📘 Fiche de cours · 2e année⚗️ PC⚡ Physique

Puits de potentiel et effet tunnel

Les deux grands cas quantiques 1D de PC : le puits de potentiel infini (états liés, quantification Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²) démontrée par Schrödinger + conditions aux bords, fonctions d'onde φₙ = √(2/L) sin(nπx/L), énergie de point zéro E₁ > 0, nœuds et principe de correspondance) et l'effet tunnel (onde évanescente en e^(−κx) dans la zone interdite, longueur de pénétration δ = 1/κ, coefficient de transmission T ∼ e^(−2κL), conservation R + T = 1, applications STM et radioactivité α). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions5 théorèmes3 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Deux résultats spectaculaires closent la mécanique quantique de PC, tous deux issus de l'équation de Schrödinger stationnaire. D'abord, une particule confinée — un électron dans une boîte, un atome, un fil nanométrique — ne peut avoir que des énergies DISCRÈTES : c'est la quantification de l'énergie, illustrée par le modèle du puits de potentiel infini (la « particule dans une boîte »), avec ses niveaux $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ , ses fonctions d'onde sinusoïdales et son énergie de point zéro $E_{1} > 0$ . Ensuite, une particule d'énergie $E < V_{0}$ peut traverser une barrière de potentiel qu'elle ne pourrait jamais franchir classiquement : c'est l'effet tunnel, dû à l'onde évanescente qui décroît en $e^{- κ x}$ dans la zone interdite, avec un coefficient de transmission $T \sim e^{- 2 κ L}$ d'une sensibilité extrême à la largeur — exploitée par le microscope à effet tunnel. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — États liés dans un puits de potentiel : équation de Schrödinger stationnaire, conditions aux limites ; puits infini, quantification

E_{n} = n^{2} π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2})

et fonctions d'onde stationnaires ; énergie de point zéro, nombre de nœuds, principe de correspondance. Marches et barrières : solutions oscillantes (

E > V

) et évanescentes (

E < V

), longueur de pénétration ; effet tunnel, coefficient de transmission

T \sim e^{- 2 κ L}

, conservation du courant (

R + T = 1

) ; applications (STM, radioactivité α).

Prérequis

Fonction d'onde, équation de Schrödinger stationnaire, normalisation
États stationnaires, conditions de raccordement (continuité de φ et φ')
Équations différentielles linéaires du 2ᵉ ordre (solutions sinusoïdales et e^(±κx))

🎯 Accompagnement Majorant

Puits infini et effet tunnel : les deux calculs quantiques que tout jury attend en PC. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font dériver $E_{n}$ , $φ_{n}$ et l'estimation $T \sim e^{- 2 κ L}$ de A à Z — le socle de tous les problèmes de quantique 1D au concours.

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1. États liés et puits de potentiel infini

Définition 1.1 — État lié, état de diffusion

Un état lié est un état où la particule est CONFINÉE (fonction d'onde localisée, de carré intégrable, tendant vers $0$ à l'infini) : l'énergie y est quantifiée. Un état de diffusion (ou état libre) correspond à une particule non confinée, d'énergie continue. Le confinement est la CAUSE de la quantification.

Définition 1.2 — Puits de potentiel infini

Le puits infini (« particule dans une boîte » 1D) est le potentiel :

V (x) = {0 + \infty si 0 \leq x \leq L, sinon.

La particule est piégée entre deux murs infranchissables en $x = 0$ et $x = L$ . Les états stationnaires sont indexés par un nombre quantique entier $n \in N^{*}$ : $n = 1$ est le fondamental, $n \geq 2$ les états excités.

Théorème 1.1 — Quantification de l'énergie du puits infini ★ À savoir démontrer

Les seules énergies possibles d'une particule de masse $m$ dans un puits infini de largeur $L$ sont :

E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}, n \in N^{*} .

Le spectre est DISCRET. Les niveaux s'écartent comme $n^{2}$ ( $E_{1}, 4 E_{1}, 9 E_{1}, \dots$ ) et $E_{n} \propto 1/ L^{2}$ : plus la boîte est petite, plus les niveaux sont hauts et espacés.

Démonstration (Schrödinger + conditions aux bords)

Dans le puits ( $0 \leq x \leq L$ , $V = 0$ ), l'équation de Schrödinger stationnaire est $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} = E φ$ , soit $φ^{''} = - k^{2} φ$ avec $k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}}$ ( $E > 0$ ). Les solutions sont $φ (x) = A sin (k x) + B cos (k x)$ .

Conditions aux limites : la fonction d'onde est nulle sur les murs (probabilité de présence nulle dans la zone interdite, où $V = + \infty$ ), et par continuité $φ (0) = φ (L) = 0$ . De $φ (0) = 0$ : $B = 0$ . De $φ (L) = A sin (k L) = 0$ avec $A \neq = 0$ (sinon $φ \equiv 0$ ) : $sin (k L) = 0$ , donc $k L = nπ$ , $n \in N^{*}$ .

Quantification : $k_{n} = \frac{nπ}{L}$ , d'où $E_{n} = \frac{ℏ ^{2} k _{n}^{2}}{2 m} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ . Seules ces valeurs discrètes sont permises ( $n = 0$ donnerait $φ \equiv 0$ , exclu). CQFD.

2. Fonctions d'onde et énergie de point zéro

Théorème 2.1 — Fonctions d'onde normalisées ★ À savoir démontrer

Les fonctions d'onde stationnaires normalisées du puits infini sont :

φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin (\frac{nπ x}{L}), 0 \leq x \leq L .

Démonstration (condition de normalisation)

La fonction d'onde $φ_{n} (x) = A sin (nπ x / L)$ doit être normalisée : $\int_{0}^{L} ∣ φ_{n} (x) ∣^{2} d x = 1$ . Avec $sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$ : $\int_{0}^{L} sin^{2} (\frac{nπ x}{L}) d x = \frac{L}{2} - \frac{1}{2} = 0 \int_{0}^{L} cos (\frac{2 nπ x}{L}) d x = \frac{L}{2},$ l'intégrale du cosinus étant nulle sur un nombre entier de périodes.

Donc $A^{2} \cdot \frac{L}{2} = 1$ , d'où $A = \frac{2}{L}$ et $φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin (\frac{nπ x}{L})$ . CQFD. La densité $∣ φ_{n} ∣^{2}$ présente $n$ ventres et $n - 1$ nœuds intérieurs.

Définition 2.1 — Énergie de point zéro

L'énergie de point zéro est l'énergie du fondamental :

E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} > 0.

Elle est STRICTEMENT POSITIVE : une particule confinée ne peut jamais être au repos ( $E = 0$ interdit). C'est une conséquence des inégalités de Heisenberg — confiner ( $Δ x \sim L$ fini) impose une quantité de mouvement non nulle ( $Δ p ≳ ℏ/ L$ ), donc une énergie cinétique minimale.

Théorème 2.2 — Propriétés du spectre et principe de correspondance

Les états $φ_{n}$ forment une famille orthonormée ( $\int_{0}^{L} φ_{n} φ_{m} = δ_{nm}$ ). La fonction $φ_{n}$ possède $n - 1$ nœuds intérieurs. Pour $n$ grand, la densité de probabilité s'uniformise : on retrouve le comportement classique (particule équiprobable partout) — c'est le principe de correspondance.

💡 Exemple — Ordre de grandeur pour un électron confiné. Pour un électron (

m \approx 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg

) dans une boîte de taille atomique

L = 0, 1 nm

E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} \approx 6 \times 1 0^{- 18} J \approx 38 eV

— du bon ordre de grandeur des énergies atomiques. Pour un objet macroscopique (

L = 1 cm

E_{1}

est fantastiquement petite : la quantification est inobservable, on retrouve le continuum classique.

📝 À retenir — trois lectures d'un même spectre. Les niveaux

E_{n} \propto n^{2}

se lisent de trois façons complémentaires : mathématiquement (valeurs propres du hamiltonien fixées par les conditions aux bords), physiquement (ondes stationnaires à

n

ventres, comme une corde de Melde quantique) et énergétiquement (confinement + Heisenberg imposant

E_{1} > 0

). Savoir passer de l'une à l'autre est ce que les jurys valorisent.

3. Onde évanescente et effet tunnel

Définition 3.1 — Onde évanescente et longueur de pénétration

Dans une zone où $E < V_{0}$ (classiquement interdite), la fonction d'onde est évanescente : elle décroît en $e^{- κ x}$ , avec

κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}, δ = \frac{1}{κ} = \frac{ℏ}{2 m ( V _{0} - E )} .

$δ$ est la longueur de pénétration : profondeur typique sur laquelle l'onde pénètre la zone interdite avant de s'éteindre. Plus la barrière est haute ( $V_{0} - E$ grand), plus $δ$ est petite.

⚠ Piège — Onde évanescente n'est pas onde absorbée. Dans la zone interdite, l'amplitude décroît en

e^{- κ x}

SANS aucune dissipation : l'énergie n'est pas absorbée, la particule n'est pas « ralentie ». Il ne s'agit pas d'un amortissement temporel (comme un oscillateur amorti) mais d'une décroissance SPATIALE de la fonction d'onde stationnaire. Si la barrière s'arrête avant extinction, l'onde ressort intacte en régime oscillant : c'est tout l'effet tunnel.

Définition 3.2 — Effet tunnel, coefficients R et T

L'effet tunnel est la traversée, par une particule d'énergie $E < V_{0}$ , d'une barrière de potentiel (hauteur $V_{0}$ , largeur $L$ ) — franchissement IMPOSSIBLE en physique classique. On décompose l'onde en incidente, réfléchie, transmise. Le coefficient de réflexion $R$ et le coefficient de transmission $T$ sont les rapports des courants de probabilité :

R = \frac{∣ j _{r \overset{e}{ˊ} fl \overset{e}{ˊ} chi} ∣}{∣ j _{incident} ∣}, T = \frac{∣ j _{transmis} ∣}{∣ j _{incident} ∣} .

Théorème 3.1 — Coefficient de transmission (barrière épaisse) ★ À savoir démontrer

Pour une barrière de largeur $L$ et de hauteur $V_{0} > E$ , dans la limite d'une barrière « épaisse » ( $κ L ≫ 1$ ), le coefficient de transmission décroît exponentiellement :

T \sim e^{- 2 κ L}, κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ} .

Démonstration (onde évanescente puis estimation par l'amplitude)

Onde évanescente. Dans la barrière ( $V = V_{0}$ ), l'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V_{0} φ = E φ$ , soit $φ^{''} (x) = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} φ (x) = κ^{2} φ (x), κ^{2} = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} > 0$ (coefficient POSITIF car $E < V_{0}$ ). Les solutions sont les exponentielles RÉELLES $φ (x) = A e^{- κ x} + B e^{+ κ x}$ — et non des sinusoïdes. Pour une barrière épaisse, le terme croissant est négligeable : $φ (x) \approx A e^{- κ x}$ .

Estimation de T. À l'entrée ( $x = 0$ ), $φ (0) = A$ ; à la sortie ( $x = L$ ), $φ (L) \approx A e^{- κ L}$ . Le coefficient de transmission est un rapport de courants, donc d'AMPLITUDES au carré : $T \sim \frac{φ ( L )}{φ ( 0 )}^{2} = e^{- κ L}^{2} = e^{- 2 κ L} .$ Le facteur $e^{- 2 κ L}$ domine tout : $T$ est exponentiellement petit mais NON NUL. Le calcul exact ajoute un préfacteur (de la forme $16 \frac{E}{V _{0}} (1 - \frac{E}{V _{0}})$ ) sans changer la dépendance dominante. CQFD.

Théorème 3.2 — Conservation du courant de probabilité

En régime stationnaire, sans absorption, le courant de probabilité est le même partout, ce qui impose :

R + T = 1.

La particule est soit réfléchie, soit transmise. C'est un excellent CONTRÔLE de cohérence : si l'on trouve $R + T \neq = 1$ ou $T > 1$ , il y a une erreur.

💡 Exemple — Microscope à effet tunnel (STM) et radioactivité α. Dans un STM, une pointe est approchée à

d \sim 1 nm

d'une surface : le courant tunnel varie comme

I \propto e^{- 2 κ d}

. Avec

κ \sim 1 0^{10} m^{- 1}

, une variation de

d

0, 1 nm

(un rayon atomique) change

I

d'un facteur

e^{2} \approx 7

— on « voit » les atomes un par un (Nobel 1986). De même, la particule α s'échappe d'un noyau par effet tunnel à travers la barrière coulombienne : la sensibilité exponentielle de

T

explique la gigantesque gamme des durées de vie α (loi de Geiger-Nuttall, modèle de Gamow 1928).

📐 Méthode-type — Traiter une barrière ou un puits.

Découper l'espace en régions et poser l'équation de Schrödinger stationnaire dans chacune.
Résoudre par région : oscillant $e^{\pm ik x}$ ( $k = 2 m E /ℏ$ ) si $E > V$ ; évanescent $e^{\pm κ x}$ ( $κ = 2 m (V_{0} - E) /ℏ$ ) si $E < V_{0}$ .
Raccorder $φ$ (et $φ^{'}$ si $V$ fini) aux interfaces → relations entre amplitudes ; sur un mur INFINI, seule $φ = 0$ est imposée.
Conclure : quantifier (états liés) ou calculer $T$ et $R$ (barrière), retenir $T \sim e^{- 2 κ L}$ et vérifier $R + T = 1$ .

🧑‍🏫 L'effet tunnel au point

Onde évanescente, raccordements, T ∼ e^(−2κL) : la mécanique des barrières quantiques. Un mentor Majorant te fait dérouler le calcul complet et l'estimation exponentielle, avec les applications (STM, radioactivité α) que les jurys adorent.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Puits et barrières sont des calculs balisés — les erreurs viennent des conditions aux limites, du régime (oscillant vs évanescent) et de l'interprétation. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Inclure n = 0 ou oublier l'énergie de point zéro. Le nombre quantique commence à

n = 1

n = 0

donnerait

φ \equiv 0

, non physique. Le fondamental est

n = 1

, avec

E_{1} = π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2}) > 0

STRICTEMENT : une particule confinée n'est jamais au repos (Heisenberg). Écrire

n \in N^{*}

, pas

N

⚠ Erreur 2 — Se tromper dans la normalisation ou la dépendance en n, L.

\int_{0}^{L} sin^{2} (nπ x / L) d x = L /2

(pas

L

), d'où

A = 2/ L

. Et

E_{n} \propto n^{2}

(pas

n

E_{n} \propto 1/ L^{2}

(pas

1/ L

). Vérifier ces exposants par analyse dimensionnelle (

[E] = ℏ^{2} / (m L^{2})

⚠ Erreur 3 — Écrire des sinusoïdes dans la zone interdite. Pour

E < V_{0}

, l'équation est

φ^{''} = κ^{2} φ

(coefficient POSITIF), dont les solutions sont des EXPONENTIELLES réelles

e^{\pm κ x}

, PAS des

e^{\pm ik x}

. Se tromper de régime (oscillant vs évanescent) est l'erreur n°1 sur les barrières. Bien comparer

E

V

⚠ Erreur 4 — Confondre amplitude et probabilité pour T.

T

est un rapport de courants, donc d'amplitudes au CARRÉ :

T \sim ∣ e^{- κ L} ∣^{2} = e^{- 2 κ L}

(facteur

2

dans l'exposant !). Écrire

T \sim e^{- κ L}

(sans le

2

) est une erreur fréquente. Et toujours vérifier

R + T = 1

⚠ Erreur 5 — Raccorder φ' sur un mur infini, ou faire « gagner » de l'énergie. À un mur de potentiel INFINI, seule

φ

est continue (

φ = 0

) ;

φ^{'}

peut être discontinue. Par ailleurs, en effet tunnel la particule ne dépasse jamais

E < V_{0}

et ressort avec la MÊME énergie : ne pas dire qu'elle « emprunte » de l'énergie (image populaire mais fausse au niveau PC).

5. Pour aller plus loin

Puits et effet tunnel sont au cœur de toute la matière quantifiée et de l'électronique quantique :

Puits de profondeur finie — la fonction d'onde « déborde » (onde évanescente hors du puits) ; nombre fini d'états liés.
Oscillateur harmonique quantique — niveaux équidistants $E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ , l'autre grand modèle exactement soluble.
Boîtes et fils quantiques, diode tunnel — LED, lasers, jonctions : la quantification et le tunnel exploités en ingénierie.
Radioactivité α et fusion stellaire — le tunnel gouverne les durées de vie nucléaires et l'allumage des étoiles.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu distinguer état lié (confiné, énergie quantifiée) et état de diffusion ?
Sais-tu poser le puits infini (V = 0 sur [0,L], +∞ ailleurs), n ∈ ℕ* ?
Sais-tu démontrer Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²) (Schrödinger + φ(0)=φ(L)=0 → kL=nπ) ?
Sais-tu que le spectre est discret et que Eₙ ∝ n² et ∝ 1/L² ?
Sais-tu démontrer φₙ(x) = √(2/L) sin(nπx/L) (∫sin² = L/2) ?
Sais-tu que l'énergie de point zéro E₁ > 0 (Heisenberg) et que φₙ a n−1 nœuds ?
Connais-tu le principe de correspondance (n grand → classique) ?
Sais-tu que dans la zone interdite (E < V₀) l'onde est évanescente, κ = √(2m(V₀−E))/ℏ ?
Sais-tu définir la longueur de pénétration δ = 1/κ ?
Sais-tu démontrer/estimer T ∼ e^(−2κL) (barrière épaisse, amplitude²) ?
Sais-tu que R + T = 1 (conservation du courant) ?
Sais-tu qu'on ne raccorde PAS φ' sur un mur infini et que la particule ne gagne pas d'énergie ?

Démonstrations à savoir refaire

Quantification de l'énergie — Schrödinger, φ(0)=φ(L)=0, kL=nπ, Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²)
Fonctions d'onde normalisées — ∫sin² = L/2, φₙ = √(2/L) sin(nπx/L)
Effet tunnel — onde évanescente φ = A e^(−κx), T ∼ e^(−2κL)

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