nombre de degrés de liberté à paramétrer.
Conception — iso/hyperstatisme guide le choix des liaisons et des tolérances.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une liaison et ses degrés de liberté (0 à 6) ?
Connais-tu les liaisons usuelles et leurs ddl (pivot, glissière, rotule, appui plan…) ?
Sais-tu écrire le torseur cinématique d'une liaison (composantes autorisées) ?
Sais-tu écrire le torseur d'action d'une liaison parfaite (composantes bloquées) ?
Sais-tu démontrer la dualité par le comoment nul (puissance nulle) ?
Sais-tu lire et construire un schéma cinématique ?
Sais-tu distinguer chaîne ouverte et chaîne fermée (équations de fermeture) ?
Sais-tu définir la mobilité d'un mécanisme ?
Sais-tu démontrer la relation $m - h = I_{c} - E_{c}$ ?
Sais-tu distinguer isostatisme et hyperstatisme (et leurs enjeux de conception) ?
Sais-tu analyser un bielle-manivelle (mobilité 1, isostatique en plan) ?
Sais-tu associer des liaisons en série (somme) et en parallèle (intersection) ?
Sais-tu tracer un graphe de structure et compter les boucles indépendantes ?
Sais-tu que l'hyperstatisme dépend du modèle (plan ou spatial) ?

Démonstrations à savoir refaire

Dualité des torseurs de liaison — comoment nul → composantes libres/bloquées complémentaires
Relation mobilité-hyperstatisme — comptage cinématique $m - h = I_{c} - E_{c}$

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