🧮 12 chapitres publiés
Fiches Mathématiques PC
Un parcours de révision par chapitre : commence par les fondamentaux, puis consolide les méthodes et démonstrations avant ton prochain DS ou ta prochaine colle.
Dernière mise à jour du parcours : 2026-07-12
Chapitres à réviser
Étape 1
Réduction des endomorphismes
L'outil algébrique central de la PC : valeurs propres et vecteurs propres, sous-espaces propres et polynôme caractéristique χ_A(λ) = det(A − λI), endomorphismes diagonalisables (A = PDP⁻¹), caractérisation par la somme directe des sous-espaces propres (Σ dim E_λ = n), conditions suffisantes (n valeurs propres distinctes), matrices semblables, et application au calcul de puissances Aⁿ = PDⁿP⁻¹. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 2
Espaces euclidiens
Le cadre géométrique de la PC : produit scalaire et norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, orthogonalité, bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale sur un sous-espace (p_F(x) = Σ ⟨x,eₖ⟩eₖ), distance à un sous-espace (le projeté minimise la distance), endomorphismes symétriques et théorème spectral (diagonalisation en base orthonormée). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 3
Séries numériques
L'art de sommer une infinité de termes : convergence, somme et reste d'une série, critères pour les séries à termes positifs (comparaison, équivalents, règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale), séries de référence (géométrique, Riemann, exponentielle), convergence absolue et semi-convergence, familles sommables (ordre indifférent, sommation par paquets, théorème de Fubini) et produit de Cauchy. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 4
Suites et séries de fonctions
Les modes de convergence qui décident de tout : convergence simple (point par point) et uniforme (norme infinie ||fₙ−f||∞ → 0), théorème de continuité de la limite (argument ε/3), interversion limite-intégrale sur un segment et dérivation, séries de fonctions et convergence normale (Σ||uₙ||∞ < ∞ ⟹ uniforme ⟹ simple), théorème de la double limite. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 5
Séries entières
L'outil roi de l'analyse en PC : rayon et disque de convergence (lemme d'Abel, règle de d'Alembert), convergence normale sur tout compact, somme C∞ dérivable et intégrable terme à terme, unicité des coefficients et série de Taylor, développements en série entière usuels et méthode de l'équation différentielle. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 6
Intégrales généralisées
L'intégration sur un intervalle quelconque : intégrale généralisée comme limite, nature (convergence/divergence), intégrales de Riemann de référence (∫₁^∞ dt/tᵅ converge ssi α > 1, ∫₀¹ dt/tᵅ ssi α < 1), critères pour fonctions positives (comparaison, négligeabilité, équivalents), fonction intégrable et convergence absolue, semi-convergence (Dirichlet). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 7
Convergence dominée
Les théorèmes de convergence qui couronnent l'analyse de PC : théorème de convergence dominée (convergence simple + domination par une fonction intégrable indépendante de n) pour échanger limite et intégrale, théorème d'intégration terme à terme (hypothèse Σ∫|uₙ| < ∞) pour intervertir somme et intégrale, avec deux applications canoniques (lim ∫₀ⁿ (1−t/n)ⁿ dt = 1 et ∫₀¹ −ln(1−t)/t dt = π²/6). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 8
Intégrales à paramètre
Les fonctions définies par une intégrale f(x) = ∫ g(x,t) dt : théorème de continuité sous le signe intégrale (domination), formule de Leibniz pour dériver sous l'intégrale (domination de ∂ₓg), technique de calcul d'intégrales par dérivation (F(x) = ∫₀¹ (tˣ−1)/ln t dt = ln(x+1)), et la fonction Gamma d'Euler avec son équation fonctionnelle Γ(x+1) = xΓ(x) et Γ(n+1) = n!. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 9
Équations différentielles linéaires
Le pont entre algèbre linéaire et analyse : systèmes différentiels linéaires X' = A(t)X + B(t), théorème de Cauchy linéaire (existence-unicité globale sur I tout entier), structure de l'espace des solutions (homogène = espace vectoriel de dimension n, général = espace affine), système fondamental et wronskien, résolution des systèmes à coefficients constants par réduction (modes propres e^(λt)V), équation scalaire d'ordre n. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 10
Calcul différentiel
La dérivation des fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles et gradient ∇f, fonction de classe C¹ et développement limité à l'ordre 1 (approximation affine locale), règle de la chaîne pour dériver une composée le long d'un arc (∇f·γ'), changements de variables (polaires), recherche d'extrema (point critique ∇f = 0, condition nécessaire du premier ordre, point-selle), théorème de Schwarz. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 11
Variables aléatoires discrètes
Les variables aléatoires à valeurs dénombrables : définition, loi de probabilité et système complet, indépendance de variables, et les lois usuelles incontournables — binomiale (somme de Bernoulli indépendantes), géométrique (rang du premier succès, propriété d'absence de mémoire), Poisson (événements rares, limite de la binomiale). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →
Étape 12
Espérance, variance, concentration
Les deux nombres qui résument une variable aléatoire et les inégalités qui la contrôlent : espérance (linéarité, transfert, produit de variables indépendantes), variance et formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)², covariance et variance d'une somme, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, et loi faible des grands nombres (la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.
Réviser ce chapitre →