Amplificateur linéaire intégré

Vue d'ensemble

L'amplificateur linéaire intégré (ALI, ou AOP) est LE composant actif du programme PCSI : il permet de construire des montages qui amplifient, additionnent, intègrent ou comparent des signaux. Tout repose sur deux idées — le modèle de l'ALI idéal (courants d'entrée nuls, gain infini) et la nature de la rétroaction : une rétroaction négative impose le régime linéaire ( $v_{+} = v_{-}$ ), une rétroaction positive conduit au régime saturé (comparateurs à hystérésis). Cette fiche regroupe les 4 montages incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire (gains des montages inverseur et non inverseur) et les pièges de copie.

Au programme PCSI (officiel) — Amplificateur linéaire intégré : modèle de l'ALI idéal, notion de rétroaction. Régime linéaire (rétroaction négative) : montages suiveur, amplificateur non inverseur et inverseur, sommateur, intégrateur. Régime saturé (rétroaction positive) : comparateur simple et comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt). Limitations du modèle réel (saturation en tension, vitesse de balayage).

Prérequis

Lois de Kirchhoff (nœuds, mailles) et diviseur de tension
Régime sinusoïdal forcé et notation complexe (fonctions de transfert)
Notion de dipôle, impédance et filtrage linéaire
Distinction entrée / sortie et référence de masse dans un circuit

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Tu appliques $v_{+} = v_{-}$ partout sans vérifier la rétroaction ? C'est l'erreur qui fait rater la moitié des montages ALI en PCSI. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font distinguer régime linéaire et saturé sur des montages concrets, jusqu'à l'automatisme.

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1. Le composant et son modèle idéal

Définition 1.1 — Amplificateur linéaire intégré

L'ALI est un composant actif à deux entrées — l'entrée non inverseuse $V_{+}$ et l'entrée inverseuse $V_{-}$ — et une sortie $V_{s}$ . Il délivre une tension de sortie qui dépend de la différence $ε = V_{+} - V_{-}$ , appelée tension différentielle d'entrée.

Définition 1.2 — Modèle de l'ALI idéal

Dans le modèle idéal, on suppose :

Courants d'entrée nuls : $i_{+} = i_{-} = 0$ (impédance d'entrée infinie) ;
Gain différentiel infini : $V_{s} = μ ε$ avec $μ \to + \infty$ ;
Impédance de sortie nulle : $V_{s}$ ne dépend pas du courant débité.

Définition 1.3 — Tension de saturation

La sortie ne peut pas dépasser les tensions d'alimentation : $V_{s}$ est bornée par $\pm V_{sat}$ (proche des tensions d'alimentation $\pm V_{cc}$ ). Le gain n'est « infini » que tant que $∣ V_{s} ∣ < V_{sat}$ .

Définition 1.4 — Rétroaction (contre-réaction)

Il y a rétroaction quand la sortie est reliée à une entrée par un réseau de composants. La rétroaction est négative si elle ramène le signal vers l'entrée inverseuse $V_{-}$ (elle corrige l'écart), positive si elle le ramène vers l'entrée non inverseuse $V_{+}$ (elle amplifie l'écart).

Définition 1.5 — Régime linéaire et régime saturé

Régime linéaire : $∣ V_{s} ∣ < V_{sat}$ . Comme $V_{s} = μ ε$ est fini avec $μ \to \infty$ , il faut $ε \to 0$ , soit $V_{+} = V_{-}$ .
Régime saturé : $V_{s} = \pm V_{sat}$ , et alors $ε \neq = 0$ (le signe de $ε$ fixe la saturation haute ou basse).

Proposition 1.6 — Critère du régime (règle d'or PCSI)

En PCSI, on détermine le régime par la nature de la rétroaction :

rétroaction négative (vers $V_{-}$ ) $\Rightarrow$ régime linéaire, on applique $V_{+} = V_{-}$ ;
rétroaction positive (vers $V_{+}$ ) ou absence de rétroaction $\Rightarrow$ régime saturé, la sortie vaut $\pm V_{sat}$ .

⚠ Piège fondateur du chapitre.

V_{+} = V_{-}

n'est pas une propriété intrinsèque de l'ALI : c'est une conséquence du régime linéaire, lui-même garanti par une rétroaction négative. Écrire

V_{+} = V_{-}

sur un comparateur (rétroaction positive ou nulle) est une faute grave — là,

V_{s} = \pm V_{sat}

2. Régime linéaire : suiveur, non inverseur, inverseur

Théorème 2.1 — Montage suiveur

La sortie est reliée directement à $V_{-}$ (rétroaction négative totale). Le régime est linéaire, donc $V_{-} = V_{+}$ , d'où :

V_{s} = V_{e} .

Gain unité, mais impédance d'entrée infinie et de sortie nulle : c'est un adaptateur d'impédance qui isole une source d'une charge.

Théorème 2.2 — Amplificateur non inverseur ★ À savoir démontrer

Avec le signal sur $V_{+}$ et un pont $R_{1}, R_{2}$ de la sortie vers $V_{-}$ et la masse :

V_{s} = (1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) V_{e} .

Démonstration (rétroaction négative + pont diviseur)

La rétroaction est négative (le pont ramène la sortie vers $V_{-}$ ) : régime linéaire, donc $V_{-} = V_{+} = V_{e}$ . Comme $i_{-} = 0$ , aucun courant n'entre dans l'ALI : $R_{1}$ et $R_{2}$ forment un diviseur de tension traversé par le même courant, avec $V_{-}$ au point milieu :

V_{-} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} V_{s} .

En égalant $V_{-} = V_{e}$ :

V_{e} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} V_{s} ⟹ V_{s} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1}} V_{e} = (1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) V_{e} .

Le gain est toujours $\geq 1$ et la tension de sortie est en phase avec l'entrée.

Théorème 2.3 — Amplificateur inverseur ★ À savoir démontrer

Avec $V_{+}$ à la masse, le signal appliqué via $R_{1}$ sur $V_{-}$ et la contre-réaction par $R_{2}$ :

V_{s} = - \frac{R _{2}}{R _{1}} V_{e} .

Démonstration (masse virtuelle + loi des nœuds)

Rétroaction négative $\Rightarrow$ régime linéaire $\Rightarrow$ $V_{-} = V_{+} = 0$ : le point $V_{-}$ est une masse virtuelle (au potentiel nul sans être relié à la masse). Comme $i_{-} = 0$ , tout le courant venant de $R_{1}$ traverse $R_{2}$ . La loi des nœuds en $V_{-}$ donne :

\frac{V _{e} - V _{-}}{R _{1}} = \frac{V _{-} - V _{s}}{R _{2}} ⟹ \frac{V _{e}}{R _{1}} = \frac{- V _{s}}{R _{2}},

(en injectant $V_{-} = 0$ ), d'où $V_{s} = - \frac{R _{2}}{R _{1}} V_{e}$ . Le signe moins traduit l'opposition de phase caractéristique du montage inverseur.

📐 Méthode-type — Analyser un montage à ALI.

Repérer la rétroaction : va-t-elle vers $V_{-}$ (négative) ou $V_{+}$ (positive) ? C'est l'étape qui décide de tout.
Négative → régime linéaire : poser $V_{+} = V_{-}$ .
Exploiter $i_{+} = i_{-} = 0$ : les résistances d'entrée forment des diviseurs / la loi des nœuds se simplifie (masse virtuelle si $V_{+} = 0$ ).
Écrire les lois des nœuds aux bornes $V_{+}$ et $V_{-}$ , puis exprimer $V_{s}$ en fonction de $V_{e}$ .
Vérifier la cohérence : $∣ V_{s} ∣ < V_{sat}$ (sinon le montage sature et le calcul linéaire est invalide).

💡 Exemple — Le montage sommateur inverseur. En branchant plusieurs entrées

V_{1}, V_{2}, \dots

via des résistances

R_{1}, R_{2}, \dots

sur la masse virtuelle

V_{-} = 0

d'un inverseur (contre-réaction

R

), la loi des nœuds donne

\frac{V _{1}}{R _{1}} + \frac{V _{2}}{R _{2}} + \dots = - \frac{V _{s}}{R}

, soit

V_{s} = - R (\frac{V _{1}}{R _{1}} + \frac{V _{2}}{R _{2}} + \dots)

: le montage réalise une combinaison linéaire pondérée des entrées. C'est la brique du calculateur analogique et des mélangeurs audio.

🧑‍🏫 Non inverseur vs inverseur, la confusion classique

Le gain $1 + R_{2} / R_{1}$ ou $- R_{2} / R_{1}$ selon le montage revient à chaque DS de PCSI. En une séance, un mentor Majorant alumni de Centrale te fait retrouver les deux par la masse virtuelle et le diviseur, sans confondre les bornes — le réflexe qui sécurise des points.

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3. Montage intégrateur et filtres actifs

Théorème 3.1 — Montage intégrateur

En remplaçant $R_{2}$ de l'inverseur par un condensateur $C$ , le montage intègre le signal :

V_{s} (t) = - \frac{1}{R C} \int V_{e} (t) d t .

En notation complexe, la fonction de transfert $\underline{H} = - \frac{1}{j R C ω}$ est celle d'un filtre passe-bas actif d'ordre 1 (à un déphasage près). Un condensateur en entrée donnerait à l'inverse un dérivateur.

💡 Exemple — Filtre actif vs filtre passif. Un filtre passif

R C

atténue toujours le signal (gain

\leq 1

) et voit sa réponse déformée par la charge. Le filtre actif à ALI peut avoir un gain

> 1

dans la bande passante et, grâce à l'impédance de sortie nulle, n'est pas perturbé par la charge branchée en aval : on peut mettre plusieurs étages en cascade sans qu'ils s'influencent.

📝 Limites du modèle idéal. Un ALI réel a un gain fini, une bande passante limitée et une vitesse de balayage (slew rate) : la sortie ne peut pas varier plus vite qu'une certaine pente

d V_{s} / d t ∣_{m a x}

. Au-delà, le signal de sortie est déformé (triangularisé) même en régime « linéaire ».

⚠ Piège — l'intégrateur pur dérive. Un intégrateur idéal intègre aussi la moindre tension continue parasite (offset), ce qui fait dériver la sortie jusqu'à la saturation. En pratique on place une résistance en parallèle du condensateur pour « oublier » le continu : le montage devient un pseudo-intégrateur (passe-bas) stable. Ne présente jamais l'intégrateur idéal comme utilisable seul en continu.

4. Régime saturé : comparateurs et trigger de Schmitt

Théorème 4.1 — Comparateur simple

Sans rétroaction (ou avec rétroaction positive), l'ALI est en régime saturé : la sortie bascule selon le signe de $ε$ ,

V_{s} = + V_{sat} si V_{+} > V_{-}, V_{s} = - V_{sat} si V_{+} < V_{-} .

Il compare deux tensions et délivre une information « tout ou rien ».

Proposition 4.2 — Comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt)

Avec une rétroaction positive (pont de la sortie vers $V_{+}$ ), les seuils de basculement diffèrent selon le sens de variation : le montage présente un cycle d'hystérésis. Deux seuils $V_{H}$ et $V_{B}$ encadrent une zone où la sortie « mémorise » son état — d'où son usage pour fiabiliser une détection de seuil en présence de bruit.

⚠ Piège — rétroaction positive ne veut pas dire « instable et interdit ». La rétroaction positive n'est pas une erreur de montage : c'est le principe même du trigger de Schmitt et des oscillateurs à relaxation. Elle impose simplement le régime saturé — il ne faut juste pas y appliquer

V_{+} = V_{-}

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale) sur les épreuves d'électronique. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Appliquer $V_{+} = V_{-}$ sans vérifier la rétroaction. C'est l'erreur reine.

V_{+} = V_{-}

n'est valable qu'en régime linéaire, garanti par une rétroaction négative. Sur un comparateur, la sortie est saturée :

V_{s} = \pm V_{sat}

⚠ Erreur 2 — Faire circuler un courant dans une entrée. Dans le modèle idéal,

i_{+} = i_{-} = 0

. Aucun courant n'entre par

V_{+}

V_{-}

: les résistances reliées à une entrée sont donc parcourues par le même courant (diviseur de tension).

⚠ Erreur 3 — Oublier le signe moins du montage inverseur. Le gain de l'inverseur est

- R_{2} / R_{1}

: la sortie est en opposition de phase. Écrire

+ R_{2} / R_{1}

est une faute d'homogénéité de phase systématiquement relevée.

⚠ Erreur 4 — Confondre masse et masse virtuelle. Dans l'inverseur,

V_{-} = 0

(masse virtuelle) parce que

V_{+}

est à la masse et le régime est linéaire — mais

V_{-}

n'est pas relié physiquement à la masse : aucun courant ne part « à la masse » par ce point.

⚠ Erreur 5 — Ignorer la saturation dans le résultat. Un calcul linéaire donnant

V_{s} = 30 V

avec une alimentation

\pm 15 V

est incohérent : la sortie sature à

V_{sat} \approx 15 V

. Toujours vérifier

∣ V_{s} ∣ < V_{sat}

a posteriori.

6. Pour aller plus loin

L'ALI est la brique de l'électronique analogique réinvestie tout au long de la prépa :

Filtrage linéaire — les filtres actifs à ALI prolongent les filtres passifs avec gain et découplage.
Oscillateurs — la rétroaction positive et les triggers de Schmitt sont au cœur des oscillateurs à relaxation (étudiés en spé).
Asservissements et électronique de puissance — la contre-réaction est le concept fondateur des systèmes bouclés (SII, spé).
Traitement du signal — sommateur, intégrateur et dérivateur réalisent les opérations de base d'un calculateur analogique.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer le modèle de l'ALI idéal ( $i_{+} = i_{-} = 0$ , gain infini, sortie bornée) ?
Sais-tu que $V_{+} = V_{-}$ est une conséquence du régime linéaire, pas une propriété de l'ALI ?
Sais-tu déterminer le régime à partir de la nature de la rétroaction (négative → linéaire, positive → saturé) ?
Sais-tu démontrer le gain du montage non inverseur $1 + R_{2} / R_{1}$ ?
Sais-tu démontrer le gain du montage inverseur $- R_{2} / R_{1}$ avec la masse virtuelle ?
Sais-tu à quoi sert le suiveur (adaptation d'impédance) ?
Sais-tu établir la fonction de l'intégrateur $V_{s} = - \frac{1}{R C} \int V_{e} d t$ ?
Sais-tu ce qu'apporte un filtre actif par rapport à un filtre passif ?
Sais-tu décrire un comparateur simple et un comparateur à hystérésis ?
Sais-tu que la rétroaction positive impose le régime saturé (pas d'application de $V_{+} = V_{-}$ ) ?
Penses-tu à vérifier $∣ V_{s} ∣ < V_{sat}$ et à évoquer la vitesse de balayage ?

Démonstrations à savoir refaire

Gain du non inverseur — $V_{-} = V_{e}$ + diviseur $R_{1}, R_{2}$ → $1 + R_{2} / R_{1}$
Gain de l'inverseur — masse virtuelle $V_{-} = 0$ + loi des nœuds → $- R_{2} / R_{1}$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Le composant et son modèle idéal

2. Régime linéaire : suiveur, non inverseur, inverseur

3. Montage intégrateur et filtres actifs

4. Régime saturé : comparateurs et trigger de Schmitt

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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