Magnétostatique

Vue d'ensemble

La magnétostatique est le pendant magnétique de l'électrostatique : elle étudie le champ $B$ créé par des courants permanents. La grammaire est la même — deux équations locales, un théorème intégral qui exploite les symétries — mais avec des différences essentielles : le champ magnétique est à flux conservatif ( $div B = 0$ , pas de « charge magnétique ») et son rotationnel n'est pas nul ( $rot B = μ_{0} j$ ). L'outil-vedette est le théorème d'Ampère, analogue magnétique de Gauss. Ce chapitre complète l'électrostatique avant l'unification par les équations de Maxwell. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Magnétostatique : champ magnétique créé par une distribution de courants, relations locales (

div B = 0

rot B = μ_{0} j

) ; flux du champ magnétique (conservatif) ; théorème d'Ampère (forme intégrale et locale), calculs de champs à haute symétrie (fil, solénoïde, câble) ; topographie des lignes de champ ; propriétés de symétrie du champ magnétique (caractère axial/pseudovectoriel) ; potentiel vecteur ; analogies et différences avec l'électrostatique.

Prérequis

Électrostatique : équations locales, théorème de Gauss, méthode par symétries
Opérateurs vectoriels : divergence, rotationnel, flux, circulation ; produit vectoriel
Force de Lorentz et champ magnétique d'une charge en mouvement (sup)

🎯 Accompagnement Majorant

Le champ magnétique inverse les règles de symétrie de l'électrique — piège redoutable. $B$ est un PSEUDOVECTEUR : il est porté par les plans d'ANTIsymétrie. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font maîtriser ces symétries inversées et le théorème d'Ampère jusqu'à l'automatisme.

Trouver un mentor MP →

1. Équations locales et symétries du champ magnétique

Définition 1.1 — Champ magnétique et courants

Une distribution de courants de densité volumique $j$ (A/m²) crée un champ magnétique $B$ (tesla). Pour un fil parcouru par un courant $I$ , la loi de Biot et Savart donne $d B = \frac{μ _{0} I}{4 π} \frac{d ℓ \land u}{r ^{2}}$ — mais en MP, on privilégie le point de vue LOCAL (équations différentielles) et le théorème d'Ampère.

Définition 1.2 — Densité de courant

La densité de courant volumique $j$ (A/m²) décrit le transport local de charge : $j = ρ_{m o bi l e} v$ (charges mobiles × vitesse). Le courant traversant une surface $S$ est le flux $I = \iint_{S} j \cdot d S$ . En régime PERMANENT (magnétostatique), $div j = 0$ : le courant se conserve (autant entre que sort de tout volume).

Définition 1.3 — Flux magnétique conservatif

Le flux magnétique à travers une surface $S$ est $Φ = \iint_{S} B \cdot d S$ (en webers). Le champ magnétique est à flux conservatif : le flux à travers toute surface FERMÉE est nul ( $\iint B \cdot d S = 0$ ), conséquence de $div B = 0$ . Le flux à travers une surface ouverte ne dépend donc que du CONTOUR sur lequel elle s'appuie.

Théorème 1.4 — Les équations locales de la magnétostatique ★ À savoir démontrer

Le champ magnétique vérifie les deux équations de Maxwell statiques :

div B = 0 (Maxwell-flux : pas de charge magn \overset{e}{ˊ} tique), rot B = μ_{0} j (Maxwell-Amp \overset{e}{ˋ} re statique) .

Démonstration (flux conservatif et Ampère local)

$div B = 0$ . Elle traduit l'absence de « charge magnétique » (monopôle) : les lignes de champ magnétique se REFERMENT toujours sur elles-mêmes (pas de source ni de puits). Conséquence intégrale (Green-Ostrogradski) : le flux de $B$ à travers TOUTE surface fermée est nul, $\iint B \cdot d S = 0$ — le champ est à flux conservatif. C'est la différence majeure avec $E$ (dont le flux compte les charges).

$rot B = μ_{0} j$ . Elle traduit localement le théorème d'Ampère (théorème 2.2). En appliquant le théorème de Stokes ( $\oint B \cdot d ℓ = \iint rot B \cdot d S$ ) et en identifiant à $μ_{0} I_{e n l a c \overset{e}{ˊ}} = μ_{0} \iint j \cdot d S$ pour tout contour, on obtient $rot B = μ_{0} j$ point par point. Le rotationnel NON NUL (là où il y a du courant) distingue $B$ de $E$ .

Théorème 1.5 — Symétries du champ magnétique (pseudovecteur) ★ À savoir démontrer

$B$ est un pseudovecteur (vecteur axial) : ses règles de symétrie sont INVERSÉES par rapport à $E$ :

en un point d'un plan de SYMÉTRIE des courants, $B$ est orthogonal au plan ;
en un point d'un plan d'ANTISYMÉTRIE des courants, $B$ est contenu dans le plan.

Démonstration (le produit vectoriel change les règles)

Le champ magnétique vient de $j$ via un PRODUIT VECTORIEL (Biot-Savart : $d ℓ \land u$ ). Or un produit vectoriel se comporte à l'opposé d'un vecteur « vrai » sous une symétrie plane : $(a \land b)$ réfléchi vaut $- (a^{'} \land b^{'})$ où $a^{'}, b^{'}$ sont les réfléchis.

Conséquence : là où le champ ÉLECTRIQUE (vecteur vrai) est dans un plan de symétrie, le champ MAGNÉTIQUE (pseudovecteur) lui est orthogonal, et inversement. D'où la règle inversée : $B ⊥$ plan de symétrie, $B ∥$ plan d'antisymétrie. Se tromper d'une inversion est l'erreur n°1 de la magnétostatique — toujours REPÉRER d'abord la nature (symétrie / antisymétrie) du plan.

⚠ Piège — Les symétries de B sont INVERSÉES par rapport à E.

E

(vrai vecteur) est DANS les plans de symétrie ;

B

(pseudovecteur) leur est ORTHOGONAL. Appliquer les règles électriques au champ magnétique donne des directions fausses — l'erreur la plus fréquente du chapitre. Mnémotechnique : « B est perpendiculaire à ce qui est symétrique ».

2. Le théorème d'Ampère et les calculs de champ

Définition 2.1 — Contour d'Ampère et courant enlacé

Un contour d'Ampère est une courbe fermée orientée $Γ$ le long de laquelle on calcule la circulation de $B$ . Le courant enlacé $I_{e n l a c \overset{e}{ˊ}}$ est le courant total traversant une surface s'appuyant sur $Γ$ , compté ALGÉBRIQUEMENT (positif si dans le sens de la normale orientée par $Γ$ , négatif sinon). Il ne dépend pas de la surface choisie (courant conservatif).

Théorème 2.2 — Théorème d'Ampère ★ À savoir démontrer

La circulation du champ magnétique le long d'un contour fermé orienté $Γ$ (contour d'Ampère) est égale au courant enlacé multiplié par $μ_{0}$ :

\oint_{Γ} B \cdot d ℓ = μ_{0} I_{e n l a c \overset{e}{ˊ}},

où $I_{e n l a c \overset{e}{ˊ}}$ est le courant total traversant une surface s'appuyant sur $Γ$ (compté algébriquement selon l'orientation).

Démonstration (Stokes appliqué à rot B = μ₀ j)

Partons de l'équation locale $rot B = μ_{0} j$ . Soit $Γ$ un contour fermé et $S$ une surface orientée s'appuyant dessus. Le théorème de Stokes relie la circulation au flux du rotationnel :

\oint_{Γ} B \cdot d ℓ = \iint_{S} rot B \cdot d S = \iint_{S} μ_{0} j \cdot d S = μ_{0} I_{e n l a c \overset{e}{ˊ}} .

Le flux de $j$ à travers $S$ est par définition le courant enlacé par $Γ$ . Le résultat ne dépend pas de la surface choisie (car $div j = 0$ en régime permanent). C'est l'exact analogue du passage Gauss local ↔ Gauss intégral en électrostatique.

📐 Méthode-type — Calculer un champ par le théorème d'Ampère.

Symétries du champ : direction de $B$ via les plans de symétrie/antisymétrie (règle INVERSÉE : $B ⊥$ plan de symétrie).
Invariances : variables dont $B$ dépend (translation, rotation). Ex. fil : $B = B (r) u_{θ}$ .
Contour d'Ampère adapté : un contour fermé sur lequel $B \cdot d ℓ$ est constant ou nul (cercle, rectangle) — la circulation se calcule alors trivialement.
Égaler à $μ_{0} I_{e n l a c \overset{e}{ˊ}}$ et isoler $B$ . Vérifier les cas limites et le sens de $B$ (règle de la main droite autour du courant).

💡 Les champs de référence (à connaître par cœur).
— Fil infini (courant

I

) :

B = \frac{μ _{0} I}{2 π r} u_{θ}

(orthoradial, décroît en

1/ r

, lignes de champ circulaires).
— Solénoïde infini (

n

spires/m, courant

I

) : champ UNIFORME à l'INTÉRIEUR

B = μ_{0} n I u_{z}

, et NUL à l'extérieur. Contour d'Ampère rectangulaire.
— Câble coaxial / bobine torique : traités par le même contour circulaire. Ces résultats structurent la moitié des exercices de magnétostatique.

⚠ Piège — Le courant ENLACÉ, pas le courant total. Le second membre est

μ_{0} I_{e n l a c \overset{e}{ˊ}}

: seul le courant traversant le contour compte (comme la charge INTÉRIEURE pour Gauss). À l'intérieur d'un conducteur cylindrique de rayon

R

, un contour de rayon

r < R

n'enlace qu'une FRACTION du courant total (

I_{e n l a c \overset{e}{ˊ}} = I r^{2} / R^{2}

si densité uniforme), d'où un champ en

r

et non en

1/ r

3. Potentiel vecteur et comparaison avec l'électrostatique

Définition 3.1 — Potentiel vecteur

Comme $div B = 0$ , le champ magnétique dérive d'un potentiel vecteur $A$ :

B = rot A .

$A$ est défini à un gradient près ( $A + \nabla f$ donne le même $B$ ) — c'est l'analogue de la constante du potentiel scalaire. Le flux de $B$ à travers une surface s'appuyant sur un contour $Γ$ s'écrit alors $Φ = \oint_{Γ} A \cdot d ℓ$ (Stokes).

Théorème 3.2 — Le tableau de correspondance électro/magnétostatique

Les deux théories sont structurellement parallèles, avec une INVERSION des rôles divergence/rotationnel :

Électrostatique : $div E = ρ / ε_{0}$ (source = charges), $rot E = 0$ , potentiel SCALAIRE $V$ , théorème de GAUSS, $E$ dans les plans de symétrie.
Magnétostatique : $div B = 0$ (pas de source ponctuelle), $rot B = μ_{0} j$ (source = courants), potentiel VECTEUR $A$ , théorème d'AMPÈRE, $B$ orthogonal aux plans de symétrie.

Retenir ce tableau permet de transposer une méthode d'une théorie à l'autre — sans oublier l'inversion des symétries.

💡 Exemple — Topographie des lignes de champ. Les lignes de

B

sont FERMÉES (conséquence de

div B = 0

: ni source ni puits) — elles tournent autour des courants (règle de la main droite). À l'inverse, les lignes de

E

partent des charges + et arrivent aux charges − (ouvertes). Un champ dont les lignes se referment est nécessairement magnétique (ou induit) ; un champ à lignes ouvertes partant de « sources » est électrostatique. Diagnostic visuel classique.

🧑‍🏫 Symétries magnétiques sans erreur

L'inversion des règles de symétrie coûte des points à chaque DS. Un mentor Majorant te fait pratiquer l'analyse de symétrie sur les distributions de courants classiques (fil, spire, solénoïde) jusqu'à ce que « B perpendiculaire au plan de symétrie » devienne un réflexe — la clé de tout calcul par Ampère.

Réserver une séance ciblée →

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La magnétostatique cumule les pièges de symétrie et les analogies trompeuses avec l'électrostatique. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Appliquer à B les règles de symétrie de E.

B

est un PSEUDOVECTEUR : orthogonal aux plans de symétrie, contenu dans les plans d'antisymétrie — l'INVERSE de

E

. C'est l'erreur signalée dans TOUS les rapports. Toujours identifier la nature du plan et appliquer la règle magnétique.

⚠ Erreur 2 — Choisir le contour d'Ampère avant les symétries. Comme pour Gauss : symétries (direction de

B

) → invariances (variables) → CONTOUR adapté. Poser un cercle d'Ampère sans avoir justifié

B = B (r) u_{θ}

est un raisonnement à l'envers.

⚠ Erreur 3 — Utiliser le courant total au lieu du courant enlacé. Seul le courant traversant le contour compte. À l'intérieur d'un cylindre conducteur, le contour n'enlace qu'une fraction du courant — d'où un champ en

r

, pas en

1/ r

. Analogue exact de la charge intérieure pour Gauss.

⚠ Erreur 4 — Croire que B « sort » d'une source comme E.

div B = 0

: il n'existe pas de « charge magnétique », les lignes de

B

sont FERMÉES. Parler de « flux sortant d'un pôle » est un abus : le flux de

B

à travers toute surface fermée est NUL. Ne pas transposer le langage des sources de

E

⚠ Erreur 5 — Oublier le sens de B (règle de la main droite). Le théorème d'Ampère donne la NORME ; le SENS de

B

vient de la règle de la main droite (pouce dans le sens du courant, doigts dans le sens de

B

). Donner un champ sans son orientation, ou avec le mauvais sens, est compté incomplet.

5. Pour aller plus loin

La magnétostatique complète l'électrostatique avant l'unification :

Équations de Maxwell — les quatre équations réunissent électrostatique et magnétostatique et ajoutent les termes temporels (induction, courant de déplacement) : $E$ et $B$ deviennent indissociables.
Induction électromagnétique — un flux magnétique variable crée un champ électrique (loi de Faraday) : le potentiel vecteur $A$ y joue un rôle central.
Ondes électromagnétiques — $E$ et $B$ se propagent couplés ; leurs symétries respectives structurent la polarisation.
Forces de Laplace — un conducteur parcouru par un courant dans un champ $B$ subit $F = I ℓ \land B$ : base des moteurs et des actionneurs.

🚀 Stage intensif Majorant

Électro + magnétostatique + Maxwell : le socle de tout l'électromagnétisme MP. Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) le construisent d'un tenant avec exos type concours et khôlles blanches — encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines.

Voir les stages MP →

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu relier B aux courants (Biot-Savart, et le point de vue local) ?
Sais-tu démontrer les deux équations locales (div B = 0 flux conservatif, rot B = μ₀j Ampère local) ?
Sais-tu que le flux de B à travers toute surface fermée est nul (pas de monopôle) ?
Sais-tu que B est un pseudovecteur, avec des symétries INVERSÉES par rapport à E ?
Sais-tu démontrer les règles de symétrie (B ⊥ plan de symétrie, B ∥ plan d'antisymétrie) ?
Sais-tu démontrer le théorème d'Ampère par Stokes appliqué à rot B = μ₀j ?
Sais-tu dérouler la méthode symétries → invariances → contour d'Ampère → champ ?
Connais-tu les champs de référence (fil en 1/r, solénoïde μ₀nI uniforme intérieur) ?
Sais-tu que seul le courant ENLACÉ compte (champ en r à l'intérieur d'un cylindre) ?
Sais-tu définir le potentiel vecteur A (B = rot A, défini à un gradient près) ?
Connais-tu le tableau de correspondance électro/magnétostatique (inversion div/rot) ?
Sais-tu trouver le SENS de B par la règle de la main droite ?

Démonstrations à savoir refaire

Équations locales — div B = 0 (flux conservatif) et Ampère local par Stokes
Symétries du champ magnétique — le produit vectoriel inverse les règles (pseudovecteur)
Théorème d'Ampère — Stokes appliqué à rot B = μ₀j, courant enlacé

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Équations locales et symétries du champ magnétique

2. Le théorème d'Ampère et les calculs de champ

3. Potentiel vecteur et comparaison avec l'électrostatique

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Rétroaction et ALI

Oscillateurs électroniques

Référentiels non galiléens : translation

Référentiels non galiléens : rotation

Lois du frottement solide

Modèle scalaire des ondes lumineuses

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?