Les équations de Maxwell

Vue d'ensemble

Quatre équations locales résument TOUT l'électromagnétisme classique : les équations de Maxwell. Elles unifient l'électrostatique et la magnétostatique en ajoutant les couplages dépendant du temps : un champ magnétique variable crée un champ électrique (induction, Maxwell-Faraday), et un champ électrique variable crée un champ magnétique (courant de déplacement, Maxwell-Ampère). De ces quatre équations découlent la conservation de la charge, les potentiels, et — en couplant les deux dernières — l'équation de propagation des ondes électromagnétiques. C'est le sommet conceptuel du programme de physique de MP. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Équations de Maxwell dans le vide (en présence de charges et courants) : les quatre équations locales (Maxwell-Gauss, Maxwell-flux, Maxwell-Faraday, Maxwell-Ampère) ; formes intégrales ; conservation de la charge (équation de continuité) ; courant de déplacement ; cas des régimes stationnaires (retour à l'électro/magnétostatique) et quasi-stationnaires (ARQS) ; induction (loi de Faraday) ; établissement de l'équation de propagation des champs dans le vide.

Prérequis

Électrostatique et magnétostatique : équations locales, Gauss, Ampère
Opérateurs vectoriels : divergence, rotationnel, laplacien, identités vectorielles
Équation de d'Alembert (physique des ondes)

🎯 Accompagnement Majorant

Les quatre équations de Maxwell, tu les récites — mais sais-tu ce qu'elles DISENT ? Chaque terme a un sens physique précis, et leur couplage donne les ondes. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font comprendre et manipuler Maxwell jusqu'à en dériver l'équation de propagation sans hésiter.

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1. Les quatre équations de Maxwell

Définition 1.1 — Les équations de Maxwell dans le vide

Dans le vide, en présence de densités de charge $ρ$ et de courant $j$ , les champs $E$ et $B$ vérifient :

div E = \frac{ρ}{ε _{0}} div B = 0 rot E = - \frac{\partial B}{\partial t} rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} (Maxwell-Gauss) (Maxwell-flux) (Maxwell-Faraday) (Maxwell-Amp \overset{e}{ˋ} re)

Les deux premières sont « structurelles » (sources scalaire/absente) ; les deux dernières couplent les champs dans le TEMPS.

Définition 1.2 — Sens physique de chaque équation

Maxwell-Gauss : les charges sont sources du flux de $E$ (comme en statique).
Maxwell-flux : pas de charge magnétique ( $B$ à flux conservatif, lignes fermées).
Maxwell-Faraday : un champ magnétique VARIABLE crée un champ électrique à circulation non nulle — c'est l'INDUCTION.
Maxwell-Ampère : les courants ET la variation de $E$ (courant de déplacement) sont sources du rotationnel de $B$ .

Définition 1.3 — Courant de déplacement

Le courant de déplacement est le terme $j_{D} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ ajouté par Maxwell à l'équation d'Ampère (qui s'écrit alors $rot B = μ_{0} (j + j_{D})$ ). Il n'est PAS associé à un mouvement de charges : c'est un champ électrique variable qui agit comme source de $B$ . Sans lui, l'équation d'Ampère serait incompatible avec la conservation de la charge en régime variable.

Théorème 1.4 — Conservation de la charge (équation de continuité) ★ À savoir démontrer

Les équations de Maxwell impliquent la conservation locale de la charge :

\frac{\partial ρ}{\partial t} + div j = 0.

Démonstration (divergence de Maxwell-Ampère)

Prenons la DIVERGENCE de Maxwell-Ampère :

div (rot B) = μ_{0} div j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial}{\partial t} (div E) .

Or la divergence d'un rotationnel est TOUJOURS nulle : $div (rot B) = 0$ . Et par Maxwell-Gauss, $div E = ρ / ε_{0}$ . En reportant :

0 = μ_{0} div j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial}{\partial t} \frac{ρ}{ε _{0}} = μ_{0} (div j + \frac{\partial ρ}{\partial t}),

d'où $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div j = 0$ . C'est justement pour assurer cette conservation que Maxwell a AJOUTÉ le courant de déplacement $μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ à l'équation d'Ampère (sinon, $div j = 0$ serait imposé, faux en régime variable). Génie historique à savoir raconter.

⚠ Piège — Le courant de déplacement n'est PAS un vrai courant. Le terme

μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E

de Maxwell-Ampère n'est pas dû à un déplacement de charges : c'est un champ électrique VARIABLE qui joue le rôle d'une source de

B

. Il est essentiel entre les armatures d'un condensateur en charge (où aucun courant réel ne circule) et pour la propagation des ondes. L'oublier casse la conservation de la charge.

2. Régimes stationnaire, quasi-stationnaire, et induction

Définition 2.1 — Régimes et ARQS

Régime stationnaire ( $\partial_{t} = 0$ ) : les équations de Maxwell se découplent et redonnent l'électrostatique ( $rot E = 0$ ) et la magnétostatique ( $rot B = μ_{0} j$ ). Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) : quand les dimensions du système sont petites devant la longueur d'onde ( $L ≪ c T$ , soit temps de propagation négligeable), on peut NÉGLIGER le courant de déplacement devant $j$ — c'est le cadre de l'électrocinétique et de l'induction.

Définition 2.2 — Flux magnétique et force électromotrice induite

Le flux magnétique à travers un circuit $Γ$ est $Φ = \iint_{S} B \cdot d S$ (weber). La force électromotrice induite $e$ est la circulation du champ électrique induit le long du circuit : $e = \oint_{Γ} E \cdot d ℓ$ . C'est une « tension » d'origine électromagnétique qui met les charges en mouvement — le moteur des alternateurs et transformateurs.

Théorème 2.3 — Loi de Faraday (forme intégrale de Maxwell-Faraday) ★ À savoir démontrer

La force électromotrice induite dans un circuit fermé $Γ$ est l'opposé de la dérivée du flux magnétique qui le traverse :

e = \oint_{Γ} E \cdot d ℓ = - \frac{d Φ}{d t}, Φ = \iint_{S} B \cdot d S .

Démonstration (Stokes appliqué à Maxwell-Faraday)

Partons de Maxwell-Faraday $rot E = - \partial_{t} B$ . Soit un contour fixe $Γ$ et une surface $S$ s'appuyant dessus. Le théorème de Stokes donne :

\oint_{Γ} E \cdot d ℓ = \iint_{S} rot E \cdot d S = - \iint_{S} \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d S = - \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot d S = - \frac{d Φ}{d t} .

(La dérivée temporelle sort de l'intégrale car le contour est FIXE.) Le signe « moins » est la loi de Lenz : le courant induit s'oppose à la variation de flux qui lui donne naissance. C'est le principe des alternateurs, transformateurs, plaques à induction. En cas de circuit MOBILE, un terme supplémentaire (force de Lorentz sur les porteurs) complète le bilan — loi de Faraday généralisée.

💡 Exemple — Le courant de déplacement dans un condensateur. Un condensateur en charge : un courant

i (t)

arrive sur l'armature, mais AUCUN courant réel ne traverse l'espace entre les armatures. Pourtant

B

y existe (cohérence d'Ampère). C'est le courant de déplacement

ε_{0} \partial_{t} E

qui « prend le relais » : entre les armatures,

ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} \cdot S = i (t)

, assurant la continuité du « courant total » à travers toute surface. L'exemple qui justifie le terme de Maxwell.

3. L'équation de propagation dans le vide

Théorème 3.1 — Équation de propagation des champs dans le vide ★ À savoir démontrer

Dans le vide SANS charges ni courants ( $ρ = 0$ , $j = 0$ ), chaque composante de $E$ et $B$ vérifie l'équation de d'Alembert :

Δ E = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}, c = \frac{1}{μ _{0} ε _{0}} \approx 3, 0 \times 1 0^{8} m/s .

Démonstration (rotationnel du rotationnel)

Prenons le rotationnel de Maxwell-Faraday $rot E = - \partial_{t} B$ :

rot (rot E) = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) .

Identité vectorielle : $rot (rot E) = \nabla (div E) - Δ E$ . Dans le vide sans charge, $div E = 0$ , donc le membre de gauche vaut $- Δ E$ . Pour le membre de droite, Maxwell-Ampère sans courant donne $rot B = μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ . En reportant :

- Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} (μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}) ⟹ Δ E = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .

C'est l'équation de d'Alembert avec $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ . Ce calcul (fait par Maxwell en 1865) a PRÉDIT que la lumière est une onde électromagnétique, car $1/ μ_{0} ε_{0}$ coïncide avec la vitesse de la lumière mesurée. Même équation pour $B$ , par symétrie.

⚠ Piège — La propagation exige div E = 0 (vide sans charge). Dans la démonstration, le terme

\nabla (div E)

de l'identité rot(rot) ne disparaît QUE parce que

div E = ρ / ε_{0} = 0

(absence de charge). En présence de charges, ce terme subsiste et l'équation de d'Alembert acquiert un second membre. Toujours préciser l'hypothèse « vide sans source » avant d'écrire l'équation homogène.

📐 Méthode-type — Exploiter les équations de Maxwell.

Identifier le régime : statique ( $\partial_{t} = 0$ ), ARQS (courant de déplacement négligeable), ou général (propagation).
Forme intégrale ou locale ? Locale pour établir des relations (propagation, continuité) ; intégrale (Gauss, Ampère, Faraday) pour calculer sous symétrie ou traiter un circuit.
Couplages temporels : Maxwell-Faraday pour l'induction (fem, Lenz) ; courant de déplacement pour la cohérence entre $E$ et $B$ .
Propagation : combiner les deux équations à rotationnel (rot(rot) + identité vectorielle) pour obtenir d'Alembert et $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ .

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Des quatre équations à l'équation de propagation : l'enchaînement qui couronne l'EM de MP. Un mentor Majorant te fait dérouler les démonstrations clés (continuité, Faraday, propagation) avec les identités vectorielles maîtrisées — un savoir-faire qui rapporte gros aux écrits X-ENS et Mines.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Maxwell est un chapitre de synthèse — les erreurs viennent des signes, des identités et de l'oubli du courant de déplacement. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Oublier le courant de déplacement. Maxwell-Ampère complète s'écrit

rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E

. Écrire seulement

μ_{0} j

(Ampère statique) est faux en régime variable — et casse la conservation de la charge. Le terme de déplacement n'est négligeable qu'en ARQS.

⚠ Erreur 2 — Se tromper de signe dans Maxwell-Faraday / Lenz.

rot E = - \partial_{t} B

, fem

= - d Φ/ d t

: le signe « moins » est la loi de Lenz (opposition à la variation). L'oublier ou l'inverser donne une fem de mauvais signe — le courant induit « alimenterait » la variation, absurde énergétiquement.

⚠ Erreur 3 — Confondre les hypothèses de la propagation. L'équation de d'Alembert des champs suppose le vide SANS charge ni courant (

ρ = 0

j = 0

), pour que

div E = 0

et que le terme

\nabla (div E)

disparaisse. En présence de sources, il y a des termes supplémentaires (équation avec second membre).

⚠ Erreur 4 — Mal utiliser l'identité rot(rot).

rot (rot A) = \nabla (div A) - Δ A

: c'est le grad(div) MOINS le laplacien. Se tromper de signe ou oublier un terme est la faute de calcul n°1 de la démonstration de propagation. Mémoriser l'identité exactement.

⚠ Erreur 5 — Croire que Maxwell-Gauss/flux changent en régime variable. Les DEUX premières équations (

div E = ρ / ε_{0}

div B = 0

) sont VALABLES en TOUT régime, y compris variable. Seules les équations à rotationnel gagnent des termes temporels. Ne pas ajouter de terme

\partial_{t}

aux divergences.

5. Pour aller plus loin

Maxwell est le socle de toute la physique des ondes et de l'énergie EM :

Énergie électromagnétique et vecteur de Poynting — le bilan d'énergie (théorème de Poynting) découle directement des équations de Maxwell.
Ondes électromagnétiques dans le vide — structure de l'onde plane progressive ( $E$ , $B$ , direction de propagation orthogonaux), polarisation.
Ondes dans les milieux — plasmas, conducteurs : la relation de dispersion vient de Maxwell dans le milieu (courant de conduction, réponse des charges).
Culture — les potentiels $V$ et $A$ , la jauge, la relativité (Maxwell est covariant, source de la relativité restreinte d'Einstein).

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire les quatre équations de Maxwell (Gauss, flux, Faraday, Ampère) ?
Sais-tu donner le sens physique de chacune (sources, induction, déplacement) ?
Sais-tu démontrer l'équation de continuité par la divergence de Maxwell-Ampère ?
Sais-tu pourquoi Maxwell a ajouté le courant de déplacement (conservation de la charge) ?
Sais-tu que le courant de déplacement n'est pas un vrai courant (condensateur) ?
Sais-tu distinguer régime stationnaire, ARQS, et régime général ?
Sais-tu démontrer la loi de Faraday (fem = −dΦ/dt) par Stokes, et énoncer Lenz ?
Sais-tu que Maxwell-Gauss et Maxwell-flux valent en TOUT régime ?
Sais-tu démontrer l'équation de propagation par rot(rot) et l'identité vectorielle ?
Connais-tu c = 1/√(μ₀ε₀) et le fait que la lumière est une onde EM ?
Sais-tu l'identité rot(rot A) = grad(div A) − ΔA (avec les bons signes) ?
Sais-tu quelles hypothèses (vide sans source) donnent d'Alembert sans second membre ?

Démonstrations à savoir refaire

Équation de continuité — divergence de Maxwell-Ampère, div(rot) = 0, Maxwell-Gauss
Loi de Faraday — Stokes appliqué à Maxwell-Faraday, fem = −dΦ/dt, Lenz
Équation de propagation — rot(rot E), identité vectorielle, c = 1/√(μ₀ε₀)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Les quatre équations de Maxwell

2. Régimes stationnaire, quasi-stationnaire, et induction

3. L'équation de propagation dans le vide

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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