📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚙️ Sciences de l'Ingénieur

Correction des systèmes asservis

Le réglage des asservissements en PSI : rôle du correcteur $C(p)$, action proportionnelle, intégrale (annulation de l'erreur statique), dérivée, correcteurs PI, PID et à avance de phase ($\varphi_{\max} = \arcsin\frac{a-1}{a+1}$). Effets sur précision, stabilité et rapidité, avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Un système asservi doit être à la fois précis, rapide et stable — trois exigences souvent contradictoires. Le correcteur $C (p)$ , placé dans la chaîne directe, est l'outil qui permet de régler ce compromis. Ce chapitre de 2e année PSI passe en revue les briques élémentaires : l'action proportionnelle (P), l'action intégrale (I, qui annule l'erreur statique), l'action dérivée (D, qui anticipe), leurs combinaisons PI et PID, et le correcteur à avance de phase (qui améliore la stabilité sans dégrader la précision). Cette fiche établit les effets de chaque correcteur, les 2 démonstrations à savoir refaire (annulation de l'erreur statique, avance de phase maximale) et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PSI SII (officiel) — Correction des systèmes linéaires asservis : correcteur proportionnel, intégral, dérivé ; correcteurs PI, PD, PID ; correcteur à avance de phase ; effets sur la précision (erreur statique, erreur de traînée), la stabilité (marges de gain et de phase) et la rapidité ; réglage d'un correcteur dans le plan de Bode.

Prérequis

SLCI, fonction de transfert, transformée de Laplace, schémas-blocs (FTBO, FTBF)
Réponse fréquentielle, diagramme de Bode, marges de gain et de phase
Précision : erreur statique, théorème de la valeur finale

🎯 Accompagnement Majorant

La correction est LE cœur de l'automatique de PSI aux concours. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font régler un PID et une avance de phase dans Bode, en pesant à chaque fois précision, stabilité et rapidité — le raisonnement attendu en épreuve de SII.

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1. Rôle d'un correcteur et action proportionnelle

Définition 1.1 — Correcteur

Un correcteur est un système de fonction de transfert $C (p)$ inséré dans la chaîne directe, en amont du système à commander $G (p)$ , afin de modifier la fonction de transfert en boucle ouverte $FTBO (p) = C (p) G (p)$ . Son but : rendre la boucle fermée plus précise, plus rapide et suffisamment stable, sans changer le système physique lui-même.

Définition 1.2 — Correcteur proportionnel (P)

Le correcteur proportionnel multiplie l'écart par un gain constant :

C (p) = K_{p} .

Augmenter $K_{p}$ DIMINUE l'erreur statique et ACCÉLÈRE le système, mais RÉDUIT les marges de stabilité (le gain remonte la courbe de Bode, rapprochant le point critique). C'est le premier levier, mais il ne suffit jamais seul.

Proposition 1.1 — Le compromis fondamental

Les trois performances évoluent en sens contraire sous l'effet du gain :

$K_{p} ↗$ : précision $↗$ , rapidité $↗$ , mais stabilité $↘$ ;
l'enjeu de la correction est d'améliorer une performance SANS trop dégrader les autres, en agissant sélectivement selon la fréquence (basses fréquences pour la précision, autour de la pulsation de coupure pour la stabilité).

⚠ Piège — Un gain trop fort déstabilise. On ne règle pas la précision en montant

K_{p}

sans limite : au-delà d'un seuil, les marges de phase et de gain deviennent insuffisantes et le système oscille, voire diverge. La précision « au forceps » par le gain se paie toujours en stabilité.

📝 Remarque — Correcteur en série sur l'écart. Dans le schéma canonique, le correcteur

C (p)

est placé en série dans la chaîne directe, juste après le comparateur : il agit sur l'ÉCART

ε = consigne - mesure

, pas sur la mesure seule. C'est ce placement qui lui permet d'influer à la fois sur la précision (via le gain de boucle) et sur la stabilité (via la phase de la FTBO).

2. Actions intégrale et dérivée

Définition 2.1 — Correcteur proportionnel-intégral (PI)

Le correcteur PI ajoute une action intégrale à l'action proportionnelle :

C (p) = K_{p} (1 + \frac{1}{T _{i} p}) = K_{p} \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p} .

L'intégrateur ( $1/ p$ ) apporte un gain INFINI en basse fréquence : il annule l'erreur statique. Son défaut : il ajoute $- 90°$ de phase en basse fréquence, ce qui tend à déstabiliser — d'où le réglage de $T_{i}$ pour cantonner cet effet aux basses fréquences.

Théorème 2.1 — L'action intégrale annule l'erreur statique ★ À savoir démontrer

Pour une entrée en échelon, un correcteur comportant une action intégrale (un pôle en $p = 0$ dans la FTBO) rend l'erreur statique NULLE :

ε_{s} = t \to \infty lim ε (t) = 0.

Démonstration (théorème de la valeur finale)

Pour un retour unitaire, l'écart s'écrit $ε (p) = \frac{E ( p )}{1 + FTBO ( p )}$ . Pour un échelon unité, $E (p) = 1/ p$ . Le théorème de la valeur finale donne $ε_{s} = p \to 0 lim p ε (p) = p \to 0 lim \frac{p}{1 + FTBO ( p )} \cdot \frac{1}{p} = p \to 0 lim \frac{1}{1 + FTBO ( p )} .$ Si la FTBO contient une action intégrale, $FTBO (p) = \frac{K}{p} H (p)$ avec $H (0)$ fini non nul, alors $lim_{p \to 0} FTBO (p) = + \infty$ , et donc $ε_{s} = \frac{1}{1 + \infty} = 0.$ CQFD. L'intégrateur « pousse » le gain de boucle vers l'infini en basse fréquence : toute erreur résiduelle est intégrée jusqu'à annulation. Sans intégrateur (système de classe 0), $ε_{s} = 1/ (1 + K)$ est non nul.

Définition 2.2 — Action dérivée et correcteur PID

L'action dérivée $K_{d} p$ réagit à la VITESSE de variation de l'écart : elle anticipe, apporte de la phase ( $+ 90°$ ) et améliore stabilité et rapidité. Le correcteur PID combine les trois actions :

C (p) = K_{p} + \frac{K _{i}}{p} + K_{d} p .

L'intégrale soigne la précision (basses fréquences), le proportionnel la rapidité, la dérivée la stabilité (hautes fréquences). En pratique la dérivée est filtrée ( $K_{d} p / (1 + τ p)$ ) pour ne pas amplifier le bruit.

💡 Exemple — PI sur un système du premier ordre. Un système

G (p) = \frac{K}{1 + τ p}

asservi avec un simple gain garde une erreur statique

1/ (1 + K K_{p})

. En ajoutant une action intégrale (PI), on choisit souvent

T_{i} = τ

pour COMPENSER le pôle du système : la FTBO devient

\frac{K _{p} K}{T _{i} p}

, un intégrateur pur — erreur statique nulle, comportement de boucle fermée du premier ordre réglé par

K_{p}

🧑‍🏫 Les correcteurs au point

P pour la rapidité, I pour la précision, D pour la stabilité : le réflexe à ancrer. Un mentor Majorant te fait associer chaque action à son effet dans Bode et sur les performances — la grille de lecture qui fait gagner des points en épreuve de SII.

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3. Le correcteur à avance de phase

Définition 3.1 — Correcteur à avance de phase

Le correcteur à avance de phase apporte localement de la phase pour améliorer la marge de phase (donc la stabilité) sans dégrader la précision en basse fréquence :

C (p) = \frac{1 + a τ p}{1 + τ p}, a > 1.

Il agit comme un dérivateur borné : gain unité en basse fréquence (précision préservée), remontée de phase autour de $ω = 1/ (τ a)$ , gain $a$ en haute fréquence.

Théorème 3.1 — Avance de phase maximale ★ À savoir démontrer

La phase apportée est maximale à $ω_{m} = \frac{1}{τ a}$ et vaut :

φ_{m a x} = arcsin (\frac{a - 1}{a + 1}) .

Démonstration (maximum de l'argument)

La phase du correcteur est $φ (ω) = arctan (a τ ω) - arctan (τ ω)$ . On la dérive et on annule : posons $x = τ ω$ . Alors $φ (x) = arctan (a x) - arctan (x), φ^{'} (x) = \frac{a}{1 + a ^{2} x ^{2}} - \frac{1}{1 + x ^{2}} .$ $φ^{'} (x) = 0$ donne $a (1 + x^{2}) = 1 + a^{2} x^{2}$ , soit $a - 1 = x^{2} a (a - 1)$ , d'où $x^{2} = 1/ a$ , c'est-à-dire $ω_{m} = 1/ (τ a)$ . En ce point, $a τ ω_{m} = a$ et $τ ω_{m} = 1/ a$ , donc $tan φ_{m a x} = \frac{a - 1/ a}{1 + a \cdot 1/ a} = \frac{a - 1}{2 a} .$ En passant au sinus, $sin φ_{m a x} = \frac{a - 1}{a + 1}$ , soit $φ_{m a x} = arcsin (\frac{a - 1}{a + 1})$ . CQFD. Plus $a$ est grand, plus l'avance de phase est importante (mais plus le gain haute fréquence, donc le bruit, augmente).

Théorème 3.2 — Effets comparés des correcteurs

On retient la grille suivante, à énoncer pour justifier un choix de correcteur :

Intégral (PI) : précision $↗$ (erreur statique nulle), stabilité $↘$ ( $- 90°$ en BF).
Avance de phase (PD) : stabilité $↗$ (marge de phase), précision inchangée en BF.
PID : cumule les avantages (précision par I, stabilité par D), au prix d'un réglage à trois paramètres.

📝 Remarque — Le correcteur à retard de phase (dual). Symétrique de l'avance de phase, le correcteur à retard de phase

C (p) = \frac{1 + τ p}{1 + a τ p}

(

a > 1

) apporte du GAIN en basse fréquence sans toucher la phase autour de la coupure : il améliore la PRÉCISION en laissant la stabilité quasi inchangée. Avance de phase (stabilité) et retard de phase (précision) sont les deux briques fréquentielles duales ; on les combine parfois en un correcteur à avance-retard de phase.

📐 Méthode-type — Régler un correcteur à avance de phase.

Mesurer la marge de phase actuelle et la marge visée : en déduire l'avance $φ_{m a x}$ à apporter.
Calculer $a = \frac{1 + sin φ _{m a x}}{1 - sin φ _{m a x}}$ .
Placer $ω_{m} = 1/ (τ a)$ à la pulsation de coupure souhaitée (souvent la coupure à $0 dB$ ) pour en déduire $τ$ .
Vérifier dans Bode que les marges finales sont atteintes et que la précision n'a pas été dégradée.

💡 Exemple — Apport d'un correcteur pour a = 10. Pour

a = 10

, l'avance de phase maximale vaut

φ_{m a x} = arcsin (\frac{9}{11}) \approx 55°

, au prix d'un gain

+ 20 dB

en haute fréquence. Pour

a = 4

φ_{m a x} \approx 37°

. On voit qu'un seul étage d'avance de phase apporte difficilement plus de

60°

: au-delà, on met deux correcteurs en cascade plutôt que d'augmenter

a

(ce qui amplifierait trop le bruit).

📝 Remarque — Lire un correcteur dans Bode. Chaque correcteur a une signature visuelle : l'action intégrale (PI) RELÈVE le gain en basse fréquence (pente

- 20 dB/d \overset{e}{ˊ} cade

supplémentaire) et ajoute

- 90°

de phase ; l'avance de phase crée une « bosse » de phase positive autour de

ω_{m}

. Savoir reconnaître ces signatures dans un diagramme de Bode est une compétence directement évaluée en épreuve.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La correction est un exercice de compromis où les correcteurs traquent les raisonnements approximatifs. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre erreur statique et instabilité. Une erreur statique non nulle est un défaut de PRÉCISION (le système atteint une valeur finale fausse), pas d'instabilité. L'intégrateur corrige la précision ; il ne « stabilise » pas — au contraire il tend à déstabiliser.

⚠ Erreur 2 — Croire que l'intégrateur améliore la stabilité. L'action intégrale apporte

- 90°

de phase en basse fréquence : elle DÉGRADE la marge de phase. Elle soigne la précision, pas la stabilité. Pour la stabilité, c'est l'action dérivée / avance de phase qu'il faut.

⚠ Erreur 3 — Oublier de filtrer l'action dérivée. Un dérivateur pur

K_{d} p

a un gain qui croît indéfiniment : il amplifie le bruit haute fréquence. En pratique on utilise une dérivée filtrée (avance de phase). Le préciser en copie.

⚠ Erreur 4 — Se tromper sur le placement de ω_m. Le maximum d'avance de phase est à

ω_{m} = 1/ (τ a)

, pas à

1/ τ

. C'est cette pulsation qu'il faut aligner sur la coupure à

0 dB

pour maximiser le gain de marge de phase.

⚠ Erreur 5 — Juger la précision sans regarder la classe du système. L'erreur statique dépend du nombre d'intégrateurs (classe) de la FTBO ET du type d'entrée (échelon, rampe). Un système de classe 1 a une erreur statique nulle en échelon mais une erreur de traînée non nulle en rampe. Croiser classe et entrée avant de conclure.

5. Pour aller plus loin

La correction ouvre sur la commande avancée des systèmes :

Systèmes échantillonnés — correcteurs numériques implantés par équation de récurrence.
Marges de stabilité et robustesse — dimensionner un correcteur qui reste stable malgré les variations du système.
Asservissements de position et de vitesse — MCC commandée, boucles imbriquées.
Identification — obtenir le modèle $G (p)$ à corriger à partir d'essais.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu ce qu'est un correcteur C(p) et son rôle dans la FTBO ?
Connais-tu l'effet du gain proportionnel (précision ↑, rapidité ↑, stabilité ↓) ?
Sais-tu écrire un correcteur PI et pourquoi il annule l'erreur statique ?
Sais-tu démontrer l'annulation de l'erreur statique par l'action intégrale (valeur finale) ?
Connais-tu l'effet de l'action dérivée (anticipation, +90°, stabilité) ?
Sais-tu écrire un correcteur PID et le rôle de chaque action ?
Connais-tu le correcteur à avance de phase C(p) = (1 + aτp)/(1 + τp) ?
Sais-tu démontrer φ_max = arcsin((a−1)/(a+1)) à ω_m = 1/(τ√a) ?
Sais-tu régler une avance de phase (calcul de a, placement de ω_m) ?
Distingues-tu erreur statique (précision) et instabilité ?
Sais-tu que l'intégrale dégrade la stabilité et la dérivée l'améliore ?

Démonstrations à savoir refaire

Annulation de l'erreur statique — théorème de la valeur finale, intégrateur dans la FTBO
Avance de phase maximale — maximum de arctan(aτω) − arctan(τω), ω_m = 1/(τ√a)

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