📘 Fiche de cours · 2e année⚗️ PC⚡ Physique

Rayonnement et corps noir

La thermodynamique du rayonnement en PC : corps noir (absorbeur parfait α = 1) et émittance spectrale, loi de Planck admise et son paramètre réduit x = hc/λkT, loi du déplacement de Wien λ_max·T = cte démontrée en annulant la dérivée de Planck, loi de Stefan-Boltzmann M = σT⁴ démontrée par changement de variable et l'intégrale ∫x³/(e^x−1) = π⁴/15, émissivité et corps gris, loi de Kirchhoff α_λ = ε_λ, bilans radiatifs et température d'équilibre d'une planète (facteur 4 disque/sphère, effet de serre). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions5 théorèmes3 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Tout corps à température $T > 0$ émet un rayonnement électromagnétique : c'est le rayonnement thermique. Le modèle idéal du corps noir — un absorbeur parfait — fixe le spectre universel de cette émission via la loi de Planck, dont découlent les deux lois-reines du chapitre : la loi du déplacement de Wien (où se situe le pic ?) et la loi de Stefan-Boltzmann (combien de puissance ?). Cette fiche regroupe les 3 lois incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire (Stefan et Wien à partir de Planck, température d'équilibre d'une planète) et les pièges de vocabulaire qui coûtent des points en copie.

Au programme PC (officiel) — Rayonnement d'équilibre thermique ; corps noir ; loi de Planck (admise) ; loi du déplacement de Wien ; loi de Stefan-Boltzmann de l'émittance

M = σ T^{4}

; émissivité d'un corps réel et loi de Kirchhoff ; bilan radiatif, application à la température d'équilibre d'une planète (effet de serre qualitatif).

Prérequis

Notion de flux et de puissance surfacique (densité de flux thermique en $W m^{- 2}$ )
Ondes électromagnétiques : fréquence $ν$ , longueur d'onde $λ = c / ν$
Intégrales généralisées convergentes et changement de variable (pour Stefan)
Constantes fondamentales : $h$ , $k_{B}$ , $c$ et l'ordre de grandeur du quantum $h ν$

🎯 Accompagnement Majorant

Le rayonnement te paraît « hors-cadre » par rapport au reste de la thermo ? C'est le chapitre où l'on relie thermodynamique, ondes et quantique — et où un mauvais réflexe de vocabulaire (émittance vs luminance) fait perdre des points bêtes. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te construisent la carte mentale du chapitre en cours particuliers.

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1. Grandeurs du rayonnement thermique

Un corps chaud rayonne de l'énergie électromagnétique dans toutes les directions et à toutes les longueurs d'onde. Pour décrire ce flux, on introduit un jeu de grandeurs surfaciques et spectrales à ne jamais confondre.

Définition 1.1 — Émittance (exitance) totale

L'émittance $M$ d'une surface est la puissance rayonnée par unité d'aire de la surface émettrice, intégrée sur toutes les directions du demi-espace et toutes les longueurs d'onde. Elle s'exprime en $W m^{- 2}$ :

M = \frac{d P _{\overset{e}{ˊ} mise}}{d S} .

Définition 1.2 — Émittance spectrale (monochromatique)

L'émittance spectrale $M_{λ}$ décrit la répartition de $M$ selon la longueur d'onde : $M_{λ} d λ$ est la puissance surfacique rayonnée entre $λ$ et $λ + d λ$ . Elle est en $W m^{- 3}$ et vérifie $M = \int_{0}^{+ \infty} M_{λ} d λ$ .

Définition 1.3 — Corps noir

Un corps noir est un corps idéal qui absorbe intégralement tout rayonnement incident, quelles que soient sa longueur d'onde et sa direction (facteur d'absorption $α = 1$ ). À l'équilibre thermique, il est aussi l'émetteur le plus efficace possible : son émittance spectrale ne dépend que de $T$ .

Définition 1.4 — Facteur d'absorption et facteur d'émission (émissivité)

Pour un corps réel :

le facteur d'absorption $α_{λ} \in [0, 1]$ est la fraction du flux incident absorbée à la longueur d'onde $λ$ ;
l'émissivité $ε_{λ} \in [0, 1]$ est le rapport de son émittance spectrale à celle du corps noir à la même température : $ε_{λ} = M_{λ}^{r \overset{e}{ˊ} el} / M_{λ}^{cn}$ .

Le corps noir correspond au cas limite $α_{λ} = ε_{λ} = 1$ pour tout $λ$ .

Définition 1.5 — Corps gris

Un corps gris est un corps réel dont l'émissivité est indépendante de la longueur d'onde : $ε_{λ} = ε = cte$ . Son émittance totale vaut alors $M = ε σ T^{4}$ . C'est le modèle le plus utilisé en exercice.

📝 Réaliser un corps noir en pratique. Une petite ouverture dans une cavité isotherme se comporte comme un corps noir : tout rayon qui y pénètre subit de multiples réflexions internes avant de pouvoir ressortir, et finit absorbé. C'est le « four » historique dont l'étude a conduit Planck à quantifier l'énergie en 1900.

⚠ Piège de vocabulaire dès la section 1. « Corps noir » ne veut pas dire « corps de couleur noire à l'œil ». Le Soleil (

T \approx 5800 K

) est très bien modélisé par un corps noir alors qu'il est éblouissant. La couleur perçue dépend du domaine visible du spectre ; le corps noir, lui, est défini par son absorption totale sur tout le spectre.

2. Les lois du corps noir (Planck, Wien, Stefan)

Théorème 2.1 — Loi de Planck (admise)

L'émittance spectrale d'un corps noir à la température $T$ est, en fonction de la longueur d'onde :

M_{λ}^{cn} (λ, T) = \frac{2 π h c ^{2}}{λ ^{5}} \frac{1}{exp ( \frac{h c}{λ k _{B} T} ) - 1} .

Cette courbe en cloche, admise au programme, contient toute la physique du chapitre : les lois de Wien et de Stefan s'en déduisent. On note le paramètre sans dimension utile $x = \frac{h c}{λ k _{B} T}$ .

Théorème 2.2 — Loi du déplacement de Wien ★ À savoir démontrer

La longueur d'onde $λ_{m a x}$ du maximum d'émittance spectrale est inversement proportionnelle à la température :

λ_{m a x} T = σ_{W} \approx 2, 90 \times 1 0^{- 3} m \cdot K .

Plus un corps est chaud, plus son pic d'émission se décale vers les courtes longueurs d'onde (vers le bleu, puis l'UV).

Démonstration (annulation de la dérivée de Planck)

On cherche le maximum de $M_{λ} \propto λ^{- 5} (e^{x} - 1)^{- 1}$ avec $x = h c / (λ k_{B} T)$ . Poser $u = 1/ λ$ puis annuler $d M_{λ} / d λ$ revient à résoudre, en la variable réduite $x$ :

\frac{d}{d λ} [\frac{1}{λ ^{5} ( e ^{x} - 1 )}] = 0 ⟺ 5 (1 - e^{- x}) = x .

Cette équation transcendante admet une unique solution non nulle $x^{⋆} \approx 4, 965$ (résolution numérique ou point fixe). Or $x^{⋆} = \frac{h c}{λ _{m a x} k _{B} T}$ est constant, donc :

λ_{m a x} T = \frac{h c}{k _{B} x ^{⋆}} = σ_{W} \approx 2, 90 \times 1 0^{- 3} m \cdot K .

La constante ne dépend que de $h$ , $c$ , $k_{B}$ : c'est bien une loi universelle.

Théorème 2.3 — Loi de Stefan-Boltzmann ★ À savoir démontrer

L'émittance totale d'un corps noir est proportionnelle à la puissance quatrième de sa température absolue :

M^{cn} = σ T^{4}, σ = \frac{2 π ^{5} k _{B}^{4}}{15 h ^{3} c ^{2}} \approx 5, 67 \times 1 0^{- 8} W m^{- 2} K^{- 4} .

Démonstration (intégration de la loi de Planck)

On intègre l'émittance spectrale sur toutes les longueurs d'onde :

M^{cn} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{2 π h c ^{2}}{λ ^{5}} \frac{d λ}{e ^{h c / (λ k_{B} T)} - 1} .

On pose le changement de variable $x = \frac{h c}{λ k _{B} T}$ , d'où $λ = \frac{h c}{k _{B} T x}$ et $d λ = - \frac{h c}{k _{B} T x ^{2}} d x$ . Les bornes $λ : 0 \to + \infty$ deviennent $x : + \infty \to 0$ , ce qui absorbe le signe. Après simplification de toutes les puissances :

M^{cn} = \frac{2 π k _{B}^{4} T ^{4}}{h ^{3} c ^{2}} \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x .

L'intégrale est une constante numérique classique (développement en série géométrique de $(e^{x} - 1)^{- 1}$ puis fonction $ζ$ ) :

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x = Γ (4) ζ (4) = 6 \cdot \frac{π ^{4}}{90} = \frac{π ^{4}}{15} .

On obtient $M^{cn} = \frac{2 π ^{5} k _{B}^{4}}{15 h ^{3} c ^{2}} T^{4} = σ T^{4}$ , ce qui calcule la constante de Stefan (et non pas seulement la dépendance en $T^{4}$ ).

💡 Exemple — Le Soleil et les étoiles. Le spectre solaire pique vers

λ_{m a x} \approx 0, 50 μ m

(vert). La loi de Wien donne

T \approx \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 50 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 5800 K

, cohérent avec la température de surface du Soleil. Une étoile bleue (

λ_{m a x}

plus courte) est donc plus chaude qu'une étoile rouge — contre-intuitif au premier abord.

🧑‍🏫 La démo de Stefan te bloque ?

Le changement de variable $x = h c / λ k_{B} T$ et l'intégrale $\int x^{3} / (e^{x} - 1)$ reviennent chaque année. En une séance, un mentor Majorant alumni de l'X te fait dérouler Wien et Stefan au tableau jusqu'à ce que le calcul devienne un automatisme — c'est exactement le type de question de cours valorisée à l'oral.

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3. Corps réels, loi de Kirchhoff et bilans radiatifs

Théorème 3.1 — Loi de Kirchhoff du rayonnement

À l'équilibre thermique, pour toute longueur d'onde et toute direction, le facteur d'absorption d'un corps est égal à son émissivité :

α_{λ} = ε_{λ} .

Autrement dit : un bon absorbeur est un bon émetteur. Un corps qui absorbe peu (surface polie, $ε$ faible) rayonne peu — d'où l'usage des revêtements réfléchissants pour limiter les pertes radiatives.

Proposition 3.2 — Émittance d'un corps gris

Pour un corps gris d'émissivité $ε$ , l'émittance totale est $M = ε σ T^{4}$ . La puissance nette échangée par rayonnement entre une surface $S$ à $T$ et un environnement à $T_{0}$ (assimilé à un corps noir enveloppant) s'écrit :

P_{net} = ε σ S (T^{4} - T_{0}^{4}) .

📐 Méthode-type — Température d'équilibre radiatif d'un corps.

Puissance reçue. Écrire le flux absorbé : puissance surfacique incidente $\times$ surface exposée $\times$ facteur d'absorption.
Puissance émise. Écrire $P_{\overset{e}{ˊ} mise} = ε σ S_{tot} T^{4}$ sur la surface totale qui rayonne (attention : elle diffère souvent de la surface exposée au flux).
Régime stationnaire. Égaler reçu = émis (premier principe en régime permanent, pas d'autre échange).
Résoudre en $T$ . Isoler $T^{4}$ puis prendre la racine quatrième. Vérifier l'ordre de grandeur.

Théorème 3.3 — Température d'équilibre d'une planète ★ À savoir démontrer

Une planète sphérique de rayon $R$ , d'albédo $A$ , à la distance $d$ d'une étoile de puissance surfacique reçue $Φ$ (constante « solaire » locale), sans atmosphère, atteint la température d'équilibre :

T_{eq} = [\frac{( 1 - A ) Φ}{4 σ}]^{1/4} .

Démonstration (bilan disque absorbeur / sphère émettrice)

Puissance absorbée. La planète intercepte le flux stellaire sur sa section apparente, un disque de surface $π R^{2}$ . Une fraction $A$ (albédo) est réfléchie, donc :

P_{abs} = (1 - A) Φ π R^{2} .

Puissance émise. La planète, supposée corps noir dans l'infrarouge ( $ε = 1$ ) et de température uniforme $T$ , rayonne sur toute sa sphère de surface $4 π R^{2}$ :

P_{\overset{e}{ˊ} mise} = σ T^{4} \cdot 4 π R^{2} .

Régime stationnaire : $P_{abs} = P_{\overset{e}{ˊ} mise}$ , les $π R^{2}$ se simplifient (facteur $4$ entre disque et sphère) :

(1 - A) Φ = 4 σ T^{4} ⟹ T_{eq} = [\frac{( 1 - A ) Φ}{4 σ}]^{1/4} .

Pour la Terre ( $Φ \approx 1360 W m^{- 2}$ , $A \approx 0, 30$ ), on trouve $T_{eq} \approx 255 K \approx - 18^{\circ} C$ : bien plus froid que les $+ 15^{\circ} C$ observés. L'écart est dû à l'effet de serre (l'atmosphère réémet vers le sol une partie de l'infrarouge).

📝 Effet de serre en une phrase. L'atmosphère est presque transparente au visible (elle laisse chauffer le sol) mais opaque à l'infrarouge (elle piège l'émission thermique du sol). Ce déséquilibre spectral relève la température de surface au-dessus du

T_{eq}

« corps noir nu ». C'est un argument qualitatif attendu en PC.

4. Transfert radiatif et couplage avec la conduction

Proposition 4.1 — Coefficient d'échange radiatif linéarisé

Quand $T$ est proche de la température ambiante $T_{0}$ , on linéarise le terme en $T^{4}$ :

σ (T^{4} - T_{0}^{4}) = σ (T^{2} + T_{0}^{2}) (T + T_{0}) (T - T_{0}) \approx h_{r} (T - T_{0}), h_{r} \approx 4 ε σ T_{0}^{3} .

Le rayonnement se comporte alors, au premier ordre, comme une loi de Newton $φ = h_{r} (T - T_{0})$ , ce qui permet de le combiner avec la conduction et la convection via des résistances thermiques en parallèle.

💡 Exemple — Rayonnement vs convection à température ambiante. Pour

ε \approx 1

T_{0} = 293 K

, on obtient

h_{r} \approx 4 \times 5, 67 \times 1 0^{- 8} \times 29 3^{3} \approx 5, 7 W m^{- 2} K^{- 1}

. C'est du même ordre que la convection naturelle dans l'air (

\sim 5 - 10 W m^{- 2} K^{- 1}

) : le rayonnement n'est jamais négligeable a priori près de la température ambiante.

⚠ Piège — la surface qui absorbe n'est pas celle qui émet. Pour une planète ou une sphère éclairée d'un seul côté, l'absorption se fait sur la section

π R^{2}

(un disque) tandis que l'émission se fait sur toute la sphère

4 π R^{2}

. Oublier ce facteur

4

fausse

T_{eq}

d'un facteur

4^{1/4} \approx 1, 41

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de thermodynamique du rayonnement. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Utiliser la température en degrés Celsius dans la loi de Stefan.

M = σ T^{4}

exige

T

en kelvins. Écrire

σ (25)^{4}

au lieu de

σ (298)^{4}

fait perdre un facteur

\sim 200

. Toute température dans une loi de rayonnement est absolue.

⚠ Erreur 2 — Confondre émittance (surfacique) et puissance totale.

M

est en

W m^{- 2}

: c'est une puissance par unité de surface. La puissance rayonnée par le corps est

P = M \times S

. Ne jamais écrire

P = σ T^{4}

sans la surface.

⚠ Erreur 3 — Croire que Wien porte sur la fréquence de la même manière. La loi

λ_{m a x} T = cte

est établie pour l'émittance en longueur d'onde

M_{λ}

. Le maximum de l'émittance en fréquence

M_{ν}

ne correspond pas à la même longueur d'onde (

λ_{m a x}^{(ν)} \neq = λ_{m a x}^{(λ)}

) car

d λ

d ν

ne sont pas proportionnels. Précise toujours la variable.

⚠ Erreur 4 — Oublier le rayonnement reçu dans un bilan. Un corps à

T

dans une enceinte à

T_{0}

n'émet pas seulement

σ T^{4}

: il reçoit aussi

σ T_{0}^{4}

. Le flux net est

ε σ (T^{4} - T_{0}^{4})

, pas

ε σ T^{4}

. Omettre le terme reçu donne un refroidissement absurde même à l'équilibre.

⚠ Erreur 5 — Prendre $α \neq = ε$ « parce que le corps n'est pas noir ». La loi de Kirchhoff impose

α_{λ} = ε_{λ}

à l'équilibre thermique, à chaque longueur d'onde. L'effet de serre n'est pas une violation de Kirchhoff : il vient de la dépendance en $λ$ (transparente au visible, opaque à l'IR), pas d'une inégalité

α \neq = ε

6. Pour aller plus loin

Le rayonnement thermique referme la thermodynamique de PC et ouvre sur plusieurs directions :

Diffusion thermique — le rayonnement complète conduction et convection comme troisième mode de transfert ; les trois se combinent en résistances thermiques.
Ondes électromagnétiques — le rayonnement thermique est un champ de photons ; la loi de Planck quantifie leur énergie $h ν$ .
Mécanique quantique — c'est l'échec de la physique classique (catastrophe ultraviolette) sur le corps noir qui a fait naître le quantum d'énergie de Planck.
Physique du climat et de l'espace — bilans radiatifs planétaires, effet de serre, thermorégulation des satellites (revêtements à $ε$ contrôlé).

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir un corps noir ( $α = 1$ ) et expliquer pourquoi le Soleil en est un malgré son éclat ?
Sais-tu distinguer émittance $M$ ( $W m^{- 2}$ ) et émittance spectrale $M_{λ}$ ( $W m^{- 3}$ ) ?
Connais-tu la loi de Planck de tête (au moins sa forme et le paramètre $x = h c / λ k_{B} T$ ) ?
Sais-tu démontrer la loi de Wien en annulant la dérivée de Planck ( $5 (1 - e^{- x}) = x$ ) ?
Sais-tu démontrer Stefan-Boltzmann par le changement de variable et $\int_{0}^{\infty} x^{3} / (e^{x} - 1) = π^{4} /15$ ?
Retiens-tu $σ \approx 5, 67 \times 1 0^{- 8} W m^{- 2} K^{- 4}$ et $σ_{W} \approx 2, 9 \times 1 0^{- 3} m K$ ?
Sais-tu énoncer la loi de Kirchhoff $α_{λ} = ε_{λ}$ et ce qu'est un corps gris ?
Sais-tu écrire le flux net $ε σ (T^{4} - T_{0}^{4})$ et ne jamais oublier le terme reçu ?
Sais-tu démontrer $T_{eq}$ d'une planète avec le facteur $4$ disque/sphère ?
Sais-tu expliquer qualitativement l'effet de serre (transparent au visible, opaque à l'IR) ?
Sais-tu linéariser $σ (T^{4} - T_{0}^{4}) \approx 4 ε σ T_{0}^{3} (T - T_{0})$ pour coupler avec la conduction ?

Démonstrations à savoir refaire

Loi de Wien — annuler la dérivée de Planck → équation $5 (1 - e^{- x}) = x$ , $x^{⋆} \approx 4, 965$
Loi de Stefan-Boltzmann — changement de variable $x = h c / λ k_{B} T$ + intégrale $π^{4} /15$
Température d'équilibre d'une planète — bilan disque absorbeur $π R^{2}$ / sphère émettrice $4 π R^{2}$

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