📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚙️ Sciences de l'Ingénieur

Cinématique du solide

La cinématique du solide en SII PSI par les torseurs : vecteur rotation et torseur cinématique, champ des vitesses et relation de Varignon (démontrée), équiprojectivité, centre instantané de rotation, roulement sans glissement, composition des mouvements et des vecteurs rotation (démontrée), rapport de réduction d'engrenage. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

6 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

La cinématique du solide décrit les mouvements des solides d'un mécanisme sans se soucier des causes. L'outil central est le torseur cinématique, qui rassemble le vecteur rotation et la vitesse d'un point. Deux relations gouvernent tout : la relation de Varignon (champ des vitesses d'un solide) et la composition des mouvements (changement de référentiel). Cette fiche pose ces outils, les 3 résultats incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire (Varignon et composition) et les pièges de copie.

Au programme PSI SII (officiel) — Paramétrage du mouvement d'un solide, vecteur rotation. Torseur cinématique. Champ des vitesses d'un solide (relation de Varignon), équiprojectivité. Composition des mouvements : composition des vecteurs rotation et des vitesses. Mouvements particuliers : translation, rotation autour d'un axe fixe.

Prérequis

Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel
Dérivation d'un vecteur dans un référentiel
Repérage d'un point, bases et repères orthonormés directs
Notion de référentiel et de mouvement relatif

🎯 Accompagnement Majorant

Le torseur cinématique te semble abstrait ? C'est juste une façon compacte de ranger « comment ça tourne » et « comment ça avance ». Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manipuler Varignon et la composition des mouvements sur des mécanismes réels.

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1. Vecteur rotation et torseur cinématique

Définition 1.1 — Vecteur rotation d'un solide

Le vecteur rotation $Ω_{S / R}$ du solide $S$ par rapport au référentiel $R$ caractérise la vitesse angulaire et l'axe instantané de rotation. Pour tout vecteur $u$ lié à $S$ , $(\frac{d u}{d t})_{R} = Ω_{S / R} \land u$ .

Définition 1.2 — Torseur cinématique

Le torseur cinématique du mouvement de $S$ par rapport à $R$ , exprimé en un point $A$ , rassemble sa résultante (le vecteur rotation) et son moment (la vitesse du point $A$ appartenant à $S$ ) :

{V_{S / R}}_{A} = {Ω_{S / R} V_{A \in S / R}} .

Définition 1.3 — Point appartenant au solide

$V_{A \in S / R}$ est la vitesse du point géométrique $A$ considéré comme lié au solide $S$ à l'instant considéré (même s'il coïncide avec un point d'un autre solide). Cette distinction est cruciale au niveau des contacts.

Définition 1.4 — Mouvements particuliers

Translation : $Ω_{S / R} = 0$ ; tous les points ont la même vitesse.
Rotation autour d'un axe fixe $Δ$ : $Ω_{S / R} = \dot{θ} u_{Δ}$ et les points de l'axe sont fixes.

Définition 1.5 — Roulement sans glissement

Deux solides $S_{1}$ et $S_{2}$ en contact ponctuel en $I$ roulent sans glissement si la vitesse de glissement est nulle :

V_{glissement} = V_{I \in S_{1} / S_{2}} = 0 .

C'est une condition cinématique (sur les vitesses) qui fournit des équations supplémentaires reliant les paramètres du mécanisme — sans elle, un système hyperstatique reste insoluble en vitesse.

📝 Le torseur se transporte comme un champ de moments. Connaissant le torseur cinématique en un point

A

, on obtient sa réduction en

B

par

V_{B} = V_{A} + Ω \land A B

: la résultante

Ω

est invariante, seul le moment (la vitesse) change. C'est la structure de torseur qui autorise ce « transport ».

⚠ Piège de notation.

V_{A \in S / R}

(point lié à

S

) diffère de

V_{A \in S^{'} / R}

(même point géométrique lié à un autre solide

S^{'}

). Au point de contact entre deux solides, ces deux vitesses coïncident seulement s'il n'y a pas de glissement. Toujours préciser « point appartenant à quel solide ».

2. Champ des vitesses : relation de Varignon

Théorème 2.1 — Relation de Varignon (champ des vitesses d'un solide) ★ À savoir démontrer

Pour deux points $A$ et $B$ d'un même solide $S$ en mouvement par rapport à $R$ :

V_{B \in S / R} = V_{A \in S / R} + Ω_{S / R} \land A B .

Le champ des vitesses est donc le champ de moments d'un torseur : c'est ce qui justifie l'écriture torsorielle.

Démonstration (dérivation du vecteur position)

$A$ et $B$ étant liés à $S$ , le vecteur $A B$ est constant dans $S$ . On dérive $O B = O A + A B$ dans $R$ :

V_{B \in S / R} = V_{A \in S / R} + (\frac{d A B}{d t})_{R} .

Comme $A B$ est lié au solide, sa dérivée dans $R$ est $Ω_{S / R} \land A B$ (définition du vecteur rotation). D'où :

V_{B \in S / R} = V_{A \in S / R} + Ω_{S / R} \land A B .

Théorème 2.2 — Équiprojectivité du champ des vitesses

Le champ des vitesses d'un solide est équiprojectif : les projections des vitesses de deux points sur la droite qui les joint sont égales,

V_{A \in S / R} \cdot A B = V_{B \in S / R} \cdot A B .

C'est une conséquence directe de Varignon (le produit mixte $(Ω \land A B) \cdot A B = 0$ ) et un outil de résolution graphique.

Définition 2.3 — Centre instantané de rotation (mouvement plan)

Dans un mouvement plan, le centre instantané de rotation (CIR) est le point $I$ du plan dont la vitesse est nulle à l'instant considéré : $V_{I \in S / R} = 0$ . Le champ des vitesses est alors une rotation pure autour de $I$ , et $I$ se situe à l'intersection des perpendiculaires aux vitesses connues.

💡 Exemple — Roue en rotation autour d'un axe fixe. Pour une roue tournant à

\dot{θ}

autour d'un axe fixe passant par son centre

O

(

V_{O} = 0

), la vitesse d'un point

M

du bord vaut

V_{M} = Ω \land O M

, de norme

R \dot{θ}

, tangente au cercle : le résultat cinématique de base.

💡 Exemple — CIR d'une échelle qui glisse. Une échelle glisse, son pied

A

sur le sol (vitesse horizontale) et son sommet

B

contre un mur (vitesse verticale). Le CIR est à l'intersection de la verticale passant par

A

et de l'horizontale passant par

B

: on en déduit graphiquement la vitesse de tout point de l'échelle par une rotation autour de ce CIR. C'est l'application type de l'équiprojectivité et du centre instantané de rotation.

💡 Exemple — Roue qui roule sans glisser. Pour une roue de rayon

R

roulant sans glisser sur le sol, le point de contact

I

a une vitesse nulle :

I

est le CIR. La vitesse du centre vaut alors

V_{O} = R \dot{θ}

et le sommet de la roue va deux fois plus vite (

2 R \dot{θ}

) — un résultat contre-intuitif mais direct via le CIR.

🧑‍🏫 Varignon, le réflexe qui débloque les mécanismes

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3. Composition des mouvements

Théorème 3.1 — Composition des vitesses ★ À savoir démontrer

Pour un point $M$ et deux référentiels $R$ (absolu) et $R_{1}$ (relatif) :

V_{M / R} = V_{M / R_{1}} + V_{M \in R_{1} / R},

soit vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d'entraînement. Le terme d'entraînement est la vitesse du point de $R_{1}$ coïncidant avec $M$ .

Démonstration (dérivation avec changement de référentiel)

Soit $O_{1}$ l'origine de $R_{1}$ . On écrit $O M = O O_{1} + O_{1} M$ et on dérive dans $R$ . La dérivée de $O_{1} M$ dans $R$ se relie à sa dérivée dans $R_{1}$ par la formule de changement de base :

(\frac{d O _{1} M}{d t})_{R} = (\frac{d O _{1} M}{d t})_{R_{1}} + Ω_{R_{1} / R} \land O_{1} M .

En regroupant, $V_{M / R} = relative V_{M / R_{1}} + entra \overset{ı}{ˆ} nement = V_{M \in R_{1} / R} V_{O_{1} / R} + Ω_{R_{1} / R} \land O_{1} M$ . Le terme d'entraînement est bien la vitesse, dans $R$ , du point de $R_{1}$ coïncidant avec $M$ .

Proposition 3.2 — Composition des vecteurs rotation

Les vecteurs rotation s'additionnent (relation de Chasles cinématique) :

Ω_{S / R} = Ω_{S / R_{1}} + Ω_{R_{1} / R}, Ω_{S / R} = - Ω_{R / S} .

C'est l'outil pour décomposer un mouvement complexe en rotations élémentaires (paramétrage par angles successifs).

📝 Application — rapport de réduction. Dans un engrenage, le roulement sans glissement au contact des dentures impose

R_{1} \dot{θ}_{1} = R_{2} \dot{θ}_{2}

, d'où le rapport de réduction

\frac{θ ˙ _{2}}{θ ˙ _{1}} = - \frac{R _{1}}{R _{2}} = - \frac{Z _{1}}{Z _{2}}

(nombres de dents). La cinématique du contact fixe donc directement le rapport de transmission — un résultat omniprésent en SII.

Proposition 3.3 — Composition des torseurs cinématiques

La composition des mouvements s'écrit directement sur les torseurs, qui s'additionnent au même point de réduction :

{V_{S / R}} = {V_{S / R_{1}}} + {V_{R_{1} / R}} .

C'est l'écriture la plus efficace pour une chaîne de solides : on somme les torseurs de proche en proche le long de la chaîne cinématique, ce qui donne d'un coup vecteur rotation ET vitesse.

📝 Lien avec les liaisons. Le torseur cinématique d'une liaison ne comporte que les composantes autorisées par ses degrés de liberté (une pivot d'axe

z

: seule

Ω_{z}

est non nulle). Sommer les torseurs le long d'une chaîne fermée donne les équations de fermeture cinématique — le cœur de l'analyse des mécanismes.

📐 Méthode-type — Calculer une vitesse dans un mécanisme.

Paramétrer : identifier les solides, les référentiels, les angles de rotation.
Vecteurs rotation : sommer par composition $Ω_{S / R} = \sum Ω_{i / i + 1}$ .
Choisir un point connu (vitesse nulle : point fixe, centre de liaison pivot).
Varignon : propager la vitesse de proche en proche jusqu'au point cherché.
Composition : si plusieurs mouvements se superposent, additionner relative + entraînement.

⚠ Piège — l'entraînement se calcule sur le point coïncidant. La vitesse d'entraînement

V_{M \in R_{1} / R}

est celle du point de

R_{1}

qui coïncide avec

M

à l'instant

t

, pas celle de

M

lui-même. Confondre les deux est l'erreur classique de la composition des mouvements.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves de SII. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Se tromper de sens dans le produit vectoriel de Varignon. C'est

V_{B} = V_{A} + Ω \land A B

, avec

A B

(de

A

vers

B

) et dans cet ordre. Inverser

B A

ou l'ordre du produit change le signe.

⚠ Erreur 2 — Oublier de préciser le solide d'appartenance du point.

V_{A \in S / R}

doit toujours indiquer le solide. Au contact,

V_{I \in S_{1} / R} \neq = V_{I \in S_{2} / R}

en cas de glissement.

⚠ Erreur 3 — Additionner des vecteurs rotation dans le désordre. La composition

Ω_{S / R} = Ω_{S / R_{1}} + Ω_{R_{1} / R}

suit une relation de Chasles : les indices doivent s'enchaîner. Sauter un référentiel intermédiaire fausse le résultat.

⚠ Erreur 4 — Traiter une rotation instantanée comme un axe fixe. L'axe instantané de rotation peut se déplacer ;

Ω

peut varier en direction. Ne suppose un axe fixe que si l'énoncé le garantit (liaison pivot d'axe fixe).

⚠ Erreur 5 — Confondre équiprojectivité et égalité des vitesses. L'équiprojectivité dit que les projections sur

A B

sont égales, pas les vitesses elles-mêmes. Les composantes perpendiculaires diffèrent (c'est la rotation).

5. Pour aller plus loin

La cinématique du solide est le langage de toute la mécanique des systèmes :

Liaisons et schéma cinématique — le torseur cinématique d'une liaison encode ses degrés de liberté.
Statique des solides — le torseur d'action mécanique est le dual du torseur cinématique (puissance).
Cinétique et dynamique — la vitesse alimente quantité de mouvement, moment cinétique et énergie.
Roulement sans glissement — condition cinématique $V_{I \in S_{1} / S_{2}} = 0$ au contact.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir le vecteur rotation et la relation $(\frac{d u}{d t})_{R} = Ω \land u$ ?
Sais-tu écrire le torseur cinématique (résultante = rotation, moment = vitesse en un point) ?
Sais-tu distinguer $V_{A \in S / R}$ selon le solide d'appartenance ?
Sais-tu démontrer la relation de Varignon par dérivation de $A B$ ?
Sais-tu que le champ des vitesses est équiprojectif et t'en servir graphiquement ?
Sais-tu démontrer la composition des vitesses (absolue = relative + entraînement) ?
Sais-tu que l'entraînement se calcule sur le point coïncidant de $R_{1}$ ?
Sais-tu composer les vecteurs rotation par Chasles $Ω_{S / R} = Ω_{S / R_{1}} + Ω_{R_{1} / R}$ ?
Sais-tu traiter translation et rotation d'axe fixe comme cas particuliers ?
Sais-tu propager une vitesse dans un mécanisme (méthode en 5 étapes) ?
Sais-tu écrire la condition de roulement sans glissement au contact ?
Sais-tu en déduire un rapport de réduction d'engrenage $Z_{1} / Z_{2}$ ?
Sais-tu trouver le CIR d'un mouvement plan (intersection des perpendiculaires aux vitesses) ?

Démonstrations à savoir refaire

Relation de Varignon — dérivation de $A B$ lié au solide → $V_{B} = V_{A} + Ω \land A B$
Composition des vitesses — changement de référentiel → relative + entraînement

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