📘 Fiche de cours · 2e année⚗️ PC⚡ Physique

Dynamique des fluides, Bernoulli

Faire couler les fluides : équation d'Euler (PFD sur une particule de fluide parfait), théorème de Bernoulli ½ρv² + p + ρgz = cste le long d'une ligne de courant (parfait, incompressible, stationnaire), et ses applications (vidange de Torricelli v = √(2gh), effet Venturi, tube de Pitot). Fluides réels : viscosité, nombre de Reynolds Re = ρvL/η, régimes laminaire et turbulent. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes3 démos à savoirMis à jour le 2026-07-12

Vue d'ensemble

Pourquoi un avion vole-t-il ? Pourquoi l'eau jaillit-elle plus vite d'un trou plus profond ? Pourquoi la pression chute-t-elle dans un rétrécissement ? Toutes ces questions se répondent avec un théorème : celui de Bernoulli, la conservation de l'énergie d'une particule de fluide le long de son écoulement. On l'obtient en appliquant le principe fondamental de la dynamique à une particule de fluide — c'est l'équation d'Euler. Ce chapitre transforme la mécanique du point en hydrodynamique et débouche sur les grands classiques (Torricelli, Venturi, Pitot) et sur les fluides réels (viscosité, nombre de Reynolds). Cette fiche donne les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — Dynamique d'un fluide parfait : équation d'Euler (bilan de quantité de mouvement sur une particule). Théorème de Bernoulli pour un écoulement parfait, incompressible et stationnaire ; applications (vidange de Torricelli, effet Venturi, tube de Pitot). Fluides réels : viscosité dynamique, nombre de Reynolds, régimes laminaire et turbulent, notion de perte de charge (approche de Navier-Stokes).

Prérequis

Statique et cinématique des fluides : champ de vitesse, dérivée particulaire, continuité
Mécanique du point : principe fondamental de la dynamique, énergie
Analyse vectorielle : gradient, opérateurs, ligne de courant

🎯 Accompagnement Majorant

Bernoulli te semble un formulaire à appliquer au hasard ? Il découle d'une seule idée — l'énergie se conserve le long d'une ligne de courant — et ses conditions d'emploi sont précises. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font traiter les sujets fluides CCINP et Mines jusqu'à la maîtrise complète.

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1. L'équation d'Euler : le PFD d'une particule de fluide

Définition 1.1 — Fluide parfait

Un fluide parfait est un fluide dont on néglige la viscosité : aucune force de frottement interne, seules agissent les forces de pression et de pesanteur. C'est une idéalisation valable loin des parois et pour des écoulements pas trop « cisaillés » — le point de départ obligé avant les fluides réels.

Théorème 1.2 — Équation d'Euler ★ À savoir démontrer

Pour un fluide parfait de masse volumique $ρ$ dans un champ de pesanteur $g$ : $ρ \frac{D v}{D t} = ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v) = - grad p + ρ g .$

Démonstration (PFD sur une particule de fluide)

Isolons une particule de fluide de volume $d τ$ , de masse $d m = ρ d τ$ . Le principe fondamental de la dynamique s'écrit, pour cette particule suivie dans son mouvement :

d m a = \sum d F,

où l'accélération est la dérivée particulaire $a = \frac{D v}{D t} = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v$ .

Forces (fluide parfait). La résultante des forces de pression sur la particule est $- grad p d τ$ (même bilan qu'en statique : la pression pousse des zones de haute vers basse pression). Le poids est $ρ g d τ$ . En l'absence de viscosité, il n'y a rien d'autre. D'où

ρ d τ \frac{D v}{D t} = (- grad p + ρ g) d τ .

En simplifiant par $d τ$ , on obtient l'équation d'Euler. C'est le PFD écrit par unité de volume ; le terme convectif $(v \cdot grad) v$ est ce qui rend l'équation non linéaire et la mécanique des fluides difficile.

2. Le théorème de Bernoulli

Théorème 2.1 — Bernoulli (parfait, incompressible, stationnaire) ★ À savoir démontrer

Pour un écoulement parfait, incompressible et stationnaire dans le champ de pesanteur, la quantité $\frac{1}{2} ρ v^{2} + p + ρ g z = constante$ se conserve le long d'une ligne de courant.

Démonstration (projection d'Euler sur une ligne de courant)

En régime stationnaire, l'équation d'Euler devient $ρ (v \cdot grad) v = - grad p + ρ g$ . On utilise l'identité d'analyse vectorielle

(v \cdot grad) v = grad (\frac{v ^{2}}{2}) + (rot v) \times v .

Projection sur la ligne de courant. Prenons le produit scalaire par un déplacement élémentaire $d ℓ$ le long de la ligne de courant, donc parallèle à $v$ . Le terme $(rot v) \times v$ est perpendiculaire à $v$ , donc à $d ℓ$ : son produit scalaire est nul. Par ailleurs $g = - g grad z$ . Il reste

ρ grad (\frac{v ^{2}}{2}) \cdot d ℓ = - grad p \cdot d ℓ - ρ g grad z \cdot d ℓ .

Or $grad f \cdot d ℓ = d f$ (variation le long du déplacement). Comme $ρ$ est constant (incompressible) :

d (\frac{1}{2} ρ v^{2}) + d p + d (ρ g z) = 0 ⟹ \frac{1}{2} ρ v^{2} + p + ρ g z = constante le long de la ligne de courant .

Chaque terme est une pression : $p$ (statique), $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ (dynamique), $ρ g z$ (de pesanteur). Bernoulli dit que leur somme se conserve : là où le fluide accélère, la pression chute.

Définition 2.2 — Charge, pression totale

La constante de Bernoulli $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z$ est la charge de l'écoulement (une pression). Pour un fluide parfait elle se conserve ; pour un fluide réel, la viscosité la fait diminuer dans le sens de l'écoulement : c'est la perte de charge.

⚠ Piège — Les quatre hypothèses de Bernoulli. Parfait, incompressible, stationnaire, et conservation le long d'une ligne de courant (constante valable partout seulement si l'écoulement est de plus irrotationnel). Appliquer Bernoulli entre deux points qui ne sont pas sur la même ligne de courant, ou à un écoulement instationnaire, est une faute classique.

3. Torricelli, Venturi, Pitot

Théorème 3.1 — Vitesse de vidange (Torricelli) ★ À savoir démontrer

Un réservoir percé d'un petit orifice à une profondeur $h$ sous la surface libre laisse s'échapper le fluide à la vitesse $v = 2 g h$ (même vitesse qu'un objet en chute libre depuis la hauteur $h$ — formule de Torricelli).

Démonstration (Bernoulli entre surface et orifice)

Suivons une ligne de courant de la surface libre (point A) à l'orifice (point B). Appliquons Bernoulli :

p_{A} + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} + ρ g z_{A} = p_{B} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} + ρ g z_{B} .

Conditions. La surface libre et l'orifice sont à l'air libre : $p_{A} = p_{B} = p_{atm}$ . Le réservoir est large devant l'orifice, donc la surface descend très lentement : $v_{A} \approx 0$ (conservation du débit $S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B}$ avec $S_{A} ≫ S_{B}$ ). Enfin $z_{A} - z_{B} = h$ .

Il reste $ρ g z_{A} = \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} + ρ g z_{B}$ , soit $\frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} = ρ g (z_{A} - z_{B}) = ρ g h$ , d'où $v_{B} = 2 g h$ . Remarquable : la vitesse ne dépend ni de la masse volumique, ni de la taille de l'orifice, seulement de la profondeur $h$ .

💡 Exemple — L'effet Venturi. Dans un tube horizontal (

z

constant) qui se resserre, la conservation du débit

S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}

impose

v_{2} > v_{1}

dans le rétrécissement. Bernoulli donne alors

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

, donc

p_{2} < p_{1}

: la pression chute là où le fluide accélère. C'est le principe du trompe à eau, du carburateur, de la portance d'une aile — et l'explication de deux feuilles qui se rapprochent quand on souffle entre elles.

📝 Le tube de Pitot. En un point d'arrêt (le fluide est stoppé,

v = 0

), la pression vaut

p_{arr \overset{e}{ˆ} t} = p_{statique} + \frac{1}{2} ρ v^{2}

: c'est la pression totale. Mesurer l'écart entre pression d'arrêt et pression statique donne la vitesse

v = 2 (p_{arr \overset{e}{ˆ} t} - p_{statique}) / ρ

— c'est ainsi qu'un avion mesure sa vitesse.

🧑‍🏫 Les applications de Bernoulli sans piège

Bien choisir les deux points, poser les bonnes hypothèses, conclure ? Un mentor Majorant te fait traiter Torricelli, Venturi et Pitot sur les sujets Centrale et Mines, avec le soin des hypothèses que les correcteurs exigent.

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4. Fluides réels : viscosité et nombre de Reynolds

Définition 4.1 — Viscosité dynamique

La viscosité dynamique $η$ (en $Pa \cdot s$ ) mesure les frottements internes d'un fluide réel : entre deux couches de vitesses différentes s'exerce une contrainte tangentielle proportionnelle au gradient de vitesse. La viscosité dissipe de l'énergie mécanique — d'où la perte de charge, absente du fluide parfait.

Définition 4.2 — Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds compare les effets inertiels (convectifs) aux effets visqueux : $Re = \frac{ρ v L}{η} = \frac{v L}{ν},$ où $L$ est une taille caractéristique et $ν = η / ρ$ la viscosité cinématique. C'est un nombre sans dimension.

Définition 4.3 — Régimes laminaire et turbulent

À faible $Re$ (viscosité dominante), l'écoulement est laminaire : les lignes de courant sont régulières, ordonnées. À grand $Re$ (inertie dominante), il devient turbulent : tourbillons, mélange, imprévisibilité. La transition se situe autour de $Re \sim 2000$ dans une conduite. Bernoulli (fluide parfait) n'est valable qu'à condition que les pertes de charge visqueuses restent négligeables.

📐 Méthode-type — Résoudre un problème de dynamique des fluides.

Vérifier les hypothèses de Bernoulli (parfait, incompressible, stationnaire) ; estimer $Re$ pour juger si la viscosité est négligeable.
Choisir deux points sur une même ligne de courant et y repérer pression, vitesse, altitude.
Fermer avec la conservation du débit $S v = cste$ quand une vitesse est inconnue (Venturi, Torricelli).
Appliquer Bernoulli et résoudre ; pour un fluide réel, ajouter un terme de perte de charge.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les rapports CCINP et Mines-Ponts reviennent sur les mêmes fautes en dynamique des fluides.

⚠ Erreur 1 — Appliquer Bernoulli hors de ses hypothèses. Parfait, incompressible, stationnaire, sur une même ligne de courant : oublier l'une de ces conditions invalide le résultat. En particulier, un écoulement fortement visqueux (

Re

petit) ne relève pas de Bernoulli.

⚠ Erreur 2 — Oublier v_A ≈ 0 dans Torricelli. L'approximation

v_{A} \approx 0

à la surface repose sur

S_{A} ≫ S_{B}

(conservation du débit). La justifier fait partie de la réponse ; sans elle, le calcul est incomplet.

⚠ Erreur 3 — Se tromper de sens sur l'effet Venturi. La pression est plus faible là où la vitesse est plus grande (rétrécissement), contre-intuitif. Dire que « ça pousse plus donc la pression augmente » est l'erreur type.

⚠ Erreur 4 — Négliger le terme convectif dans Euler. L'accélération est

D v / D t

, avec le terme convectif

(v \cdot grad) v

. C'est lui qui, en stationnaire, porte toute la dynamique (et rend l'équation non linéaire).

⚠ Erreur 5 — Confondre viscosités dynamique et cinématique.

η

(dynamique,

Pa \cdot s

) et

ν = η / ρ

(cinématique,

m^{2} \cdot s^{- 1}

) diffèrent d'un facteur

ρ

. Le nombre de Reynolds s'écrit

ρ v L / η = v L / ν

: vérifier l'homogénéité avant de conclure.

6. Pour aller plus loin

Euler et Bernoulli ouvrent sur toute l'hydrodynamique :

Bilans macroscopiques — quantité de mouvement sur un volume de contrôle : forces sur un coude, poussée d'un réacteur, sans résoudre l'écoulement en détail.
Équation de Navier-Stokes — Euler + terme visqueux $η Δ v$ ; écoulement de Poiseuille, couche limite (culture).
Aérodynamique — portance, traînée, nombre de Reynolds : la physique du vol et du sport.
Analogies — l'équation d'Euler et Bernoulli ont des cousines en électromagnétisme et en thermodynamique (bilans locaux et intégraux).

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir un fluide parfait (viscosité négligée) ?
Sais-tu démontrer l'équation d'Euler par le PFD sur une particule de fluide ?
Sais-tu pourquoi le terme convectif rend l'équation non linéaire ?
Connais-tu les quatre hypothèses du théorème de Bernoulli ?
Sais-tu démontrer Bernoulli par projection d'Euler sur une ligne de courant ?
Sais-tu interpréter chaque terme (pression statique, dynamique, de pesanteur) ?
Sais-tu ce qu'est la charge et une perte de charge ?
Sais-tu démontrer la formule de Torricelli v = √(2gh) (et justifier v_A ≈ 0) ?
Sais-tu expliquer l'effet Venturi (pression plus basse où la vitesse est plus grande) ?
Sais-tu le principe du tube de Pitot (pression d'arrêt = statique + ½ρv²) ?
Sais-tu définir le nombre de Reynolds Re = ρvL/η et distinguer laminaire/turbulent ?
Sais-tu distinguer viscosités dynamique η et cinématique ν = η/ρ ?

Démonstrations à savoir refaire

Équation d'Euler — PFD sur une particule, forces de pression et poids
Théorème de Bernoulli — projection d'Euler sur une ligne de courant, terme rotationnel nul
Formule de Torricelli — Bernoulli entre surface et orifice, v = √(2gh)

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