📘 Fiche de cours · 2e année⚙️ PSI⚡ Physique

Machine à courant continu

L'exemple canonique de la conversion électromécanique en PSI : machine à courant continu, relations $E = k\Phi\Omega$ et $\Gamma = k\Phi I$, couplage conservatif $EI = \Gamma\Omega$, bilan de puissance $uI = RI^2 + EI$, point de fonctionnement et champ tournant. Les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

6 définitions3 théorèmes2 démos à savoirMis à jour le 2026-08-01

Vue d'ensemble

Comment transformer de l'électricité en mouvement, et réciproquement ? La machine à courant continu (MCC) est l'exemple canonique de la conversion électromécanique au programme PSI. Elle repose sur le couplage déjà rencontré en induction : un courant dans un champ subit une force de Laplace (couple moteur), et un conducteur en mouvement voit apparaître une force électromotrice (Faraday). Deux relations résument tout : $E = k Φ Ω$ (f.é.m.) et $Γ = k Φ I$ (couple), avec la même constante $k$ — signature d'un couplage parfait, conservatif : $E I = ΓΩ$ . Cette fiche établit ces relations, le bilan de puissance, le point de fonctionnement du moteur et introduit le champ tournant des machines alternatives — avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Au programme PSI (officiel) — Conversion électro-magnéto-mécanique : machine à courant continu à excitation indépendante ; force électromotrice

E = k ΦΩ

et couple électromagnétique

Γ = k Φ I

; réversibilité moteur / génératrice ; équations électrique et mécanique couplées, point de fonctionnement ; bilan de puissance et rendement ; principe des machines tournantes et champ magnétique tournant.

Prérequis

Induction, force de Laplace, f.é.m. de Lorentz, loi de Faraday
Bilan énergétique du couplage électromécanique ( $P_{Laplace} + e i = 0$ )
Mécanique du solide en rotation (moment cinétique, théorème du moment cinétique)

🎯 Accompagnement Majorant

La MCC est LE sujet de conversion de puissance des concours PSI. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font coupler équation électrique et équation mécanique, mener le bilan de puissance et trouver le point de fonctionnement sans erreur de signe.

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1. Constitution et grandeurs caractéristiques

Définition 1.1 — Machine à courant continu

Une machine à courant continu comprend un inducteur (stator) qui crée un champ magnétique de flux $Φ$ (aimant permanent ou bobinage d'excitation), et un induit (rotor) parcouru par le courant $I$ , dont les conducteurs baignent dans ce champ. Le collecteur et les balais commutent le courant de façon à maintenir un couple de même sens à chaque tour. On étudie surtout la machine à excitation indépendante ( $Φ$ fixé indépendamment de $I$ ).

Définition 1.2 — Force électromotrice et couple électromagnétique

Les deux grandeurs de couplage sont la force électromotrice $E$ (côté électrique) et le couple électromagnétique $Γ$ (côté mécanique) :

E = k Φ Ω, Γ = k Φ I,

où $Ω$ est la vitesse angulaire du rotor, $I$ le courant d'induit, et $k$ une constante de construction (nombre de conducteurs, géométrie). À flux constant, on pose souvent $E = K Ω$ et $Γ = K I$ avec $K = k Φ$ .

📝 Remarque — Réversibilité. La même machine fonctionne en MOTEUR (elle reçoit de la puissance électrique et fournit un couple mécanique) ou en GÉNÉRATRICE / dynamo (entraînée mécaniquement, elle débite un courant). Seul le sens des transferts change : les relations

E = k ΦΩ

Γ = k Φ I

restent valables.

📝 Remarque — Les pertes d'une MCC réelle. Au-delà des pertes Joule d'induit (

R I^{2}

), une MCC réelle subit des pertes FER (hystérésis et Foucault dans le rotor feuilleté) et des pertes MÉCANIQUES (frottements aux paliers, ventilation). Ces pertes « collectives », mesurées à vide, expliquent qu'un moteur consomme un courant non nul même sans charge sur l'arbre.

2. Couplage électromécanique et bilan de puissance

Théorème 2.1 — Conversion parfaite : EI = ΓΩ ★ À savoir démontrer

La puissance électrique convertie par la f.é.m. est intégralement transmise à la partie mécanique (et réciproquement) :

P_{conv} = E I = Γ Ω.

Démonstration (même constante k de couplage)

Les deux relations de couplage partagent la MÊME constante $k$ : $E = k ΦΩ$ et $Γ = k Φ I$ . C'est cette identité de constante qui traduit le couplage conservatif. En multipliant : $E I = (k ΦΩ) I = (k Φ I) Ω = Γ Ω.$ La puissance électrique $E I$ « disparue » du bilan électrique réapparaît EXACTEMENT comme puissance mécanique $ΓΩ$ . CQFD. Que $k$ soit commune n'est pas fortuit : c'est une conséquence de la conservation de l'énergie du couplage induction-Laplace (comme le bilan $P_{Laplace} + e i = 0$ du rail de Laplace).

Théorème 2.2 — Bilan de puissance du moteur ★ À savoir démontrer

Pour un moteur d'induit de résistance $R$ , alimenté sous la tension $u$ et parcouru par $I$ , la puissance électrique absorbée se répartit ainsi :

P_{abs} u I = pertes Joule R I^{2} + P_{conv} = ΓΩ E I .

Démonstration (équation électrique × I)

L'équation électrique de l'induit (convention moteur) s'écrit, en régime établi ou avec une inductance d'induit négligée : $u = E + R I .$ Multiplions par le courant $I$ : $u I = E I + R I^{2} .$ Le terme $u I$ est la puissance électrique absorbée, $R I^{2}$ les pertes Joule dans l'induit, et $E I = ΓΩ$ (Thm 2.1) la puissance convertie en mécanique. Une partie de $ΓΩ$ sert à vaincre les pertes mécaniques (frottements) ; le reste est la puissance utile sur l'arbre. CQFD.

Définition 2.1 — Rendement du moteur

Le rendement est le rapport de la puissance mécanique utile $P_{u}$ à la puissance électrique absorbée :

η = \frac{P _{u}}{u I} = \frac{Γ _{u} Ω}{u I} .

Les pertes sont : pertes Joule d'induit ( $R I^{2}$ ), pertes fer et pertes mécaniques. Une MCC bien dimensionnée dépasse $80$ – $90 %$ .

🧑‍🏫 Le bilan de puissance au point

uI = RI² + EI, avec EI = ΓΩ : le bilan qui structure tout problème de MCC. Un mentor Majorant te fait placer chaque terme (absorbée, Joule, convertie, utile) sur un schéma de puissance — la présentation qui rassure un correcteur PSI.

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3. Point de fonctionnement et machines tournantes

Théorème 3.1 — Équations couplées et point de fonctionnement

Le régime du moteur est régi par le couplage des équations électrique et mécanique :

u = E + R I = k Φ Ω + R I, J \frac{d Ω}{d t} = Γ - Γ_{r} = k Φ I - Γ_{r},

où $J$ est le moment d'inertie et $Γ_{r}$ le couple résistant. En régime permanent ( $d Ω/ d t = 0$ ), le couple moteur égale le couple résistant ( $Γ = Γ_{r}$ ) : c'est le point de fonctionnement, intersection des caractéristiques mécanique du moteur et de la charge.

Définition 3.1 — Champ magnétique tournant

Un champ tournant est un champ magnétique de norme constante dont la direction tourne à vitesse angulaire constante. Il est produit par trois bobinages décalés de $120°$ alimentés par un système de courants triphasés (théorème de Ferraris). C'est le principe des machines synchrones et asynchrones : le rotor tend à « suivre » ce champ tournant, ce qui crée le couple.

Définition 3.2 — Vitesse de synchronisme

La vitesse de synchronisme $Ω_{s}$ est la vitesse de rotation du champ tournant, imposée par la pulsation $ω$ des courants et le nombre $p$ de paires de pôles :

Ω_{s} = \frac{ω}{p} .

Dans une machine SYNCHRONE, le rotor tourne exactement à $Ω_{s}$ ; dans une machine ASYNCHRONE, il tourne un peu moins vite (glissement non nul), ce glissement étant nécessaire à la création du couple.

💡 Exemple — Démarrage d'un moteur à vide. À l'instant du démarrage,

Ω = 0

donc

E = 0

: le courant d'appel vaut

I_{d} = u / R

, très GRAND (l'induit ne présente que sa résistance). À mesure que

Ω

croît,

E = k ΦΩ

augmente et « contre » la tension :

I = (u - E) / R

diminue. À vide, la machine accélère jusqu'à

E \approx u

, soit

Ω \approx u / (k Φ)

(vitesse à vide). D'où la nécessité de limiter le courant de démarrage (rhéostat, hacheur).

Définition 3.3 — Caractéristique mécanique

La caractéristique mécanique d'un moteur est la courbe $Γ (Ω)$ à tension d'alimentation fixée. Pour la MCC à excitation indépendante, en combinant $u = k ΦΩ + R I$ et $Γ = k Φ I$ :

Γ = \frac{k Φ}{R} (u - k Φ Ω),

c'est une DROITE décroissante : le couple est maximal à l'arrêt ( $Ω = 0$ ) et s'annule à la vitesse à vide $Ω_{0} = u / (k Φ)$ . Le point de fonctionnement est l'intersection de cette droite avec la caractéristique de la charge $Γ_{r} (Ω)$ .

⚠ Piège — La f.é.m. E s'oppose à la tension, elle ne « disparaît » pas.

E

est une force CONTRE-électromotrice pour le moteur :

u = E + R I

. Croire que toute la tension chute dans

R

(oublier

E

) donne un courant absurde. C'est

E

qui limite le courant en régime établi.

📐 Méthode-type — Résoudre un problème de MCC.

Écrire les deux relations de couplage : $E = k ΦΩ$ et $Γ = k Φ I$ (même $k$ ).
Équation électrique de l'induit : $u = E + R I$ (+ terme $L d i / d t$ en régime variable).
Équation mécanique : $J d Ω/ d t = Γ - Γ_{r}$ .
Régime permanent : poser les dérivées nulles, résoudre pour le point de fonctionnement ( $Γ = Γ_{r}$ ).
Dresser le bilan de puissance : $u I = R I^{2} + E I$ , avec $E I = ΓΩ$ , puis la puissance utile.

📝 Remarque — Réglage de la vitesse d'une MCC. En régime permanent à vide,

Ω \approx u / (k Φ)

. On dispose donc de deux leviers : agir sur la TENSION d'induit

u

(via un hacheur : réglage souple de

0

à la vitesse nominale) ou sur le FLUX inducteur

Φ

(défluxage : au-delà de la vitesse nominale, à puissance limitée). Le réglage par la tension est le plus courant en commande de puissance.

💡 Exemple — Fonctionnement en génératrice (freinage récupératif). Si on entraîne le rotor plus vite que sa vitesse à vide (

Ω > u / (k Φ)

), alors

E = k ΦΩ > u

: le courant

I = (u - E) / R < 0

s'INVERSE. La machine débite du courant vers la source : elle devient GÉNÉRATRICE. Le couple

Γ = k Φ I

devient négatif (résistant), ce qui FREINE le mouvement. C'est le principe du freinage par récupération d'un véhicule électrique : l'énergie cinétique est renvoyée dans la batterie au lieu d'être dissipée.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La MCC combine électrocinétique, mécanique et énergétique : les correcteurs y traquent les incohérences de couplage. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Prendre deux constantes différentes pour E et Γ.

E = k ΦΩ

Γ = k Φ I

partagent la MÊME constante

k

. C'est ce qui assure

E I = ΓΩ

. Utiliser

k_{1} \neq = k_{2}

casse la conservation de l'énergie du couplage.

⚠ Erreur 2 — Oublier la f.é.m. dans l'équation électrique. L'équation d'induit est

u = E + R I

(moteur), pas

u = R I

. Omettre

E

revient à ignorer la conversion électromécanique — le cœur du sujet.

⚠ Erreur 3 — Confondre puissance absorbée, convertie et utile.

u I

(absorbée)

= R I^{2}

(Joule)

+ E I

(convertie

= ΓΩ

). La puissance UTILE est

ΓΩ

diminuée des pertes mécaniques. Placer chaque terme au bon endroit du bilan.

⚠ Erreur 4 — Négliger le courant de démarrage. À

Ω = 0

E = 0

I = u / R

est très grand : sans limitation, l'induit peut être détruit. Un problème réaliste doit prévoir un dispositif de limitation (rhéostat, alimentation progressive par hacheur).

⚠ Erreur 5 — Croire que le champ tournant tourne à la vitesse des courants. Le champ tournant produit par un triphasé tourne à la pulsation

ω

des courants (vitesse de synchronisme), pas à la vitesse mécanique du rotor. En machine asynchrone, rotor et champ ont des vitesses différentes (glissement).

5. Pour aller plus loin

La MCC est la porte d'entrée de l'électrotechnique et de la commande de puissance :

Conversion électronique statique — hacheurs pour commander la vitesse d'une MCC, onduleurs pour les machines alternatives.
Machines synchrones et asynchrones — le champ tournant en action, alternateurs des centrales.
Asservissement de vitesse et de position (SII) — la MCC comme actionneur d'une boucle de régulation.
Milieux ferromagnétiques — le circuit magnétique qui canalise $Φ$ .

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu de quoi est constituée une MCC (inducteur, induit, collecteur-balais) ?
Connais-tu E = kΦΩ et Γ = kΦI avec la MÊME constante k ?
Sais-tu que la machine est réversible (moteur ↔ génératrice) ?
Sais-tu démontrer EI = ΓΩ (couplage conservatif) ?
Sais-tu démontrer le bilan uI = RI² + EI en multipliant l'équation électrique par I ?
Sais-tu écrire les équations couplées (électrique u = E + RI, mécanique J dΩ/dt = Γ − Γ_r) ?
Sais-tu trouver le point de fonctionnement en régime permanent (Γ = Γ_r) ?
Comprends-tu pourquoi le courant de démarrage I = u/R est grand (E = 0) ?
Sais-tu ce qu'est un champ magnétique tournant et son rôle dans les machines ?
Distingues-tu puissance absorbée, convertie et utile ?
Sais-tu que la f.é.m. E est une force contre-électromotrice qui limite le courant ?

Démonstrations à savoir refaire

Conversion parfaite EI = ΓΩ — même constante k, produit des relations de couplage
Bilan de puissance uI = RI² + EI — équation électrique multipliée par I

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