Fonction d'onde et Schrödinger

Vue d'ensemble

À l'échelle atomique, la physique classique s'effondre : un électron n'a plus de trajectoire, mais un comportement à la fois ondulatoire et corpusculaire. La relation de de Broglie $λ = h / p$ associe une onde à toute particule. L'état d'un système quantique est décrit par une fonction d'onde $ψ (x, t)$ , dont le module au carré $∣ ψ ∣^{2}$ donne la densité de probabilité de présence (interprétation de Born). Son évolution obéit à l'équation de Schrödinger, postulat fondateur qui joue le rôle du principe fondamental de la dynamique en quantique. Un cas central : les états stationnaires, où l'énergie est bien définie et où la densité de probabilité ne dépend plus du temps — leur étude fait apparaître la quantification de l'énergie, signature du monde quantique. Ce chapitre pose le cadre de toute la mécanique quantique de MP. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Introduction à la mécanique quantique : dualité onde-corpuscule, relation de de Broglie ; fonction d'onde et interprétation probabiliste (densité de probabilité de présence

∣ ψ ∣^{2}

, normalisation) ; équation de Schrödinger dépendante du temps ; états stationnaires, équation de Schrödinger stationnaire et quantification de l'énergie.

ℏ = h / (2 π)

, constante de Planck réduite.

Prérequis

Ondes : notation complexe, relation de dispersion, paquet d'ondes
Nombres complexes, module, dérivées partielles
Énergie mécanique : cinétique $p^{2} /2 m$ , potentielle $V (x)$

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1. Dualité onde-corpuscule et fonction d'onde

Définition 1.1 — Dualité onde-corpuscule, relation de de Broglie

Toute particule de quantité de mouvement $p$ a un comportement ondulatoire, de longueur d'onde donnée par la relation de de Broglie :

λ = \frac{h}{p}, p = ℏ k,

où $h \approx 6, 63 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ est la constante de Planck, $ℏ = h / (2 π)$ , et $k = 2 π / λ$ le nombre d'onde. Réciproquement, le photon (onde) a une quantité de mouvement. Onde et corpuscule sont deux facettes d'une même réalité.

Définition 1.2 — Fonction d'onde et interprétation de Born

L'état d'une particule est décrit par une fonction d'onde $ψ (x, t) \in C$ . Selon l'interprétation probabiliste de Born, $∣ ψ (x, t) ∣^{2}$ est la densité de probabilité de présence : la probabilité de trouver la particule entre $x$ et $x + d x$ à l'instant $t$ est

d P (x, t) = ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x .

La fonction d'onde n'a pas de sens physique direct ; seul son module au carré, mesurable, en a un. On abandonne la notion de trajectoire.

Définition 1.3 — Condition de normalisation

La particule étant nécessairement quelque part, la probabilité totale vaut $1$ :

\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x = 1.

Une fonction d'onde physiquement acceptable doit être de carré intégrable (normalisable). Cette condition contraint fortement les solutions et est à l'origine de la quantification.

⚠ Piège — |ψ|² est une densité, pas une probabilité.

∣ ψ (x, t) ∣^{2}

a la dimension d'une probabilité par unité de longueur (m⁻¹ en 1D) : ce n'est PAS une probabilité (nombre sans dimension). La probabilité est

∣ ψ ∣^{2} d x

sur un intervalle, ou

\int_{a}^{b} ∣ ψ ∣^{2} d x

sur

[a, b]

. Confondre densité et probabilité fausse toute l'analyse dimensionnelle.

2. L'équation de Schrödinger

Théorème 2.1 — Équation de Schrödinger dépendante du temps (postulat)

L'évolution de la fonction d'onde d'une particule de masse $m$ dans un potentiel $V (x, t)$ est régie par l'équation de Schrödinger :

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} + V (x, t) ψ .

C'est un postulat (l'analogue quantique du PFD) : linéaire (d'où le principe de superposition) et du premier ordre en temps (l'état à un instant détermine tout le futur). Le terme $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{xx}$ est l'énergie cinétique, $V$ l'énergie potentielle.

Théorème 2.2 — Onde plane de matière et relation de dispersion ★ À savoir démontrer

Pour une particule LIBRE ( $V = 0$ ), l'onde plane $ψ (x, t) = A e^{i (k x - ω t)}$ est solution de Schrödinger si et seulement si :

ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}, c’est- \overset{a}{ˋ} -dire E = \frac{p ^{2}}{2 m} (E = ℏ ω, p = ℏ k) .

Démonstration (injection dans Schrödinger libre)

Avec $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ et $V = 0$ , calculons les dérivées : $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - iω ψ$ et $\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} = (ik)^{2} ψ = - k^{2} ψ$ . L'équation de Schrödinger $i ℏ \partial_{t} ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{xx} ψ$ devient : $i ℏ (- iω) ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (- k^{2}) ψ ⟹ ℏ ω ψ = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} ψ .$

En simplifiant par $ψ$ : $ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ . Avec les relations d'Einstein-de Broglie $E = ℏ ω$ et $p = ℏ k$ , cela s'écrit $E = \frac{p ^{2}}{2 m}$ : on RETROUVE l'énergie cinétique classique d'une particule libre. La relation de dispersion des ondes de matière n'est pas linéaire ( $ω \propto k^{2}$ ) : le vide est dispersif pour les ondes de matière. CQFD.

Définition 2.1 — Paquet d'ondes

Une onde plane $e^{i (k x - ω t)}$ n'est PAS normalisable ( $∣ ψ ∣^{2} = ∣ A ∣^{2}$ constant). Une particule réelle, localisée, est décrite par un paquet d'ondes : superposition d'ondes planes de vecteurs d'onde voisins, $ψ (x, t) = \int g (k) e^{i (k x - ω (k) t)} d k$ . Il se propage à la vitesse de groupe $v_{g} = d ω / d k = ℏ k / m = p / m = v$ : on retrouve la vitesse classique de la particule.

3. États stationnaires et quantification

Définition 2.2 — État stationnaire

Un état stationnaire est un état d'énergie $E$ bien définie, dont la fonction d'onde se factorise :

ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ} .

Son nom vient de ce que la densité de probabilité $∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2}$ est indépendante du temps (car $∣ e^{- i E t /ℏ} ∣ = 1$ ) : la répartition spatiale est figée, « stationnaire ».

Théorème 3.1 — Équation de Schrödinger stationnaire ★ À savoir démontrer

Pour un potentiel indépendant du temps $V (x)$ , la partie spatiale $φ$ d'un état stationnaire vérifie l'équation de Schrödinger stationnaire (équation aux valeurs propres de l'énergie) :

- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) + V (x) φ (x) = E φ (x) .

Démonstration (séparation des variables)

Cherchons une solution de la forme $ψ (x, t) = φ (x) f (t)$ de l'équation de Schrödinger avec $V = V (x)$ . En injectant : $i ℏ φ (x) f^{'} (t) = (- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) + V (x) φ (x)) f (t) .$ En divisant par $φ (x) f (t)$ : $i ℏ \frac{f ^{'} ( t )}{f ( t )} = \frac{1}{φ ( x )} (- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) + V (x) φ (x))$ .

Le membre de gauche ne dépend que de $t$ , celui de droite que de $x$ : ils sont donc égaux à une CONSTANTE, notée $E$ (homogène à une énergie). On obtient deux équations : $i ℏ f^{'} / f = E$ , qui donne $f (t) = e^{- i E t /ℏ}$ (à une constante près), et $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ = E φ$ , l'équation stationnaire. CQFD.

💡 Exemple — D'où vient la quantification de l'énergie ? L'équation stationnaire

H φ = E φ

est une équation aux valeurs propres :

E

joue le rôle de valeur propre du hamiltonien

H = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2}}{d x ^{2}} + V

. Pour une particule CONFINÉE (états liés), la condition de normalisation (

φ

de carré intégrable, nulle à l'infini ou aux bords) n'est satisfaite que pour des valeurs DISCRÈTES de

E

E_{1} < E_{2} < \dots

. C'est l'origine de la quantification de l'énergie — les niveaux d'énergie de l'atome, du puits quantique, etc.

📐 Méthode-type — Étudier un problème quantique 1D.

Écrire le potentiel $V (x)$ (marche, puits, barrière) et poser l'équation de Schrödinger stationnaire $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ = E φ$ dans chaque région.
Résoudre par région : selon le signe de $E - V$ , solutions oscillantes ( $e^{\pm ik x}$ ) ou exponentielles ( $e^{\pm x / δ}$ ).
Raccorder : continuité de $φ$ et de $φ^{'}$ aux interfaces (conditions de passage).
Normaliser / quantifier : imposer la normalisation (états liés) → énergies quantifiées ; ou calculer coefficients de réflexion/transmission (états de diffusion).

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La quantique déroute par son formalisme : les erreurs viennent d'automatismes classiques mal transposés. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Donner une trajectoire à la particule. En quantique, la notion de trajectoire n'a plus de sens : on ne dispose que d'une DENSITÉ DE PROBABILITÉ de présence

∣ ψ ∣^{2}

. Parler de « la position » ou de « la vitesse » de la particule comme en mécanique classique est une faute conceptuelle majeure.

⚠ Erreur 2 — Oublier la normalisation ou la mal poser.

\int ∣ ψ ∣^{2} d x = 1

: cette condition fixe la constante multiplicative de

ψ

et élimine les solutions non normalisables. L'oublier laisse une amplitude indéterminée et rate la quantification. Attention : l'onde plane

e^{i (k x - ω t)}

n'est PAS normalisable (idéalisation).

⚠ Erreur 3 — Se tromper de signe ou de facteur dans Schrödinger.

i ℏ \partial_{t} ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{xx} ψ + V ψ

: attention au

i

, au signe

-

du terme cinétique, et au facteur

ℏ^{2} / (2 m)

. Une erreur ici inverse la relation de dispersion. Contrôle : pour l'onde plane libre, on doit retrouver

E = p^{2} /2 m

(positif).

⚠ Erreur 4 — Croire que |ψ|² dépend du temps pour un état stationnaire. Pour

ψ = φ (x) e^{- i E t /ℏ}

∣ ψ ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2}

est INDÉPENDANT du temps (le facteur de phase a un module 1). C'est LA propriété qui définit « stationnaire ». Écrire une densité qui oscille en temps pour un tel état est contradictoire.

⚠ Erreur 5 — Oublier la continuité de φ' au raccordement. Aux interfaces d'un potentiel (fini), il faut raccorder

φ

φ^{'}

(dérivée). Oublier la continuité de

φ^{'}

donne trop peu d'équations et une solution fausse. (Exception : à une marche de potentiel INFINIE,

φ^{'}

peut être discontinue, mais

φ = 0

dans la zone interdite.)

5. Pour aller plus loin

L'équation de Schrödinger est le point de départ de toute la physique quantique :

Puits de potentiel — états liés, quantification explicite de l'énergie (puits infini, puits fini) : l'application directe de cette fiche.
Marche et barrière — réflexion quantique, effet tunnel : passage classiquement interdit grâce à l'onde évanescente.
Oscillateur harmonique quantique — niveaux équidistants $E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ , énergie de point zéro.
Atome d'hydrogène — la résolution en 3D donne les orbitales et le spectre de l'hydrogène (post-bac, mais culture essentielle).

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Connais-tu la relation de de Broglie λ = h/p (et p = ℏk) ?
Sais-tu que la fonction d'onde ψ(x,t) décrit l'état quantique ?
Sais-tu que |ψ|² est une densité de probabilité de présence (Born) ?
Sais-tu que |ψ|² est une densité (m⁻¹), pas une probabilité ?
Connais-tu la condition de normalisation ∫|ψ|² dx = 1 ?
Sais-tu écrire l'équation de Schrödinger dépendante du temps ?
Sais-tu démontrer E = p²/2m pour l'onde plane de matière libre ?
Sais-tu ce qu'est un paquet d'ondes et que v_g = p/m ?
Sais-tu qu'un état stationnaire s'écrit ψ = φ(x) e^(−iEt/ℏ) ?
Sais-tu que |ψ|² = |φ|² est indépendant du temps pour un état stationnaire ?
Sais-tu démontrer l'équation de Schrödinger stationnaire (séparation des variables) ?
Sais-tu d'où vient la quantification de l'énergie (normalisation + confinement) ?

Démonstrations à savoir refaire

Onde plane de matière — injection dans Schrödinger libre, E = p²/2m
Équation de Schrödinger stationnaire — séparation des variables, f(t) = e^(−iEt/ℏ)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Dualité onde-corpuscule et fonction d'onde

2. L'équation de Schrödinger

3. États stationnaires et quantification

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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