Ondes EM dans le vide

Vue d'ensemble

Les équations de Maxwell dans le vide, combinées, donnent une équation d'onde : le champ électromagnétique se propage à la vitesse $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ . C'est la lumière — et toute la physique des ondes radio, du laser, des télécoms. Ce chapitre construit la solution fondamentale, l'onde plane progressive monochromatique (OPPM), et en établit les relations de structure : $E$ , $B$ et $k$ forment un trièdre direct, l'onde est transverse ( $E ⊥ k$ ), avec $B = E / c$ . On introduit ensuite la notation complexe (qui transforme les équations aux dérivées partielles en produits) et la polarisation — la façon dont $E$ oscille dans le plan d'onde (rectiligne, circulaire, elliptique). Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Propagation d'une onde électromagnétique dans le vide : équation de propagation (d'Alembert) déduite des équations de Maxwell ; onde plane progressive, onde plane progressive monochromatique, notation complexe ; vecteur d'onde, relation de dispersion

k = ω / c

; structure de l'OPPM (transversalité, trièdre direct,

B = k \land E / ω

) ; états de polarisation (rectiligne, circulaire, elliptique).

Prérequis

Équations de Maxwell dans le vide, opérateurs (div, rot, laplacien)
Notation complexe des grandeurs sinusoïdales (électrocinétique)
Analyse vectorielle : formule du double rotationnel

🎯 Accompagnement Majorant

L'OPPM est LE modèle d'onde du concours — ses relations de structure tombent partout. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font dériver l'équation de d'Alembert et manipuler la notation complexe (∂ₜ → iω, ∇ → −i k) jusqu'à en faire un réflexe d'écrit.

Trouver un mentor MP →

1. Équation de propagation dans le vide

Définition 1.1 — Onde plane, onde plane progressive

Une onde plane (de direction $u$ ) est un champ dont la valeur ne dépend que de la coordonnée $u \cdot r$ et du temps : les surfaces d'onde (à champ uniforme) sont des plans orthogonaux à $u$ . Elle est progressive si elle se propage sans déformation à la célérité $c$ , c'est-à-dire de la forme $E (r, t) = f (t - \frac{u \cdot r}{c})$ .

Définition 1.2 — OPPM et notation complexe

Une onde plane progressive monochromatique (OPPM) a une dépendance sinusoïdale unique de pulsation $ω$ . En notation complexe :

\underline{E} (r, t) = E_{0} e^{i (ω t - k \cdot r)},

où $k$ est le vecteur d'onde et $E_{0}$ l'amplitude (complexe). Le champ physique est la partie réelle. Cette notation transforme les dérivations en produits : $\frac{\partial}{\partial t} \to iω$ et $\nabla \to - i k$ (donc $Δ \to - k^{2}$ ).

Théorème 1.1 — Équation de propagation (d'Alembert) ★ À savoir démontrer

Dans le vide sans source, chaque composante de $E$ et de $B$ vérifie l'équation de d'Alembert :

Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, c = \frac{1}{μ _{0} ε _{0}} .

Idem pour $B$ . L'apparition de $c$ — la vitesse de la lumière — à partir de constantes purement électromagnétiques ( $μ_{0}, ε_{0}$ ) est le résultat historique majeur : la lumière EST une onde électromagnétique.

Démonstration (double rotationnel appliqué à Maxwell)

Dans le vide sans charges ni courants : $div E = 0$ , $div B = 0$ , $rot E = - \partial_{t} B$ (Faraday) et $rot B = μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ (Ampère). Prenons le rotationnel de Faraday et utilisons la formule du double rotationnel $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E$ :

rot (rot E) = - Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .

(On a utilisé $div E = 0$ pour annuler le terme en gradient, puis interverti rotationnel et $\partial_{t}$ , enfin injecté Ampère.) D'où $Δ E = μ_{0} ε_{0} \partial_{t}^{2} E$ , soit $Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} E = 0$ avec $c^{2} = 1/ (μ_{0} ε_{0})$ . Le calcul est identique pour $B$ .

Théorème 1.2 — Relation de dispersion de l'OPPM

En injectant l'OPPM $\underline{E} = E_{0} e^{i (ω t - k \cdot r)}$ dans l'équation de d'Alembert ( $\partial_{t} \to iω$ , $Δ \to - k^{2}$ ) :

- k^{2} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} = 0 ⟹ k = \frac{ω}{c} .

C'est la relation de dispersion dans le vide : elle est LINÉAIRE ( $ω = c k$ ), donc le vide est un milieu NON dispersif — la vitesse de phase $v_{φ} = ω / k = c$ est indépendante de $ω$ . Toutes les couleurs se propagent à la même vitesse $c$ .

⚠ Piège — La convention de signe de la notation complexe. Avec

\underline{E} \propto e^{i (ω t - k \cdot r)}

, on a

\nabla \to - i k

\partial_{t} \to + iω

. Certains ouvrages utilisent

e^{i (k \cdot r - ω t)}

, qui inverse les signes. Choisis UNE convention et tiens-la sur toute la copie — mélanger les deux fait apparaître de faux signes dans les relations de structure. C'est l'erreur n°1 des rapports de jury sur ce chapitre.

2. Structure de l'onde plane progressive monochromatique

Définition 2.1 — Vecteur d'onde, surfaces d'onde

Le vecteur d'onde $k = k u$ (avec $k = ω / c$ ) donne la direction et le sens de propagation $u$ . Sa norme $k$ est le nombre d'onde (rad/m), reliée à la longueur d'onde par $k = 2 π / λ$ . La phase $φ = ω t - k \cdot r$ est constante sur les plans $k \cdot r =$ cste : ce sont les plans d'onde, orthogonaux à $k$ .

Théorème 2.1 — Relations de structure de l'OPPM ★ À savoir démontrer

Pour une OPPM se propageant dans le vide selon $u = k / k$ :

Transversalité : $k \cdot E = 0$ et $k \cdot B = 0$ — $E$ et $B$ sont dans le plan d'onde.
Relation E-B : $B = \frac{k \land E}{ω} = \frac{u \land E}{c}$ , donc $∥ B ∥ = \frac{∥ E ∥}{c}$ .
Trièdre : $(E, B, u)$ forme un trièdre direct et orthogonal.

Démonstration (Maxwell en notation complexe)

Injectons l'OPPM dans les équations de Maxwell avec $\nabla \to - i k$ , $\partial_{t} \to iω$ .

Transversalité : $div \underline{E} = - i k \cdot \underline{E} = 0 \Rightarrow k \cdot E = 0$ . De même $div B = 0 \Rightarrow k \cdot B = 0$ . Les deux champs sont orthogonaux à $k$ .

Relation E-B : Maxwell-Faraday $rot \underline{E} = - \partial_{t} \underline{B}$ devient $- i k \land \underline{E} = - iω \underline{B}$ , soit $\underline{B} = \frac{k \land E}{ω}$ . Comme $k = ω / c$ et $k = k u$ , on obtient $B = \frac{u \land E}{c}$ , donc $∥ B ∥ = ∥ E ∥/ c$ (car $u ⊥ E$ ) et $(E, B, u)$ est un trièdre direct. CQFD.

💡 Exemple — Reconstituer B à partir de E. Soit

E = E_{0} cos (ω t - k z) e_{x}

(OPPM se propageant selon

+ z

, polarisée selon

x

). Ici

u = e_{z}

, donc

B = \frac{u \land E}{c} = \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - k z) (e_{z} \land e_{x}) = \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - k z) e_{y}

. Le champ magnétique est selon

y

, en phase avec

E

, d'amplitude

E_{0} / c

. Réflexe :

(e_{x}, e_{y}, e_{z})

direct — cohérent.

🧑‍🏫 Les relations de structure au point

Transversalité, B = u∧E/c, trièdre direct : le trio qui tombe à chaque sujet d'ondes EM. Un mentor Majorant te fait reconstituer $B$ à partir de $E$ (et réciproquement) sur tous les cas de figure — jusqu'à ne plus jamais te tromper de sens.

Réserver une séance ciblée →

3. États de polarisation

Définition 3.1 — État de polarisation

La polarisation décrit la façon dont l'extrémité du vecteur $E$ se déplace, au cours du temps, en un point donné, DANS le plan d'onde (orthogonal à $k$ ). $E$ ayant deux composantes possibles dans ce plan ( $e_{x}, e_{y}$ ), l'état de polarisation est fixé par leurs amplitudes et leur déphasage $φ$ .

Définition 3.2 — Polarisations rectiligne, circulaire, elliptique

Pour $E = E_{x} cos (ω t - k z) e_{x} + E_{y} cos (ω t - k z + φ) e_{y}$ , selon le déphasage $φ$ :

Rectiligne ( $φ = 0$ ou $π$ ) : $E$ garde une direction fixe, son extrémité décrit un segment.
Circulaire ( $φ = \pm π /2$ ET $E_{x} = E_{y}$ ) : l'extrémité décrit un cercle (sens direct ou rétrograde = gauche/droite).
Elliptique (cas général) : l'extrémité décrit une ellipse. C'est l'état le plus général ; rectiligne et circulaire en sont des cas particuliers.

📐 Méthode-type — Déterminer l'état de polarisation.

Projeter $E$ sur deux axes du plan d'onde : $E_{x} (t)$ et $E_{y} (t)$ , en repérant amplitudes et déphasage $φ$ .
Déphasage nul ou π ⟹ rectiligne (les deux composantes oscillent en phase ou en opposition : direction fixe).
Déphasage ±π/2 et amplitudes égales ⟹ circulaire ; sinon elliptique.
Sens de rotation : évaluer $E$ à deux instants proches ( $t = 0$ puis $t$ petit) et regarder de quel côté tourne l'extrémité (par rapport à $k$ qui pointe vers l'observateur).

💡 Exemple — Polarisation circulaire. Soit

E = E_{0} [cos (ω t - k z) e_{x} + cos (ω t - k z - π /2) e_{y}] = E_{0} [cos (ω t - k z) e_{x} + sin (ω t - k z) e_{y}]

. En un point fixe (

z = 0

) :

E = E_{0} [cos (ω t) e_{x} + sin (ω t) e_{y}]

, de norme constante

E_{0}

, tournant à la vitesse angulaire

ω

: c'est une polarisation circulaire. L'extrémité décrit un cercle de rayon

E_{0}

— l'onde des antennes hélicoïdales et de la lumière des lasers à cristaux liquides.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les ondes EM cumulent notation complexe et géométrie vectorielle. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Se tromper de signe dans ∇ → −i k. Avec la convention

e^{i (ω t - k \cdot r)}

\nabla \to - i k

(le

k \cdot r

est précédé d'un moins). Beaucoup écrivent

+ i k

, ce qui inverse le trièdre et donne

B = - u \land E / c

. Contrôle : le trièdre

(E, B, u)

doit être DIRECT.

⚠ Erreur 2 — Oublier que l'onde est transverse. Dans le vide,

E

B

sont TOUS DEUX orthogonaux à

k

: pas de composante longitudinale. Écrire un

E

avec une composante selon

k

viole

div E = 0

. (Ce n'est plus vrai dans un plasma ou un guide d'onde — d'où l'importance de préciser « dans le vide ».)

⚠ Erreur 3 — Confondre vitesse de phase et vitesse de la lumière dans un milieu. Dans le vide,

v_{φ} = ω / k = c

, non dispersif. Mais dès qu'il y a dispersion (plasma, milieu matériel),

v_{φ}

dépend de

ω

et peut dépasser

c

sans contredire la relativité (c'est la vitesse de groupe qui transporte l'énergie). Ne pas généraliser

k = ω / c

hors du vide.

⚠ Erreur 4 — Confondre B = E/c (norme) et B = E/c² (faux). La relation de structure donne

∥ B ∥ = ∥ E ∥/ c

(un seul facteur

c

). L'erreur

B = E / c^{2}

vient d'une confusion avec d'autres formules ; contrôle d'homogénéité :

[E] =

V/m,

[c B] =

(m/s)(T)

=

V/m ✓.

⚠ Erreur 5 — Mal identifier la polarisation. Circulaire exige DEUX conditions : déphasage

\pm π /2

ET amplitudes égales. Un déphasage

π /2

avec des amplitudes différentes donne une ellipse (axes portés par

x

y

), pas un cercle. Toujours vérifier les DEUX critères avant de conclure « circulaire ».

5. Pour aller plus loin

L'OPPM dans le vide est la brique de toute la physique des ondes :

Énergie et Poynting — l'OPPM transporte énergie et quantité de mouvement (pression de radiation) ; intensité $I = ε_{0} c E_{0}^{2} /2$ .
Ondes dans les milieux — plasmas (dispersion, pulsation plasma), conducteurs (effet de peau) : la relation de dispersion se complique.
Réflexion et transmission — à l'interface entre deux milieux, les relations de passage donnent coefficients de Fresnel et incidence de Brewster.
Interférences et diffraction — l'optique ondulatoire est l'étude des superpositions d'ondes électromagnétiques.

🚀 Stage intensif Majorant

Les ondes EM dans le vide sont le socle de tout l'électromagnétisme de 2e année. Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) enchaînent Maxwell, ondes EM et polarisation avec exos type concours et khôlles blanches — encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines.

Voir les stages MP →

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une onde plane, progressive, et une OPPM ?
Sais-tu écrire l'OPPM en notation complexe et les correspondances ∂ₜ → iω, ∇ → −i k ?
Sais-tu démontrer l'équation de d'Alembert (double rotationnel + Maxwell) ?
Sais-tu que c = 1/√(μ₀ε₀) apparaît naturellement ?
Sais-tu établir la relation de dispersion k = ω/c (vide non dispersif) ?
Sais-tu que l'OPPM est transverse (E ⊥ k et B ⊥ k) ?
Sais-tu démontrer B = (k ∧ E)/ω = (u ∧ E)/c ?
Sais-tu que (E, B, u) est un trièdre direct et que B = E/c en norme ?
Sais-tu reconstituer B à partir de E (produit vectoriel, bon sens) ?
Sais-tu distinguer polarisation rectiligne, circulaire, elliptique ?
Sais-tu que « circulaire » exige déphasage ±π/2 ET amplitudes égales ?
Sais-tu déterminer le sens de rotation d'une polarisation circulaire ?

Démonstrations à savoir refaire

Équation de d'Alembert — double rotationnel, Maxwell dans le vide, c² = 1/(μ₀ε₀)
Relations de structure de l'OPPM — Maxwell complexe, transversalité, B = k∧E/ω

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Équation de propagation dans le vide

2. Structure de l'onde plane progressive monochromatique

3. États de polarisation

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Rétroaction et ALI

Oscillateurs électroniques

Référentiels non galiléens : translation

Référentiels non galiléens : rotation

Lois du frottement solide

Modèle scalaire des ondes lumineuses

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?