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Cinétique et dynamique du solide

La dynamique des solides en SII PCSI : géométrie des masses (centre d'inertie, moment d'inertie, théorème de Huygens, rayon de giration), torseur cinétique et énergie cinétique (Ec = ½Jω² démontrée), torseur dynamique, principe fondamental de la dynamique (PFD scalaire J·ω̇ = M démontré), théorème de l'énergie cinétique et puissance par comoment. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

La cinétique décrit la « quantité de mouvement » d'un solide (torseur cinétique, énergie cinétique) ; la dynamique relie ces grandeurs aux efforts via le principe fondamental de la dynamique (PFD). C'est l'aboutissement de la mécanique SII : à partir de la géométrie des masses (matrice d'inertie, moment d'inertie) et des actions mécaniques, on prédit le mouvement. Cette fiche pose le torseur cinétique, le PFD et le théorème de l'énergie, avec les 3 résultats incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire (énergie cinétique d'un solide en rotation, PFD scalaire) et les pièges de copie.

Au programme PCSI SII (officiel) — Géométrie des masses : centre d'inertie, moment d'inertie par rapport à un axe. Torseur cinétique (résultante = quantité de mouvement, moment cinétique). Énergie cinétique d'un solide. Principe fondamental de la dynamique (théorèmes de la résultante dynamique et du moment dynamique). Théorème de l'énergie cinétique et puissance des actions mécaniques.

Prérequis

Torseurs (résultante, moment, transport)
Cinématique du solide : vecteur rotation, champ des vitesses
Statique des solides : torseur d'action mécanique, PFS
Notion de moment cinétique d'un point matériel

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds moment d'inertie, moment cinétique et moment dynamique ? Trois objets différents qui se ressemblent — et le jury le sait. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font démêler la cinétique du solide sur des systèmes concrets (volant, bras robotisé), jusqu'à la clarté totale.

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1. Géométrie des masses

Définition 1.1 — Centre d'inertie

Le centre d'inertie (ou centre de masse) $G$ d'un solide de masse $m$ est défini par $m O G = \int_{S} O P d m$ , ou encore $\int_{S} GP d m = 0$ . Il concentre les propriétés de translation du solide.

Définition 1.2 — Moment d'inertie par rapport à un axe

Le moment d'inertie du solide par rapport à un axe $Δ$ est :

J_{Δ} = \int_{S} r^{2} d m,

où $r$ est la distance de l'élément $d m$ à l'axe. Il quantifie la résistance à la mise en rotation autour de $Δ$ : plus la masse est loin de l'axe, plus $J_{Δ}$ est grand.

Définition 1.3 — Matrice d'inertie

En un point $A$ , la matrice d'inertie $I_{A} (S)$ rassemble les moments d'inertie par rapport aux axes et les produits d'inertie. Elle relie le vecteur rotation au moment cinétique. Dans une base principale d'inertie, elle est diagonale : les produits d'inertie s'annulent (souvent par symétrie).

Proposition 1.4 — Théorème de Huygens

Le moment d'inertie par rapport à un axe $Δ$ se déduit de celui par rapport à l'axe parallèle $Δ_{G}$ passant par $G$ :

J_{Δ} = J_{Δ_{G}} + m d^{2},

où $d$ est la distance entre les deux axes. Le moment d'inertie est donc minimal pour un axe passant par le centre d'inertie.

💡 Exemple — Moments d'inertie usuels. Cylindre plein de rayon

R

autour de son axe :

J = \frac{1}{2} m R^{2}

. Cylindre creux (mince) :

J = m R^{2}

. Barre de longueur

L

autour de son centre :

J = \frac{1}{12} m L^{2}

. Ces valeurs, à connaître, montrent que la répartition de la masse (et non seulement sa valeur) fixe l'inertie de rotation.

📝 Rayon de giration. On écrit parfois

J_{Δ} = m k^{2}

, où

k

est le rayon de giration : la distance à laquelle il faudrait concentrer toute la masse pour retrouver le même moment d'inertie. C'est une lecture géométrique commode de la répartition de masse, souvent fournie dans les données constructeur.

⚠ Piège — le moment d'inertie dépend de l'axe.

J_{Δ}

n'a de sens que rapporté à un axe précis. Comparer deux moments d'inertie relatifs à des axes différents (ou oublier Huygens quand l'axe ne passe pas par

G

) est une faute fréquente.

2. Torseur cinétique et énergie cinétique

Définition 2.1 — Torseur cinétique

Le torseur cinétique de $S$ dans son mouvement par rapport à $R$ , réduit en $A$ , a pour résultante la quantité de mouvement et pour moment le moment cinétique :

{C_{S / R}}_{A} = {p = m V_{G / R} σ_{A}} .

Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe $Δ$ : $σ_{Δ} = J_{Δ} ω$ .

Théorème 2.2 — Énergie cinétique d'un solide ★ À savoir démontrer

L'énergie cinétique d'un solide s'écrit comme le comoment du torseur cinématique et du torseur cinétique. Cas particuliers essentiels :

E_{c} = \frac{1}{2} m v_{G}^{2} (translation), E_{c} = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2} (rotation axe fixe) .

Démonstration (rotation autour d'un axe fixe)

Pour un solide en rotation à la vitesse $ω$ autour de l'axe fixe $Δ$ , un point $P$ à la distance $r$ de l'axe a une vitesse $v_{P} = r ω$ . L'énergie cinétique est la somme des $\frac{1}{2} d m v_{P}^{2}$ :

E_{c} = \int_{S} \frac{1}{2} v_{P}^{2} d m = \frac{1}{2} \int_{S} r^{2} ω^{2} d m = \frac{1}{2} ω^{2} \int_{S} r^{2} d m .

On reconnaît le moment d'inertie $J_{Δ} = \int_{S} r^{2} d m$ , d'où $E_{c} = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2}$ . L'analogie avec $\frac{1}{2} m v^{2}$ est directe : $J$ joue le rôle de la masse, $ω$ celui de la vitesse.

📝 Moment cinétique et axe. Pour une rotation autour d'un axe fixe

Δ

, seule la composante

σ_{Δ} = J_{Δ} ω

intervient dans le PFD scalaire. Mais si l'axe n'est pas axe principal d'inertie,

σ

n'est pas colinéaire à

Ω

: des composantes transverses apparaissent (efforts sur les paliers). En PCSI, on se ramène le plus souvent à un axe principal pour éviter cette complication.

Proposition 2.3 — Mouvement quelconque (König)

Pour un mouvement quelconque, l'énergie cinétique se décompose (théorème de König) en énergie de translation du centre d'inertie et énergie de rotation propre :

E_{c} = \frac{1}{2} m v_{G}^{2} + \frac{1}{2}^{t} Ω I_{G} Ω .

Le premier terme relève de $G$ , le second de la rotation autour de $G$ .

🧑‍🏫 J·ω, le bon réflexe énergétique

Le théorème de l'énergie appliqué à un solide en rotation donne l'équation du mouvement d'un coup, sans les réactions de liaison. En une séance, un mentor Majorant alumni de Centrale te fait choisir entre PFD et énergie selon le problème — le tri qui fait gagner du temps.

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3. Principe fondamental de la dynamique

Définition 3.1 — Torseur dynamique

Le torseur dynamique a pour résultante $m a_{G / R}$ (quantité d'accélération) et pour moment le moment dynamique $δ_{A} = (\frac{d σ _{A}}{d t})_{R}$ (à $A$ fixe). C'est la dérivée du torseur cinétique.

Théorème 3.2 — Principe fondamental de la dynamique ★ À savoir démontrer

Dans un référentiel galiléen, le torseur dynamique d'un solide égale le torseur des actions mécaniques extérieures :

{D_{S / R}} = {T_{ext \to S}},

soit, en projection sur un axe fixe $Δ$ pour un solide en rotation : $J_{Δ} \overset{ω}{˙} = M_{Δ}$ .

Démonstration (PFD scalaire en rotation autour d'un axe fixe)

Le théorème du moment dynamique projeté sur l'axe fixe $Δ$ donne $δ_{Δ} = M_{Δ, ext}$ . Or le moment cinétique scalaire est $σ_{Δ} = J_{Δ} ω$ avec $J_{Δ}$ constant (solide indéformable, axe fixe) :

δ_{Δ} = \frac{d σ _{Δ}}{d t} = J_{Δ} \frac{d ω}{d t} = J_{Δ} \overset{ω}{˙} .

D'où l'équation du mouvement $J_{Δ} \overset{ω}{˙} = M_{Δ, ext}$ — l'analogue en rotation de $m \overset{v}{˙} = F$ .

Théorème 3.3 — Théorème de l'énergie cinétique

La dérivée de l'énergie cinétique d'un solide égale la puissance de toutes les actions mécaniques extérieures et intérieures :

\frac{d E _{c}}{d t} = P_{ext} + P_{int} .

Pour un solide indéformable, $P_{int} = 0$ . La puissance d'une action mécanique est le comoment du torseur d'action et du torseur cinématique ( $P = R \cdot V + M \cdot Ω$ ).

📐 Méthode-type — Établir l'équation du mouvement d'un solide.

Paramétrer le mouvement (une coordonnée si un degré de liberté).
Choisir l'outil : PFD (donne aussi les réactions) ou théorème de l'énergie (élimine les liaisons parfaites).
Géométrie des masses : $J_{Δ}$ (avec Huygens si besoin), $v_{G}$ , $ω$ .
Écrire $J_{Δ} \overset{ω}{˙} = M_{Δ}$ (PFD) ou $\frac{d E _{c}}{d t} = P$ (énergie).
Intégrer / analyser l'équation différentielle du mouvement.

💡 Exemple — Pendule pesant. Une tige oscillant autour d'un axe horizontal fixe, de moment d'inertie

J

, soumise à son poids, vérifie

J \ddot{θ} = - m g ℓ sin θ

(le moment du poids est le seul moteur). Aux petits angles,

J \ddot{θ} + m g ℓ θ = 0

: oscillateur harmonique de pulsation

ω_{0} = m g ℓ / J

. Le PFD scalaire donne directement le résultat.

💡 Exemple — Cylindre roulant sans glisser sur un plan incliné. Par le théorème de l'énergie (la réaction de roulement ne travaille pas),

E_{c} = \frac{1}{2} m v_{G}^{2} + \frac{1}{2} J_{G} ω^{2}

avec

ω = v_{G} / R

J_{G} = \frac{1}{2} m R^{2}

, d'où

E_{c} = \frac{3}{4} m v_{G}^{2}

. En dérivant et en égalant à la puissance du poids

m g sin α v_{G}

, on obtient

\overset{x}{¨} = \frac{2}{3} g sin α

— plus lent que la chute libre sur le plan, car une part de l'énergie va dans la rotation.

📝 PFD ou énergie : comment choisir ? Le théorème de l'énergie donne une équation scalaire sans les réactions de liaison parfaites — idéal pour l'équation du mouvement à un degré de liberté. Le PFD donne en plus les efforts de liaison (utile pour dimensionner). On combine souvent : énergie pour le mouvement, PFD pour les réactions.

⚠ Piège — le PFD n'est valable qu'en référentiel galiléen. Dans un référentiel non galiléen, il faut ajouter les torseurs des forces d'inertie (d'entraînement, de Coriolis). Écrire

{D} = {T_{ext}}

sans vérifier le caractère galiléen est une faute.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves de SII. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier le théorème de Huygens. Si l'axe de rotation ne passe pas par

G

, il faut

J_{Δ} = J_{Δ_{G}} + m d^{2}

. Utiliser le moment d'inertie « au centre » sur un axe décalé sous-estime l'inertie.

⚠ Erreur 2 — Confondre moment cinétique et moment dynamique. Le moment cinétique

σ_{A}

est une « quantité de rotation » ; le moment dynamique

δ_{A}

est sa dérivée. Le PFD égale le moment dynamique aux moments des actions, pas le moment cinétique.

⚠ Erreur 3 — Compter la puissance des liaisons parfaites. Dans le théorème de l'énergie, la puissance d'une liaison parfaite est nulle : c'est justement ce qui rend cet outil puissant. Ajouter une puissance de liaison parfaite non nulle est faux.

⚠ Erreur 4 — Dériver $σ_{Δ} = J ω$ avec $J$ variable. Pour un solide indéformable en rotation d'axe fixe,

J_{Δ}

est constant, donc

δ_{Δ} = J \overset{ω}{˙}

. Si la géométrie change (système déformable), il faut garder le terme

\dot{J} ω

⚠ Erreur 5 — Prendre le moment en un point mobile sans précaution. La relation

δ_{A} = \dot{σ}_{A}

n'est simple qu'en un point

A

fixe (ou en

G

). En un point mobile quelconque, un terme correctif apparaît.

5. Pour aller plus loin

La dynamique du solide relie la modélisation aux performances réelles :

Statique — cas particulier $a = 0$ : le PFD contient le PFS.
SLCI et asservissements — l'équation dynamique ( $J \overset{ω}{˙} = M$ ) se met en fonction de transfert (moteur, axe asservi).
Énergétique des chaînes — la puissance et le rendement dimensionnent moteurs et réducteurs.
Vibrations — les oscillateurs mécaniques (pendule, suspension) découlent du PFD linéarisé.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir le centre d'inertie et le moment d'inertie $J_{Δ} = \int r^{2} d m$ ?
Connais-tu les moments d'inertie usuels (cylindre $\frac{1}{2} m R^{2}$ , barre $\frac{1}{12} m L^{2}$ ) ?
Sais-tu appliquer le théorème de Huygens $J_{Δ} = J_{Δ_{G}} + m d^{2}$ ?
Sais-tu écrire le torseur cinétique (quantité de mouvement, moment cinétique) ?
Sais-tu démontrer $E_{c} = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2}$ pour une rotation d'axe fixe ?
Sais-tu décomposer $E_{c}$ par König (translation de $G$ + rotation propre) ?
Sais-tu distinguer torseur cinétique et torseur dynamique ?
Sais-tu démontrer le PFD scalaire $J_{Δ} \overset{ω}{˙} = M_{Δ}$ ?
Sais-tu énoncer le théorème de l'énergie cinétique et la puissance par comoment ?
Sais-tu que la puissance d'une liaison parfaite est nulle ?
Sais-tu que le PFD exige un référentiel galiléen (sinon forces d'inertie) ?
Sais-tu retrouver $\overset{x}{¨} = \frac{2}{3} g sin α$ pour un cylindre qui roule ?
Sais-tu choisir entre PFD (réactions) et énergie (mouvement) selon le problème ?
Sais-tu ce qu'est le rayon de giration $J = m k^{2}$ ?
Sais-tu poser l'équation du pendule pesant $J \ddot{θ} = - m g ℓ sin θ$ ?
Sais-tu que $σ$ et $Ω$ ne sont colinéaires que sur un axe principal ?
Sais-tu écrire la puissance d'une action comme comoment des torseurs ?
Sais-tu que la statique est le cas $a = 0$ du PFD ?

Démonstrations à savoir refaire

Énergie cinétique en rotation — $\int \frac{1}{2} r^{2} ω^{2} d m$ → $\frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2}$
PFD scalaire en rotation — $δ_{Δ} = \overset{σ}{˙}_{Δ} = J_{Δ} \overset{ω}{˙} = M_{Δ}$

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