Échantillonnage et théorème de Shannon

L'échantillonnage réplique le spectre autour de chaque multiple de $f_e$ (Thm 1.1). Le motif centré en $0$ occupe la bande $[-f_{\max },f_{\max }]$ ; le motif voisin, centré en $f_e$, occupe $[f_e-f_{\max },f_e+f_{\max }]$. Ces deux motifs ne se CHEVAUCHENT PAS si et seulement si le bord droit du premier est en-dessous du bord gauche du second : $$f_{\max }<f_e-f_{\max }⟺f_e>2f_{\max }.$$ Sous cette condition, un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure $f_e/2$ isole le motif central : on récupère EXACTEMENT le spectre original, donc le signal. Si $f_e\le 2f_{\max }$, les motifs se recouvrent : l'information est irrémédiablement mélangée (repliement). CQFD. La fréquence $f_e/2$ est la fréquence de Nyquist.

Échantillonnons $s(t)=\cos (2\pi ft)$ aux instants $t=n{T}_e=n/f_e$ : $$s(n{T}_e)=\cos \left(2\pi f\frac{n}{f_e}\right).$$ Pour tout entier $k$, la fréquence $f^{\prime }=f-k{f}_e$ donne les MÊMES échantillons : $$\cos (2\pi (f-k{f}_e)\frac{n}{f_e})=\cos (2\pi f\frac{n}{f_e}-2\pi kn)=\cos \left(2\pi f\frac{n}{f_e}\right),$$ car $2\pi kn$ est un multiple de $2\pi$. Les deux sinusoïdes sont donc INDISCERNABLES après échantillonnage. En choisissant $k$ entier le plus proche de $f/f_e$, on ramène $f_{\text{app}}=|f-k{f}_e|$ dans $[0,f_e/2]$ : c'est la fréquence « vue » par le système. CQFD.