📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚡ Physique

Milieux ferromagnétiques

Le magnétisme dans la matière, propre à la PSI : excitation $\vec H$ et aimantation $\vec M$ ($\vec B = \mu_0(\vec H + \vec M)$), théorème d'Ampère dans la matière, cycle d'hystérésis et pertes fer, circuit magnétique, réluctance et loi d'Hopkinson $Ni = \mathcal{R}\Phi$. Les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

6 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Pourquoi les transformateurs et les machines ont-ils un noyau de fer ? Parce que les milieux ferromagnétiques canalisent et amplifient énormément le champ magnétique. Ce chapitre, propre à la PSI, introduit deux nouveaux champs — l'excitation magnétique $H$ et l'aimantation $M$ — reliés par $B = μ_{0} (H + M)$ , et un comportement fondamentalement NON linéaire : le cycle d'hystérésis, dont l'aire mesure les pertes fer. Il aboutit à l'outil pratique du circuit magnétique : la loi d'Hopkinson $N i = R Φ$ , analogue magnétique de la loi d'Ohm. Cette fiche établit le théorème d'Ampère dans la matière, la signification de l'hystérésis et la loi d'Hopkinson — avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Au programme PSI (officiel) — Milieux ferromagnétiques : excitation magnétique

H

, aimantation

M

, relation

B = μ_{0} (H + M)

; théorème d'Ampère dans la matière ; perméabilité relative, non-linéarité, saturation ; cycle d'hystérésis, champ rémanent, champ coercitif, pertes par hystérésis ; ferromagnétiques doux et durs ; circuit magnétique, réluctance, loi d'Hopkinson.

Prérequis

Magnétostatique : champ $B$ , théorème d'Ampère dans le vide, flux
Induction, transformateur, inductance
Analogie avec l'électrocinétique (loi d'Ohm, associations série/parallèle)

🎯 Accompagnement Majorant

H, M, B, cycle d'hystérésis, réluctance : un vocabulaire neuf à maîtriser vite. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manier le théorème d'Ampère dans la matière et la loi d'Hopkinson comme une loi d'Ohm — la clé des exercices de machines en PSI.

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1. Excitation magnétique, aimantation et perméabilité

Définition 1.1 — Excitation magnétique et aimantation

Dans un milieu magnétique, on introduit l'aimantation $M$ (moment magnétique par unité de volume, en A·m⁻¹) et l'excitation magnétique $H$ (en A·m⁻¹), liées au champ $B$ par :

B = μ_{0} (H + M) .

$H$ est créée par les courants LIBRES (ceux qu'on maîtrise, dans les bobinages) ; $M$ décrit la réponse du matériau (courants liés). Dans le vide, $M = 0$ et $B = μ_{0} H$ .

Définition 1.2 — Milieu ferromagnétique

Un milieu ferromagnétique (fer, cobalt, nickel et leurs alliages) présente une aimantation $M$ très GRANDE et NON linéaire vis-à-vis de $H$ , avec mémoire (hystérésis). Il possède une aimantation spontanée par domaines (domaines de Weiss), qui s'alignent sous champ. Au-delà d'une température (température de Curie), il perd ses propriétés et redevient paramagnétique.

Définition 1.3 — Perméabilité relative

Tant qu'on reste dans une zone linéaire (faibles champs), on écrit $B = μ_{0} μ_{r} H$ , où $μ_{r}$ est la perméabilité relative :

μ_{r} = 1 + χ_{m}, M = χ_{m} H .

Pour un ferromagnétique, $μ_{r}$ est ÉNORME ( $1 0^{3}$ à $1 0^{5}$ ) mais dépend de $H$ (non-linéarité) : $μ_{r}$ n'est pas une vraie constante. À fort champ, le matériau sature ( $M$ plafonne, $B$ croît alors comme $μ_{0} H$ ).

Théorème 1.1 — Théorème d'Ampère dans la matière

La circulation de l'excitation $H$ ne fait intervenir que les courants LIBRES enlacés :

\oint_{Γ} H \cdot d ℓ = I_{libre, enlac \overset{e}{ˊ}} .

C'est l'intérêt majeur de $H$ : elle « ignore » les courants d'aimantation, difficiles à connaître. On calcule $H$ avec les courants des bobinages, puis $B$ via la loi du milieu.

⚠ Piège — H n'est pas « le champ dans le vide ». On confond souvent

H

avec le champ qu'il y aurait sans matière.

H

est défini À L'INTÉRIEUR du milieu par

H = B / μ_{0} - M

; sa circulation ne dépend que des courants libres, mais sa valeur locale dépend du matériau. Ne pas lui attribuer les propriétés de

B / μ_{0}

2. Cycle d'hystérésis et pertes fer

Définition 2.1 — Cycle d'hystérésis, champ rémanent et coercitif

Quand on fait varier $H$ cycliquement, la courbe $B (H)$ décrit une boucle : le cycle d'hystérésis. On y lit :

le champ rémanent $B_{r}$ : aimantation résiduelle quand $H = 0$ ;
le champ coercitif $H_{c}$ : excitation nécessaire pour annuler $B$ .

L'existence de $B_{r} \neq = 0$ est la MÉMOIRE magnétique du matériau (principe des aimants et du stockage magnétique).

Théorème 2.1 — Pertes par hystérésis ★ À savoir démontrer

L'énergie dissipée par unité de volume et par cycle est égale à l'AIRE du cycle d'hystérésis dans le plan $(H, B)$ :

w_{hyst} = \oint H d B (J\cdotm^{- 3} par cycle) .

Démonstration (travail volumique de l'excitation)

Considérons un tore de section $S$ , de longueur moyenne $ℓ$ , bobiné de $N$ spires parcourues par $i$ . Le générateur qui fait varier le flux fournit une puissance $p = e i$ contre la f.é.m. d'induction $e = N d Φ/ d t = N S d B / d t$ . Or le théorème d'Ampère donne $H ℓ = N i$ , soit $i = H ℓ / N$ . Donc $p = e i = (N S \frac{d B}{d t}) (\frac{H ℓ}{N}) = S ℓ H \frac{d B}{d t} .$ L'énergie fournie pendant un cycle, rapportée au volume $V = S ℓ$ , vaut $w = \frac{1}{V} \oint p d t = \oint H d B .$ Sur un cycle FERMÉ, cette intégrale n'est pas nulle si $B (H)$ présente de l'hystérésis : elle vaut l'AIRE de la boucle. Cette énergie n'est pas récupérée : elle est DISSIPÉE en chaleur dans le matériau. CQFD. La puissance perdue est $P_{hyst} = f V \oint H d B$ (proportionnelle à la fréquence).

Définition 2.2 — Ferromagnétiques doux et durs

Un ferromagnétique doux a un cycle ÉTROIT ( $H_{c}$ faible, aire petite) : peu de pertes, idéal pour les noyaux de transformateurs et de machines. Un ferromagnétique dur a un cycle LARGE ( $H_{c}$ grand, $B_{r}$ grand) : il conserve son aimantation, c'est un aimant permanent.

📝 Remarque — Les deux pertes fer. Les pertes fer d'un noyau réunissent les pertes par HYSTÉRÉSIS (aire du cycle,

\propto f

) et les pertes par courants de FOUCAULT (

\propto f^{2}

, réduites en feuilletant le noyau). C'est pour minimiser ces pertes qu'on choisit un fer doux feuilleté dans les transformateurs.

🧑‍🏫 L'hystérésis au point

Aire du cycle = énergie dissipée par cycle : le résultat à savoir démontrer. Un mentor Majorant te fait relier théorème d'Ampère, induction et bilan d'énergie pour retrouver $w = \oint H d B$ — exactement le type de question posée en concours PSI.

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3. Circuit magnétique et loi d'Hopkinson

Définition 3.1 — Réluctance

Un circuit magnétique canalise le flux $Φ$ dans un tore ferromagnétique. Sa réluctance, pour un tronçon de longueur $ℓ$ , section $S$ et perméabilité $μ_{0} μ_{r}$ , est :

R = \frac{ℓ}{μ _{0} μ _{r} S} (H^{- 1}) .

C'est l'analogue magnétique de la résistance électrique $R = ℓ / (γ S)$ . Les réluctances s'associent en SÉRIE et en PARALLÈLE comme des résistances.

Théorème 3.1 — Loi d'Hopkinson ★ À savoir démontrer

Pour un circuit magnétique bobiné de $N$ spires parcourues par $i$ , la force magnétomotrice $N i$ est le produit de la réluctance par le flux :

N i = R Φ.

Démonstration (Ampère + loi du milieu + flux)

Sur un tore de longueur moyenne $ℓ$ et section $S$ , le théorème d'Ampère dans la matière donne, en supposant $H$ uniforme le long de la ligne moyenne : $\oint H \cdot d ℓ = H ℓ = N i .$ La loi du milieu (zone linéaire) relie $B = μ_{0} μ_{r} H$ , et le flux à travers la section est $Φ = B S = μ_{0} μ_{r} H S$ . On en tire $H = \frac{Φ}{μ _{0} μ _{r} S}$ , puis $N i = H ℓ = \frac{ℓ}{μ _{0} μ _{r} S} Φ = R Φ.$ CQFD. On retrouve la structure d'une loi d'Ohm : la force magnétomotrice $N i$ joue le rôle d'une f.é.m., le flux $Φ$ celui du courant, et $R$ celui de la résistance.

📐 Méthode-type — Résoudre un circuit magnétique.

Identifier les tronçons (fer, entrefer) et calculer leur réluctance $R = ℓ / (μ_{0} μ_{r} S)$ .
Associer les réluctances (série/parallèle) comme des résistances.
Écrire la loi d'Hopkinson $N i = R_{\overset{e}{ˊ} q} Φ$ pour trouver le flux $Φ$ .
En déduire $B = Φ/ S$ dans chaque tronçon, puis l'inductance $L = N Φ/ i = N^{2} / R$ .

💡 Exemple — L'entrefer domine la réluctance. Dans une machine avec un entrefer d'air (

μ_{r} = 1

) de

1 mm

et un chemin de fer (

μ_{r} = 1 0^{4}

) de

50 cm

, le rapport des réluctances (à section égale) est

R_{air} / R_{fer} = \frac{1 0 ^{- 3} /1}{0 , 5/1 0 ^{4}} = 20

. Le minuscule entrefer « pèse » 20 fois plus que tout le fer : c'est lui qui fixe le flux. D'où l'importance de minimiser les entrefers dans les machines.

Proposition 3.2 — Inductance d'une bobine à noyau

L'inductance d'un bobinage de $N$ spires sur un circuit magnétique de réluctance $R$ se déduit directement de la loi d'Hopkinson :

L = \frac{N Φ}{i} = \frac{N ^{2}}{R} = μ_{0} μ_{r} \frac{N ^{2} S}{ℓ} .

Le noyau ferromagnétique ( $μ_{r} ≫ 1$ ) MULTIPLIE l'inductance par $μ_{r}$ par rapport à une bobine à air : c'est pourquoi les inductances et transformateurs compacts ont un noyau de fer.

📝 Remarque — Courants de Foucault. Le flux variable induit, dans le volume conducteur du noyau, des courants en boucle (courants de Foucault) qui dissipent

\propto f^{2}

. On les combat en FEUILLETANT le noyau (tôles isolées) : chaque tôle voit une section réduite, ce qui étrangle les boucles de courant. Hystérésis (

\propto f

) et Foucault (

\propto f^{2}

) forment ensemble les pertes fer.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les milieux magnétiques introduisent un formalisme neuf (H, M, réluctance) où les confusions sont fréquentes. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre B et H.

B

(tesla) et

H

(A·m⁻¹) sont des champs DIFFÉRENTS, reliés par

B = μ_{0} (H + M)

. Le théorème d'Ampère « libre » porte sur

H

, pas sur

B

. Homogénéité et signification physique doivent être vérifiées.

⚠ Erreur 2 — Prendre μ_r constante en régime saturé.

μ_{r}

dépend de

H

: la relation

B = μ_{0} μ_{r} H

n'est valable qu'en zone linéaire. En saturation,

M

plafonne et

B

croît lentement. Ne pas appliquer Hopkinson avec une

μ_{r}

linéaire si le point de fonctionnement est saturé.

⚠ Erreur 3 — Oublier que l'aire du cycle = énergie dissipée. Un cycle d'hystérésis d'aire non nulle signifie des PERTES (

w = \oint H d B

par cycle,

\propto f

). Un matériau « sans pertes » aurait un cycle réduit à une courbe. Relier aire et pertes fer.

⚠ Erreur 4 — Négliger l'entrefer dans la réluctance. Même très mince, un entrefer d'air (

μ_{r} = 1

) a une réluctance souvent DOMINANTE devant celle du fer (

μ_{r} \sim 1 0^{4}

). L'oublier surestime grossièrement le flux.

⚠ Erreur 5 — Confondre ferromagnétique doux et dur. DOUX = cycle étroit, faibles pertes → noyaux de transfo et machines. DUR = cycle large, forte rémanence → aimants permanents. Choisir le bon selon l'usage (canaliser un flux variable vs conserver une aimantation).

5. Pour aller plus loin

Les milieux ferromagnétiques sont le support de toute l'électrotechnique :

Transformateur — le noyau canalise le flux ; pertes fer par hystérésis et Foucault.
Machines électriques — circuits magnétiques avec entrefer, calcul du flux d'entrefer.
Inductances et électroaimants — $L = N^{2} / R$ , forces d'attraction.
Stockage magnétique et aimants — rémanence des matériaux durs.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Connais-tu la relation B = μ₀(H + M) et le rôle de H (courants libres) ?
Sais-tu ce qui caractérise un milieu ferromagnétique (forte aimantation, non-linéarité, hystérésis) ?
Connais-tu μ_r = 1 + χ_m et la saturation ?
Sais-tu énoncer le théorème d'Ampère dans la matière (∮H·dℓ = I_libre) ?
Sais-tu lire un cycle d'hystérésis (champ rémanent B_r, champ coercitif H_c) ?
Sais-tu démontrer que l'aire du cycle = énergie dissipée par cycle (w = ∮H dB) ?
Distingues-tu ferromagnétique doux (transfos) et dur (aimants) ?
Connais-tu les deux pertes fer (hystérésis ∝ f, Foucault ∝ f²) ?
Sais-tu définir la réluctance ℛ = ℓ/(μ₀μ_r S) et l'analogie avec la loi d'Ohm ?
Sais-tu démontrer la loi d'Hopkinson Ni = ℛΦ ?
Sais-tu pourquoi l'entrefer domine souvent la réluctance ?

Démonstrations à savoir refaire

Pertes par hystérésis w = ∮H dB — travail volumique de l'excitation sur un cycle
Loi d'Hopkinson Ni = ℛΦ — Ampère dans la matière + loi du milieu + flux

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