TP de SII en prépa : identification, asservissement et diagramme de Bode

Tu prépares un TP de SII en prépa (MPSI, PCSI, PTSI, MP, PSI, PT) et tu ne vois pas comment relier ce que tu mesures à l'asservissement du système ? Réponse directe : un TP de sciences de l'ingénieur se joue en deux temps. Tu identifies d'abord le modèle du système — gain statique, constante de temps, ou coefficient d'amortissement et pulsation propre — à partir de sa réponse à un échelon ; puis tu analyses sa boucle (précision, stabilité via le diagramme de Bode) et tu la corriges. Ce guide te donne la méthode complète, trois TP classiques chiffrés, le réglage des correcteurs, l'exploitation Python/Scilab et les erreurs qui coûtent une note. Chez Majorant, nos mentors passés par CentraleSupélec, Mines Paris et Polytechnique savent que les points de SII se gagnent autant à la paillasse que dans le cahier.

Qu'est-ce qu'un TP de SII en prépa ?

Réponse directe : un TP de sciences de l'ingénieur étudie un système pluritechnologique réel (un axe motorisé, une direction assistée, un drone de démonstration) sous l'angle de son comportement. On y modélise le système par une fonction de transfert, on identifie ses paramètres à partir d'une mesure, et on évalue les performances de son asservissement : précision, rapidité, stabilité.

La SII, ce n'est pas de la physique déguisée. C'est une démarche d'ingénieur : partir d'un système qui rend un service (maintenir une position, réguler une vitesse, suivre une trajectoire) et vérifier qu'il le rend bien. Le programme de première année — commun à la MPSI, la PCSI et la PTSI — pose deux objets centraux : la chaîne fonctionnelle et les systèmes linéaires continus invariants (SLCI).

Un système se décompose en deux chaînes. La chaîne d'information acquiert (capteurs), traite (calculateur, correcteur) et communique les ordres. La chaîne d'énergie alimente, distribue (préactionneur, variateur), convertit (actionneur : moteur, vérin) et transmet (réducteur, courroie) la puissance jusqu'à l'effecteur. Un TP consiste presque toujours à instrumenter l'une de ces chaînes pour mesurer une grandeur et remonter au modèle.

La boucle d'asservissement : le vocabulaire à maîtriser

Réponse directe : un système asservi compare en permanence sa sortie à la consigne. L'écart entre les deux est envoyé à un correcteur, qui pilote l'actionneur pour annuler cet écart. La sortie est mesurée par un capteur qui referme la boucle. On distingue la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) et en boucle fermée (FTBF), et on juge le système sur quatre performances.

Voici la chaîne, dans l'ordre où l'information circule :

1. La consigne : la valeur voulue (une position, une vitesse angulaire).
2. Le comparateur : il calcule l'écart ε = consigne − mesure.
3. Le correcteur : il transforme cet écart en commande (c'est lui qu'on règle).
4. L'actionneur et son préactionneur : moteur, variateur — ils fournissent la puissance.
5. Le système proprement dit (l'axe, le bras) : il réagit.
6. Le capteur : il mesure la sortie réelle et la renvoie au comparateur.

La grande idée, c'est le retour (feedback). Sans lui, le système exécute un ordre en aveugle ; avec lui, il corrige ses propres erreurs en temps réel. On note FTBO la fonction de transfert de toute la chaîne « ouverte » au niveau du comparateur, et FTBF celle du système bouclé. La FTBO est la clé : c'est sur elle qu'on lit la stabilité.

On juge un asservissement sur quatre critères, souvent en tension les uns avec les autres :

Tout le métier de l'ingénieur automaticien tient dans un arbitrage : gagner en rapidité et en précision sans perdre la stabilité. C'est exactement ce que tu vérifies expérimentalement dans un TP.

TP n°1 : identifier un système du premier ordre

C'est la manip de base : un système du premier ordre répond à un échelon par une montée exponentielle, sans dépassement. Son modèle a la forme

H(p) = K / (1 + τp)

et deux paramètres suffisent à le caractériser : le gain statique K et la constante de temps τ.

Le protocole

1. Envoyer un échelon de consigne d'amplitude connue E₀ (par exemple 5 V sur l'entrée d'un variateur de moteur à courant continu).
2. Enregistrer la sortie s(t) — ici la vitesse angulaire mesurée par une génératrice tachymétrique — avec la carte d'acquisition.
3. Attendre le régime permanent, relever la valeur finale s∞.
4. Exploiter la courbe.

Comment lire K et τ ?

Le gain statique se lit sur le régime permanent :

K = s∞ / E₀

La constante de temps se lit de deux façons, à croiser pour se vérifier :

• La règle des 63 % : τ est l'instant où la sortie atteint 63 % de sa valeur finale (car 1 − e⁻¹ ≈ 0,63).
• Le temps de réponse à 5 % : la sortie atteint 95 % de s∞ au bout de 3τ. Tu lis t₅% sur la courbe, tu divises par 3.

Si les deux lectures donnent des valeurs très différentes, c'est que ton système n'est pas un vrai premier ordre (frottement sec, saturation) : c'est déjà une conclusion à écrire.

Exemple chiffré

Moteur à courant continu piloté par un échelon de tension E₀ = 5,0 V. La vitesse se stabilise à s∞ = 150 rad·s⁻¹. La courbe passe par 63 % de 150, soit ≈ 95 rad·s⁻¹, à l'instant t = 0,20 s.

K = 150 / 5,0 = **30 rad·s⁻¹·V⁻¹** τ = **0,20 s** → temps de réponse à 5 % : t₅% = 3τ = **0,60 s**

Interprétation : pour 1 volt supplémentaire, le moteur gagne 30 rad·s⁻¹ en régime établi, et il met 0,6 s à s'installer. Ces deux nombres suffisent à prédire toute réponse du moteur — c'est ça, identifier.

TP n°2 : identifier un système du second ordre

Dès qu'un système possède de l'inertie et de la raideur (un axe asservi en position, un bras articulé), sa réponse à un échelon peut dépasser la consigne avant de se stabiliser. On le modélise par un second ordre :

H(p) = K / (1 + (2z/ω₀)·p + p²/ω₀²)

Trois paramètres : le gain K, le coefficient d'amortissement z (sans dimension) et la pulsation propre ω₀. La forme de la réponse dépend entièrement de z :

Comment remonter à z et ω₀ ?

Quand la réponse dépasse (z < 1), on exploite le premier dépassement. Note D₁ la valeur du premier pic et s∞ la valeur finale ; le dépassement relatif vaut D₁% = (D₁ − s∞)/s∞. On en déduit l'amortissement :

z = √( ln²(D₁%) / (π² + ln²(D₁%)) )

Puis, avec t_pic l'instant du premier dépassement :

ω₀ = π / ( t_pic · √(1 − z²) )

Exemple chiffré

Axe asservi en position, échelon de consigne. Premier dépassement mesuré à 15 % (D₁% = 0,15), atteint à t_pic = 0,30 s. On calcule ln(0,15) ≈ −1,90, donc ln² ≈ 3,60 :

z = √( 3,60 / (9,87 + 3,60) ) = √(0,267) ≈ **0,52** ω₀ = π / (0,30 × √(1 − 0,52²)) = π / (0,30 × 0,856) ≈ **12 rad·s⁻¹**

Un amortissement de 0,52 annonce un système qui dépasse nettement mais se stabilise vite. Si le cahier des charges impose moins de 10 % de dépassement, tu sais déjà qu'il faudra augmenter z — donc corriger. Ce lien entre un nombre lu sur une courbe et une décision d'ingénieur, c'est le cœur de la SII, et c'est ce qu'on travaille dans les cours particuliers de PSI où la matière pèse le plus lourd.

TP n°3 : analyse fréquentielle et diagramme de Bode

Réponse directe : l'analyse fréquentielle consiste à exciter le système par des sinusoïdes de fréquences croissantes et à relever le gain et le déphasage de la sortie. On trace le diagramme de Bode de la FTBO, puis on lit la stabilité de la boucle fermée grâce à la marge de phase.

Plutôt qu'un échelon, on envoie ici des sinusoïdes. Pour chaque pulsation ω, on mesure deux choses : le rapport d'amplitude sortie/entrée (le gain, tracé en décibels) et le retard de phase. On obtient le diagramme de Bode — gain et phase en fonction de log(ω) — qui est la carte d'identité fréquentielle du système.

L'intérêt décisif : sur le Bode de la FTBO, on lit directement la stabilité de la boucle fermée sans la refermer. C'est le critère du revers. On repère la pulsation de coupure ω_c0, celle où le gain de la FTBO vaut 0 dB (gain unité), et on lit la phase à cet endroit. La marge de phase vaut :

M_φ = 180° + arg(FTBO) à la pulsation ω_c0

Le système bouclé est stable si M_φ > 0. En pratique, on vise une marge confortable, autour de 45°, pour garantir un bon amortissement sans oscillations. On complète par la marge de gain, lue à la pulsation où la phase vaut −180°.

Exemple de lecture

Sur le Bode d'un axe asservi, le gain croise 0 dB à ω_c0 = 8 rad·s⁻¹. À cette pulsation, la phase relevée est −135°.

M_φ = 180° − 135° = **45°**

Marge de phase de 45° : la boucle est stable, avec une bonne réserve. Si tu augmentes le gain du correcteur, la courbe de gain monte, ω_c0 se décale vers la droite, la phase y est plus négative, et la marge fond — jusqu'à l'instabilité. Tu vois ainsi, expérimentalement, pourquoi rapidité et stabilité s'opposent. On retrouve le même diagramme de Bode côté électronique dans le TP d'électricité, mais appliqué à un filtre : même outil, autre objet.

Régler un correcteur : proportionnel, intégral, PID

Identifier ne suffit pas : dès que la performance ne respecte pas le cahier des charges, on ajoute un correcteur dans la boucle. Le TP consiste alors à modifier ses réglages et à observer l'effet sur la réponse. Trois briques à connaître :

Le point le plus rentable à comprendre : un correcteur intégral annule l'erreur statique. Un système de « classe 0 » (sans intégrateur) garde toujours un écart résiduel en régime permanent face à un échelon ; ajouter un intégrateur — c'est le rôle du terme I — force la sortie à rejoindre exactement la consigne. Le prix à payer, c'est un déphasage de −90° qui rogne la marge de phase : d'où le compromis à régler.

Python, MATLAB, Scilab : exploiter les mesures

L'exploitation d'un TP de SII passe aujourd'hui par le calcul numérique. Trois outils reviennent : Python (avec numpy, scipy.signal et matplotlib), Scilab/Xcos (modélisation par schéma-blocs) et MATLAB/Simulink. En prépa, Python domine, car c'est le langage de l'informatique commune. Le canevas d'une identification tient en quelques lignes :

import numpy as np
from scipy import signal

# t, s : temps et sortie mesurés, exportés du logiciel d'acquisition
t, s = np.loadtxt("mesures.csv", delimiter=",", unpack=True)

E0 = 5.0                       # amplitude de l'échelon de consigne (V)
s_inf = s[-500:].mean()        # valeur finale (moyenne du régime permanent)
K = s_inf / E0                 # gain statique

# Constante de temps : instant où la sortie atteint 63 % de s_inf
i63 = np.argmax(s >= 0.63 * s_inf)
tau = t[i63]

# Validation : superposer la réponse du modèle à la mesure
H = signal.lti([K], [tau, 1])            # K / (1 + tau·p)
t_mod, s_mod = signal.step(H, T=t - t[0])

La dernière étape — superposer le modèle à la mesure — est celle qui fait gagner des points : elle prouve que ton identification décrit vraiment le système. Un modèle qui colle valide la manip ; un écart systématique révèle un phénomène non modélisé (frottement, saturation), ce qui est un excellent point d'analyse critique. La démarche complète d'exploitation numérique en TP est détaillée dans utiliser Python en TP de physique — les commandes changent, la logique est identique.

Comment calculer les incertitudes en TP SII ?

Réponse directe : les paramètres identifiés (K, τ, z, ω₀) sont lus sur des courbes bruitées et échantillonnées. On combine l'incertitude de type B (résolution du capteur, pas d'échantillonnage) et de type A (dispersion sur des mesures répétées), puis on propage jusqu'au résultat final, au besoin par simulation Monte-Carlo.

Deux sources dominent en SII. D'abord le pas d'échantillonnage : si tu relèves un point toutes les 10 ms, tu ne peux pas dater t_pic ou t₆₃% mieux qu'à 10 ms près, ce qui borne directement l'incertitude sur τ et ω₀. Ensuite le bruit du capteur, qui brouille la lecture de la valeur finale et donc de K. Répéter la mesure et moyenner (type A) réduit ce bruit ; augmenter la fréquence d'acquisition réduit l'incertitude temporelle.

Pour un résultat qui combine plusieurs grandeurs — comme ω₀, qui dépend de t_pic et de z — les incertitudes relatives se composent. La méthode complète d'écriture (chiffres significatifs, encadrement, comparaison à une valeur de référence) est développée dans comprendre et calculer les incertitudes de mesure. Le réflexe attendu : un paramètre identifié sans incertitude n'est pas un résultat, c'est un chiffre.

Les 7 erreurs classiques d'un TP de SII

1. Confondre les deux chaînes. Un capteur appartient à la chaîne d'information, un moteur à la chaîne d'énergie. Placer un composant dans la mauvaise chaîne sur le schéma fonctionnel se voit immédiatement.
2. Lire le dépassement en absolu. D₁% est un dépassement relatif à la valeur finale, pas la hauteur du pic. C'est la faute qui fausse tout calcul de z.
3. Identifier un ordre qu'on n'a pas. Une réponse qui dépasse n'est jamais un premier ordre. Une réponse sans dépassement mais à départ « mou » (tangente horizontale) est peut-être un second ordre apériodique, pas un premier ordre.
4. Oublier les unités de ω₀. Une pulsation est en rad·s⁻¹, pas en Hz. Le facteur 2π sur une fréquence propre coûte cher.
5. Régler un correcteur au hasard. Augmenter le gain « pour voir » sans relier l'effet à la marge de phase ne prouve rien. Change un paramètre à la fois et observe.
6. Négliger la marge de phase. Un système peut sembler correct sur un échelon et être en réalité au bord de l'instabilité. La marge de phase est le vrai juge de la stabilité.
7. Rendre un modèle non validé. Un K et un τ posés sans superposer la réponse du modèle à la mesure ne valent rien. La validation graphique est le geste qui certifie l'identification.

Bien rédiger ton compte rendu de TP SII

Une bonne manip mal rédigée perd la moitié de ses points. Ton compte rendu doit faire apparaître, dans l'ordre :

1. Un schéma-blocs du système asservi (consigne, comparateur, correcteur, actionneur, système, capteur) avec le sens des signaux.
2. Le protocole (nature de l'entrée, grandeur mesurée, matériel d'acquisition) et un tableau ou une courbe de mesures propre.
3. L'identification : l'ordre reconnu et justifié, puis les paramètres lus (K, τ ou z, ω₀) avec la méthode employée.
4. La validation : la superposition modèle/mesure et le commentaire de l'écart.
5. L'analyse des performances au regard du cahier des charges (précision, rapidité, stabilité) et la correction proposée s'il y a lieu.
6. Une incertitude sur chaque paramètre identifié et une analyse critique (phénomènes non modélisés).

On reprend précisément cette architecture dans rédiger un compte rendu de TP de physique qui convainc : c'est le réflexe qui transforme une bonne manip en bonne note.

La SII à l'oral et à l'épreuve pratique des concours

Les sciences de l'ingénieur pèsent très différemment selon la filière — ce qui doit orienter le temps que tu investis dans tes TP :

Le détail des coefficients par concours est comparé dans notre guide des coefficients aux concours CPGE par filière. Aux oraux, l'épreuve de SI attend exactement les gestes de ce TP : lire un ordre, poser un schéma-blocs, relier une performance à un réglage. La méthode complète de l'oral est détaillée dans réussir l'oral de SI en PSI et MPI. Le jury ne cherche pas un virtuose du calcul : il cherche quelqu'un qui raisonne comme un ingénieur.

FAQ — TP SII

Quelle est la différence entre un premier ordre et un second ordre en SII ?

Un système du premier ordre répond à un échelon par une montée exponentielle sans dépassement, caractérisée par un gain K et une constante de temps τ. Un second ordre possède en plus une pulsation propre ω₀ et un amortissement z : selon z, sa réponse dépasse la consigne (z < 1) ou non (z ≥ 1). Le signe distinctif : un dépassement impose obligatoirement un modèle du second ordre.

Comment déterminer la constante de temps τ en TP ?

Deux lectures, à croiser. La règle des 63 % : τ est l'instant où la sortie atteint 63 % de sa valeur finale. Le temps de réponse à 5 % : la sortie atteint 95 % de sa valeur finale à 3τ, donc τ = t₅%/3. La tangente à l'origine, tracée à la règle, coupe l'asymptote finale à t = τ et fournit une troisième estimation indépendante. Trois valeurs concordantes valident l'identification.

À quoi sert le diagramme de Bode dans un asservissement ?

Le diagramme de Bode de la FTBO permet de juger la stabilité de la boucle fermée sans la refermer, via le critère du revers. On repère la pulsation où le gain vaut 0 dB, on lit la phase à cet endroit, et la marge de phase (M_φ = 180° + phase) doit être positive — idéalement autour de 45°. C'est l'outil qui montre pourquoi augmenter le gain, donc la rapidité, dégrade la stabilité.

Pourquoi ajouter un correcteur intégral ?

Un correcteur intégral annule l'erreur statique : sans lui, un système de classe 0 garde un écart permanent entre la consigne et la sortie. L'intégrateur accumule cet écart dans le temps et force la sortie à rejoindre exactement la consigne. Sa contrepartie est un déphasage de −90° qui réduit la marge de phase, d'où un réglage à doser pour ne pas déstabiliser la boucle.

Quels outils utilise-t-on pour exploiter un TP de SII ?

Principalement Python (numpy, scipy.signal, matplotlib) pour charger les mesures, identifier les paramètres et superposer le modèle à la courbe. Scilab/Xcos et MATLAB/Simulink servent à la modélisation par schéma-blocs et à la simulation. En prépa, Python est privilégié car c'est le langage de l'informatique commune ; la logique d'exploitation reste la même quel que soit l'outil.

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Cet article est rédigé par l'équipe pédagogique de Majorant — institut de cours particuliers et de stages intensifs fondé par des étudiants de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris. Découvrir Majorant →