📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚙️ Sciences de l'Ingénieur

Systèmes asservis

L'aboutissement de l'automatique PSI : structure d'un système asservi (consigne, écart, chaîne directe, retour), algèbre des schémas-blocs, FTBO et FTBF avec la formule de Black FTBF = A/(1+AB) (démontrée), stabilité (pôles, marges de gain et de phase), précision et erreur statique par le théorème de la valeur finale (démontrée, rôle de la classe et des intégrateurs), rapidité, correcteurs proportionnel et intégral. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Un système asservi compare en permanence sa sortie à la consigne et corrige l'écart : c'est le principe de la boucle fermée. Toute l'automatique de PSI consiste à manipuler des schémas-blocs pour obtenir la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF), puis à en évaluer les trois performances : stabilité, précision et rapidité. Cette fiche donne l'algèbre des schémas-blocs, les critères de performance, les 3 résultats incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire (formule de la FTBF et erreur statique) et les pièges de copie.

Au programme PSI SII (officiel) — Structure d'un système asservi : consigne, écart, chaîne directe, chaîne de retour. Schéma-blocs et algèbre de réduction. Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) et en boucle fermée (FTBF). Performances : stabilité, précision (erreur statique, classe et gain), rapidité. Notion de correcteur proportionnel et à action intégrale.

Prérequis

Fonction de transfert $H (p)$ , forme canonique, classe et gain
Théorème de la valeur finale
Réponses temporelles des SLCI (premier et second ordre)
Réponse fréquentielle et diagrammes de Bode

🎯 Accompagnement Majorant

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1. Structure d'un système asservi et schéma-blocs

Définition 1.1 — Système asservi (boucle fermée)

Un système asservi compare la sortie $S$ (mesurée par un capteur) à la consigne $E$ via un comparateur, qui élabore l'écart $ε = E - R$ (où $R$ est le retour). Cet écart pilote la chaîne directe qui agit sur le système : la boucle corrige en permanence.

Définition 1.2 — Chaîne directe et chaîne de retour

Chaîne directe $A (p)$ : de l'écart vers la sortie (correcteur + actionneur + système).
Chaîne de retour $B (p)$ : de la sortie vers le comparateur (capteur).

Définition 1.3 — FTBO et FTBF

La fonction de transfert en boucle ouverte est le produit le long de la boucle, $FTBO (p) = A (p) B (p)$ . La fonction de transfert en boucle fermée relie sortie et consigne, $FTBF (p) = \frac{S ( p )}{E ( p )}$ .

📝 Pourquoi boucler ? Sans retour (boucle ouverte), le système applique sa commande « à l'aveugle » : toute perturbation ou dérive n'est pas corrigée. La boucle fermée mesure en permanence la sortie et corrige l'écart — d'où sa supériorité pour la précision et la robustesse.

Proposition 1.4 — Règles d'algèbre des schémas-blocs

Série : deux blocs en cascade se multiplient, $H = H_{1} H_{2}$ .
Parallèle : deux blocs en parallèle s'additionnent, $H = H_{1} + H_{2}$ .
Boucle : un retour se réduit par la formule de Black (théorème 2.1).

📝 Asservissement vs régulation. On parle d'asservissement quand la sortie doit suivre une consigne variable (poursuite de trajectoire), et de régulation quand elle doit rester constante malgré les perturbations (maintien d'une température). La structure en boucle fermée est la même ; c'est l'objectif qui change.

⚠ Piège — écart n'est pas erreur. L'écart

ε = E - R

est la grandeur physique en entrée de la chaîne directe (sortie du comparateur). L'erreur est la différence consigne − sortie ramenée à la même échelle. En retour unitaire (

B = 1

), les deux coïncident ; sinon, il faut distinguer.

2. La fonction de transfert en boucle fermée

Théorème 2.1 — Formule de la boucle fermée (Black) ★ À savoir démontrer

Pour une boucle à retour $B (p)$ et chaîne directe $A (p)$ :

FTBF (p) = \frac{S ( p )}{E ( p )} = \frac{A ( p )}{1 + A ( p ) B ( p )} .

En retour unitaire ( $B = 1$ ) : $FTBF = \frac{A}{1 + A}$ .

Démonstration (algèbre du schéma-blocs)

Le comparateur donne l'écart $ε = E - R$ , avec $R = B S$ (retour). La chaîne directe donne $S = A ε$ . En substituant :

S = A (E - B S) = A E - A B S .

On regroupe les termes en $S$ : $S (1 + A B) = A E$ , d'où :

\frac{S}{E} = \frac{A}{1 + A B} = \frac{A}{1 + FTBO} .

La FTBF est donc la chaîne directe divisée par « 1 + boucle ouverte ».

📝 Ce que le bouclage apporte. Au-delà de la simple régulation, la boucle fermée réduit la sensibilité du système aux variations de la chaîne directe et aux perturbations : si

A

est grand,

FTBF = A / (1 + A B) \approx 1/ B

ne dépend presque plus de

A

, mais seulement du capteur

B

. C'est pourquoi on soigne le capteur : c'est lui qui fixe la précision en boucle fermée à fort gain.

Définition 2.2 — Stabilité d'un système bouclé

Un système est stable si sa réponse à une entrée bornée reste bornée. Un SLCI est stable si et seulement si tous les pôles de sa FTBF ont une partie réelle strictement négative. Un système en boucle ouverte peut être stable et devenir instable en boucle fermée (ou l'inverse) : le bouclage change les pôles.

Théorème 2.3 — Marges de stabilité

La stabilité se juge sur la FTBO via les marges : la marge de phase (écart à $- 18 0^{\circ}$ au gain unité) et la marge de gain (écart à 0 dB à la phase $- 18 0^{\circ}$ ). Des marges positives garantissent la stabilité ; on vise typiquement une marge de phase de $4 5^{\circ}$ pour un bon compromis.

Intuition : à la pulsation où $∣ FTBO ∣ = 1$ , si la phase atteint $- 18 0^{\circ}$ , le retour se met en phase avec l'erreur ( $1 + FTBO = 0$ ) et le système entretient ses propres oscillations — c'est le seuil d'instabilité que les marges quantifient.

💡 Exemple — Effet du gain sur les marges. Augmenter le gain de boucle translate le Bode de gain vers le haut : la pulsation de gain unité se décale vers les hautes fréquences, où la phase est plus négative — donc la marge de phase diminue. Trop de gain finit par annuler la marge : le système oscille. C'est la traduction fréquentielle du compromis stabilité / rapidité.

🧑‍🏫 FTBF = A/(1+AB), le réflexe qui ne trompe pas

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3. Précision, rapidité et correcteurs

Théorème 3.1 — Erreur statique et précision ★ À savoir démontrer

Pour un asservissement à retour unitaire soumis à un échelon, l'erreur statique (écart en régime permanent) se calcule par le théorème de la valeur finale :

ε_{\infty} = p \to 0 lim p ε (p) = p \to 0 lim \frac{p E ( p )}{1 + FTBO ( p )} .

Démonstration (écart en boucle fermée + valeur finale)

En retour unitaire, l'écart vaut $ε = E - S$ , avec $S = FTBO \cdot ε$ , donc $ε = \frac{E}{1 + FTBO}$ . Pour une consigne échelon $E (p) = E_{0} / p$ , le théorème de la valeur finale donne :

ε_{\infty} = p \to 0 lim p \frac{E _{0} / p}{1 + FTBO ( p )} = \frac{E _{0}}{1 + FTBO ( 0 )} .

Si la FTBO est de classe 0 (gain fini $K_{B O} = FTBO (0)$ ), l'erreur est $\frac{E _{0}}{1 + K _{B O}}$ : non nulle, mais réduite par un grand gain. Si la FTBO contient un intégrateur (classe $\geq 1$ ), $FTBO (0) \to \infty$ et l'erreur statique est nulle.

Définition 3.2 — Rapidité

La rapidité se mesure par le temps de réponse à 5 % de la réponse indicielle en boucle fermée. Augmenter le gain accélère en général le système mais réduit les marges de stabilité (et augmente le dépassement) : c'est un compromis permanent.

Proposition 3.2b — Erreur selon l'entrée et la classe

L'erreur permanente d'un asservissement à retour unitaire dépend de la classe $α$ de la FTBO et du type d'entrée :

Échelon : erreur nulle si $α \geq 1$ , sinon $E_{0} / (1 + K_{B O})$ .
Rampe : erreur de traînage finie si $α = 1$ , nulle si $α \geq 2$ , infinie si $α = 0$ .

Chaque intégrateur ajouté « annule » une erreur d'un ordre supérieur d'entrée — mais dégrade la stabilité.

💡 Exemple — Asservissement de vitesse vs position. Un asservissement de vitesse (classe 0 côté moteur) garde une petite erreur statique à un échelon de vitesse ; un asservissement de position (classe 1, la position intègre la vitesse) a une erreur statique nulle à un échelon de position. Même actionneur, mais la classe change selon la grandeur asservie — d'où des performances de précision différentes.

Proposition 3.3 — Correcteurs proportionnel et intégral

Proportionnel (P, gain $K_{p}$ ) : augmente la précision (réduit l'erreur statique) et la rapidité, mais peut déstabiliser.
Intégral (I) : ajoute un intégrateur $\Rightarrow$ annule l'erreur statique (classe +1), mais ralentit et peut déstabiliser (phase $- 9 0^{\circ}$ ).

Le correcteur PI combine les deux : précision parfaite en régime permanent.

💡 Exemple — Effet d'un correcteur PI. Un correcteur PI

C (p) = K_{p} (1 + \frac{1}{T _{i} p})

ajoute un intégrateur : sur un système de classe 0, il fait passer l'erreur statique de

E_{0} / (1 + K_{B O})

à zéro. Le prix à payer est un déphasage supplémentaire aux basses fréquences (

- 9 0^{\circ}

) qui rapproche la phase de

- 18 0^{\circ}

: on règle

T_{i}

assez grand pour ne pas trop entamer la marge de phase. Précision parfaite, stabilité préservée : le compromis type d'un réglage PI.

📝 Perturbations. Un bon asservissement doit aussi rejeter les perturbations (couple résistant, vent…). Un intégrateur dans la chaîne directe annule l'effet permanent d'une perturbation constante, exactement comme il annule l'erreur statique de consigne — même mécanisme, autre entrée.

📐 Méthode-type — Analyser les performances d'un asservissement.

Réduire le schéma-blocs à une FTBF $A / (1 + A B)$ .
Stabilité : pôles de la FTBF à partie réelle négative (ou marges sur le Bode de la FTBO).
Précision : erreur statique par la valeur finale ; regarder la classe de la FTBO.
Rapidité : temps de réponse de la FTBF (souvent second ordre équivalent).
Compromis : ajuster le gain / le correcteur (P, I, PI) pour équilibrer les trois.

💡 Exemple — Asservissement de position. Un axe asservi en position avec un intégrateur naturel (moteur : position = intégrale de la vitesse) est de classe 1 : son erreur statique à un échelon de position est nulle. Mais face à une consigne en rampe, l'erreur (dite de traînage) devient finie non nulle — d'où l'ajout éventuel d'un second intégrateur.

⚠ Piège — augmenter le gain n'améliore pas tout. Un gain élevé réduit l'erreur statique et accélère, mais dégrade les marges de stabilité et augmente le dépassement. « Plus de gain » n'est jamais une réponse complète : il y a toujours un compromis précision / stabilité / rapidité.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves de SII. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Se tromper de signe au comparateur. L'écart est

ε = E - R

(retour négatif). Oublier le signe moins (ou traiter une contre-réaction comme positive) change complètement la FTBF et la stabilité.

⚠ Erreur 2 — Utiliser $A / (1 + A)$ en retour non unitaire. La formule complète est

A / (1 + A B)

A / (1 + A)

n'est valable que si

B = 1

. En présence d'un capteur de gain

\neq = 1

, il faut garder

B

⚠ Erreur 3 — Confondre stabilité en boucle ouverte et en boucle fermée. Le bouclage déplace les pôles : un système stable en BO peut devenir instable en BF. La stabilité s'analyse sur la FTBF (ou les marges de la FTBO), pas sur la stabilité de la chaîne directe seule.

⚠ Erreur 4 — Croire que l'intégrateur améliore la stabilité. Un intégrateur annule l'erreur statique (bon pour la précision) mais apporte

- 9 0^{\circ}

de phase : il dégrade la marge de phase. Précision et stabilité tirent souvent en sens opposés.

⚠ Erreur 5 — Appliquer la valeur finale à une FTBF instable. Comme pour toute réponse temporelle, l'erreur statique par la valeur finale n'a de sens que si le système bouclé est stable. Vérifie la stabilité avant de conclure sur la précision.

5. Pour aller plus loin

L'asservissement est l'aboutissement de la SII, réinvesti en spé :

Correcteurs avancés — PID complet, avance de phase, réglage fréquentiel (spé PSI).
Diagrammes de Bode — marges de gain et de phase se lisent sur la FTBO.
Réponses temporelles — la FTBF s'approxime souvent par un second ordre dominant.
Modélisation multiphysique — moteur, capteur, mécanique : chaque bloc vient de la physique et de la dynamique du solide.
Rejet de perturbation — dimensionner la boucle pour qu'un couple résistant ou une charge variable n'altère pas la sortie en régime permanent.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu décrire la structure d'un système asservi (consigne, écart, chaîne directe, retour) ?
Sais-tu distinguer écart et erreur, FTBO et FTBF ?
Connais-tu les règles série, parallèle, boucle des schémas-blocs ?
Sais-tu démontrer la formule de Black $FTBF = A / (1 + A B)$ ?
Sais-tu qu'un système est stable si tous les pôles de la FTBF ont une partie réelle négative ?
Sais-tu ce que sont les marges de gain et de phase ?
Sais-tu démontrer l'erreur statique par le théorème de la valeur finale ?
Sais-tu qu'un intégrateur dans la FTBO annule l'erreur statique (classe +1) ?
Sais-tu que précision et stabilité sont souvent en compromis ?
Connais-tu l'effet des correcteurs P et I (et du PI) ?
Vérifies-tu la stabilité avant de conclure sur la précision ?
Sais-tu que l'erreur dépend de la classe de la FTBO et du type d'entrée (échelon, rampe) ?
Sais-tu qu'un fort gain rend la FTBF ≈ 1/B (rôle du capteur) ?
Sais-tu qu'un intégrateur rejette une perturbation constante ?

Démonstrations à savoir refaire

Formule de la boucle fermée — $ε = E - B S$ , $S = A ε$ → $A / (1 + A B)$
Erreur statique — écart $E / (1 + FTBO)$ + valeur finale → rôle de la classe

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