Ondes EM dans un plasma

Vue d'ensemble

Dans le vide, toutes les ondes se propagent à $c$ — le vide est non dispersif. Dès qu'il y a de la matière (des charges libres), c'est différent : la propagation devient dispersive, et certaines fréquences sont même interdites. Ce chapitre étudie le cas emblématique du plasma (gaz d'électrons libres et d'ions) : un modèle simple (l'électron poussé par $E$ ) donne une relation de dispersion $k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}$ faisant apparaître la pulsation plasma $ω_{p}$ . Conséquence spectaculaire : en dessous de $ω_{p}$ , l'onde ne se propage plus (elle est évanescente) — c'est pourquoi l'ionosphère réfléchit les ondes radio et laisse passer la lumière. On introduit aussi la distinction vitesse de phase / vitesse de groupe et le cas du conducteur ohmique (effet de peau). Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu : modèle du plasma peu dense, conductivité, relation de dispersion

k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}

et pulsation plasma ; propagation et onde évanescente, fréquence de coupure ; milieu dispersif, vitesse de phase et vitesse de groupe ; cas du conducteur ohmique, effet de peau et épaisseur de peau.

Prérequis

Ondes EM dans le vide : OPPM, notation complexe, relations de structure
Équations de Maxwell, courant volumique $j$
Mécanique du point : PFD, force de Lorentz

🎯 Accompagnement Majorant

La relation de dispersion du plasma est LE calcul-vedette des sujets d'ondes. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font dérouler le modèle (PFD sur l'électron → conductivité → Maxwell → $k^{2}$ ) et interpréter la coupure jusqu'à en faire un réflexe d'écrit.

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1. Modèle du plasma et relation de dispersion

Définition 1.1 — Plasma peu dense

Un plasma est un gaz ionisé, globalement neutre, contenant $n$ électrons libres par unité de volume (charge $- e$ , masse $m$ ) et des ions positifs. Dans le modèle simplifié : les ions, lourds, sont immobiles ; on néglige les collisions (plasma peu dense) et la force magnétique $- e v \land B$ (petite devant la force électrique pour $v ≪ c$ ). Seul $E$ de l'onde met les électrons en mouvement.

Définition 1.2 — Pulsation plasma

La pulsation plasma est la fréquence propre caractéristique du gaz d'électrons :

ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}} .

Elle ne dépend que de la densité électronique $n$ (et de constantes fondamentales). C'est le seuil qui sépare propagation et évanescence. Pour l'ionosphère, $f_{p} = ω_{p} /2 π \sim$ quelques MHz.

Théorème 1.1 — Relation de dispersion du plasma ★ À savoir démontrer

Pour une OPPM dans le plasma, le vecteur d'onde et la pulsation vérifient :

k^{2} = \frac{ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{c ^{2}} .

Contrairement au vide ( $k = ω / c$ ), la relation n'est PAS linéaire : le plasma est un milieu dispersif. La conductivité y est purement imaginaire ( $\underline{γ} = - i n e^{2} / (mω)$ ), donc SANS dissipation : le plasma ne chauffe pas, il disperse.

Démonstration (PFD sur l'électron → courant → Maxwell)

1. Mouvement d'un électron — PFD en notation complexe ( $\partial_{t} \to iω$ ), en négligeant $B$ et les collisions : $m \frac{d v}{d t} = - e \underline{E} \Rightarrow imω \underline{v} = - e \underline{E}$ , d'où $\underline{v} = \frac{i e}{mω} \underline{E}$ .

2. Courant volumique — $\underline{j} = n (- e) \underline{v} = - \frac{in e ^{2}}{mω} \underline{E}$ (conductivité imaginaire pure).

3. Courant total dans Maxwell-Ampère — le terme source de $rot B = μ_{0} (\underline{j} + ε_{0} \partial_{t} \underline{E})$ vaut, avec $\partial_{t} \to iω$ : $\underline{j} + ε_{0} iω \underline{E} = i ε_{0} ω (1 - \frac{n e ^{2}}{m ε _{0} ω ^{2}}) \underline{E} = i ε_{0} ω (1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}}) \underline{E} .$ Le plasma se comporte donc comme un « vide » de permittivité effective $ε_{0} (1 - ω_{p}^{2} / ω^{2})$ .

4. Dispersion — dans le vide la relation est $k^{2} = ω^{2} / c^{2}$ ; en remplaçant $ε_{0}$ par la permittivité effective, on obtient $k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}}) = \frac{ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{c ^{2}} .$ CQFD. (On a utilisé $ω_{p}^{2} = n e^{2} / (m ε_{0})$ .)

2. Coupure, onde évanescente et dispersion

Définition 2.1 — Onde évanescente

Quand $k^{2} < 0$ , $k = \pm i / δ$ est imaginaire pur : l'onde ne se propage plus, son amplitude DÉCROÎT exponentiellement en $e^{- z / δ}$ . C'est une onde évanescente — elle pénètre le milieu sur une profondeur $δ$ puis s'éteint, sans transport d'énergie en moyenne (l'énergie est réfléchie).

Théorème 2.1 — Coupure : propagation ou réflexion selon ω

Le signe de $k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}$ impose deux régimes :

$ω > ω_{p}$ : $k^{2} > 0$ , $k$ réel — l'onde se propage (milieu transparent). Cas des hautes fréquences.
$ω < ω_{p}$ : $k^{2} < 0$ , $k$ imaginaire — l'onde est évanescente, le plasma la réfléchit. Cas des basses fréquences.

$ω_{p}$ est la pulsation de coupure. C'est le principe de la réflexion des ondes radio par l'ionosphère (radio grandes ondes → réflexion → longue portée), tandis que la lumière visible ( $ω ≫ ω_{p}$ ) la traverse — on voit les étoiles.

Définition 2.2 — Vitesse de phase, vitesse de groupe

Dans un milieu dispersif, on distingue :

la vitesse de phase $v_{φ} = \frac{ω}{k}$ : vitesse d'un plan de phase constante (une « crête »).
la vitesse de groupe $v_{g} = \frac{d ω}{d k}$ : vitesse de propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes — c'est elle qui transporte l'énergie et l'information.

Dans le vide, $v_{φ} = v_{g} = c$ . Dans le plasma, elles diffèrent.

Théorème 2.2 — Relation vₚₕ · v_g = c² dans le plasma ★ À savoir démontrer

Dans le régime de propagation ( $ω > ω_{p}$ ), les deux vitesses vérifient :

v_{φ} v_{g} = c^{2}, avec v_{φ} > c > v_{g} .

La vitesse de phase DÉPASSE $c$ — sans violer la relativité, car aucune information ne voyage à $v_{φ}$ . C'est $v_{g} < c$ qui transporte le signal. Ce résultat est un grand classique d'oral.

Démonstration (différentiation de la relation de dispersion)

Écrivons la relation de dispersion sous la forme $k^{2} c^{2} = ω^{2} - ω_{p}^{2}$ . Vitesse de phase : $v_{φ} = \frac{ω}{k} = \frac{ω c}{ω ^{2} - ω _{p}^{2}} > c$ (car le dénominateur est $< ω$ ).

Vitesse de groupe : différentions $k^{2} c^{2} = ω^{2} - ω_{p}^{2}$ ( $ω_{p}$ constante) : $2 k c^{2} d k = 2 ω d ω$ , d'où $v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{k c ^{2}}{ω} = \frac{c ^{2}}{ω / k} = \frac{c ^{2}}{v _{φ}} .$ Donc $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ . Comme $v_{φ} > c$ , on a $v_{g} = c^{2} / v_{φ} < c$ . L'énergie voyage bien à une vitesse inférieure à $c$ . CQFD.

💡 Exemple — L'ionosphère et la radio. L'ionosphère a une densité électronique

n \sim 1 0^{11}

–

1 0^{12} m^{- 3}

, donnant

f_{p} \sim 3

–

10 MHz

. Les ondes radio AM (grandes ondes,

f < f_{p}

) sont réfléchies : elles « rebondissent » entre sol et ionosphère et portent à des milliers de km. La FM (

\sim 100 MHz > f_{p}

) et la lumière visible (

\sim 1 0^{14} Hz

) traversent — d'où l'usage de satellites pour la FM longue distance, et le fait qu'on observe le ciel.

🧑‍🏫 La dispersion du plasma au point

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3. Conducteur ohmique et effet de peau

Définition 3.1 — Effet de peau, épaisseur de peau

Dans un bon conducteur (loi d'Ohm $j = γ E$ , $γ$ réel grand), une OPPM est fortement amortie : l'onde ne pénètre que sur une fine couche, l'effet de peau. L'épaisseur de peau est :

δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .

Le champ décroît en $e^{- z / δ}$ . Plus la fréquence est élevée, plus $δ$ est petite : à haute fréquence, le courant circule uniquement en surface (d'où les câbles creux ou tressés en HF). Pour le cuivre à $50 Hz$ , $δ \sim 1 cm$ ; à $1 GHz$ , $δ \sim 2 μ m$ .

⚠ Piège — Plasma et conducteur ohmique : deux physiques opposées. Dans le plasma, la conductivité est IMAGINAIRE pure (déphasage de

π /2

entre

j

E

) : pas de dissipation, l'onde évanescente est RÉFLÉCHIE. Dans le conducteur ohmique,

γ

est RÉEL : effet Joule, l'onde est ABSORBÉE (atténuée par dissipation). Ne pas confondre réflexion (plasma) et absorption (conducteur), même si les deux donnent une décroissance en

e^{- z / δ}

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La propagation en milieu dispersif est riche en pièges physiques. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Oublier le courant de déplacement dans le plasma. Contrairement au conducteur ohmique (où

ε_{0} \partial_{t} E

est négligeable devant

j

), dans le plasma le courant de déplacement

ε_{0} \partial_{t} E

est du même ordre que

j

: il faut GARDER les deux. C'est leur combinaison qui donne la permittivité effective

ε_{0} (1 - ω_{p}^{2} / ω^{2})

⚠ Erreur 2 — Croire que vitesse de phase > c viole la relativité.

v_{φ} > c

est parfaitement admissible : la phase ne transporte ni énergie ni information. C'est la vitesse de GROUPE

v_{g} = c^{2} / v_{φ} < c

qui porte le signal. Bien distinguer les deux — confusion très fréquente et sanctionnée.

⚠ Erreur 3 — Négliger la force magnétique sans le justifier. On néglige

- e v \land B

devant

- e E

parce que

∥ B ∥ = ∥ E ∥/ c

v ≪ c

, donc

∥ v B ∥ \sim (v / c) ∥ E ∥ ≪ ∥ E ∥

. Ce n'est pas un axiome : c'est une approximation non relativiste à ÉNONCER dans la copie.

⚠ Erreur 4 — Se tromper de signe dans k pour l'onde évanescente. Quand

k^{2} < 0

, on écrit

k = \pm i / δ

: il faut CHOISIR le signe qui donne une amplitude DÉCROISSANTE (

e^{- z / δ}

) dans le sens de pénétration, pas croissante (qui serait non physique, énergie infinie). Toujours vérifier le sens de décroissance.

⚠ Erreur 5 — Confondre pulsation plasma et pulsation de l'onde.

ω_{p}

est une propriété du MILIEU (dépend de

n

), fixe ;

ω

est la pulsation de l'ONDE, imposée par la source. La comparaison

ω ≷ ω_{p}

décide du régime. Écrire

ω = ω_{p}

systématiquement est une confusion : c'est seulement le cas limite de coupure (

k = 0

5. Pour aller plus loin

La propagation en milieu dispersif ouvre sur toute la physique des ondes réelles :

Paquets d'ondes et dispersion — étalement d'un paquet, vitesse de groupe : le lien avec la mécanique quantique (relation de de Broglie).
Guides d'ondes — fibres optiques, câbles coaxiaux : des relations de dispersion avec fréquence de coupure, comme le plasma.
Indice optique et dispersion — l'arc-en-ciel, le prisme : la dépendance $n (ω)$ est de la dispersion.
Physique des plasmas — fusion, astrophysique, ionosphère : $ω_{p}$ y est une grandeur centrale.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Connais-tu le modèle du plasma (électrons libres, ions fixes, sans collisions) ?
Sais-tu définir la pulsation plasma ωₚ = √(ne²/(mε₀)) ?
Sais-tu démontrer la relation de dispersion k² = (ω²−ωₚ²)/c² (PFD → j → Maxwell) ?
Sais-tu que la conductivité du plasma est imaginaire pure (sans dissipation) ?
Sais-tu distinguer propagation (ω > ωₚ) et onde évanescente (ω < ωₚ) ?
Sais-tu que ωₚ est la pulsation de coupure (réflexion ionosphérique) ?
Sais-tu définir vitesse de phase vₚₕ = ω/k et vitesse de groupe v_g = dω/dk ?
Sais-tu démontrer vₚₕ · v_g = c² dans le plasma ?
Sais-tu que vₚₕ > c ne viole pas la relativité (c'est v_g qui transporte le signal) ?
Sais-tu définir l'effet de peau et l'épaisseur δ = √(2/(μ₀γω)) ?
Sais-tu que plasma = réflexion et conducteur ohmique = absorption ?
Sais-tu justifier qu'on néglige la force magnétique (v ≪ c) ?

Démonstrations à savoir refaire

Relation de dispersion du plasma — PFD sur l'électron, courant, permittivité effective
Relation vₚₕ · v_g = c² — différentiation de k²c² = ω² − ωₚ²

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Modèle du plasma et relation de dispersion

2. Coupure, onde évanescente et dispersion

3. Conducteur ohmique et effet de peau

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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