Équations de Maxwell

Vue d'ensemble

Quatre équations résument tout l'électromagnétisme classique : les équations de Maxwell. Elles relient le champ électrique $E$ et le champ magnétique $B$ à leurs sources — les charges (densité $ρ$ ) et les courants (densité $j$ ). Deux sont « structurelles » (Maxwell-flux, Maxwell-Faraday), deux font intervenir les sources (Maxwell-Gauss, Maxwell-Ampère). Le coup de génie de Maxwell : ajouter le courant de déplacement $ε_{0} \partial_{t} E$ , sans lequel la conservation de la charge serait violée — et sans lequel il n'y aurait pas d'ondes électromagnétiques. Sous forme locale (équations aux dérivées partielles) ou intégrale (théorèmes de Gauss et d'Ampère), elles gouvernent aussi bien l'électrostatique que les ondes, la lumière, l'induction. Ce chapitre est le socle de tout l'électromagnétisme de PC. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — Équations de Maxwell : densités de charge et de courant ; les quatre équations de Maxwell sous forme locale (Maxwell-Gauss, Maxwell-flux, Maxwell-Faraday, Maxwell-Ampère) ; courant de déplacement ; équation locale de conservation de la charge ; formes intégrales (théorème de Gauss, théorème d'Ampère) ; potentiels scalaire et vecteur ; approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).

Prérequis

Analyse vectorielle : divergence, rotationnel, gradient, laplacien
Théorème de Green-Ostrogradski (flux-divergence) et de Stokes
Électrostatique et magnétostatique (1re année)

🎯 Accompagnement Majorant

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1. Les équations de Maxwell sous forme locale

Définition 1.1 — Densités de charge et de courant

La densité volumique de charge $ρ (r, t)$ (C/m³) décrit la répartition des charges ; la densité de courant $j (r, t)$ (A/m²) décrit leur mouvement : $j = ρ v$ pour des porteurs de vitesse $v$ . Ce sont les sources du champ électromagnétique. L'intensité à travers une surface $S$ est $I = \iint_{S} j \cdot d S$ .

Définition 1.2 — Équation locale de conservation de la charge

La charge électrique se conserve : elle ne peut ni apparaître ni disparaître, seulement se déplacer. Localement :

\frac{\partial ρ}{\partial t} + div j = 0.

C'est l'équation de continuité : la variation de charge dans un volume est compensée par le flux de courant sortant. Elle a la même structure que toute loi de conservation (densité + divergence d'un courant = 0).

Définition 1.3 — Courant de déplacement

Le courant de déplacement est le terme

j_{D} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t},

homogène à une densité de courant (A/m²). Ajouté par Maxwell à l'équation d'Ampère, il n'est pas un courant de charges mais traduit qu'un champ électrique VARIABLE crée un champ magnétique. Il est indispensable à la cohérence de la théorie (et à l'existence des ondes).

Théorème 1.1 — Les quatre équations de Maxwell (postulat)

Le champ électromagnétique dans le vide obéit aux quatre équations locales :

Maxwell-Gauss : Maxwell-flux : Maxwell-Faraday : Maxwell-Amp \overset{e}{ˋ} re : div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .

Maxwell-Gauss relie le champ électrique aux charges ; Maxwell-flux exprime l'absence de monopôle magnétique ; Maxwell-Faraday, qu'un champ magnétique variable induit un champ électrique ; Maxwell-Ampère, que courants ET champs électriques variables créent le champ magnétique. Ces équations sont des postulats (validés par l'expérience).

Théorème 1.2 — Cohérence avec la conservation de la charge ★ À savoir démontrer

Les équations de Maxwell IMPLIQUENT l'équation de continuité — et c'est le courant de déplacement qui l'assure :

Maxwell-Amp \overset{e}{ˋ} re ⟹ \frac{\partial ρ}{\partial t} + div j = 0.

Démonstration (divergence de Maxwell-Ampère)

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère. Le membre de gauche est nul car la divergence d'un rotationnel est toujours nulle : $div (rot B) = 0$ . Donc : $0 = μ_{0} div j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial}{\partial t} (div E) .$

Injectons Maxwell-Gauss, $div E = ρ / ε_{0}$ : $0 = μ_{0} div j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial}{\partial t} (\frac{ρ}{ε _{0}}) = μ_{0} (div j + \frac{\partial ρ}{\partial t}) .$ En divisant par $μ_{0}$ : $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div j = 0$ . CQFD. Sans le courant de déplacement (terme $μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ ), on aurait $div j = 0$ — faux en régime variable. Ce terme est donc INDISPENSABLE.

2. Formes intégrales et potentiels

Théorème 2.1 — Théorèmes de Gauss et d'Ampère (formes intégrales) ★ À savoir démontrer

Les équations locales se traduisent en équations intégrales, souvent plus commodes :

\iint_{S} E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}} (Gauss), \oint_{C} B \cdot d ℓ = μ_{0} I_{enlac \overset{e}{ˊ}} (Amp \overset{e}{ˋ} re, ARQS) .

Démonstration (Maxwell-Gauss → théorème de Gauss)

Partons de Maxwell-Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ et intégrons sur un volume $V$ fermé par la surface $S$ : $∭_{V} div E d τ = ∭_{V} \frac{ρ}{ε _{0}} d τ = \frac{Q _{int}}{ε _{0}},$ où $Q_{int} = ∭_{V} ρ d τ$ est la charge contenue dans $V$ .

Le théorème de Green-Ostrogradski transforme l'intégrale de volume de la divergence en flux sortant : $∭_{V} div E d τ = \iint_{S} E \cdot d S$ . D'où le théorème de Gauss : $\iint_{S} E \cdot d S = Q_{int} / ε_{0}$ . CQFD. (Le théorème d'Ampère s'obtient de même à partir de Maxwell-Ampère via le théorème de Stokes, en négligeant le courant de déplacement — cadre de l'ARQS.)

Définition 2.1 — Potentiels scalaire et vecteur

Comme $div B = 0$ , il existe un potentiel vecteur $A$ tel que $B = rot A$ . En injectant dans Maxwell-Faraday, on montre l'existence d'un potentiel scalaire $V$ tel que :

E = - grad V - \frac{\partial A}{\partial t}, B = rot A .

Les potentiels ne sont pas uniques (liberté de jauge) : on peut les modifier sans changer $E$ et $B$ . En régime stationnaire, on retrouve $E = - grad V$ .

Définition 2.2 — Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)

L'ARQS consiste à NÉGLIGER le courant de déplacement $ε_{0} \partial_{t} E$ devant $j$ dans Maxwell-Ampère. Elle est valable quand la taille $L$ du système est très petite devant la longueur d'onde ( $L ≪ λ$ ), c'est-à-dire quand le temps de propagation $L / c$ est négligeable devant la période. On récupère alors $rot B = μ_{0} j$ (comme en magnétostatique) : c'est le cadre de l'électrocinétique et de l'induction.

📐 Méthode-type — Choisir la forme (locale ou intégrale).

Haute symétrie (sphérique, cylindrique, plane) → forme INTÉGRALE (Gauss ou Ampère) : le champ sort de l'intégrale, calcul direct.
Sans symétrie / champ donné → forme LOCALE : appliquer div et rot pour remonter aux sources ou vérifier les équations.
Régime variable : vérifier si l'ARQS s'applique ( $L ≪ λ$ ) ; sinon, garder le courant de déplacement (ondes).
Contrôles : homogénéité, et $div B = 0$ toujours vérifiée (pas de charge magnétique).

💡 Exemple — Champ d'une charge ponctuelle par Gauss. Pour une charge

q

à l'origine, la symétrie sphérique impose

E = E (r) e_{r}

. Le théorème de Gauss sur une sphère de rayon

r

donne

\iint E \cdot d S = E (r) \cdot 4 π r^{2} = q / ε_{0}

, d'où

E (r) = \frac{q}{4 π ε _{0} r ^{2}}

: on retrouve la loi de Coulomb en une ligne. La forme intégrale exploite pleinement la symétrie.

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les équations de Maxwell exigent rigueur sur les opérateurs et les symétries. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Oublier le courant de déplacement en régime variable. En régime VARIABLE, Maxwell-Ampère complet est

rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E

. Négliger

μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E

n'est licite que dans l'ARQS. En dehors (ondes), l'oublier supprime la propagation. Toujours justifier l'ARQS avant de simplifier.

⚠ Erreur 2 — Appliquer Gauss ou Ampère sans symétrie suffisante. Le théorème de Gauss est TOUJOURS vrai, mais il ne DONNE le champ que si la symétrie permet de le sortir de l'intégrale (

E

uniforme et normal sur la surface). Sans symétrie adaptée, l'équation intégrale est vraie mais inutilisable pour calculer

E

⚠ Erreur 3 — Se tromper de signe dans Maxwell-Faraday.

rot E = - \partial_{t} B

: le signe MOINS (loi de Lenz, opposition) est crucial. L'oublier inverse le sens du champ induit et fausse toute l'induction. Contrôle : la f.é.m. induite s'oppose à la variation de flux.

⚠ Erreur 4 — Confondre div et rot, ou leurs nullités.

div B = 0

(pas de charge magnétique) TOUJOURS ;

div E = ρ / ε_{0}

(dépend des charges). Les identités

div (rot) = 0

rot (grad) = 0

sont les clés des démonstrations — ne pas les mélanger.

⚠ Erreur 5 — Croire les potentiels uniques.

V

A

sont définis à une transformation de JAUGE près : plusieurs couples

(V, A)

donnent les mêmes

E, B

. Parler DU potentiel vecteur sans préciser la jauge est imprécis. Seuls

E

B

sont physiques (mesurables).

4. Pour aller plus loin

Les équations de Maxwell débouchent sur tout l'électromagnétisme de PC :

Énergie électromagnétique — vecteur de Poynting, bilan d'énergie : la combinaison de Maxwell donne le transport d'énergie.
Ondes électromagnétiques — l'équation de d'Alembert découle directement de Maxwell dans le vide ; la lumière est une onde EM.
Induction et forces de Laplace — Maxwell-Faraday en ARQS fonde toute l'induction (moteurs, alternateurs).
Ondes dans les milieux — conducteurs (effet de peau), diélectriques : les équations se prolongent avec la matière.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir les densités de charge ρ et de courant j ?
Connais-tu l'équation de continuité ∂ρ/∂t + div j = 0 ?
Sais-tu ce qu'est le courant de déplacement ε₀ ∂E/∂t ?
Sais-tu écrire les 4 équations de Maxwell sous forme locale ?
Sais-tu que div B = 0 (pas de monopôle magnétique) toujours ?
Sais-tu démontrer que Maxwell implique la conservation de la charge ?
Sais-tu pourquoi le courant de déplacement est indispensable ?
Connais-tu le théorème de Gauss ∯ E·dS = Q_int/ε₀ ?
Sais-tu le démontrer (Maxwell-Gauss + Green-Ostrogradski) ?
Connais-tu le théorème d'Ampère ∮ B·dl = μ₀ I_enlacé (ARQS) ?
Sais-tu que E = −grad V − ∂A/∂t et B = rot A (à une jauge près) ?
Sais-tu quand l'ARQS s'applique (L ≪ λ) ?

Démonstrations à savoir refaire

Conservation de la charge — divergence de Maxwell-Ampère, Maxwell-Gauss
Théorème de Gauss — Maxwell-Gauss + Green-Ostrogradski

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Les équations de Maxwell sous forme locale

2. Formes intégrales et potentiels

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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