📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚡ Physique

Diffusion de particules

Le transport de matière par diffusion en PSI : densité particulaire n, vecteur densité de courant de particules jN et flux Φ, coefficient de diffusion D (unité m²·s⁻¹), loi de Fick jN = −D∇n analogue de la loi de Fourier, équation de diffusion ∂ₜn = DΔn démontrée par bilan de matière, régime stationnaire à profil affine, temps et longueur caractéristiques τ ∼ L²/D démontrés par analyse dimensionnelle, résistance de diffusion, terme convectif et caractère irréversible. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

La diffusion de particules décrit le transport de matière d'une zone concentrée vers une zone diluée sous le seul effet de l'agitation thermique, sans mouvement d'ensemble du fluide. Elle est régie par la loi de Fick, strict analogue de la loi de Fourier de la diffusion thermique : un flux proportionnel au gradient de concentration. En couplant Fick à un bilan de matière, on obtient l'équation de diffusion, dont la loi d'échelle $L \sim D t$ explique pourquoi la diffusion est lente à grande échelle. Cette fiche regroupe les 3 résultats incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire (équation de diffusion et temps caractéristique) et les pièges des rapports de jury.

Au programme PSI (officiel) — Vecteur densité de courant de particules ; loi de Fick

_{N} = - D \nabla n

; coefficient de diffusion et son unité ; bilan de matière et équation de la diffusion

\partial_{t} n = D Δ n

; régime stationnaire ; caractère irréversible de la diffusion ; temps et longueur caractéristiques

τ \sim L^{2} / D

. Analogie avec la diffusion thermique (loi de Fourier).

Prérequis

Opérateurs d'analyse vectorielle : gradient $\nabla$ , divergence, laplacien $Δ$
Bilan local d'une grandeur conservée (technique du volume de contrôle)
Diffusion thermique (loi de Fourier) : l'analogie sera exploitée en permanence
Résolution d'équations aux dérivées partielles simples (régime stationnaire 1D)

🎯 Accompagnement Majorant

Le bilan de matière et l'équation de diffusion te semblent abstraits ? C'est le même schéma que la diffusion thermique — une fois l'analogie Fick ↔ Fourier maîtrisée, tout le chapitre se déverrouille. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font poser le bilan proprement, sur des cas concrets tirés de tes DS.

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1. Densité de particules et courant de diffusion

Définition 1.1 — Densité particulaire

La densité particulaire (ou concentration en nombre) $n (r, t)$ est le nombre de particules par unité de volume, en $m^{- 3}$ . C'est la grandeur de champ dont on suit l'évolution ; elle joue le rôle de la température en diffusion thermique.

Définition 1.2 — Vecteur densité de courant de particules

Le vecteur densité de courant de particules $_{N}$ est défini de sorte que le nombre de particules traversant une surface $d S$ par unité de temps soit $d^{2} N = _{N} \cdot d S$ . Il s'exprime en $m^{- 2} s^{- 1}$ .

Définition 1.3 — Flux de particules à travers une surface

Le flux $Φ$ à travers une surface $S$ est le débit de particules :

Φ = \iint_{S} _{N} \cdot d S (en s^{- 1}) .

Définition 1.4 — Coefficient de diffusion

Le coefficient de diffusion $D$ est la constante phénoménologique reliant le courant au gradient de concentration (loi de Fick). Une analyse dimensionnelle de $_{N} = - D \nabla n$ donne $[D] = m^{2} s^{- 1}$ . Il croît avec la température et décroît quand le milieu est plus dense ou visqueux.

Définition 1.5 — Régime stationnaire

Le régime stationnaire (ou permanent) est atteint quand la densité ne dépend plus du temps : $\partial_{t} n = 0$ en tout point. Le profil de concentration est alors figé, même si un flux permanent traverse le système.

📝 Origine microscopique. À l'échelle moléculaire, chaque particule effectue une marche au hasard (agitation thermique). Aucune particule ne « sait » où est la faible concentration ; c'est statistiquement que le nombre net traversant une surface va du concentré vers le dilué. La diffusion est donc intrinsèquement un phénomène irréversible.

⚠ Piège de démarrage.

_{N}

(courant de particules,

m^{- 2} s^{- 1}

) et

Φ

(flux,

s^{- 1}

) ne sont pas la même chose : le premier est surfacique et local, le second est un débit global obtenu en intégrant sur une surface. Homogénéité à vérifier systématiquement.

2. La loi de Fick (première loi)

Théorème 2.1 — Loi de Fick (phénoménologique)

Dans un milieu isotrope, le courant de diffusion est proportionnel et opposé au gradient de la densité particulaire :

_{N} = - D \nabla n .

Le signe moins traduit que les particules vont des fortes vers les faibles concentrations. Cette loi est l'exact analogue de la loi de Fourier $_{Q} = - κ \nabla T$ : $n \leftrightarrow T$ et $D \leftrightarrow$ diffusivité thermique.

Proposition 2.2 — Tableau d'analogie Fick ↔ Fourier

Grandeur transportée : nombre de particules $\leftrightarrow$ énergie (chaleur)
Champ moteur : densité $n$ $\leftrightarrow$ température $T$
Loi de transport : $_{N} = - D \nabla n$ $\leftrightarrow$ $_{Q} = - κ \nabla T$
Coefficient : $D (m^{2} s^{- 1})$ $\leftrightarrow$ diffusivité $a = κ / (ρ c) (m^{2} s^{- 1})$

Toute démonstration faite pour la diffusion thermique se transpose mot pour mot.

💡 Exemple — Ordres de grandeur de $D$ . Dans un gaz à pression ambiante,

D \sim 1 0^{- 5} m^{2} s^{- 1}

; dans un liquide,

D \sim 1 0^{- 9} m^{2} s^{- 1}

; dans un solide (dopage d'un semi-conducteur),

D

peut chuter à

1 0^{- 16} m^{2} s^{- 1}

. Cet écart de 11 ordres de grandeur explique pourquoi doper du silicium exige des heures à haute température.

3. Équation de diffusion et lois d'échelle

Théorème 3.1 — Équation de la diffusion (deuxième loi de Fick) ★ À savoir démontrer

En l'absence de source ou de puits, la densité particulaire vérifie :

\frac{\partial n}{\partial t} = D Δ n, soit en 1D \frac{\partial n}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} n}{\partial x ^{2}} .

Démonstration (bilan de matière 1D + loi de Fick)

Considérons une tranche de section $S$ comprise entre $x$ et $x + d x$ . Le nombre de particules qu'elle contient est $n (x, t) S d x$ . Sa variation par unité de temps est le bilan entrant − sortant :

\frac{\partial}{\partial t} (n S d x) = entrant en x j_{N} (x, t) S - sortant en x + d x j_{N} (x + d x, t) S .

En développant $j_{N} (x + d x) = j_{N} (x) + \frac{\partial j _{N}}{\partial x} d x$ et en simplifiant par $S d x$ , on obtient l'équation de conservation (bilan local) :

\frac{\partial n}{\partial t} = - \frac{\partial j _{N}}{\partial x} .

On y injecte la loi de Fick $j_{N} = - D \frac{\partial n}{\partial x}$ (avec $D$ uniforme) :

\frac{\partial n}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x} (- D \frac{\partial n}{\partial x}) = D \frac{\partial ^{2} n}{\partial x ^{2}} .

En 3D, le même bilan avec $\partial_{t} n = - div _{N}$ et $_{N} = - D \nabla n$ donne $\partial_{t} n = D Δ n$ .

Proposition 3.2 — Régime stationnaire : profil affine en 1D

En régime permanent ( $\partial_{t} n = 0$ ) et à une dimension sans source, l'équation devient $\frac{d ^{2} n}{d x ^{2}} = 0$ , donc $n (x)$ est affine : $n (x) = a x + b$ . Le courant $j_{N} = - D a$ est alors uniforme — comme en conduction thermique stationnaire dans un mur.

📝 Le régime stationnaire n'est jamais instantané. Avant que le profil affine ne s'établisse, le système passe par un régime transitoire dont la durée est précisément le temps caractéristique

τ \sim L^{2} / D

du théorème suivant. Sur un énoncé, la mention « on se place en régime permanent » suppose implicitement qu'on a attendu un temps

≫ τ

: c'est cette hypothèse qui autorise

\partial_{t} n = 0

. Le confondre avec « à l'instant initial » est une faute de lecture fréquente.

Théorème 3.3 — Temps et longueur caractéristiques de diffusion ★ À savoir démontrer

Pour diffuser sur une distance $L$ , il faut un temps de l'ordre de :

τ \sim \frac{L ^{2}}{D}, soit L \sim D τ .

La dépendance quadratique $τ \propto L^{2}$ est la signature de la diffusion : doubler la distance quadruple le temps. C'est pourquoi la diffusion est efficace à petite échelle (cellule) mais désespérément lente à grande échelle.

Démonstration (analyse dimensionnelle de l'équation de diffusion)

Dans l'équation $\partial_{t} n = D \partial_{x}^{2} n$ , estimons chaque terme par ses ordres de grandeur : une variation caractéristique $Δ n$ de la densité, une échelle de temps $τ$ et une échelle spatiale $L$ . On a :

\frac{\partial n}{\partial t} \sim \frac{Δ n}{τ}, D \frac{\partial ^{2} n}{\partial x ^{2}} \sim D \frac{Δ n}{L ^{2}} .

L'équation impose l'égalité de ces deux ordres de grandeur :

\frac{Δ n}{τ} \sim D \frac{Δ n}{L ^{2}} ⟹ τ \sim \frac{L ^{2}}{D} .

La relation $L \sim D τ$ se retrouve aussi via la marche au hasard microscopique (déplacement quadratique moyen $⟨ x^{2} ⟩ \sim D t$ ), ce qui confirme l'interprétation statistique.

🧑‍🏫 La loi

τ \sim L^{2} / D

mal digérée coûte cher

Les questions d'ordre de grandeur (temps de dopage, distance parcourue en un temps donné) tombent à chaque écrit. En une séance, un mentor Majorant alumni de Mines te fait manipuler $L \sim D t$ sur des cas réels jusqu'à l'automatisme — c'est du point facile trop souvent perdu.

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4. Applications et méthode de résolution

📐 Méthode-type — Résoudre un problème de diffusion stationnaire 1D.

Poser le bilan / l'équation. En régime permanent sans source, $\frac{d ^{2} n}{d x ^{2}} = 0$ .
Intégrer. $n (x) = a x + b$ , deux constantes à déterminer.
Conditions aux limites. Concentrations imposées aux bords, ou continuité du courant à une interface $j_{N} = - D n^{'} (x)$ .
Courant et flux. Calculer $j_{N} = - D \frac{d n}{d x}$ , puis $Φ = j_{N} S$ .
Résistance de diffusion. Par analogie électrique, $Δ n = R_{diff} Φ$ avec $R_{diff} = \frac{e}{D S}$ pour une couche d'épaisseur $e$ .

💡 Exemple — Diffusion à travers une membrane. Une membrane d'épaisseur

e

sépare deux compartiments de concentrations

n_{1} > n_{2}

. En régime permanent, le profil est affine et le courant vaut

j_{N} = D \frac{n _{1} - n _{2}}{e}

. Le débit

Φ = j_{N} S

est proportionnel à l'écart de concentration : c'est la base des échanges à travers les parois cellulaires (dialyse, oxygénation).

⚠ Piège — la diffusion ne « transporte » pas de fluide. La loi de Fick décrit un transport de particules sans mouvement d'ensemble du milieu. S'il y a en plus un écoulement (vitesse

v

), il faut ajouter un terme convectif

n v

au courant :

_{N} = n v - D \nabla n

. Ne confonds pas diffusion (agitation thermique) et convection (transport par le mouvement du fluide).

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de phénomènes de transport. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier le signe moins de la loi de Fick. Écrire

_{N} = D \nabla n

inverse le sens du courant : les particules iraient du dilué vers le concentré, ce qui violerait le second principe. Le signe moins n'est jamais optionnel.

⚠ Erreur 2 — Croire que $τ \sim L / D$ (dépendance linéaire). Le temps de diffusion est quadratique en

L

τ \sim L^{2} / D

. Confondre avec une dépendance linéaire (comme un transport balistique à vitesse constante) est l'erreur d'ordre de grandeur la plus fréquente.

⚠ Erreur 3 — Mauvaise unité de $D$ . Le coefficient de diffusion est en

m^{2} s^{- 1}

, pas en

m s^{- 1}

. Vérifie par homogénéité sur

_{N} = - D \nabla n

m^{- 2} s^{- 1} = [D] \cdot m^{- 4}

, donc

[D] = m^{2} s^{- 1}

⚠ Erreur 4 — Appliquer l'équation $\partial_{t} n = D Δ n$ avec une source. S'il existe une réaction créant ou détruisant des particules (terme

σ

m^{- 3} s^{- 1}

), le bilan devient

\partial_{t} n = D Δ n + σ

. Omettre le terme source fausse tout le régime stationnaire.

⚠ Erreur 5 — Traiter la diffusion comme réversible. L'équation de diffusion n'est pas invariante par renversement du temps (

t \to - t

change le signe de

\partial_{t} n

mais pas de

D Δ n

) : la diffusion est fondamentalement irréversible et s'accompagne d'une création d'entropie. Ne cherche pas de « solution qui remonte le temps ».

6. Pour aller plus loin

La diffusion de particules est un pilier des phénomènes de transport, réinvesti largement :

Diffusion thermique — même formalisme (Fourier), même équation, même loi d'échelle : le chapitre jumeau.
Mécanique des fluides — l'ajout du terme convectif $n v$ mène à l'équation de convection-diffusion et au nombre de Péclet.
Cinétique électrochimique — la diffusion des espèces vers l'électrode fixe le courant limite de diffusion (couches de Nernst).
Physique statistique — la marche au hasard et le déplacement quadratique moyen $⟨ x^{2} ⟩ \sim D t$ relient Fick au mouvement brownien.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu distinguer densité particulaire $n$ , courant $_{N}$ et flux $Φ$ , avec leurs unités ?
Sais-tu énoncer la loi de Fick $_{N} = - D \nabla n$ et justifier le signe moins ?
Connais-tu l'unité de $D$ ( $m^{2} s^{- 1}$ ) et sais-tu la retrouver par homogénéité ?
Sais-tu construire le tableau d'analogie Fick ↔ Fourier ?
Sais-tu démontrer l'équation de diffusion $\partial_{t} n = D Δ n$ par un bilan de matière ?
Sais-tu qu'en régime stationnaire 1D le profil est affine et le courant uniforme ?
Sais-tu démontrer la loi d'échelle $τ \sim L^{2} / D$ par analyse dimensionnelle ?
As-tu en tête que le temps de diffusion est quadratique en distance ?
Sais-tu ajouter un terme source ou un terme convectif quand l'énoncé l'exige ?
Sais-tu calculer une résistance de diffusion $R_{diff} = e / (D S)$ par analogie ?
Sais-tu expliquer pourquoi la diffusion est irréversible (agitation thermique, marche au hasard) ?

Démonstrations à savoir refaire

Équation de diffusion — bilan de matière 1D + loi de Fick → $\partial_{t} n = D \partial_{x}^{2} n$
Temps caractéristique — analyse dimensionnelle de l'équation → $τ \sim L^{2} / D$

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