📘 Fiche de cours · 2e année⚗️ PC⚡ Physique

Interféromètre de Fabry-Pérot

L'interférométrie à ondes multiples en PC : cavité Fabry-Pérot à deux miroirs réfléchissants, coefficients R et T, déphasage aller-retour φ = (2π/λ)·2ne·cos i, sommation d'une infinité d'ondes cohérentes et fonction d'Airy It/I0 = 1/(1 + m·sin²(φ/2)) avec m = 4R/(1−R)² démontrée par série géométrique, finesse F = π√R/(1−R) démontrée par la largeur à mi-hauteur, pouvoir de résolution λ/Δλ = pF, intervalle spectral libre et comparaison avec le Michelson. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

6 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

L'interféromètre de Fabry-Pérot est un dispositif d'interférences à ondes multiples : deux miroirs partiellement réfléchissants et parallèles piègent la lumière, qui subit une infinité de réflexions. La sommation de ces ondes en progression géométrique donne la fonction d'Airy, dont les pics de transmission sont d'autant plus fins que la réflectivité est grande. Cette finesse fait du Fabry-Pérot l'outil de la spectroscopie haute résolution et la cavité résonante des lasers. Cette fiche regroupe les 3 résultats incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire (fonction d'Airy et finesse) et les pièges de copie.

Au programme PC (officiel) — Dispositifs interférentiels à ondes multiples ; cavité Fabry-Pérot ; déphasage entre ondes successives ; sommation d'ondes multiples et fonction d'Airy de la transmittance ; affinement des pics avec la réflectivité, finesse et pouvoir de résolution ; comparaison avec les interférences à deux ondes (Michelson). Le calcul complet de la fonction d'Airy est fréquemment support de problème.

Prérequis

Interférences à deux ondes : déphasage, différence de marche, formule de Fresnel
Interféromètre de Michelson (lame d'air, anneaux d'égale inclinaison)
Coefficients de réflexion $r$ et transmission $t$ en amplitude, et $R = r^{2}$ , $T = t^{2}$ en intensité
Somme d'une série géométrique complexe $\sum z^{k} = 1/ (1 - z)$ pour $∣ z ∣ < 1$

🎯 Accompagnement Majorant

Passer des interférences à deux ondes à une infinité d'ondes te déstabilise ? Le cœur du chapitre est une simple série géométrique — mais le déphasage et les coefficients $R$ , $T$ doivent être posés sans erreur. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font dérouler la fonction d'Airy jusqu'à ce qu'elle devienne évidente.

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1. Principe de la cavité et grandeurs clés

Définition 1.1 — Cavité Fabry-Pérot

Une cavité Fabry-Pérot est constituée de deux surfaces planes parallèles, partiellement réfléchissantes, séparées d'une épaisseur $e$ de milieu d'indice $n$ . Un rayon incident sous l'angle $i$ subit une succession de réflexions internes ; à chaque passage, une fraction est transmise vers la sortie. Toutes les ondes transmises interfèrent.

Définition 1.2 — Coefficients de réflexion et de transmission en intensité

On note $R$ le facteur de réflexion en intensité d'un miroir et $T$ son facteur de transmission. Pour un miroir sans absorption :

R + T = 1, R, T \in [0, 1] .

C'est $R$ proche de 1 (miroirs très réfléchissants) qui rend l'interféromètre performant.

Définition 1.3 — Déphasage entre deux ondes transmises successives

Deux ondes transmises consécutives diffèrent d'un aller-retour dans la cavité, soit une différence de marche $δ_{marche} = 2 n e cos i$ et un déphasage :

φ = \frac{2 π}{λ _{0}} 2 n e cos i .

Ce déphasage $φ$ est le paramètre unique dont dépend toute la figure d'interférence.

Définition 1.4 — Coefficient de finesse (contraste)

On appelle coefficient de finesse le nombre sans dimension :

m = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}} .

Il mesure le contraste de la figure : $m$ est petit quand $R \to 0$ (retour au régime à deux ondes) et diverge quand $R \to 1$ (pics infiniment contrastés).

Définition 1.5 — Intervalle spectral libre

L'intervalle spectral libre est l'écart entre deux ordres d'interférence consécutifs, c'est-à-dire la variation $Δ φ = 2 π$ du déphasage. En fréquence, à incidence normale, il vaut $Δ ν_{ISL} = \frac{c}{2 n e}$ .

📝 Deux ondes vs une infinité. Le Michelson fait interférer deux ondes et donne des franges sinusoïdales (larges). Le Fabry-Pérot fait interférer une infinité d'ondes ; c'est ce qui transforme les franges larges en pics étroits. Tout le gain de résolution vient de là.

⚠ Piège dès la mise en équations. La différence de marche entre deux ondes successives est

2 n e cos i

(avec le cosinus de l'angle d'incidence, pas du sinus), et le déphasage utile est celui d'un aller-retour complet. Beaucoup d'élèves écrivent

n e cos i

(un seul trajet) et perdent un facteur 2 sur tout le raisonnement.

2. Sommation des ondes multiples et fonction d'Airy

Théorème 2.1 — Fonction d'Airy (transmittance de la cavité) ★ À savoir démontrer

L'intensité transmise, normalisée par l'intensité incidente, est la fonction d'Airy :

\frac{I _{t}}{I _{0}} = \frac{1}{1 + m sin ^{2} ( \frac{φ}{2} )}, m = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}} .

Elle vaut 1 (transmission maximale, cavité résonante) quand $φ = 2 π p$ , et chute d'autant plus vite que $m$ est grand.

Démonstration (somme d'une série géométrique d'ondes transmises)

Notons $r$ et $t$ les coefficients en amplitude ( $R = r^{2}$ , $T = t^{2}$ ). L'onde transmise après $k$ allers-retours a subi deux transmissions (entrée + sortie) et $2 k$ réflexions internes, avec un déphasage $k φ$ . Les amplitudes transmises forment une progression géométrique de raison $r^{2} e^{i φ} = R e^{i φ}$ :

\underline{a}_{t} = t^{2} \underline{a}_{0} k = 0 \sum + \infty (R e^{i φ})^{k} = \frac{t ^{2}}{1 - R e ^{i φ}} \underline{a}_{0} .

(La série converge car $R < 1$ .) L'intensité transmise est le module carré :

\frac{I _{t}}{I _{0}} = \frac{T ^{2}}{1 - R e ^{i φ} ^{2}} = \frac{T ^{2}}{( 1 - R ) ^{2} + 4 R sin ^{2} ( φ /2 )},

en utilisant $∣1 - R e^{i φ} ∣^{2} = (1 - R cos φ)^{2} + (R sin φ)^{2} = (1 - R)^{2} + 2 R (1 - cos φ) = (1 - R)^{2} + 4 R sin^{2} (φ /2)$ . Pour des miroirs sans absorption $T = 1 - R$ , donc $T^{2} = (1 - R)^{2}$ , et en factorisant par $(1 - R)^{2}$ :

\frac{I _{t}}{I _{0}} = \frac{1}{1 + \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}} sin ^{2} ( φ /2 )} = \frac{1}{1 + m sin ^{2} ( φ /2 )} .

Proposition 2.2 — Positions des maxima et complémentarité

La transmission est maximale ( $I_{t} = I_{0}$ ) pour $φ = 2 π p$ , $p \in Z$ (accord de résonance de la cavité). En l'absence d'absorption, l'intensité réfléchie est complémentaire : $\frac{I _{r}}{I _{0}} = 1 - \frac{I _{t}}{I _{0}}$ , de sorte que les pics brillants en transmission correspondent aux creux sombres en réflexion.

💡 Exemple — Effet de la réflectivité. Pour

R = 0, 04

(verre nu),

m \approx 0, 17

: la fonction d'Airy est presque sinusoïdale, on retrouve le régime à deux ondes. Pour

R = 0, 9

m = \frac{4 \times 0 , 9}{0 , 1 ^{2}} = 360

: les pics deviennent très étroits et brillants sur fond noir — c'est le régime utile pour la spectroscopie.

⚠ Piège — l'hypothèse « sans absorption » n'est pas gratuite. La simplification

T^{2} = (1 - R)^{2}

qui donne

I_{t}^{m a x} = I_{0}

suppose des miroirs non absorbants (

R + T = 1

). Avec absorption

A

(

R + T + A = 1

), le maximum de transmission chute à

(T / (1 - R))^{2} < 1

: la cavité ne transmet plus toute la lumière à la résonance. Ne pose

T = 1 - R

que si l'énoncé néglige explicitement l'absorption.

🧑‍🏫 La série géométrique complexe te piège ?

La sommation $\sum (R e^{i φ})^{k}$ et le passage au module carré sont LE calcul du chapitre. En une séance, un mentor Majorant alumni de l'X te fait retrouver la fonction d'Airy pas à pas, sans sauter l'étape $∣1 - R e^{i φ} ∣^{2}$ — exactement ce que le correcteur veut voir détaillé.

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3. Finesse et pouvoir de résolution

Définition 3.1 — Finesse

La finesse $F$ est le rapport de l'intervalle spectral libre à la largeur des pics (à mi-hauteur) : elle compte combien de pics « tiennent » entre deux ordres. Plus $F$ est grande, plus les pics sont fins.

Théorème 3.2 — Expression de la finesse ★ À savoir démontrer

La finesse ne dépend que de la réflectivité des miroirs :

F = \frac{π R}{1 - R} = \frac{π m}{2} .

Démonstration (largeur à mi-hauteur d'un pic d'Airy)

Au voisinage d'un maximum $φ = 2 π p$ , posons $φ = 2 π p + ϵ$ . La transmission vaut $1/2$ (mi-hauteur) lorsque :

m sin^{2} (φ /2) = 1 ⟹ sin (φ /2) = \frac{1}{m} .

Comme les pics utiles sont étroits ( $m$ grand), $ϵ$ est petit et $sin (φ /2) \approx ϵ /2$ , d'où $ϵ /2 \approx 1/ m$ . La largeur totale à mi-hauteur (deux côtés) est donc :

Δ φ_{1/2} = 2 ∣ ϵ ∣ = \frac{4}{m} .

La finesse est le rapport de l'intervalle spectral libre $Δ φ_{ISL} = 2 π$ à cette largeur :

F = \frac{2 π}{Δ φ _{1/2}} = \frac{2 π}{4/ m} = \frac{π m}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{2 R}{1 - R} = \frac{π R}{1 - R} .

Théorème 3.3 — Pouvoir de résolution

Le pouvoir de résolution spectrale d'un Fabry-Pérot est le produit de l'ordre d'interférence $p$ par la finesse :

\frac{λ}{Δ λ} = p F .

Avec des miroirs à $R = 0, 95$ ( $F \approx 60$ ) et un ordre élevé, on atteint des pouvoirs de résolution de $1 0^{6}$ et plus — hors de portée d'un Michelson, ce qui explique l'usage du Fabry-Pérot en spectroscopie fine (structure hyperfine, effet Zeeman).

💡 Exemple — Séparer le doublet du sodium. Le doublet jaune du sodium (

λ \approx 589 nm

Δ λ \approx 0, 6 nm

) exige un pouvoir de résolution

λ /Δ λ \approx 1 0^{3}

. Avec une cavité d'épaisseur

e = 1 mm

(ordre

p = 2 e / λ \approx 3400

) et des miroirs à

R = 0, 9

(

F \approx 30

), on atteint

p F \approx 1 0^{5}

: le doublet est séparé très largement, là où un simple Michelson peine.

📝 Comparatif express. Michelson : 2 ondes, franges en

cos^{2}

, résolution modeste, réglage facile. Fabry-Pérot :

\infty

ondes, pics d'Airy, résolution

p F

très élevée, mais parallélisme des miroirs critique. Le second se paye en exigence mécanique ce qu'il gagne en finesse.

📐 Méthode-type — Dimensionner un Fabry-Pérot pour séparer deux longueurs d'onde.

Réflectivité. Choisir $R$ puis calculer la finesse $F = π R / (1 - R)$ .
Ordre. Estimer l'ordre $p \approx 2 n e / λ$ à incidence normale.
Pouvoir de résolution. Calculer $λ /Δ λ = p F$ .
Vérifier la séparation. Comparer $Δ λ$ résolvable à l'écart des deux raies à séparer ; ajuster $e$ ou $R$ si nécessaire.
Intervalle spectral libre. Vérifier que l'écart des raies reste inférieur à l'ISL pour éviter le recouvrement d'ordres.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent régulièrement dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves d'optique interférentielle. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points.

⚠ Erreur 1 — Sommer les intensités au lieu des amplitudes. Les ondes transmises sont cohérentes : on somme les amplitudes complexes (série géométrique), puis on prend le module carré. Additionner directement les intensités

\sum T^{2} R^{2 k}

est faux et détruit tout le phénomène d'interférence.

⚠ Erreur 2 — Oublier le facteur $1/2$ dans $sin^{2} (φ /2)$ . La fonction d'Airy fait intervenir

sin^{2} (φ /2)

, pas

sin^{2} φ

. L'identité utilisée est

1 - cos φ = 2 sin^{2} (φ /2)

; écrire

sin^{2} φ

double la période et fausse la position des pics.

⚠ Erreur 3 — Confondre $R$ (intensité) et $r$ (amplitude). Le coefficient de finesse s'écrit avec

R = r^{2}

m = 4 R / (1 - R)^{2}

. Mélanger

r

R

dans la série géométrique (dont la raison est

R e^{i φ} = r^{2} e^{i φ}

) est une faute d'homogénéité fréquente.

⚠ Erreur 4 — Croire que la finesse dépend de $e$ ou de $λ$ . La finesse

F = π R / (1 - R)

ne dépend que de la réflectivité. Ce sont l'ordre

p

et donc l'épaisseur qui fixent le pouvoir de résolution

p F

, pas la finesse elle-même.

⚠ Erreur 5 — Négliger le recouvrement d'ordres. Un Fabry-Pérot ne « voit » sans ambiguïté que dans un intervalle spectral libre. Deux longueurs d'onde séparées de plus d'un ISL donnent des pics superposés (ordres différents) : un pouvoir de résolution élevé ne sert à rien si l'ISL est dépassé.

5. Pour aller plus loin

Le Fabry-Pérot est la brique des cavités optiques et de la métrologie de précision :

Interféromètre de Michelson — le cas à deux ondes ; le Fabry-Pérot en est la généralisation à ondes multiples.
Lasers — la cavité laser est un Fabry-Pérot ; ses modes propres sont les pics de résonance de la fonction d'Airy.
Traitements de surface — empilements diélectriques (miroirs de Bragg, anti-reflets) reposent sur les interférences à ondes multiples.
Détection d'ondes gravitationnelles — LIGO/Virgo utilisent des cavités Fabry-Pérot pour amplifier la sensibilité des bras interférométriques.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu décrire la cavité Fabry-Pérot et pourquoi elle fait interférer une infinité d'ondes ?
Sais-tu écrire le déphasage $φ = (2 π / λ_{0}) 2 n e cos i$ entre ondes successives ?
Sais-tu que $R + T = 1$ sans absorption et pourquoi $R$ proche de 1 est recherché ?
Sais-tu démontrer la fonction d'Airy par sommation d'une série géométrique complexe ?
Retiens-tu $I_{t} / I_{0} = 1/ (1 + m sin^{2} (φ /2))$ avec $m = 4 R / (1 - R)^{2}$ ?
Sais-tu que les maxima sont en $φ = 2 π p$ et que réflexion et transmission sont complémentaires ?
Sais-tu démontrer la finesse $F = π R / (1 - R)$ par la largeur à mi-hauteur ?
Sais-tu que la finesse ne dépend que de $R$ , pas de $e$ ni de $λ$ ?
Sais-tu relier pouvoir de résolution, ordre et finesse : $λ /Δ λ = p F$ ?
Sais-tu définir l'intervalle spectral libre et le risque de recouvrement d'ordres ?
Sais-tu comparer Fabry-Pérot (ondes multiples) et Michelson (deux ondes) ?

Démonstrations à savoir refaire

Fonction d'Airy — série géométrique $\sum (R e^{i φ})^{k}$ + module carré → $1/ (1 + m sin^{2} (φ /2))$
Finesse — largeur à mi-hauteur $Δ φ = 4/ m$ → $F = π R / (1 - R)$

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Vue d'ensemble

Prérequis

1. Principe de la cavité et grandeurs clés

2. Sommation des ondes multiples et fonction d'Airy

3. Finesse et pouvoir de résolution

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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