Ondes EM dans les conducteurs

Vue d'ensemble

Que devient une onde électromagnétique lorsqu'elle rencontre un MÉTAL ? Contrairement au vide, un conducteur ohmique (loi d'Ohm $j = γ E$ ) dissipe et freine l'onde : celle-ci ne pénètre que sur une fine couche, l'effet de peau, d'épaisseur $δ = 2/ (μ_{0} γ ω)$ . Le champ y décroît EXPONENTIELLEMENT : la propagation devient une diffusion. À la limite du conducteur parfait ( $γ \to \infty$ ), l'onde est TOTALEMENT réfléchie : la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie forme une onde stationnaire, avec des nœuds et des ventres. Ces phénomènes expliquent le blindage électromagnétique, les cavités, les guides d'ondes et la réflexion des ondes radio sur les surfaces métalliques. Ce chapitre, propre à la PC, prolonge l'étude des ondes EM. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — Propagation d'une onde électromagnétique dans un conducteur ohmique : conductivité, ARQS dans un conducteur ; équation de diffusion du champ, relation de dispersion, épaisseur de peau, atténuation en

e^{- z / δ}

. Réflexion sur un conducteur parfait : conditions aux limites, coefficient de réflexion, onde stationnaire ; courants surfaciques. Approche du bilan d'énergie.

Prérequis

Équations de Maxwell, ondes EM dans le vide (OPPM)
Notation complexe, relation de dispersion, nombres complexes (racine carrée)
Conducteur ohmique, loi d'Ohm locale $j = γ E$

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1. Ondes dans un conducteur ohmique

Définition 1.1 — Conducteur ohmique, ARQS

Un conducteur ohmique vérifie la loi d'Ohm locale $j = γ E$ , avec $γ$ la conductivité (grande pour un métal). Dans un bon conducteur, le courant de conduction $j = γ E$ est très supérieur au courant de déplacement $ε_{0} \partial_{t} E$ tant que $γ ≫ ε_{0} ω$ : on peut négliger ce dernier (ARQS conducteur), ce qui simplifie Maxwell-Ampère en $rot B = μ_{0} γ E$ .

Définition 1.2 — Épaisseur de peau

L'épaisseur de peau caractérise la profondeur de pénétration de l'onde dans le conducteur :

δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .

Le champ décroît en $e^{- z / δ}$ . Plus la fréquence ou la conductivité sont élevées, plus $δ$ est petite : à haute fréquence, l'onde (et le courant) se concentrent en surface. Pour le cuivre : $δ \sim 1 cm$ à $50 Hz$ , $\sim 2 μ m$ à $1 GHz$ .

Définition 1.3 — Onde atténuée

Dans le conducteur, le vecteur d'onde devient COMPLEXE, $\underline{k} = \frac{1 - i}{δ}$ . La solution $\underline{E} = E_{0} e^{i (ω t - \underline{k} z)}$ s'écrit :

\underline{E} = E_{0} e^{- z / δ} e^{i (ω t - z / δ)} .

Le facteur $e^{- z / δ}$ est l'atténuation (amortissement spatial), $e^{i (ω t - z / δ)}$ la propagation. L'onde s'éteint sur quelques $δ$ .

Théorème 1.1 — Équation de diffusion et relation de dispersion ★ À savoir démontrer

Dans un conducteur ohmique (ARQS), le champ obéit à une équation de DIFFUSION (et non de propagation), avec une relation de dispersion :

Δ E = μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t}, \underline{k}^{2} = - i μ_{0} γ ω .

Démonstration (Maxwell → équation de diffusion → k)

Dans le conducteur, $div E = 0$ (pas d'accumulation de charge en volume). Prenons le rotationnel de Maxwell-Faraday $rot E = - \partial_{t} B$ et utilisons le double rotationnel $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - Δ E$ : $- Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) = - \frac{\partial}{\partial t} (μ_{0} γ E) = - μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t},$ d'où $Δ E = μ_{0} γ \partial_{t} E$ : ÉQUATION DE DIFFUSION.

Pour une OPPM $\underline{E} = E_{0} e^{i (ω t - \underline{k} z)}$ ( $Δ \to - \underline{k}^{2}$ , $\partial_{t} \to iω$ ) : $- \underline{k}^{2} = μ_{0} γ iω$ , soit $\underline{k}^{2} = - i μ_{0} γ ω$ . Comme $- i = \frac{1 - i}{2}$ , on obtient $\underline{k} = \frac{1 - i}{2} μ_{0} γ ω = \frac{1 - i}{δ}$ avec $δ = 2/ (μ_{0} γ ω)$ . La partie imaginaire de $\underline{k}$ donne l'atténuation $e^{- z / δ}$ . CQFD.

⚠ Piège — Dans un conducteur, c'est une DIFFUSION, pas une propagation. L'équation

Δ E = μ_{0} γ \partial_{t} E

est du PREMIER ordre en temps (comme la chaleur), pas une équation d'onde

\partial_{tt}

. L'onde y est amortie et dispersive. Ne pas parler de « célérité

c

» dans un conducteur : le champ diffuse et s'éteint.

2. Réflexion sur un conducteur parfait

Définition 2.1 — Conducteur parfait

Un conducteur parfait est la limite $γ \to + \infty$ : l'épaisseur de peau $δ \to 0$ , donc le champ ne pénètre PAS ( $E = 0$ et $B = 0$ à l'intérieur). Toute l'action se passe en surface : l'onde incidente est totalement réfléchie, et des courants surfaciques apparaissent sur la surface.

Définition 2.2 — Onde stationnaire

Une onde stationnaire résulte de la superposition de deux ondes de même amplitude se propageant en SENS OPPOSÉS. Sa forme $A (z) cos (ω t)$ sépare l'espace et le temps : tous les points vibrent EN PHASE, avec une amplitude $A (z)$ modulée. Les nœuds (amplitude nulle) et ventres (amplitude maximale) sont fixes.

Théorème 2.1 — Réflexion totale et onde stationnaire ★ À savoir démontrer

À la surface ( $z = 0$ ) d'un conducteur parfait occupant $z > 0$ , l'onde incidente (polarisée selon $x$ , se propageant selon $+ z$ ) est réfléchie avec un coefficient $r = - 1$ , et la superposition est une onde STATIONNAIRE :

\underline{E} (z, t) = - 2 i E_{0} sin (k z) e^{iω t} e_{x}, k = ω / c .

Démonstration (conditions aux limites + superposition)

Notons l'onde incidente $\underline{E}_{i} = E_{0} e^{i (ω t - k z)} e_{x}$ et la réfléchie $\underline{E}_{r} = \underline{r} E_{0} e^{i (ω t + k z)} e_{x}$ . À la surface du conducteur parfait, le champ à l'intérieur est nul, et la composante TANGENTIELLE de $E$ est continue : donc $E_{tot} (0, t) = 0$ .

En $z = 0$ : $E_{0} e^{iω t} + \underline{r} E_{0} e^{iω t} = 0$ , soit $1 + \underline{r} = 0$ , d'où $\underline{r} = - 1$ (réflexion totale, déphasage de $π$ ). Le champ total est $\underline{E} = E_{0} e^{iω t} (e^{- ik z} - e^{+ ik z}) e_{x} = - 2 i E_{0} sin (k z) e^{iω t} e_{x},$ via $e^{- ik z} - e^{ik z} = - 2 i sin (k z)$ . C'est une ONDE STATIONNAIRE : nœuds en $sin (k z) = 0$ ( $z = nλ /2$ ), le conducteur imposant un nœud de $E$ à sa surface. CQFD.

Théorème 2.2 — Courants surfaciques et structure de l'onde

La réflexion s'accompagne de courants surfaciques $j_{s}$ sur le conducteur parfait, reliés au champ magnétique tangentiel juste à l'extérieur par la relation de passage $B_{tan} = μ_{0} j_{s} \land n$ ( $n$ normale sortante). Dans l'onde stationnaire, la structure spatiale est décalée :

les nœuds de $E$ (dont un à la surface) coïncident avec les ventres de $B$ ;
ils sont séparés d'un quart de longueur d'onde ( $λ /4$ ).

Le champ magnétique est donc MAXIMAL à la surface, ce qui y impose un courant surfacique important — l'onde « n'entre pas », mais fait circuler des charges en surface.

📐 Méthode-type — Traiter une onde et un conducteur.

Régime conducteur : loi d'Ohm $j = γ E$ , ARQS (négliger le courant de déplacement), équation de diffusion → $\underline{k} = (1 - i) / δ$ .
Atténuation : le champ décroît en $e^{- z / δ}$ ; calculer $δ$ et vérifier l'ordre de grandeur.
Conducteur parfait : $E = 0$ à l'intérieur, continuité de la composante tangentielle → $r = - 1$ .
Onde stationnaire : superposer incidente + réfléchie, identifier nœuds et ventres (nœud de $E$ à la surface).

💡 Exemple — Le blindage électromagnétique. Une enceinte métallique atténue un champ extérieur d'un facteur

e^{- e / δ}

sur son épaisseur

e

. À

1 GHz

dans le cuivre (

δ \sim 2 μ m

), quelques dizaines de

μ m

suffisent à réduire le champ d'un facteur

e^{10} \approx 2 \times 1 0^{4}

: d'où l'efficacité des cages de Faraday et des blindages de câbles. L'effet de peau explique aussi pourquoi les conducteurs HF sont creux ou tressés (le courant ne circule qu'en surface).

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les ondes en milieu conducteur cumulent complexes et conditions aux limites. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Garder le courant de déplacement dans un bon conducteur. Dans un métal,

γ ≫ ε_{0} ω

: le courant de conduction

γ E

ÉCRASE le courant de déplacement

ε_{0} \partial_{t} E

, qu'on néglige (ARQS conducteur). Le garder complique inutilement — mais préciser l'hypothèse

γ ≫ ε_{0} ω

⚠ Erreur 2 — Mal calculer √(−i).

\underline{k}^{2} = - i μ_{0} γ ω

donne

\underline{k} = \pm \frac{1 - i}{2} μ_{0} γ ω

, car

- i = e^{- iπ /4} = \frac{1 - i}{2}

. Choisir la racine qui donne une amplitude DÉCROISSANTE (

e^{- z / δ}

) dans le sens de pénétration. Une erreur sur

- i

fausse

δ

⚠ Erreur 3 — Confondre diffusion et propagation. Dans un conducteur, l'équation est

Δ E = μ_{0} γ \partial_{t} E

(premier ordre en temps, DIFFUSION), pas

\partial_{tt} E = c^{2} Δ E

. Parler de vitesse

c

est une faute : le champ diffuse et s'amortit, il ne se propage pas librement.

⚠ Erreur 4 — Oublier r = −1 (déphasage à la réflexion). Sur un conducteur parfait, le coefficient de réflexion en amplitude du champ électrique tangentiel est

r = - 1

(déphasage de

π

) : le champ électrique a un NŒUD à la surface. Écrire

r = + 1

place à tort un ventre. C'est la continuité de

E

tangentiel (

= 0

) qui impose

r = - 1

⚠ Erreur 5 — Placer les nœuds de E et de B au même endroit. Dans l'onde stationnaire, les nœuds de

E

coïncident avec les VENTRES de

B

(et réciproquement) : ils sont décalés de

λ /4

. Le conducteur impose un nœud de

E

(et un ventre de

B

) à sa surface. Ne pas les superposer.

4. Pour aller plus loin

Les ondes en milieu conducteur ouvrent sur l'électromagnétisme appliqué :

Cavités et guides d'ondes — les ondes stationnaires entre parois conductrices définissent des modes (fours micro-ondes, lasers, télécoms).
Blindage et compatibilité électromagnétique — cages de Faraday, blindages de câbles : l'effet de peau en ingénierie.
Plasmas — autre milieu où la propagation se modifie (pulsation plasma, réflexion ionosphérique).
Pression de radiation — l'onde réfléchie exerce une force sur le conducteur (culture, voiles solaires).

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu ce qu'est l'ARQS dans un conducteur (γ ≫ ε₀ω) ?
Sais-tu que Maxwell-Ampère devient rot B = μ₀ γ E ?
Sais-tu démontrer l'équation de diffusion ΔE = μ₀γ ∂ₜE ?
Sais-tu calculer k² = −iμ₀γω et k = (1−i)/δ ?
Connais-tu l'épaisseur de peau δ = √(2/(μ₀γω)) ?
Sais-tu que le champ décroît en e^(−z/δ) (atténuation) ?
Sais-tu que dans un conducteur c'est une DIFFUSION (pas propagation) ?
Sais-tu qu'un conducteur parfait a E = 0 à l'intérieur (δ → 0) ?
Sais-tu démontrer r = −1 (continuité de E tangentiel = 0) ?
Sais-tu obtenir l'onde stationnaire E = −2i E₀ sin(kz) e^(iωt) ?
Sais-tu qu'il y a un nœud de E à la surface du conducteur ?
Sais-tu que les nœuds de E sont les ventres de B (décalage λ/4) ?

Démonstrations à savoir refaire

Équation de diffusion et effet de peau — double rotationnel, k = (1−i)/δ
Réflexion et onde stationnaire — conditions aux limites, r = −1

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Ondes dans un conducteur ohmique

2. Réflexion sur un conducteur parfait

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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