📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚙️ Sciences de l'Ingénieur

Réponses temporelles des SLCI

Les réponses temporelles en automatique PSI : signaux canoniques (impulsion, échelon, rampe), réponse indicielle et impulsionnelle, système du premier ordre (constante de temps τ, temps de réponse 3τ, réponse KE₀(1−e^(−t/τ)) démontrée), système du second ordre (pulsation propre, amortissement ξ, régimes apériodique/critique/pseudo-périodique démontrés, dépassement, pseudo-période), identification. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

7 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Une fois la fonction de transfert $H (p)$ établie, on veut connaître la réponse temporelle du système : comment la sortie évolue quand on applique un échelon, une impulsion ou une rampe. Deux modèles suffisent à décrire l'immense majorité des systèmes de PSI : le premier ordre (une constante de temps $τ$ ) et le second ordre (pulsation propre $ω_{0}$ , amortissement $ξ$ ). Cette fiche donne leurs réponses, les grandeurs de performance (temps de réponse, dépassement), les 3 résultats incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges de copie.

Au programme PSI SII (officiel) — Signaux canoniques : impulsion, échelon, rampe. Réponse indicielle et impulsionnelle. Système du premier ordre : constante de temps, temps de réponse. Système du second ordre : régimes apériodique, critique et pseudo-périodique, pulsation propre, coefficient d'amortissement, dépassement, pseudo-période. Identification d'un modèle à partir d'une réponse expérimentale.

Prérequis

Transformée de Laplace et fonction de transfert $H (p)$
Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles
Équations différentielles linéaires du premier et du second ordre
Théorèmes des valeurs initiale et finale

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds constante de temps, temps de réponse et pseudo-période ? Ce sont des grandeurs distinctes qui rapportent des points quand on les maîtrise. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font lire une réponse temporelle et en extraire le modèle, comme à l'oral.

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1. Signaux d'entrée et réponses canoniques

Définition 1.1 — Signaux canoniques

Impulsion de Dirac $δ (t)$ : $L [δ] = 1$ .
Échelon unité $u (t)$ : $L [u] = \frac{1}{p}$ .
Rampe unité $t u (t)$ : $L [t u] = \frac{1}{p ^{2}}$ .

Définition 1.2 — Réponse indicielle et réponse impulsionnelle

La réponse indicielle est la sortie à un échelon unité ; la réponse impulsionnelle est la sortie à une impulsion. La réponse impulsionnelle est la dérivée de la réponse indicielle (l'échelon est l'intégrale de l'impulsion).

📝 Linéarité et échelle. Un SLCI étant linéaire, la réponse à un échelon d'amplitude

E_{0}

est

E_{0}

fois la réponse indicielle unité : on raisonne donc toujours sur la réponse à l'échelon unité, puis on multiplie. Cela vaut aussi pour combiner des entrées par superposition.

Définition 1.3 — Régime transitoire et régime permanent

La réponse se décompose en un régime transitoire (qui s'éteint) et un régime permanent (valeur finale). Le régime transitoire est gouverné par les pôles de $H (p)$ , le régime permanent par le théorème de la valeur finale.

📝 Tout se ramène à l'inversion de Laplace. Calculer une réponse temporelle, c'est former

S (p) = H (p) E (p)

, la décomposer en éléments simples, puis lire la transformée inverse de chaque terme dans le dictionnaire de Laplace. C'est mécanique, mais il faut connaître le tableau.

💡 Exemple — Réponse à une rampe. Face à une consigne en rampe (

E (p) = 1/ p^{2}

), un système de classe 0 « décroche » (l'écart croît indéfiniment), un système de classe 1 suit avec un retard constant (erreur de traînage), et un système de classe 2 suit sans erreur. La nature de l'entrée et la classe du système déterminent ensemble la réponse — un point clé pour la précision des asservissements.

⚠ Piège — la réponse dépend de l'entrée ET du système. Une même fonction de transfert donne des réponses très différentes selon qu'on applique un échelon, une impulsion ou une rampe. Parler de « la réponse du système » sans préciser l'entrée n'a pas de sens.

2. Système du premier ordre

Théorème 2.1 — Réponse indicielle du premier ordre ★ À savoir démontrer

Pour $H (p) = \frac{K}{1 + τ p}$ soumis à un échelon d'amplitude $E_{0}$ , la réponse est :

s (t) = K E_{0} (1 - e^{- t / τ}) .

Démonstration (inversion de Laplace + éléments simples)

Avec $E (p) = E_{0} / p$ , $S (p) = \frac{K E _{0}}{p ( 1 + τ p )}$ . On décompose en éléments simples :

\frac{K E _{0}}{p ( 1 + τ p )} = K E_{0} (\frac{1}{p} - \frac{τ}{1 + τ p}) = K E_{0} (\frac{1}{p} - \frac{1}{p + 1/ τ}) .

La transformée inverse ( $1/ p \to u (t)$ , $1/ (p + a) \to e^{- a t} u (t)$ ) donne :

s (t) = K E_{0} (1 - e^{- t / τ}) .

La sortie part de 0 (valeur initiale) et tend vers $K E_{0}$ (valeur finale, gain statique).

Définition 2.2 — Constante de temps et temps de réponse

La constante de temps $τ$ fixe la rapidité : à $t = τ$ , la sortie a atteint $63%$ de sa valeur finale ; la tangente à l'origine coupe l'asymptote à $t = τ$ . Le temps de réponse à 5 % vaut $t_{r, 5%} \approx 3 τ$ (la sortie reste alors à moins de 5 % de la valeur finale).

💡 Exemple — Mise en vitesse d'un moteur. Un moteur à courant continu commandé en vitesse est bien modélisé par un premier ordre : la vitesse suit

ω (t) = ω_{\infty} (1 - e^{- t / τ})

. On lit

τ

sur l'essai indiciel (63 % de la vitesse finale) et le gain

K

sur la valeur finale — l'identification de base en TP de SII.

📝 Tangente à l'origine. Pour un premier ordre, la tangente à la réponse indicielle en

t = 0

coupe l'asymptote finale exactement en

t = τ

. C'est la construction graphique la plus rapide pour lire la constante de temps sur une courbe expérimentale, plus fiable que le repère des 63 % quand le début de la courbe est bruité.

💡 Exemple — Chauffage d'un local. Un système thermique du premier ordre (pièce chauffée) a une grande constante de temps (

τ

de plusieurs minutes à heures). La température monte en

1 - e^{- t / τ}

vers la valeur de consigne : d'où l'inertie thermique bien connue et la nécessité d'anticiper le chauffage.

🧑‍🏫 Identifier un premier ordre en 30 secondes

Gain sur la valeur finale, $τ$ sur les 63 % ou la tangente à l'origine : deux lectures et le modèle est trouvé. En une séance, un mentor Majorant alumni de Centrale te fait identifier premier et second ordre sur des courbes réelles — l'exercice qui tombe à tous les oraux.

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3. Système du second ordre

Définition 3.1 — Forme canonique du second ordre

Un système du second ordre s'écrit :

H (p) = \frac{K}{1 + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + \frac{1}{ω _{0}^{2}} p ^{2}},

avec $K$ le gain statique, $ω_{0}$ la pulsation propre et $ξ$ le coefficient d'amortissement. Les pôles sont $p = - ξ ω_{0} \pm ω_{0} ξ^{2} - 1$ .

Théorème 3.2 — Régimes selon l'amortissement ★ À savoir démontrer

La réponse indicielle change de nature selon $ξ$ :

$ξ > 1$ : apériodique (deux pôles réels, pas d'oscillation) ;
$ξ = 1$ : critique (pôle double, le plus rapide sans dépassement) ;
$0 < ξ < 1$ : pseudo-périodique (pôles complexes, oscillations amorties) avec dépassement.

Démonstration (nature des pôles)

Les pôles annulent $1 + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + \frac{1}{ω _{0}^{2}} p^{2} = 0$ , soit $p^{2} + 2 ξ ω_{0} p + ω_{0}^{2} = 0$ . Le discriminant réduit est $Δ^{'} = ω_{0}^{2} (ξ^{2} - 1)$ :

$ξ > 1$ : $Δ^{'} > 0$ , deux pôles réels négatifs → somme d'exponentielles décroissantes (apériodique) ;
$ξ = 1$ : $Δ^{'} = 0$ , pôle double $- ω_{0}$ → réponse critique ;
$0 < ξ < 1$ : $Δ^{'} < 0$ , pôles complexes conjugués $- ξ ω_{0} \pm j ω_{0} 1 - ξ^{2}$ → oscillations de pseudo-pulsation $ω_{p} = ω_{0} 1 - ξ^{2}$ , amorties par $e^{- ξ ω_{0} t}$ .

C'est bien la partie réelle des pôles ( $- ξ ω_{0}$ ) qui amortit et la partie imaginaire qui fait osciller.

Définition 3.3 — Dépassement et pseudo-période

En régime pseudo-périodique, le premier dépassement vaut $D_{1} = e^{- π ξ / 1 - ξ^{2}}$ (en fraction de la valeur finale) : il ne dépend que de $ξ$ . La pseudo-période est $T_{p} = \frac{2 π}{ω _{0} 1 - ξ ^{2}}$ . Plus $ξ$ est petit, plus le dépassement est grand.

Théorème 3.4 — Temps de réponse minimal du second ordre

Le temps de réponse à 5 % passe par un minimum autour de $ξ \approx 0, 7$ ( $ω_{0} t_{r, 5%} \approx 3$ ). C'est le compromis classique « rapide sans trop dépasser », recherché en réglage d'asservissement.

En deçà ( $ξ < 0, 7$ ), le système dépasse et oscille avant de se stabiliser ; au-delà ( $ξ > 0, 7$ ), il devient lent. Le réglage $ξ \approx 0, 7$ est donc la cible par défaut d'un asservissement bien amorti.

📝 Abaque du dépassement. On utilise souvent un abaque donnant le premier dépassement

D_{1}

ω_{0} t_{r}

en fonction de

ξ

: deux lectures suffisent alors à caractériser un second ordre. Retiens quelques valeurs repères :

ξ = 0, 7 \Rightarrow D_{1} \approx 5%

ξ = 0, 4 \Rightarrow D_{1} \approx 25%

💡 Exemple — Suspension de véhicule. Une suspension est un second ordre masse-ressort-amortisseur. Trop peu amortie (

ξ

petit), elle oscille (inconfort) ; trop amortie (

ξ > 1

), elle est lente et raide. Les constructeurs visent

ξ \approx 0, 7

: réponse rapide, dépassement maîtrisé — exactement le compromis de la Proposition 3.4.

Définition 3.5 — Grandeurs caractéristiques de la réponse

Temps de montée : durée pour passer de 10 % à 90 % de la valeur finale.
Temps de pic : instant du premier maximum, $t_{pic} = \frac{π}{ω _{0} 1 - ξ ^{2}}$ (une demi pseudo-période).
Temps de réponse à 5 % : durée pour rester définitivement à moins de 5 % de la valeur finale.

Ces grandeurs traduisent le cahier des charges en critères mesurables sur la courbe.

💡 Exemple — Positionnement d'un axe. Un axe asservi en position, modélisé par un second ordre, doit atteindre sa cible « vite mais sans osciller ». On impose typiquement un dépassement

< 5%

(donc

ξ ≳ 0, 7

) et un temps de réponse donné (fixé par

ω_{0}

). Lire ces deux critères sur le cahier des charges fixe directement

ξ

ω_{0}

visés — le pont entre spécification et réglage.

📝 Second ordre dominant. Beaucoup de systèmes d'ordre élevé se comportent, en pratique, comme un second ordre : les pôles les plus proches de l'axe imaginaire (les plus lents) « dominent » la réponse. C'est ce qui rend le modèle du second ordre si universel.

📐 Méthode-type — Identifier un second ordre sur une réponse indicielle.

Gain statique $K$ : lire la valeur finale (÷ amplitude de l'échelon).
Amortissement $ξ$ : mesurer le premier dépassement $D_{1}$ et inverser $D_{1} = e^{- π ξ / 1 - ξ^{2}}$ .
Pulsation propre $ω_{0}$ : mesurer la pseudo-période $T_{p}$ puis $ω_{0} = \frac{2 π}{T _{p} 1 - ξ ^{2}}$ .
Vérifier avec le temps de réponse et le régime observé.

⚠ Piège — pseudo-période n'est pas période propre. Le système oscille à la pseudo-pulsation

ω_{p} = ω_{0} 1 - ξ^{2}

, inférieure à

ω_{0}

. Confondre

ω_{p}

ω_{0}

fausse l'identification (d'autant plus que

ξ

est grand).

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves de SII. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre constante de temps et temps de réponse.

τ

est la constante de temps (63 %) ; le temps de réponse à 5 % vaut

\approx 3 τ

. Donner

τ

quand on demande

t_{r}

(ou l'inverse) coûte des points.

⚠ Erreur 2 — Croire que le dépassement dépend de $ω_{0}$ . Le premier dépassement

D_{1} = e^{- π ξ / 1 - ξ^{2}}

ne dépend que de

ξ

ω_{0}

fixe la rapidité (échelle de temps), pas l'amplitude du dépassement.

⚠ Erreur 3 — Oublier de normaliser en forme canonique. Gain statique,

ω_{0}

ξ

se lisent sur la forme canonique (numérateur et dénominateur commençant par 1). L'identification sur une forme non normalisée donne des paramètres faux.

⚠ Erreur 4 — Prendre un temps de réponse « toujours $3 τ$ » au second ordre. La règle

3 τ

est celle du premier ordre. Au second ordre, le temps de réponse dépend de

ξ

et passe par un minimum vers

ξ \approx 0, 7

⚠ Erreur 5 — Appliquer la valeur finale à un système instable. Si un pôle a une partie réelle positive, la sortie diverge : le théorème de la valeur finale ne s'applique pas et parler de « valeur de régime permanent » n'a pas de sens.

5. Pour aller plus loin

Les réponses temporelles sont le langage de la performance des systèmes :

Réponse fréquentielle — l'analyse en $p = j ω$ (Bode) complète l'analyse temporelle.
Asservissements — rapidité, précision et stabilité s'évaluent sur la réponse indicielle en boucle fermée.
Correcteurs — régler un correcteur, c'est modeler la réponse temporelle (moins de dépassement, plus de rapidité).
Identification expérimentale — extraire $K, τ, ω_{0}, ξ$ d'un essai réel est une compétence de TP centrale.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Connais-tu les transformées de l'impulsion, l'échelon et la rampe ?
Sais-tu que la réponse impulsionnelle est la dérivée de la réponse indicielle ?
Sais-tu démontrer la réponse indicielle du premier ordre $s (t) = K E_{0} (1 - e^{- t / τ})$ ?
Sais-tu que $t = τ$ correspond à 63 % et $t_{r, 5%} \approx 3 τ$ ?
Sais-tu écrire la forme canonique du second ordre ( $K, ω_{0}, ξ$ ) ?
Sais-tu démontrer les trois régimes selon le signe du discriminant en $ξ$ ?
Connais-tu le dépassement $D_{1} = e^{- π ξ / 1 - ξ^{2}}$ et sa dépendance en $ξ$ seul ?
Connais-tu la pseudo-période $T_{p}$ et la pseudo-pulsation $ω_{p} = ω_{0} 1 - ξ^{2}$ ?
Sais-tu que le temps de réponse est minimal vers $ξ \approx 0, 7$ ?
Sais-tu identifier un second ordre à partir de $D_{1}$ et $T_{p}$ ?
Sais-tu pourquoi la valeur finale ne s'applique pas à un système instable ?
Sais-tu que la tangente à l'origine coupe l'asymptote en $t = τ$ (premier ordre) ?
Sais-tu qu'un système de classe 0 décroche sur une rampe (erreur de traînage) ?
Sais-tu retenir $ξ = 0, 7 \Rightarrow D_{1} \approx 5%$ ?
Sais-tu qu'une réponse dépend toujours de l'entrée appliquée ?
Sais-tu définir temps de montée, temps de pic et temps de réponse à 5 % ?
Sais-tu que $t_{pic} = π / (ω_{0} 1 - ξ^{2})$ ?
Sais-tu qu'un système d'ordre élevé se ramène souvent à un second ordre dominant ?
Sais-tu traduire un cahier des charges (dépassement, temps) en $ξ$ et $ω_{0}$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Réponse indicielle du premier ordre — éléments simples de $K / (p (1 + τ p))$ → $K E_{0} (1 - e^{- t / τ})$
Régimes du second ordre — signe du discriminant $Δ^{'} = ω_{0}^{2} (ξ^{2} - 1)$

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