📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚡ Physique

Transformateur

Le composant clé du transport de l'énergie : induction mutuelle, transformateur parfait ($u_2/u_1 = m$, $i_1/i_2 = m$, conservation de la puissance), adaptation d'impédance $Z/m^2$, transformateur réel (pertes fer et cuivre, rendement). Les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Le transformateur est le composant qui a permis le transport de l'énergie électrique sur des milliers de kilomètres : il élève la tension pour minimiser les pertes en ligne, puis l'abaisse près du consommateur. Son principe est une application directe de l'induction mutuelle (cas de Neumann) : deux enroulements couplés par un circuit magnétique commun. Idéalement, il conserve la puissance et transforme les tensions et courants dans le rapport $m = N_{2} / N_{1}$ . Cette fiche établit les relations du transformateur parfait, le modèle du transformateur réel (pertes fer et cuivre, rendement) et l'adaptation d'impédance — avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Au programme PSI (officiel) — Transformateur : circuit magnétique, couplage par induction mutuelle ; transformateur parfait (rapport de transformation, relations tension et courant, conservation de la puissance) ; transformateur réel (pertes fer, pertes cuivre, inductances de fuite), rendement ; adaptation d'impédance ; rôle dans le transport et la distribution de l'énergie électrique.

Prérequis

Induction, loi de Faraday, inductance mutuelle (cas de Neumann)
Puissance en régime sinusoïdal (active, réactive, apparente)
Circuit magnétique, théorème d'Ampère, notion de réluctance

🎯 Accompagnement Majorant

Le transformateur : des relations simples, mais un modèle réel truffé de pièges. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font distinguer pertes fer et pertes cuivre, inductances de fuite et rendement — les points où les concours PSI font la différence.

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1. Constitution et circuit magnétique

Définition 1.1 — Transformateur

Un transformateur est constitué de deux enroulements — le primaire ( $N_{1}$ spires) et le secondaire ( $N_{2}$ spires) — bobinés sur un même circuit magnétique ferromagnétique fermé (feuilleté pour limiter les courants de Foucault). Le primaire, alimenté en alternatif, crée un flux magnétique variable qui, canalisé par le circuit magnétique, traverse le secondaire et y induit une force électromotrice.

Définition 1.2 — Rapport de transformation

Le rapport de transformation est le rapport des nombres de spires :

m = \frac{N _{2}}{N _{1}} .

$m > 1$ : transformateur ÉLÉVATEUR (secondaire plus haute tension). $m < 1$ : ABAISSEUR. C'est le seul paramètre du transformateur parfait.

📝 Remarque — Bornes homologues et signe de m. Le signe des tensions dépend du sens de bobinage relatif des deux enroulements, repéré par des points (bornes homologues) sur les schémas : deux bornes homologues sont au même potentiel instantané par rapport au flux commun. Inverser le sens d'un enroulement change le signe de

m

(déphasage de

π

), sans changer le rapport des amplitudes. À préciser avant tout bilan de phase.

📝 Remarque — Pourquoi un circuit magnétique feuilleté. Le flux variable induit des courants de Foucault dans le noyau, sources de pertes par effet Joule. Feuilleter le circuit (tôles isolées empilées) découpe ces boucles de courant et réduit fortement ces pertes fer. Le matériau (fer doux) est aussi choisi pour son cycle d'hystérésis étroit.

2. Le transformateur parfait

Définition 2.1 — Transformateur parfait

Le transformateur parfait est un modèle idéalisé où : (i) le circuit magnétique a une réluctance nulle (perméabilité infinie), (ii) il n'y a aucune fuite de flux (tout le flux est commun aux deux enroulements), (iii) les enroulements ont une résistance nulle et (iv) les pertes fer sont négligées.

Théorème 2.1 — Relation des tensions ★ À savoir démontrer

Pour un transformateur parfait, les tensions primaire et secondaire sont dans le rapport de transformation :

\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} = m .

Démonstration (loi de Faraday sur chaque enroulement)

Soit $ϕ$ le flux commun traversant UNE spire du circuit magnétique. Sans fuite ni résistance, la loi de Faraday appliquée à chaque enroulement donne (en convention récepteur/générateur cohérente) : $u_{1} = N_{1} \frac{d ϕ}{d t}, u_{2} = N_{2} \frac{d ϕ}{d t} .$ Le même flux élémentaire $ϕ$ apparaît car la réluctance est nulle et il n'y a pas de fuite : les $N_{1}$ et $N_{2}$ spires embrassent le même $ϕ$ . En faisant le rapport, le $d ϕ / d t$ commun se simplifie : $\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} = m .$ CQFD. Le transformateur transpose donc l'amplitude de la tension sans déphasage.

Théorème 2.2 — Relation des courants et conservation de la puissance ★ À savoir démontrer

Les courants sont dans le rapport inverse, et la puissance est intégralement transmise :

\frac{i _{1}}{i _{2}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} = m, u_{1} i_{1} = u_{2} i_{2} .

Démonstration (théorème d'Ampère à réluctance nulle)

Le théorème d'Ampère sur le circuit magnétique relie la force magnétomotrice au flux via la réluctance $R$ : $N_{1} i_{1} - N_{2} i_{2} = R ϕ$ (les deux enroulements sont comptés avec leurs orientations). Pour un circuit PARFAIT, $R \to 0$ , donc $N_{1} i_{1} = N_{2} i_{2} ⟹ \frac{i _{1}}{i _{2}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} = m .$ La puissance instantanée reçue au primaire est alors $u_{1} i_{1} = (u_{2} / m) (m i_{2}) = u_{2} i_{2}$ : elle est INTÉGRALEMENT transmise au secondaire. CQFD. Le transformateur parfait a donc un rendement de $100 %$ et ne stocke pas d'énergie.

Théorème 2.3 — Adaptation d'impédance

Une impédance $\underline{Z}$ branchée au secondaire est VUE depuis le primaire comme :

\underline{Z}_{ramen \overset{e}{ˊ} e} = \frac{Z}{m ^{2}} .

Le transformateur permet ainsi d'ADAPTER une charge à une source (transfert de puissance maximal) en choisissant $m$ . C'est le principe de l'adaptation d'impédance en audio et en électronique.

💡 Exemple — Abaisseur $230 V \to 12 V$ . Un transformateur d'alimentation avec

N_{1} = 1150

N_{2} = 60

m = 60/1150 \approx 0, 052

. Sous

u_{1} = 230 V

efficaces, il délivre

u_{2} = m u_{1} \approx 12 V

. Si le secondaire débite

i_{2} = 2 A

, le primaire n'appelle que

i_{1} = m i_{2} \approx 0, 10 A

: la puissance

u_{2} i_{2} = 24 W

est conservée.

🧑‍🏫 Le transformateur parfait au point

Tensions dans le rapport $m$ , courants dans le rapport $1/ m$ , puissance conservée : les trois réflexes. Un mentor Majorant te fait retrouver ces relations par Faraday et Ampère plutôt que les réciter — la rigueur attendue en concours PSI.

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3. Transformateur réel, pertes et rendement

Définition 3.1 — Pertes fer et pertes cuivre

Le transformateur réel dissipe de l'énergie par deux mécanismes distincts :

Pertes fer (dans le noyau) : hystérésis + courants de Foucault. Elles dépendent de la tension (du flux) et de la fréquence, mais PAS de la charge : on les modélise par une résistance en parallèle à l'entrée.
Pertes cuivre (dans les enroulements) : effet Joule $R i^{2}$ dans les résistances des bobinages. Elles dépendent du COURANT, donc de la charge : on les modélise par des résistances en série.

S'y ajoutent les inductances de fuite (flux non commun aux deux enroulements), modélisées par des inductances en série.

Définition 3.2 — Rendement

Le rendement est le rapport de la puissance active utile (au secondaire) à la puissance active absorbée (au primaire) :

η = \frac{P _{2}}{P _{1}} = \frac{P _{2}}{P _{2} + P _{fer} + P _{cuivre}} .

Les transformateurs de puissance industriels atteignent $η > 98 %$ . Le rendement est maximal quand pertes fer et pertes cuivre sont ÉGALES.

Proposition 3.1 — Fonctionnement à vide et en court-circuit

Deux essais permettent d'identifier le modèle :

Essai à vide (secondaire ouvert) : le courant est faible, la puissance absorbée donne les PERTES FER (le courant appelé sert surtout à magnétiser le noyau).
Essai en court-circuit (secondaire court-circuité, tension primaire réduite) : à courant nominal, la puissance absorbée donne les PERTES CUIVRE.

📐 Méthode-type — Étudier un transformateur en charge.

Poser l'hypothèse de modèle (parfait ou réel) et fixer le rapport $m = N_{2} / N_{1}$ .
Écrire les relations de transformation : $u_{2} = m u_{1}$ , $i_{2} = i_{1} / m$ .
Ramener la charge $\underline{Z}$ au primaire ( $\underline{Z} / m^{2}$ ) pour raisonner sur un seul circuit si besoin.
Pour le rendement : identifier pertes fer (essai à vide) et pertes cuivre (essai en court-circuit), puis $η = P_{2} / (P_{2} + P_{fer} + P_{cuivre})$ .
Vérifier la cohérence énergétique : $P_{1} = P_{2} + pertes$ .

💡 Exemple — Rendement d'un transformateur en charge. Un transformateur délivre

P_{2} = 10 kW

sous

cos φ = 1

. Ses essais donnent des pertes fer

P_{fer} = 120 W

(essai à vide) et des pertes cuivre

P_{cuivre} = 150 W

au régime nominal (essai en court-circuit). Le rendement vaut alors

η = \frac{P _{2}}{P _{2} + P _{fer} + P _{cuivre}} = \frac{10 000}{10 000 + 120 + 150} \approx 97, 4 %.

Le rendement serait MAXIMAL à la charge où

P_{cuivre} = P_{fer}

, soit ici à environ

120/150 \approx 89 %

de la charge nominale.

⚠ Piège — Pertes fer et pertes cuivre n'ont pas la même dépendance. Les pertes fer sont quasi constantes (fixées par la tension/fréquence) ; les pertes cuivre varient en

i^{2}

(donc avec la charge). C'est pourquoi le rendement passe par un MAXIMUM : à faible charge dominent les pertes fer, à forte charge les pertes cuivre.

📝 Remarque — Le transformateur ne change pas la fréquence. Le flux commun oscille à la fréquence de la source : primaire et secondaire ont donc la MÊME fréquence. Un transformateur transpose les amplitudes de tension et de courant, jamais la fréquence — contrairement à un convertisseur électronique (onduleur). En triphasé, on assemble trois transformateurs monophasés (couplages étoile ou triangle) pour le transport de forte puissance.

📝 Remarque — Pourquoi transporter en très haute tension. Pour transmettre une puissance

P = U I

, élever

U

permet de réduire

I

à même

P

. Or les pertes Joule en ligne valent

P_{ligne} = R_{ligne} I^{2}

: les diviser par

100

exige de diviser

I

par

10

, donc de MULTIPLIER

U

par

10

. C'est tout le rôle des transformateurs élévateurs en sortie de centrale (jusqu'à

400 kV

) et abaisseurs près des villes. Sans transformateur, le transport de l'électricité sur de longues distances serait ruineux en pertes.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le transformateur mêle induction, circuit magnétique et bilans de puissance : autant d'occasions d'erreurs. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Inverser le rapport pour les courants. Si

u_{2} = m u_{1}

, alors

i_{2} = i_{1} / m

(courants dans le rapport INVERSE). Un élévateur de tension est un abaisseur de courant. Confondre les deux viole la conservation de la puissance.

⚠ Erreur 2 — Oublier le carré dans l'impédance ramenée. L'impédance vue au primaire est

\underline{Z} / m^{2}

, pas

\underline{Z} / m

. Le carré vient du produit tension/courant (tension en

1/ m

, courant en

m

). Erreur classique en adaptation d'impédance.

⚠ Erreur 3 — Confondre pertes fer et pertes cuivre. Pertes fer = dans le NOYAU (hystérésis + Foucault), ~constantes avec la charge. Pertes cuivre = dans les ENROULEMENTS (Joule), en

i^{2}

. Les modéliser au mauvais endroit (série/parallèle) fausse tout le bilan.

⚠ Erreur 4 — Croire le transformateur fonctionnel en continu. Un transformateur n'agit qu'en RÉGIME VARIABLE : c'est la VARIATION de flux qui induit la f.é.m. (Faraday). En continu (

d ϕ / d t = 0

u_{2} = 0

et le primaire se comporte comme un simple court-circuit résistif — il « grille ».

⚠ Erreur 5 — Négliger le courant magnétisant sans le dire. Le transformateur parfait suppose une réluctance nulle (courant magnétisant nul). Dans le réel, un courant à vide non nul magnétise le noyau. Poser l'hypothèse « parfait » explicitement avant d'écrire

N_{1} i_{1} = N_{2} i_{2}

5. Pour aller plus loin

Le transformateur est au cœur de la distribution et de la conversion d'énergie :

Transport de l'énergie électrique — élever la tension réduit les pertes Joule en ligne ( $P_{ligne} = R I^{2}$ ), d'où le très haute tension.
Alimentations à découpage — transformateurs haute fréquence, plus compacts.
Conversion électronique statique — hacheurs et onduleurs associés aux transformateurs.
Milieux ferromagnétiques — le comportement du noyau, cycle d'hystérésis et pertes fer.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu de quoi est constitué un transformateur (2 enroulements, circuit magnétique) ?
Connais-tu le rapport de transformation m = N₂/N₁ ?
Sais-tu ce qu'est un transformateur parfait (réluctance nulle, sans fuite ni pertes) ?
Sais-tu démontrer u₂/u₁ = m par la loi de Faraday sur chaque enroulement ?
Sais-tu démontrer i₁/i₂ = m et u₁i₁ = u₂i₂ (Ampère à réluctance nulle) ?
Connais-tu l'impédance ramenée Z/m² (avec le carré) ?
Sais-tu distinguer pertes fer (noyau, ~constantes) et pertes cuivre (enroulements, en i²) ?
Connais-tu le rendement η = P₂/P₁ et sa maximisation (pertes fer = pertes cuivre) ?
Sais-tu à quoi servent les essais à vide et en court-circuit ?
Sais-tu pourquoi un transformateur ne fonctionne qu'en régime variable ?
Comprends-tu le rôle du transformateur dans le transport haute tension ?

Démonstrations à savoir refaire

Relation des tensions u₂/u₁ = m — Faraday sur chaque enroulement, flux commun
Relation des courants et conservation de puissance — Ampère à réluctance nulle, N₁i₁ = N₂i₂

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