📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚙️ Sciences de l'Ingénieur

Statique des solides

L'équilibre des mécanismes en SII PSI : torseur d'action mécanique et liaison parfaite (dualité), principe fondamental de la statique — théorèmes de la résultante et du moment démontrés à partir du PFD, solides à deux et trois forces, lois de Coulomb du frottement et cône d'adhérence, isostatisme et hyperstatisme, méthode d'isolement. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

6 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

La statique des solides détermine les efforts dans un mécanisme à l'équilibre. Les actions mécaniques se modélisent par des torseurs d'action, et l'équilibre d'un solide se traduit par le principe fondamental de la statique (PFS) : la somme des torseurs extérieurs est nulle. Couplé aux lois de Coulomb du frottement, il permet de dimensionner un système. Cette fiche pose ces outils, les 3 résultats incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire (les deux théorèmes du PFS) et les pièges de copie.

Au programme PSI SII (officiel) — Modélisation des actions mécaniques : torseur d'action mécanique (résultante et moment), actions à distance et de contact. Principe fondamental de la statique (théorèmes de la résultante et du moment). Torseurs des liaisons parfaites. Frottement et lois de Coulomb (adhérence, glissement). Isolement d'un solide ou d'un ensemble, bilan des actions extérieures.

Prérequis

Torseurs (résultante, moment, transport du moment)
Produit vectoriel et moment d'une force
Notion de liaison mécanique et de degrés de liberté
Cinématique du solide (dualité cinématique / statique)

🎯 Accompagnement Majorant

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1. Modélisation des actions mécaniques

Définition 1.1 — Torseur d'action mécanique

L'action mécanique d'un solide $1$ sur un solide $2$ se modélise, en un point $A$ , par le torseur d'action :

{T_{1 \to 2}}_{A} = {R_{1 \to 2} M_{A, 1 \to 2}},

de résultante $R$ (somme des forces) et de moment $M_{A}$ (moment résultant en $A$ ). Le moment se transporte par $M_{B} = M_{A} + R \land A B$ .

Définition 1.2 — Actions à distance et de contact

Action à distance : la pesanteur, modélisée par un glisseur de résultante $P = m g$ appliquée au centre de masse $G$ .
Action de contact : transmise par une liaison ; son torseur ne comporte que les composantes bloquées par la liaison.

Définition 1.3 — Liaison parfaite

Une liaison parfaite est sans frottement ni jeu : la puissance des actions de liaison y est nulle. Son torseur d'action est le dual de son torseur cinématique — là où un mouvement est libre, l'effort transmis est nul, et réciproquement.

Définition 1.4 — Glisseur et couple

Glisseur : torseur de moment nul en un point (une force pure, avec un axe central).
Couple : torseur de résultante nulle (moment indépendant du point).

Définition 1.5 — Moment d'une force et bras de levier

Le moment en $A$ d'une force $F$ appliquée en $B$ est $M_{A} (F) = A B \land F$ . Sa norme vaut $∥ M_{A} ∥ = d ∥ F ∥$ , où $d$ est le bras de levier (distance de $A$ à la droite d'action de $F$ ). Une force dont la droite d'action passe par $A$ a un moment nul en $A$ : c'est ce qui guide le choix du point de réduction.

📝 Choisir le point de réduction. Réduire le PFS en un point où passent plusieurs inconnues (centre d'une liaison pivot, intersection de deux réactions) annule leurs moments et élimine ces inconnues du théorème du moment. C'est l'astuce qui simplifie radicalement les systèmes.

⚠ Piège de dualité. Dans une liaison parfaite, les composantes du torseur d'action sont complémentaires de celles du torseur cinématique : une liaison pivot d'axe

z

laisse libre

Ω_{z}

, donc transmet un moment nul selon

z

(

M_{z} = 0

) mais tous les autres efforts. Inverser les composantes libres et bloquées est l'erreur reine.

2. Le principe fondamental de la statique

Théorème 2.1 — Théorème de la résultante statique ★ À savoir démontrer

Pour un solide (ou un ensemble de solides) $Σ$ en équilibre dans un référentiel galiléen, la somme des résultantes des actions extérieures est nulle :

\sum R_{ext \to Σ} = 0 .

Démonstration (PFD à l'équilibre)

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à $Σ$ donne, pour la résultante : $\sum R_{ext \to Σ} = m a_{G / R}$ , où $a_{G}$ est l'accélération du centre de masse. À l'équilibre (ou en mouvement de translation rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen), $a_{G} = 0$ , d'où :

\sum R_{ext \to Σ} = 0 .

La statique est donc le cas particulier « accélération nulle » de la dynamique.

Théorème 2.2 — Théorème du moment statique ★ À savoir démontrer

À l'équilibre, la somme des moments des actions extérieures, calculés en un même point $A$ , est nulle :

\sum M_{A, ext \to Σ} = 0 .

Démonstration (théorème du moment cinétique à l'équilibre)

Le théorème du moment cinétique en un point fixe $A$ s'écrit $\frac{d L _{A}}{d t} = \sum M_{A, ext}$ . À l'équilibre, le solide est immobile, donc son moment cinétique $L_{A}$ est constant (nul) et sa dérivée est nulle :

\sum M_{A, ext \to Σ} = 0 .

On résume les deux théorèmes par une seule égalité torsorielle : $\sum {T_{ext \to Σ}} = {0}$ .

Proposition 2.3 — Solide soumis à deux ou trois forces

Deux forces : elles sont égales, opposées et de même support (la droite joignant leurs points d'application).
Trois forces : leurs supports sont concourants (ou parallèles) et la somme vectorielle est nulle (triangle des forces fermé).

Ces cas particuliers permettent des résolutions graphiques rapides.

💡 Exemple — Solide à deux forces : la bielle. Une bielle articulée à ses deux extrémités et non pesante est un solide à deux forces : les actions des liaisons sont donc portées par la droite joignant les deux articulations, égales et opposées. On connaît ainsi la direction de l'effort sans aucun calcul — un raccourci systématique dans les mécanismes (systèmes bielle-manivelle, triangulations).

🧑‍🏫 Le PFS torsoriel, gain de temps garanti

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3. Frottement : les lois de Coulomb

Théorème 3.1 — Lois de Coulomb du frottement

Au contact de deux solides, la réaction se décompose en composante normale $N$ et tangentielle $T$ . Deux régimes :

Adhérence (pas de glissement) : $∥ T ∥ \leq f ∥ N ∥$ , avec $f$ coefficient de frottement.
Glissement : $∥ T ∥ = f ∥ N ∥$ , et $T$ s'oppose à la vitesse de glissement.

L'angle $φ = arctan f$ définit le cône de frottement : la réaction reste à l'intérieur tant qu'il y a adhérence.

Définition 3.2 — Systèmes isostatique et hyperstatique

Un système est isostatique si le PFS suffit à déterminer toutes les inconnues de liaison (autant d'équations utiles que d'inconnues). Il est hyperstatique s'il y a plus d'inconnues que d'équations — il faut alors des hypothèses supplémentaires (déformabilité). Le degré d'hyperstatisme mesure cet écart.

Proposition 3.3 — Degré d'hyperstatisme

Pour un mécanisme, le degré d'hyperstatisme $h$ relie le nombre d'inconnues statiques $I_{s}$ , le nombre d'équations utiles $E_{s} = 6 p$ ( $p$ équations vectorielles à 6 scalaires en 3D) et le degré de mobilité $m$ :

h = I_{s} - E_{s} + m .

$h = 0$ : système isostatique (résoluble par la seule statique). $h > 0$ : hyperstatique (nécessite la déformabilité). C'est un critère de conception majeur (montage, réglage).

💡 Exemple — Poutre sur deux appuis. Une poutre horizontale posée sur un appui simple et une articulation, chargée en son milieu par

F

, voit ses réactions déterminées par le PFS : la somme des réactions équilibre

F

et le théorème du moment (réduit à un appui) donne leur répartition. Charge centrée

\Rightarrow

réactions égales à

F /2

— le résultat de base du dimensionnement.

📐 Méthode-type — Résoudre un problème de statique.

Isoler un solide (ou un ensemble) : tracer sa frontière.
Bilan des actions extérieures : pesanteur, actions de liaison (torseurs), efforts moteurs.
Compter inconnues et équations (statisme) ; choisir l'isolement qui minimise les inconnues.
Appliquer le PFS $\sum {T_{ext}} = {0}$ en réduisant en un point malin (annuler des moments).
Résoudre et vérifier la cohérence des signes et, si frottement, la condition $∥ T ∥ \leq f ∥ N ∥$ .

📝 Résolution graphique vs analytique. Pour un solide à trois forces coplanaires, la méthode graphique (dynamique des forces + concours des supports) est souvent plus rapide que le calcul. Pour un mécanisme spatial ou hyperstatique, l'écriture torsorielle analytique s'impose. Sache passer de l'une à l'autre selon l'énoncé.

💡 Exemple — Échelle contre un mur. Une échelle en équilibre, appui au sol (frottement) et au mur, est un solide soumis à trois actions (poids + deux réactions). Le PFS et la condition d'adhérence

∥ T ∥ \leq f ∥ N ∥

donnent l'angle limite au-delà duquel l'échelle glisse — le problème type de la statique avec frottement.

💡 Exemple — Arc-boutement. Un tiroir poussé trop loin d'un côté se coince : les réactions de frottement, orientées dans le cône, créent un couple qui bloque le mouvement quel que soit l'effort. L'arc-boutement est un blocage géométrique (indépendant de l'intensité de la poussée) — un phénomène que la statique avec frottement explique parfaitement et que les concepteurs cherchent à éviter (guidages assez longs).

📝 Adhérence vs frottement de glissement. On distingue parfois le coefficient d'adhérence

f_{s}

(statique, seuil de mise en mouvement) du coefficient de frottement de glissement

f_{d}

(dynamique), avec généralement

f_{d} ≲ f_{s}

. On note souvent un unique

f

; précise le régime (adhérence ou glissement) auquel tu te places.

📝 Torseur nul. Le PFS

\sum {T_{ext}} = {0}

impose que le torseur résultant soit nul : résultante ET moment nuls simultanément. Une résultante nulle ne suffit pas (un couple pur peut subsister) — il faut toujours écrire les deux théorèmes.

⚠ Piège — l'inégalité de l'adhérence n'est pas une égalité. À l'adhérence,

∥ T ∥ \leq f ∥ N ∥

(inconnue à déterminer par le PFS). L'égalité

∥ T ∥ = f ∥ N ∥

n'est valable qu'à la limite du glissement ou en glissement établi. Poser l'égalité trop tôt sur-contraint le problème.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves de SII. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier une action extérieure dans le bilan. Un isolement mal fait (oubli du poids, d'une liaison, d'un effort moteur) fausse tout. Liste systématiquement TOUTES les actions traversant la frontière d'isolement.

⚠ Erreur 2 — Calculer les moments en des points différents. Le théorème du moment exige de réduire tous les torseurs au même point avant de sommer. Additionner des moments calculés en des points distincts n'a aucun sens.

⚠ Erreur 3 — Se tromper sur les composantes transmises par une liaison. Une liaison transmet les efforts selon les directions bloquées (dual du torseur cinématique). Mettre une inconnue là où le mouvement est libre (ou l'oublier là où il est bloqué) est fréquent.

⚠ Erreur 4 — Isoler un ensemble et compter les actions intérieures. Quand on isole plusieurs solides, les actions entre ces solides sont intérieures et n'apparaissent pas dans le PFS. Seules les actions extérieures à l'ensemble comptent.

⚠ Erreur 5 — Ignorer l'hyperstatisme. Sur un système hyperstatique, le PFS ne suffit pas : chercher à tout déterminer par la seule statique conduit à un système sans solution unique. Il faut le signaler et introduire la déformabilité.

5. Pour aller plus loin

La statique est la base du dimensionnement mécanique :

Cinématique du solide — la dualité action/vitesse structure les torseurs de liaison.
Dynamique du solide — le PFS est le cas $a = 0$ du PFD.
Résistance des matériaux — les efforts calculés dimensionnent les pièces (contraintes, déformations).
Liaisons et schéma cinématique — statisme et mobilité découlent du dénombrement des inconnues et équations.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire un torseur d'action (résultante, moment) et transporter le moment ?
Sais-tu qu'une liaison parfaite transmet le dual de son torseur cinématique ?
Sais-tu distinguer glisseur et couple ?
Sais-tu démontrer le théorème de la résultante statique à partir du PFD ?
Sais-tu démontrer le théorème du moment statique à partir du TMC ?
Sais-tu écrire le PFS torsoriel $\sum {T_{ext}} = {0}$ ?
Connais-tu les cas « deux forces » et « trois forces » pour résoudre graphiquement ?
Sais-tu énoncer les lois de Coulomb (adhérence $∥ T ∥ \leq f N$ , glissement $∥ T ∥ = f N$ ) ?
Sais-tu ce qu'est le cône de frottement $φ = arctan f$ ?
Sais-tu distinguer système isostatique et hyperstatique ?
Sais-tu mener un isolement propre et compter inconnues/équations ?
Sais-tu exploiter un solide à deux forces (effort porté par la droite des articulations) ?
Sais-tu calculer un degré d'hyperstatisme $h = I_{s} - E_{s} + m$ ?
Sais-tu choisir le point de réduction pour éliminer des inconnues ?
Sais-tu qu'un torseur nul impose résultante ET moment nuls ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème de la résultante statique — PFD avec $a_{G} = 0$
Théorème du moment statique — TMC avec $L_{A}$ constant à l'équilibre

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