📘 Fiche de cours · 1re année⚗️ PCSI⚙️ Sciences de l'Ingénieur

SLCI et transformée de Laplace

Le socle de l'automatique en SII PCSI : systèmes linéaires continus invariants (SLCI), conditions de Heaviside (CI nulles), transformée de Laplace et ses théorèmes (linéarité, retard, dérivation L[f'] = pF(p) démontrée par intégration par parties, valeurs initiale et finale démontrées), fonction de transfert S(p) = H(p)·E(p) sous forme canonique avec gain statique K, classe, ordre, pôles et zéros, gain statique par le théorème de la valeur finale, formes canoniques du premier et du second ordre. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

6 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

En Sciences de l'Ingénieur, on modélise un système asservi par une équation différentielle linéaire reliant l'entrée et la sortie. La transformée de Laplace transforme cette équation différentielle en une simple équation algébrique, ce qui fait apparaître la fonction de transfert $H (p)$ — l'objet central de toute l'automatique. Cette fiche pose le cadre des systèmes linéaires continus invariants (SLCI), les théorèmes de Laplace incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire (dérivation et valeur finale) et les pièges de copie.

Au programme PCSI SII (officiel) — Systèmes linéaires continus invariants (SLCI) : linéarité, continuité, invariance, causalité. Transformée de Laplace et ses propriétés (linéarité, dérivation, retard, théorèmes des valeurs initiale et finale). Fonction de transfert : forme canonique, gain statique, ordre, classe, pôles et zéros. Passage entrée-sortie

S (p) = H (p) E (p)

à conditions initiales nulles.

Prérequis

Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Calcul intégral et intégrales généralisées (convergence)
Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples
Notion de signal d'entrée / signal de sortie d'un système

🎯 Accompagnement Majorant

La transformée de Laplace te paraît magique et opaque ? C'est pourtant un simple dictionnaire qui transforme les dérivées en multiplications par $p$ . Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manipuler Laplace et les fonctions de transfert sur des systèmes réels (moteur, suspension), jusqu'à l'aisance.

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1. Systèmes linéaires continus invariants

Définition 1.1 — Système linéaire, continu, invariant

Un système reliant une entrée $e (t)$ à une sortie $s (t)$ est un SLCI s'il est :

Linéaire : il respecte le principe de superposition (à $e_{1} \mapsto s_{1}$ et $e_{2} \mapsto s_{2}$ , $λ e_{1} + μ e_{2} \mapsto λ s_{1} + μ s_{2}$ ) ;
Continu : les grandeurs varient continûment dans le temps (pas d'échantillonnage) ;
Invariant : son comportement ne dépend pas de l'instant (une entrée retardée donne la même sortie retardée).

Définition 1.2 — Causalité et conditions de Heaviside

Un système est causal si la sortie à l'instant $t$ ne dépend que du passé. On se place dans les conditions de Heaviside : le système est au repos avant $t = 0$ (entrée, sortie et leurs dérivées nulles). Ces conditions initiales nulles sont indispensables pour définir la fonction de transfert.

Définition 1.3 — Équation différentielle d'un SLCI

Un SLCI est régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

k = 0 \sum n a_{k} \frac{d ^{k} s}{d t ^{k}} = j = 0 \sum m b_{j} \frac{d ^{j} e}{d t ^{j}}, n \geq m .

L'entier $n$ (degré du membre en $s$ ) est l'ordre du système.

⚠ Piège dès le départ. Un système réel n'est linéaire que dans un domaine restreint (petites variations autour d'un point de fonctionnement). Saturations, seuils, hystérésis sont des non-linéarités. En SII PCSI, on suppose le système linéarisé ; dire « le système est linéaire » sans mentionner cette hypothèse est imprécis.

2. La transformée de Laplace et ses théorèmes

Définition 2.1 — Transformée de Laplace

La transformée de Laplace d'une fonction causale $f (t)$ (nulle pour $t < 0$ ) est la fonction de la variable complexe $p$ :

F (p) = L [f] (p) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- pt} d t .

On note $f (t) ⟷ L F (p)$ . Exemples de base : $L [u (t)] = \frac{1}{p}$ (échelon), $L [δ (t)] = 1$ (impulsion), $L [e^{- a t} u (t)] = \frac{1}{p + a}$ .

Proposition 2.2 — Linéarité et retard

Linéarité : $L [λ f + μg] = λ F + μ G$ .
Retard temporel : $L [f (t - τ) u (t - τ)] = e^{- τ p} F (p)$ .

Théorème 2.3 — Dérivation (conditions initiales nulles) ★ À savoir démontrer

Pour une fonction causale dérivable, à conditions initiales nulles :

L [\frac{d f}{d t}] = p F (p), L [\frac{d ^{k} f}{d t ^{k}}] = p^{k} F (p) .

C'est LE théorème qui algébrise tout : dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par $p$ dans le domaine de Laplace.

Démonstration (intégration par parties)

Par définition, $L [f^{'}] = \int_{0}^{+ \infty} f^{'} (t) e^{- pt} d t$ . Une intégration par parties avec $u = e^{- pt}$ , $d v = f^{'} (t) d t$ donne :

L [f^{'}] = [f (t) e^{- pt}]_{0}^{+ \infty} + p \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- pt} d t .

Le terme tout intégré vaut $0 - f (0) e^{0} = - f (0)$ (le terme en $+ \infty$ s'annule si $Re (p)$ est assez grand). Avec les conditions initiales nulles ( $f (0) = 0$ ) :

L [f^{'}] = - f (0) + p F (p) = p F (p) .

La récurrence sur $k$ donne $L [f^{(k)}] = p^{k} F (p)$ (toujours à CI nulles).

Théorème 2.4 — Valeurs initiale et finale ★ À savoir démontrer

Ces deux théorèmes donnent les comportements limites de $s (t)$ sans revenir dans le domaine temporel :

s (0^{+}) = p \to + \infty lim p S (p), t \to + \infty lim s (t) = p \to 0 lim p S (p),

le théorème de la valeur finale n'étant valable que si la limite temporelle existe (système stable).

Démonstration (théorème de la valeur finale)

Partons du théorème de la dérivation avec la condition initiale explicite : $L [s^{'}] = p S (p) - s (0)$ , c'est-à-dire :

\int_{0}^{+ \infty} s^{'} (t) e^{- pt} d t = p S (p) - s (0) .

Faisons tendre $p \to 0$ . À gauche, $e^{- pt} \to 1$ , donc l'intégrale tend vers $\int_{0}^{+ \infty} s^{'} (t) d t = t \to + \infty lim s (t) - s (0)$ . D'où :

t \to + \infty lim s (t) - s (0) = p \to 0 lim (p S (p)) - s (0),

soit $t \to + \infty lim s (t) = p \to 0 lim p S (p)$ . Le théorème de la valeur initiale s'obtient symétriquement en faisant $p \to + \infty$ .

🧑‍🏫 Le théorème de la valeur finale, mine d'or aux concours

Il donne la valeur de régime permanent et l'erreur statique sans calculer $s (t)$ . En une séance, un mentor Majorant alumni de Centrale te fait l'appliquer sur des asservissements types — c'est le réflexe qui fait gagner de gros points en SII.

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3. La fonction de transfert

Théorème 3.1 — Fonction de transfert d'un SLCI

En appliquant la transformée de Laplace à l'équation différentielle du SLCI, à conditions initiales nulles, la relation entrée-sortie devient algébrique :

S (p) = H (p) E (p), H (p) = \frac{S ( p )}{E ( p )} = \frac{j = 0 \sum m b _{j} p ^{j}}{k = 0 \sum n a _{k} p ^{k}} .

$H (p)$ est la fonction de transfert : une fraction rationnelle en $p$ , caractéristique du système et indépendante de l'entrée.

Définition 3.2 — Forme canonique, gain statique, ordre, classe

On met $H (p)$ sous forme canonique :

H (p) = \frac{K}{p ^{α}} \cdot \frac{1 + \dots}{1 + \dots}

Gain statique $K$ : facteur constant après avoir factorisé les « 1 + … ».
Classe $α$ : nombre d'intégrateurs (pôles en $p = 0$ ).
Ordre : degré $n$ du dénominateur.

Définition 3.3 — Pôles et zéros

Les pôles sont les racines du dénominateur de $H (p)$ , les zéros les racines du numérateur. Les pôles gouvernent la stabilité et la nature de la réponse (un pôle à partie réelle positive rend le système instable).

Proposition 3.4 — Gain statique par le théorème de la valeur finale

Pour un système de classe 0 soumis à un échelon unité ( $E (p) = 1/ p$ ), la valeur finale de la sortie est $p \to 0 lim p \cdot H (p) \cdot \frac{1}{p} = H (0) = K$ . Le gain statique $K$ est donc la valeur de régime permanent pour un échelon unité — une lecture directe et très utilisée.

📐 Méthode-type — Établir la fonction de transfert d'un système.

Écrire l'équation différentielle reliant $s (t)$ à $e (t)$ (lois physiques : mécanique, électrique…).
Vérifier les conditions initiales nulles (conditions de Heaviside).
Transformer chaque dérivée : $\frac{d ^{k}}{d t ^{k}} \to p^{k}$ .
Isoler $H (p) = S (p) / E (p)$ et mettre sous forme canonique.
Identifier gain statique, classe, ordre et pôles pour prévoir le comportement.

💡 Exemple — Système du premier ordre. Un système régi par

τ \overset{s}{˙} + s = K e

(ex. circuit RC, moteur en vitesse) donne, à CI nulles,

τ p S + S = K E

, soit :

H (p) = \frac{K}{1 + τ p} .

Gain statique

K

, constante de temps

τ

, un pôle réel en

p = - 1/ τ

: la forme canonique du premier ordre, à connaître par cœur.

💡 Exemple — Forme canonique du second ordre. Un système régi par

\overset{s}{¨} + 2 ξ ω_{0} \overset{s}{˙} + ω_{0}^{2} s = K ω_{0}^{2} e

(ex. masse-ressort-amortisseur) donne :

H (p) = \frac{K}{1 + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + \frac{1}{ω _{0}^{2}} p ^{2}} .

Gain statique

K

, pulsation propre

ω_{0}

, coefficient d'amortissement

ξ

: la nature de la réponse (apériodique, critique, pseudo-périodique) dépend de

ξ

— c'est la seconde forme canonique à mémoriser.

⚠ Piège — la fonction de transfert exige des CI nulles. Le passage

\frac{d s}{d t} \to p S (p)

n'est valable qu'à conditions initiales nulles. Si le système n'est pas au repos à

t = 0

, il faut garder les termes

- s (0)

etc. et la notion même de fonction de transfert (rapport

S / E

) n'a plus de sens.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves de SII. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre variable de Laplace et pulsation.

p

est une variable complexe ; ce n'est qu'en régime harmonique établi qu'on pose

p = j ω

pour étudier la réponse fréquentielle. Écrire

p = j ω

partout, y compris dans l'étude temporelle, est une faute.

⚠ Erreur 2 — Appliquer le théorème de la valeur finale à un système instable. Le théorème

lim_{t \to \infty} s = lim_{p \to 0} pS (p)

n'est valable que si la limite temporelle existe (système stable, pôles à partie réelle négative). L'appliquer aveuglément à un système instable donne un résultat faux.

⚠ Erreur 3 — Oublier les conditions initiales nulles.

L [s^{'}] = pS (p)

n'est vrai qu'à CI nulles ; sinon c'est

pS (p) - s (0)

. La fonction de transfert n'existe que dans les conditions de Heaviside.

⚠ Erreur 4 — Mal lire le gain statique. Le gain statique

K

se lit sur la forme canonique (numérateur et dénominateur commençant par 1). Le lire sur une forme non canonique (coefficients de plus haut degré) donne une valeur fausse.

⚠ Erreur 5 — Confondre ordre et classe. L'ordre est le degré du dénominateur ; la classe est le nombre d'intégrateurs (pôles nuls). Un système d'ordre 2 peut être de classe 0, 1 ou 2 selon le nombre de

p

en facteur au dénominateur.

5. Pour aller plus loin

La fonction de transfert est le socle de toute l'automatique de prépa :

Réponses temporelles — l'inversion de $H (p) E (p)$ (éléments simples) donne $s (t)$ : premier ordre, second ordre.
Réponse fréquentielle — en posant $p = j ω$ , $H (j ω)$ donne gain et phase (diagrammes de Bode).
Schéma-blocs et asservissements — les fonctions de transfert se composent (série, retour) pour former FTBO et FTBF.
Stabilité et performance — pôles, précision (erreur statique via valeur finale), rapidité : tout se lit sur $H (p)$ .

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir un SLCI (linéaire, continu, invariant, causal) ?
Sais-tu ce que sont les conditions de Heaviside (CI nulles) et pourquoi elles sont requises ?
Connais-tu la définition de la transformée de Laplace et les transformées de l'échelon, l'impulsion, $e^{- a t}$ ?
Sais-tu démontrer le théorème de la dérivation $L [f^{'}] = pF (p)$ par intégration par parties ?
Sais-tu que dériver revient à multiplier par $p$ — et pourquoi ça algébrise l'équation différentielle ?
Sais-tu énoncer et démontrer le théorème de la valeur finale (et sa condition de validité) ?
Sais-tu établir $S (p) = H (p) E (p)$ et que $H (p)$ est une fraction rationnelle ?
Sais-tu mettre $H (p)$ sous forme canonique et lire gain statique, classe et ordre ?
Sais-tu que les pôles gouvernent la stabilité (partie réelle négative = stable) ?
Retiens-tu la forme canonique du premier ordre $H (p) = K / (1 + τ p)$ ?
Sais-tu relier gain statique et valeur de régime permanent pour un échelon ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème de la dérivation — intégration par parties + CI nulles → $L [f^{'}] = pF (p)$
Théorème de la valeur finale — $p \to 0$ dans $L [s^{'}]$ → $lim_{t \to \infty} s = lim_{p \to 0} pS (p)$

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