📘 Fiche de cours · 2e année💻 MPI⚡ Physique

Ondes EM dans un plasma

La propagation en milieu dispersif : modèle du plasma peu dense, pulsation plasma ωₚ = √(ne²/(mε₀)), relation de dispersion k² = (ω²−ωₚ²)/c² démontrée du PFD à Maxwell, régimes de propagation (ω > ωₚ) et d'onde évanescente (ω < ωₚ), coupure et réflexion ionosphérique, vitesse de phase et de groupe avec vₚₕ·v_g = c², cas du conducteur ohmique et effet de peau. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Dans le vide, toutes les ondes se propagent à $c$ — le vide est non dispersif. Dès qu'il y a de la matière (des charges libres), c'est différent : la propagation devient dispersive, et certaines fréquences sont même interdites. Ce chapitre étudie le cas emblématique du plasma (gaz d'électrons libres et d'ions) : un modèle simple (l'électron poussé par $E$ ) donne une relation de dispersion $k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}$ faisant apparaître la pulsation plasma $ω_{p}$ . Conséquence spectaculaire : en dessous de $ω_{p}$ , l'onde ne se propage plus (elle est évanescente) — c'est pourquoi l'ionosphère réfléchit les ondes radio et laisse passer la lumière. On introduit aussi la distinction vitesse de phase / vitesse de groupe et le cas du conducteur ohmique (effet de peau). Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MPI (officiel) — Propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu : modèle du plasma peu dense, conductivité, relation de dispersion

k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}

et pulsation plasma ; propagation et onde évanescente, fréquence de coupure ; milieu dispersif, vitesse de phase et vitesse de groupe ; cas du conducteur ohmique, effet de peau et épaisseur de peau.

Prérequis

Ondes EM dans le vide : OPPM, notation complexe, relations de structure
Équations de Maxwell, courant volumique $j$
Mécanique du point : PFD, force de Lorentz

🎯 Accompagnement Majorant

La relation de dispersion du plasma est LE calcul-vedette des sujets d'ondes. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font dérouler le modèle (PFD sur l'électron → conductivité → Maxwell → $k^{2}$ ) et interpréter la coupure jusqu'à en faire un réflexe d'écrit.

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1. Modèle du plasma et relation de dispersion

Définition 1.1 — Plasma peu dense

Un plasma est un gaz ionisé, globalement neutre, contenant $n$ électrons libres par unité de volume (charge $- e$ , masse $m$ ) et des ions positifs. Dans le modèle simplifié : les ions, lourds, sont immobiles ; on néglige les collisions (plasma peu dense) et la force magnétique $- e v \land B$ (petite devant la force électrique pour $v ≪ c$ ). Seul $E$ de l'onde met les électrons en mouvement.

Définition 1.2 — Pulsation plasma

La pulsation plasma est la fréquence propre caractéristique du gaz d'électrons :

ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}} .

Elle ne dépend que de la densité électronique $n$ (et de constantes fondamentales). C'est le seuil qui sépare propagation et évanescence. Pour l'ionosphère, $f_{p} = ω_{p} /2 π \sim$ quelques MHz.

Théorème 1.1 — Relation de dispersion du plasma ★ À savoir démontrer

Pour une OPPM dans le plasma, le vecteur d'onde et la pulsation vérifient :

k^{2} = \frac{ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{c ^{2}} .

Contrairement au vide ( $k = ω / c$ ), la relation n'est PAS linéaire : le plasma est un milieu dispersif. La conductivité y est purement imaginaire ( $\underline{γ} = - i n e^{2} / (mω)$ ), donc SANS dissipation : le plasma ne chauffe pas, il disperse.

Démonstration (PFD sur l'électron → courant → Maxwell)

1. Mouvement d'un électron — PFD en notation complexe ( $\partial_{t} \to iω$ ), en négligeant $B$ et les collisions : $m \frac{d v}{d t} = - e \underline{E} \Rightarrow imω \underline{v} = - e \underline{E}$ , d'où $\underline{v} = \frac{i e}{mω} \underline{E}$ .

2. Courant volumique — $\underline{j} = n (- e) \underline{v} = - \frac{in e ^{2}}{mω} \underline{E}$ (conductivité imaginaire pure).

3. Courant total dans Maxwell-Ampère — le terme source de $rot B = μ_{0} (\underline{j} + ε_{0} \partial_{t} \underline{E})$ vaut, avec $\partial_{t} \to iω$ : $\underline{j} + ε_{0} iω \underline{E} = i ε_{0} ω (1 - \frac{n e ^{2}}{m ε _{0} ω ^{2}}) \underline{E} = i ε_{0} ω (1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}}) \underline{E} .$ Le plasma se comporte donc comme un « vide » de permittivité effective $ε_{0} (1 - ω_{p}^{2} / ω^{2})$ .

4. Dispersion — dans le vide la relation est $k^{2} = ω^{2} / c^{2}$ ; en remplaçant $ε_{0}$ par la permittivité effective, on obtient $k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}}) = \frac{ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{c ^{2}} .$ CQFD. (On a utilisé $ω_{p}^{2} = n e^{2} / (m ε_{0})$ .)

2. Coupure, onde évanescente et dispersion

Définition 2.1 — Onde évanescente

Quand $k^{2} < 0$ , $k = \pm i / δ$ est imaginaire pur : l'onde ne se propage plus, son amplitude DÉCROÎT exponentiellement en $e^{- z / δ}$ . C'est une onde évanescente — elle pénètre le milieu sur une profondeur $δ$ puis s'éteint, sans transport d'énergie en moyenne (l'énergie est réfléchie).

Théorème 2.1 — Coupure : propagation ou réflexion selon ω

Le signe de $k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}$ impose deux régimes :

$ω > ω_{p}$ : $k^{2} > 0$ , $k$ réel — l'onde se propage (milieu transparent). Cas des hautes fréquences.
$ω < ω_{p}$ : $k^{2} < 0$ , $k$ imaginaire — l'onde est évanescente, le plasma la réfléchit. Cas des basses fréquences.

$ω_{p}$ est la pulsation de coupure. C'est le principe de la réflexion des ondes radio par l'ionosphère (radio grandes ondes → réflexion → longue portée), tandis que la lumière visible ( $ω ≫ ω_{p}$ ) la traverse — on voit les étoiles.

Définition 2.2 — Vitesse de phase, vitesse de groupe

Dans un milieu dispersif, on distingue :

la vitesse de phase $v_{φ} = \frac{ω}{k}$ : vitesse d'un plan de phase constante (une « crête »).
la vitesse de groupe $v_{g} = \frac{d ω}{d k}$ : vitesse de propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes — c'est elle qui transporte l'énergie et l'information.

Dans le vide, $v_{φ} = v_{g} = c$ . Dans le plasma, elles diffèrent.

Théorème 2.2 — Relation vₚₕ · v_g = c² dans le plasma ★ À savoir démontrer

Dans le régime de propagation ( $ω > ω_{p}$ ), les deux vitesses vérifient :

v_{φ} v_{g} = c^{2}, avec v_{φ} > c > v_{g} .

La vitesse de phase DÉPASSE $c$ — sans violer la relativité, car aucune information ne voyage à $v_{φ}$ . C'est $v_{g} < c$ qui transporte le signal. Ce résultat est un grand classique d'oral.

Démonstration (différentiation de la relation de dispersion)

Écrivons la relation de dispersion sous la forme $k^{2} c^{2} = ω^{2} - ω_{p}^{2}$ . Vitesse de phase : $v_{φ} = \frac{ω}{k} = \frac{ω c}{ω ^{2} - ω _{p}^{2}} > c$ (car le dénominateur est $< ω$ ).

Vitesse de groupe : différentions $k^{2} c^{2} = ω^{2} - ω_{p}^{2}$ ( $ω_{p}$ constante) : $2 k c^{2} d k = 2 ω d ω$ , d'où $v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{k c ^{2}}{ω} = \frac{c ^{2}}{ω / k} = \frac{c ^{2}}{v _{φ}} .$ Donc $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ . Comme $v_{φ} > c$ , on a $v_{g} = c^{2} / v_{φ} < c$ . L'énergie voyage bien à une vitesse inférieure à $c$ . CQFD.

💡 Exemple — L'ionosphère et la radio. L'ionosphère a une densité électronique

n \sim 1 0^{11}

–

1 0^{12} m^{- 3}

, donnant

f_{p} \sim 3

–

10 MHz

. Les ondes radio AM (grandes ondes,

f < f_{p}

) sont réfléchies : elles « rebondissent » entre sol et ionosphère et portent à des milliers de km. La FM (

\sim 100 MHz > f_{p}

) et la lumière visible (

\sim 1 0^{14} Hz

) traversent — d'où l'usage de satellites pour la FM longue distance, et le fait qu'on observe le ciel.

🧑‍🏫 La dispersion du plasma au point

Relation de dispersion, coupure, vₚₕ·v_g = c² : le trio des sujets d'ondes en milieu. Un mentor Majorant te fait dérouler tout le calcul du plasma et interpréter chaque régime — jusqu'à l'aisance sur les questions ouvertes d'oral.

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3. Conducteur ohmique et effet de peau

Définition 3.1 — Effet de peau, épaisseur de peau

Dans un bon conducteur (loi d'Ohm $j = γ E$ , $γ$ réel grand), une OPPM est fortement amortie : l'onde ne pénètre que sur une fine couche, l'effet de peau. L'épaisseur de peau est :

δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .

Le champ décroît en $e^{- z / δ}$ . Plus la fréquence est élevée, plus $δ$ est petite : à haute fréquence, le courant circule uniquement en surface (d'où les câbles creux ou tressés en HF). Pour le cuivre à $50 Hz$ , $δ \sim 1 cm$ ; à $1 GHz$ , $δ \sim 2 μ m$ .

⚠ Piège — Plasma et conducteur ohmique : deux physiques opposées. Dans le plasma, la conductivité est IMAGINAIRE pure (déphasage de

π /2

entre

j

E

) : pas de dissipation, l'onde évanescente est RÉFLÉCHIE. Dans le conducteur ohmique,

γ

est RÉEL : effet Joule, l'onde est ABSORBÉE (atténuée par dissipation). Ne pas confondre réflexion (plasma) et absorption (conducteur), même si les deux donnent une décroissance en

e^{- z / δ}

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La propagation en milieu dispersif est riche en pièges physiques. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Oublier le courant de déplacement dans le plasma. Contrairement au conducteur ohmique (où

ε_{0} \partial_{t} E

est négligeable devant

j

), dans le plasma le courant de déplacement

ε_{0} \partial_{t} E

est du même ordre que

j

: il faut GARDER les deux. C'est leur combinaison qui donne la permittivité effective

ε_{0} (1 - ω_{p}^{2} / ω^{2})

⚠ Erreur 2 — Croire que vitesse de phase > c viole la relativité.

v_{φ} > c

est parfaitement admissible : la phase ne transporte ni énergie ni information. C'est la vitesse de GROUPE

v_{g} = c^{2} / v_{φ} < c

qui porte le signal. Bien distinguer les deux — confusion très fréquente et sanctionnée.

⚠ Erreur 3 — Négliger la force magnétique sans le justifier. On néglige

- e v \land B

devant

- e E

parce que

∥ B ∥ = ∥ E ∥/ c

v ≪ c

, donc

∥ v B ∥ \sim (v / c) ∥ E ∥ ≪ ∥ E ∥

. Ce n'est pas un axiome : c'est une approximation non relativiste à ÉNONCER dans la copie.

⚠ Erreur 4 — Se tromper de signe dans k pour l'onde évanescente. Quand

k^{2} < 0

, on écrit

k = \pm i / δ

: il faut CHOISIR le signe qui donne une amplitude DÉCROISSANTE (

e^{- z / δ}

) dans le sens de pénétration, pas croissante (qui serait non physique, énergie infinie). Toujours vérifier le sens de décroissance.

⚠ Erreur 5 — Confondre pulsation plasma et pulsation de l'onde.

ω_{p}

est une propriété du MILIEU (dépend de

n

), fixe ;

ω

est la pulsation de l'ONDE, imposée par la source. La comparaison

ω ≷ ω_{p}

décide du régime. Écrire

ω = ω_{p}

systématiquement est une confusion : c'est seulement le cas limite de coupure (

k = 0

5. Pour aller plus loin

La propagation en milieu dispersif ouvre sur toute la physique des ondes réelles :

Paquets d'ondes et dispersion — étalement d'un paquet, vitesse de groupe : le lien avec la mécanique quantique (relation de de Broglie).
Guides d'ondes — fibres optiques, câbles coaxiaux : des relations de dispersion avec fréquence de coupure, comme le plasma.
Indice optique et dispersion — l'arc-en-ciel, le prisme : la dépendance $n (ω)$ est de la dispersion.
Physique des plasmas — fusion, astrophysique, ionosphère : $ω_{p}$ y est une grandeur centrale.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Connais-tu le modèle du plasma (électrons libres, ions fixes, sans collisions) ?
Sais-tu définir la pulsation plasma ωₚ = √(ne²/(mε₀)) ?
Sais-tu démontrer la relation de dispersion k² = (ω²−ωₚ²)/c² (PFD → j → Maxwell) ?
Sais-tu que la conductivité du plasma est imaginaire pure (sans dissipation) ?
Sais-tu distinguer propagation (ω > ωₚ) et onde évanescente (ω < ωₚ) ?
Sais-tu que ωₚ est la pulsation de coupure (réflexion ionosphérique) ?
Sais-tu définir vitesse de phase vₚₕ = ω/k et vitesse de groupe v_g = dω/dk ?
Sais-tu démontrer vₚₕ · v_g = c² dans le plasma ?
Sais-tu que vₚₕ > c ne viole pas la relativité (c'est v_g qui transporte le signal) ?
Sais-tu définir l'effet de peau et l'épaisseur δ = √(2/(μ₀γω)) ?
Sais-tu que plasma = réflexion et conducteur ohmique = absorption ?
Sais-tu justifier qu'on néglige la force magnétique (v ≪ c) ?

Démonstrations à savoir refaire

Relation de dispersion du plasma — PFD sur l'électron, courant, permittivité effective
Relation vₚₕ · v_g = c² — différentiation de k²c² = ω² − ωₚ²

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