Bilans macroscopiques sur un fluide

Soit le système fermé $\mathcal{S}$ constitué, à l'instant $t$, du fluide contenu dans le volume de contrôle. Entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$, une tranche de masse $\mathrm{d}m=D_m\mathrm{d}t$ entre par la section 1 (vitesse ${\vec{v}}_1$) et une tranche de même masse sort par la section 2 (vitesse ${\vec{v}}_2$).

Variation de quantité de mouvement de $\mathcal{S}$. Le contenu du volume de contrôle a une quantité de mouvement constante (régime stationnaire). La variation totale de $\mathcal{S}$ provient donc uniquement de l'échange entrée/sortie :

PFD pour le système fermé $\mathcal{S}$ : $\frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}=\sum {\vec{F}}_{\text{ext}}$. En divisant par $\mathrm{d}t$ :

Les forces extérieures comprennent : les forces de pression sur les sections d'entrée et de sortie ($p_1{S}_1$ et $p_2{S}_2$, dirigées vers l'intérieur), le poids, et la réaction des parois $\vec{R}$. C'est en général $\vec{R}$ que l'on cherche.

Exemple canonique : un jet horizontal frappe une plaque et est dévié à $90°$. Le jet arrive avec le débit $D_m$ et la vitesse ${\vec{v}}_1=v{\vec{e}}_x$ ; il repart selon ${\vec{v}}_2=v{\vec{e}}_y$ (même norme si l'on néglige le frottement, Bernoulli à pression atmosphérique constante).

Forces extérieures sur le fluide : le poids (négligé devant les forces d'impact) et la réaction $\vec{R}$ de la plaque. La pression est atmosphérique partout aux sections (jet à l'air libre), donc les forces de pression se compensent. Le bilan donne

La force exercée par le jet sur la plaque est l'opposée : $-\vec{R}=D_{m}v({\vec{e}}_x-{\vec{e}}_y)$, de norme $D_{m}v\sqrt{2}$. Cas d'un jet frontalement arrêté (${\vec{v}}_2=\vec{0}$) : la force sur la plaque vaut $D_{m}v=\rho S{v}^2$ — la poussée croît comme le carré de la vitesse. C'est pourquoi un jet à haute pression coupe l'acier, et pourquoi la force du vent sur une voile grimpe si vite.

Reprenons le système fermé $\mathcal{S}$ (fluide dans le volume de contrôle + tranche d'entrée à $t$). Appliquons-lui le premier principe entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$, pour une masse unité transférée :

où $W$ inclut tous les travaux reçus. Décomposons $W$ : le travail utile $w_u$ (pièces mobiles), et le travail des forces de pression qui poussent la tranche d'entrée dans le système ($+p_1/{\rho }_1$ par unité de masse) et que le système fournit pour expulser la tranche de sortie ($-p_2/{\rho }_2$) :

En reportant et en regroupant $u+p/\rho =h$ (enthalpie massique) :

Le travail de transvasement a été absorbé dans l'enthalpie : c'est tout l'intérêt de $h$ pour les écoulements. Cas particuliers : conduite calorifugée sans pièce mobile ($w_u=q=0$) ⟹ $\Delta (h+v^2/2+gz)=0$ (Bernoulli « généralisé », version enthalpique) ; détente dans une turbine ($q=0$) ⟹ $w_u=\Delta h$.