Statique des fluides

Vue d'ensemble

La statique des fluides décrit l'équilibre d'un fluide au repos sous l'effet de la pesanteur. Tout découle d'une seule relation locale — la relation fondamentale de la statique des fluides $\nabla P = ρ g$ — dont on tire la loi de l'hydrostatique des liquides ( $P = P_{0} + ρ g h$ ), le profil exponentiel de l'atmosphère isotherme, et le théorème d'Archimède. Cette fiche regroupe les 3 résultats incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire (relation fondamentale, atmosphère isotherme, poussée d'Archimède) et les pièges des rapports de jury.

Au programme PCSI (officiel) — Forces de pression, pression dans un fluide au repos. Relation fondamentale de la statique des fluides. Cas du fluide incompressible dans le champ de pesanteur uniforme (loi de l'hydrostatique). Cas du fluide compressible : atmosphère isotherme dans le modèle du gaz parfait. Poussée d'Archimède et équilibre d'un corps immergé ou flottant.

Prérequis

Notion de champ scalaire et opérateur gradient $\nabla$
Équilibre d'un système : résultante des forces nulle
Loi des gaz parfaits $P V = n R T$ et masse molaire
Champ de pesanteur uniforme $g$

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds le signe de $ρ g z$ une fois sur deux ? C'est le piège n°1 de la statique des fluides — orienter l'axe et lire « la pression augmente vers le bas ». Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font poser la relation fondamentale proprement, sur des cas concrets (barrage, ballon, baromètre).

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1. Pression et forces de pression

Définition 1.1 — Pression

La pression $P$ en un point d'un fluide est une grandeur scalaire positive, en pascals ( $Pa = N m^{- 2}$ ). Dans un fluide au repos, elle est isotrope : elle ne dépend pas de l'orientation de la surface considérée.

Définition 1.2 — Force de pression sur une surface

La force exercée par le fluide sur un élément de surface $d S$ (orienté vers l'extérieur du fluide) est normale à la surface et dirigée vers elle :

d F = - P d S .

Le signe moins traduit que le fluide pousse sur la paroi (force compressive).

Définition 1.3 — Fluide au repos

Un fluide est au repos (statique) dans un référentiel galiléen si tous ses éléments ont une vitesse nulle. À l'équilibre, la résultante des forces sur chaque particule de fluide (pesanteur + forces de pression) est nulle.

Définition 1.4 — Fluide incompressible et fluide compressible

Un fluide incompressible a une masse volumique $ρ$ constante (modèle des liquides).
Un fluide compressible a une $ρ$ qui dépend de la pression (et de la température) : c'est le cas des gaz, où $ρ = \frac{P M}{R T}$ .

Définition 1.5 — Poussée d'Archimède

La poussée d'Archimède $Π$ est la résultante des forces de pression exercées par un fluide sur un corps qui y est immergé. C'est une force verticale, dirigée vers le haut.

⚠ Piège de vocabulaire. La pression est un scalaire (pas un vecteur) ; c'est la force de pression qui est vectorielle, via

d F = - P d S

. Parler de « la direction de la pression » n'a pas de sens : dans un fluide au repos, la pression est isotrope.

2. La relation fondamentale de la statique des fluides

Théorème 2.1 — Relation fondamentale de la statique des fluides ★ À savoir démontrer

Dans un fluide au repos soumis à la pesanteur, le champ de pression vérifie :

\nabla P = ρ g .

Avec un axe $O z$ vertical ascendant ( $g = - g e_{z}$ ), cela s'écrit $\frac{d P}{d z} = - ρ g$ : la pression augmente quand on descend.

Démonstration (bilan des forces sur un élément de fluide)

Isolons un petit parallélépipède de fluide de volume $d τ = d x d y d z$ . Il est soumis à son poids $ρ d τ g$ et aux forces de pression sur ses faces. Sur l'axe $z$ , la face inférieure (en $z$ ) subit $+ P (z) d x d y$ (vers le haut) et la face supérieure (en $z + d z$ ) subit $- P (z + d z) d x d y$ (vers le bas). La résultante verticale des forces de pression est :

[P (z) - P (z + d z)] d x d y = - \frac{\partial P}{\partial z} d τ .

L'équilibre sur $z$ (résultante nulle) donne $- \frac{\partial P}{\partial z} d τ - ρ g d τ = 0$ , soit $\frac{\partial P}{\partial z} = - ρ g$ . Sur $x$ et $y$ , aucune composante de la pesanteur : $\partial_{x} P = \partial_{y} P = 0$ . En rassemblant, $\nabla P = ρ g$ .

Théorème 2.2 — Loi de l'hydrostatique (fluide incompressible)

Pour un liquide ( $ρ$ constant) dans le champ de pesanteur uniforme, l'intégration de la relation fondamentale donne, entre deux points de profondeurs différentes :

P = P_{0} + ρ g h,

où $h$ est la profondeur sous la surface libre (où règne $P_{0}$ ). Conséquences : la pression ne dépend que de la profondeur (surfaces isobares horizontales), et deux points d'un même fluide à la même altitude sont à la même pression (principe des vases communicants).

💡 Exemple — Ordre de grandeur en plongée. Dans l'eau (

ρ = 1 0^{3} kg m^{- 3}

), la pression augmente d'environ

ρ g \approx 1 0^{4} Pa

par mètre, soit

\sim 0, 1 bar/m

. À

10 m

de profondeur, on a déjà doublé la pression atmosphérique (

\approx 2 bar

📝 Théorème de Pascal. Puisque

P = P_{0} + ρ g h

, toute variation de pression

Δ P_{0}

imposée à la surface d'un liquide incompressible se transmet intégralement et instantanément à tous ses points (le terme

ρ g h

ne change pas). C'est le principe de la presse hydraulique : une petite force sur un petit piston engendre une grande force sur un grand piston, dans le rapport des surfaces.

🧑‍🏫 Le signe qui piège tout le monde

« $P = P_{0} + ρ g h$ » ou « $- ρ g z$ » ? Tout dépend de l'orientation de l'axe. En une séance, un mentor Majorant alumni de Mines te fait poser la relation fondamentale et l'intégrer sans jamais te tromper de signe — la base des problèmes de barrage et de baromètre.

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3. Fluide compressible : l'atmosphère isotherme

Théorème 3.1 — Profil de l'atmosphère isotherme ★ À savoir démontrer

Pour un gaz parfait isotherme (température $T$ uniforme) dans le champ de pesanteur, la pression décroît exponentiellement avec l'altitude :

P (z) = P_{0} exp (- \frac{M g z}{R T}) = P_{0} e^{- z / H}, H = \frac{R T}{M g} .

Démonstration (relation fondamentale + gaz parfait)

Pour un gaz parfait, $ρ = \frac{P M}{R T}$ . La relation fondamentale sur l'axe vertical ascendant donne :

\frac{d P}{d z} = - ρ g = - \frac{M g}{R T} P .

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à variables séparables. À $T$ constant :

\frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} d z ⟹ ln \frac{P}{P _{0}} = - \frac{M g}{R T} z,

d'où $P (z) = P_{0} e^{- M g z / R T}$ . La hauteur caractéristique $H = R T / (M g)$ vaut environ $8 km$ pour l'air à $288 K$ : c'est l'échelle sur laquelle la pression atmosphérique chute d'un facteur $e$ .

📝 Incompressible vs compressible. Pour un liquide,

ρ

constant donne un profil affine

P = P_{0} + ρ g h

. Pour un gaz,

ρ \propto P

donne un profil exponentiel. Sur une faible dénivelée (quelques mètres d'air), l'exponentielle se linéarise et l'on retrouve un profil quasi uniforme : c'est pourquoi on néglige souvent le poids de l'air dans un problème de liquide.

4. Poussée d'Archimède et équilibre des corps

Théorème 4.1 — Théorème d'Archimède ★ À savoir démontrer

Tout corps immergé dans un fluide au repos subit une poussée verticale, dirigée vers le haut, égale au poids du fluide déplacé :

Π = - ρ_{fluide} V_{immerg \overset{e}{ˊ}} g, Π = ρ_{fluide} V_{immerg \overset{e}{ˊ}} g .

Elle s'applique au centre de poussée (centre de masse du fluide déplacé).

Démonstration (astuce du fluide fictif)

La résultante des forces de pression sur le corps ne dépend que de la forme de sa surface et du champ de pression environnant, pas de ce qu'il y a à l'intérieur. Remplaçons donc (par la pensée) le corps par le même volume de fluide $V$ au repos : les forces de pression sur sa surface sont inchangées.

Or ce volume de fluide fictif est en équilibre : la résultante des forces de pression y équilibre exactement son poids $ρ_{fluide} V g$ . Donc la résultante des forces de pression vaut :

Π = - ρ_{fluide} V g,

c'est-à-dire une force vers le haut égale au poids du fluide déplacé. La démonstration montre aussi qu'elle s'applique au centre de masse du fluide déplacé (centre de poussée).

📐 Méthode-type — Équilibre d'un corps flottant ou immergé.

Inventaire des forces : poids $P = m g$ (appliqué au centre de masse du corps) et poussée $Π$ (appliquée au centre de poussée).
Condition d'équilibre en translation : $P + Π = 0$ , soit $m g = ρ_{fluide} V_{immerg \overset{e}{ˊ}} g$ .
Flottaison : en déduire la fraction immergée $\frac{V _{immerg \overset{e}{ˊ}}}{V _{corps}} = \frac{ρ _{corps}}{ρ _{fluide}}$ .
Stabilité : comparer les positions du centre de masse et du centre de poussée pour discuter le couple de rappel.

💡 Exemple — L'iceberg. Avec

ρ_{glace} \approx 0, 92 \times 1 0^{3}

ρ_{eau de mer} \approx 1, 025 \times 1 0^{3} kg m^{- 3}

, la fraction immergée est

ρ_{glace} / ρ_{eau} \approx 0, 90

: environ 90 % d'un iceberg est sous l'eau — la partie émergée n'est que la pointe.

⚠ Piège — la poussée dépend du fluide, pas du corps. Dans

Π = ρ_{fluide} V_{immerg \overset{e}{ˊ}} g

, la masse volumique est celle du fluide, jamais celle du corps. C'est le poids du corps qui fait intervenir

ρ_{corps}

. Intervertir les deux est l'erreur la plus fréquente sur ce thème.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves de mécanique des fluides. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Se tromper de signe dans $d P / d z$ . Avec un axe

z

ascendant,

d P / d z = - ρ g < 0

: la pression décroît vers le haut. Beaucoup écrivent

+ ρ g

et obtiennent une pression qui augmente avec l'altitude — physiquement absurde. Vérifie toujours le sens de ton axe.

⚠ Erreur 2 — Appliquer $P = P_{0} + ρ g h$ à un gaz sur une grande hauteur. La loi affine ne vaut que pour

ρ

constant (liquide, ou gaz sur quelques mètres). Pour l'atmosphère sur plusieurs kilomètres, il faut le profil exponentiel (

ρ

dépend de

P

⚠ Erreur 3 — Utiliser $ρ_{corps}$ dans la poussée. La poussée d'Archimède fait intervenir la masse volumique du fluide et le volume immergé, jamais la masse volumique du corps. Confondre les deux fausse tout l'équilibre.

⚠ Erreur 4 — Oublier que la pression est isotrope. Dans un fluide au repos, la pression en un point est la même dans toutes les directions. Écrire une pression « horizontale » différente d'une pression « verticale » au même point est une faute conceptuelle.

⚠ Erreur 5 — Confondre pression absolue et pression relative. Un manomètre mesure souvent une pression relative (par rapport à l'atmosphère). Dans les formules de statique, c'est la pression absolue qui intervient. Précise toujours de quelle pression tu parles.

6. Pour aller plus loin

La statique des fluides est le point d'entrée de toute la mécanique des fluides :

Dynamique des fluides — quand le fluide s'écoule, la relation fondamentale se généralise (Bernoulli, Navier-Stokes en spé PC/PSI).
Thermodynamique — le profil de l'atmosphère isotherme se relie au facteur de Boltzmann $e^{- M g z / R T}$ (énergie potentielle des molécules).
Poussée et stabilité — la flottaison et la stabilité des corps (navires, ballons) reposent sur Archimède et les positions relatives des centres.
Mesure de pression — baromètres, manomètres et capteurs exploitent directement la loi de l'hydrostatique.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu que la pression est un scalaire isotrope et que $d F = - P d S$ ?
Sais-tu énoncer la relation fondamentale $\nabla P = ρ g$ et la démontrer par un bilan de forces ?
Sais-tu passer à $d P / d z = - ρ g$ selon l'orientation de l'axe ?
Sais-tu intégrer en $P = P_{0} + ρ g h$ pour un liquide, et l'appliquer aux vases communicants ?
Sais-tu démontrer le profil exponentiel $P = P_{0} e^{- M g z / R T}$ de l'atmosphère isotherme ?
Connais-tu la hauteur caractéristique $H = R T / (M g) \approx 8 km$ pour l'air ?
Sais-tu énoncer le théorème d'Archimède $Π = ρ_{fluide} V_{immerg \overset{e}{ˊ}} g$ ?
Sais-tu le démontrer par l'astuce du fluide fictif ?
Sais-tu écrire l'équilibre d'un corps flottant et en déduire la fraction immergée ?
Sais-tu que la poussée dépend de $ρ_{fluide}$ , jamais de $ρ_{corps}$ ?
Distingues-tu pression absolue et pression relative dans les applications ?

Démonstrations à savoir refaire

Relation fondamentale — bilan des forces sur un élément → $\nabla P = ρ g$
Atmosphère isotherme — gaz parfait + intégration → $P = P_{0} e^{- M g z / R T}$
Théorème d'Archimède — astuce du fluide fictif en équilibre

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Pression et forces de pression

2. La relation fondamentale de la statique des fluides

3. Fluide compressible : l'atmosphère isotherme

4. Poussée d'Archimède et équilibre des corps

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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