📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚡ Physique

Puissance en régime sinusoïdal

Le chapitre d'ouverture de la conversion de puissance en PSI : valeurs efficaces, puissances active $P = U_{\text{eff}}I_{\text{eff}}\cos\varphi$, réactive et apparente, facteur de puissance, puissance complexe et théorème de Boucherot, avec le relèvement du $\cos\varphi$. Les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

C'est le chapitre qui ouvre la conversion de puissance en PSI : avant d'étudier les transformateurs et les machines, il faut savoir compter l'énergie dans un dipôle alimenté en alternatif. Trois puissances cohabitent : la puissance active $P = U_{eff} I_{eff} cos φ$ (celle qui « travaille », en watts), la puissance réactive $Q = U_{eff} I_{eff} sin φ$ (celle qui fait des allers-retours, en vars) et la puissance apparente $S = U_{eff} I_{eff}$ (celle que doit fournir le réseau, en VA). Le facteur de puissance $cos φ$ mesure l'efficacité du transfert. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables (puissance moyenne, puissance complexe, Boucherot), les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PSI (officiel) — Puissance en régime sinusoïdal forcé : valeurs efficaces ; puissance instantanée, puissance moyenne (active)

P

; facteur de puissance

cos φ

; puissance réactive

Q

, puissance apparente

S

; puissance complexe ; théorème de Boucherot (conservation des puissances active et réactive) ; relèvement du facteur de puissance. Introduction à la partie « conversion de puissance ».

Prérequis

Régime sinusoïdal forcé, notation complexe (impédance $\underline{Z}$ , amplitude complexe)
Lois de Kirchhoff, dipôles R, L, C et leurs impédances
Déphasage tension-courant $φ = φ_{u} - φ_{i}$

🎯 Accompagnement Majorant

Active, réactive, apparente : le trio que les concours PSI adorent piéger. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manier valeurs efficaces, $cos φ$ et puissance complexe sans erreur de facteur $\frac{1}{2}$ — la base de toute la conversion de puissance.

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1. Valeurs efficaces et puissance instantanée

Définition 1.1 — Valeur efficace (RMS)

La valeur efficace d'un signal périodique $x (t)$ de période $T$ est la racine de la moyenne de son carré :

X_{eff} = ⟨ x^{2} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x (t)^{2} d t .

Pour une grandeur sinusoïdale $x (t) = X_{m} cos (ω t + ϕ)$ , on a la relation à connaître par cœur :

X_{eff} = \frac{X _{m}}{2} .

Le $230 V$ du secteur est une valeur EFFICACE : l'amplitude vaut $X_{m} = 2302 \approx 325 V$ .

Définition 1.2 — Puissance instantanée

La puissance instantanée reçue par un dipôle en convention récepteur est le produit de la tension par le courant :

p (t) = u (t) i (t) .

En régime sinusoïdal, $u (t) = U_{m} cos (ω t)$ et $i (t) = I_{m} cos (ω t - φ)$ , où $φ$ est le déphasage de $i$ par rapport à $u$ . $p (t)$ oscille à la pulsation $2 ω$ autour de sa valeur moyenne.

⚠ Piège — Le facteur $2$ ne concerne que le sinusoïdal.

X_{eff} = X_{m} / 2

est FAUX pour un signal non sinusoïdal (créneau, triangle). Pour un créneau symétrique,

X_{eff} = X_{m}

; pour un triangle,

X_{m} / 3

. Toujours revenir à la définition

X_{eff} = ⟨ x^{2} ⟩

en cas de doute.

2. Puissances active, réactive et apparente

Théorème 2.1 — Puissance active (moyenne) ★ À savoir démontrer

La puissance active $P$ , moyenne temporelle de $p (t)$ , vaut :

P = ⟨ p ⟩ = U_{eff} I_{eff} cos φ,

où $cos φ$ est le facteur de puissance. $P$ s'exprime en watts (W) : c'est la seule puissance réellement CONVERTIE (en chaleur, en travail mécanique…).

Démonstration (moyenne du produit de deux sinusoïdes)

Avec $u (t) = U_{m} cos (ω t)$ et $i (t) = I_{m} cos (ω t - φ)$ : $p (t) = U_{m} I_{m} cos (ω t) cos (ω t - φ) .$ On linéarise avec $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ : $p (t) = \frac{U _{m} I _{m}}{2} [cos φ + cos (2 ω t - φ)] .$ Le terme $cos (2 ω t - φ)$ est de moyenne nulle sur une période. Il reste $P = ⟨ p ⟩ = \frac{U _{m} I _{m}}{2} cos φ = U_{eff} I_{eff} cos φ,$ en utilisant $U_{m} = U_{eff} 2$ et $I_{m} = I_{eff} 2$ , d'où le facteur $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ . CQFD.

Définition 2.1 — Puissance réactive et puissance apparente

On définit, à partir des mêmes valeurs efficaces et du déphasage $φ$ :

Q = U_{eff} I_{eff} sin φ (vars, var), S = U_{eff} I_{eff} (volt-amp \overset{e}{ˋ} res, VA) .

La puissance réactive $Q$ mesure l'énergie qui fait des allers-retours entre la source et les éléments réactifs (bobines, condensateurs) sans être convertie. La puissance apparente $S$ est celle que le réseau doit effectivement fournir (elle dimensionne les câbles et l'alternateur).

Définition 2.2 — Facteur de puissance

Le facteur de puissance d'un dipôle est le rapport de sa puissance active à sa puissance apparente :

k = \frac{P}{S} = cos φ (en r \overset{e}{ˊ} gime sinuso \overset{ı}{¨} dal) .

Compris entre $0$ et $1$ , il vaut $1$ pour une charge purement résistive (transfert optimal) et $0$ pour une charge purement réactive (aucune puissance convertie). En régime NON sinusoïdal, $k = P / S$ reste la définition, mais $k \neq = cos φ$ .

Proposition 2.1 — Triangle des puissances

Les trois puissances sont reliées par le triangle des puissances :

S^{2} = P^{2} + Q^{2}, cos φ = \frac{P}{S}, tan φ = \frac{Q}{P} .

Convention de signe : $Q > 0$ pour une charge INDUCTIVE ( $φ > 0$ , courant en retard), $Q < 0$ pour une charge CAPACITIVE.

💡 Exemple — Les trois dipôles de base. Pour une résistance

R

φ = 0

P = R I_{eff}^{2}

Q = 0

(tout est actif). Pour une bobine idéale :

φ = + π /2

P = 0

Q = + U_{eff} I_{eff} > 0

(réactif inductif pur). Pour un condensateur idéal :

φ = - π /2

P = 0

Q < 0

(réactif capacitif pur). Bobines et condensateurs ne consomment aucune puissance active en moyenne.

3. Puissance complexe et théorème de Boucherot

Définition 3.1 — Puissance complexe

À partir des amplitudes complexes $\underline{U}$ et $\underline{I}$ , on définit la puissance complexe :

\underline{S} = \frac{1}{2} \underline{U} \underline{I}^{*} = U_{eff} \underline{I}_{eff}^{*},

où $\underline{I}^{*}$ est le CONJUGUÉ de l'amplitude complexe du courant. C'est un outil de calcul très efficace, qui encode d'un coup $P$ et $Q$ .

Théorème 3.1 — Parties réelle et imaginaire de la puissance complexe ★ À savoir démontrer

La puissance complexe contient les puissances active et réactive comme parties réelle et imaginaire :

\underline{S} = P + j Q, P = Re (\underline{S}), Q = Im (\underline{S}), ∣ \underline{S} ∣ = S .

Démonstration (produit U · I* conjugué)

Posons $\underline{U} = U_{m} e^{j \cdot 0}$ et $\underline{I} = I_{m} e^{- j φ}$ (le courant est en retard de $φ$ ). Alors $\underline{I}^{*} = I_{m} e^{+ j φ}$ et $\underline{S} = \frac{1}{2} \underline{U} \underline{I}^{*} = \frac{1}{2} U_{m} I_{m} e^{j φ} = \frac{U _{m} I _{m}}{2} (cos φ + j sin φ) .$ Avec $\frac{U _{m} I _{m}}{2} = U_{eff} I_{eff}$ , on identifie $Re (\underline{S}) = U_{eff} I_{eff} cos φ = P$ et $Im (\underline{S}) = U_{eff} I_{eff} sin φ = Q$ . Le module vaut $∣ \underline{S} ∣ = U_{eff} I_{eff} = S$ . CQFD.

Théorème 3.2 — Théorème de Boucherot

Dans un réseau alimenté à une seule pulsation $ω$ , les puissances actives d'une part, réactives d'autre part, des différents dipôles S'AJOUTENT ALGÉBRIQUEMENT :

P_{tot} = k \sum P_{k}, Q_{tot} = k \sum Q_{k} .

Attention : les puissances APPARENTES ne s'additionnent PAS ( $S_{tot} \neq = \sum S_{k}$ en général), car les déphasages diffèrent. Boucherot découle de la conservation de l'énergie (pour $P$ ) et de la linéarité de la puissance complexe (pour $Q$ ).

📝 Remarque — Pourquoi additionner $P$ et $Q$ et pas $S$ . La puissance complexe totale

\underline{S}_{tot} = \sum_{k} \underline{S}_{k}

s'additionne (linéarité). En prenant partie réelle et imaginaire,

P

Q

sont additifs. Mais

S = ∣ \underline{S} ∣

est un module : la somme des modules diffère du module de la somme. D'où Boucherot sur

P

Q

uniquement.

4. Relèvement du facteur de puissance

Un facteur de puissance faible ( $cos φ$ petit) impose un courant $I_{eff} = P / (U_{eff} cos φ)$ élevé pour une même puissance utile $P$ : plus de pertes Joule dans les lignes et des installations surdimensionnées. Les distributeurs facturent (ou pénalisent) la puissance réactive. D'où l'intérêt de relever $cos φ$ vers $1$ .

📐 Méthode-type — Relever le facteur de puissance d'une charge inductive.

Calculer $P$ et $Q_{charge} = P tan φ$ de la charge (souvent inductive, $Q > 0$ ).
Placer un condensateur en parallèle : il apporte $Q_{C} = - C ω U_{eff}^{2} < 0$ , sans modifier $P$ (Boucherot).
Imposer le nouveau déphasage $φ^{'}$ voulu : $Q_{tot} = P tan φ^{'} = Q_{charge} + Q_{C}$ .
En déduire $C = \frac{P ( tan φ - tan φ ^{'} )}{ω U _{eff}^{2}}$ .

💡 Exemple — Moteur inductif relevé à $cos φ^{'} = 1$ . Un moteur consomme

P = 3, 0 kW

sous

U_{eff} = 230 V

50 Hz

, avec

cos φ = 0, 70

(donc

tan φ \approx 1, 02

). Pour atteindre

cos φ^{'} = 1

(

tan φ^{'} = 0

) :

C = \frac{P tan φ}{ω U _{eff}^{2}} = \frac{3000 \times 1 , 02}{2 π \cdot 50 \cdot 23 0 ^{2}} \approx 1, 8 \times 1 0^{- 4} F = 184 μ F

. Le courant de ligne chute alors d'un facteur

0, 70

🧑‍🏫 La puissance au point

Boucherot, puissance complexe, relèvement du $cos φ$ : les réflexes qui rapportent. Un mentor Majorant te fait dérouler un bilan de puissances sans erreur de signe sur $Q$ — exactement ce qu'attend un correcteur de concours PSI.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le bilan de puissance est un exercice de rigueur sur les conventions et les moyennes. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre valeur efficace et amplitude.

P = U_{eff} I_{eff} cos φ

utilise les valeurs EFFICACES. Avec les amplitudes, il faut le facteur

\frac{1}{2}

P = \frac{1}{2} U_{m} I_{m} cos φ

. Oublier ce

\frac{1}{2}

donne une puissance DOUBLE : erreur la plus fréquente du chapitre.

⚠ Erreur 2 — Additionner les puissances apparentes.

S_{tot} \neq = \sum S_{k}

. Seules

P

Q

sont additives (Boucherot). Pour obtenir

S_{tot}

, sommer

P

Q

séparément puis

S_{tot} = P_{tot}^{2} + Q_{tot}^{2}

⚠ Erreur 3 — Se tromper de signe pour $Q$ . Une charge inductive a

Q > 0

, une capacitive

Q < 0

. Un condensateur de relèvement FOURNIT du réactif (

Q_{C} < 0

) pour compenser l'inductif. Inverser le signe fait « aggraver » le

cos φ

au lieu de le relever.

⚠ Erreur 4 — Oublier le conjugué dans la puissance complexe.

\underline{S} = \frac{1}{2} \underline{U} \underline{I}^{*}

: c'est bien

\underline{I}^{*}

(conjugué), sinon le signe de

Q

est faux.

\underline{S} = \frac{1}{2} \underline{U} \underline{I}

(sans conjugué) n'a aucun sens physique.

⚠ Erreur 5 — Croire que bobines et condensateurs « consomment » de la puissance. En moyenne, un élément réactif pur a

P = 0

: il ne consomme aucune puissance active, il l'échange. Seule la résistance dissipe (

P = R I_{eff}^{2}

). Ne pas compter d'énergie « perdue » dans une bobine idéale.

6. Pour aller plus loin

Ce chapitre est la porte d'entrée de toute la conversion de puissance de PSI :

Transformateur — bilan de puissances, rendement, pertes fer et cuivre.
Conversion électromécanique — machine à courant continu, bilan de puissance d'un moteur.
Conversion électronique statique — hacheurs et onduleurs : transférer la puissance en commutant.
Distribution électrique — pourquoi le triphasé et le relèvement du $cos φ$ sont partout dans l'industrie.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir la valeur efficace X_eff = √⟨x²⟩ et que X_eff = X_m/√2 en sinusoïdal ?
Connais-tu la puissance instantanée p(t) = u(t)i(t) ?
Sais-tu démontrer P = U_eff I_eff cos φ (moyenne du produit de deux sinusoïdes) ?
Connais-tu Q = U_eff I_eff sin φ (var) et S = U_eff I_eff (VA) ?
Sais-tu que cos φ est le facteur de puissance et que S² = P² + Q² ?
Sais-tu que Q > 0 (inductif) et Q < 0 (capacitif) ?
Sais-tu définir la puissance complexe S = ½ U·I* et démontrer S = P + jQ ?
Connais-tu le théorème de Boucherot (P et Q additifs, pas S) ?
Sais-tu relever le cos φ avec un condensateur en parallèle (C = P(tan φ − tan φ′)/ωU_eff²) ?
Sais-tu qu'un dipôle réactif pur a P = 0 en moyenne ?
Évites-tu le piège du facteur ½ entre amplitudes et valeurs efficaces ?

Démonstrations à savoir refaire

Puissance active P = U_eff I_eff cos φ — moyenne du produit, terme en 2ωt nul
Puissance complexe S = P + jQ — produit ½ U·I* conjugué

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6. Pour aller plus loin

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