Facteur de Boltzmann

Vue d'ensemble

Pourquoi la pression atmosphérique décroît-elle avec l'altitude ? Pourquoi un système à deux niveaux se peuple-t-il d'une certaine façon quand on le chauffe ? La réponse tient en une formule d'une puissance stupéfiante : le facteur de Boltzmann. Quand un système est en équilibre thermique avec un thermostat à température $T$ , la probabilité qu'il occupe un micro-état d'énergie $E$ est proportionnelle à $e^{- E / (k_{B} T)} = e^{- β E}$ , avec $β = 1/ (k_{B} T)$ . Tout découle de là : la fonction de partition $Z$ normalise les probabilités, et l'énergie moyenne se lit $⟨ E ⟩ = - \partial_{β} ln Z$ . Ce chapitre — porte d'entrée de la physique statistique — explique la répartition microscopique de l'énergie et unifie loi barométrique, système à deux niveaux et distribution des vitesses. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Facteur de Boltzmann : système en contact avec un thermostat, micro-états ; probabilité d'occupation

\propto e^{- β E}

, fonction de partition ; énergie moyenne

⟨ E ⟩ = - \partial_{β} ln Z

; système à deux niveaux et sa capacité thermique ; applications (loi barométrique, distribution de Maxwell-Boltzmann).

β = 1/ (k_{B} T)

k_{B}

constante de Boltzmann.

Prérequis

Thermodynamique : température, énergie interne, équilibre thermique
Probabilités : loi de probabilité, espérance (valeur moyenne)
Dérivation, exponentielle, développements limités

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Le facteur de Boltzmann e^(−βE) explique la matière à l'échelle microscopique. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manier fonction de partition et énergie moyenne ( $⟨ E ⟩ = - \partial_{β} ln Z$ ) jusqu'à en faire un réflexe — la clé des sujets de physique statistique.

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1. Facteur de Boltzmann et fonction de partition

Définition 1.1 — Micro-états, thermostat, équilibre thermique

Un micro-état est une configuration microscopique précise du système (positions, vitesses, niveaux quantiques). Un thermostat est un système extérieur très grand, de température $T$ fixe, avec lequel le système échange de l'énergie jusqu'à l'équilibre thermique. Le système n'a alors PAS une énergie fixée : il fluctue, chaque micro-état étant occupé avec une certaine probabilité.

Définition 1.2 — Facteur de Boltzmann

Pour un système en équilibre avec un thermostat à température $T$ , le facteur de Boltzmann d'un micro-état d'énergie $E$ est :

e^{- β E}, β = \frac{1}{k _{B} T},

où $k_{B} \approx 1, 38 \times 1 0^{- 23} J/K$ est la constante de Boltzmann. Il pondère l'occupation des états : les états de BASSE énergie sont favorisés, d'autant plus que $T$ est faible. L'échelle d'énergie thermique est $k_{B} T$ .

Définition 1.3 — Fonction de partition

La fonction de partition est la somme des facteurs de Boltzmann sur TOUS les micro-états $i$ :

Z = i \sum e^{- β E_{i}} .

Elle assure la normalisation des probabilités et contient TOUTE l'information thermodynamique du système (énergie moyenne, capacité, entropie s'en déduisent). C'est l'objet central de la physique statistique.

Théorème 1.1 — Loi de probabilité de Boltzmann

La probabilité que le système occupe le micro-état $i$ d'énergie $E_{i}$ est :

P (i) = \frac{e ^{- β E_{i}}}{Z} = \frac{e ^{- β E_{i}}}{\sum _{j} e ^{- β E_{j}}} .

La normalisation $\sum_{i} P (i) = 1$ est automatique par construction de $Z$ . Le rapport des probabilités de deux états ne dépend que de leur écart d'énergie : $\frac{P ( i )}{P ( j )} = e^{- β (E_{i} - E_{j})}$ — c'est souvent le point de départ des exercices.

⚠ Piège — Ne pas oublier la dégénérescence des niveaux. Si un niveau d'énergie

E

est dégénéré (plusieurs micro-états de même énergie, en nombre

g

), la probabilité d'AVOIR l'énergie

E

est

g e^{- β E} / Z

. Sommer sur les micro-états (pas sur les niveaux) : chaque micro-état apporte son facteur de Boltzmann. Confondre niveaux et micro-états est l'erreur la plus fréquente.

2. Énergie moyenne et système à deux niveaux

Théorème 2.1 — Énergie moyenne à partir de Z ★ À savoir démontrer

L'énergie moyenne du système s'obtient en dérivant $ln Z$ par rapport à $β$ :

⟨ E ⟩ = - \frac{\partial ln Z}{\partial β} = - \frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial β} .

Formule magistrale : toute l'énergie moyenne se lit sur $Z$ , sans calculer chaque probabilité. La capacité thermique s'en déduit par $C = \frac{d ⟨ E ⟩}{d T}$ .

Démonstration (dérivation de la fonction de partition)

Par définition, l'énergie moyenne est l'espérance de l'énergie : $⟨ E ⟩ = \sum_{i} E_{i} P (i) = \frac{1}{Z} \sum_{i} E_{i} e^{- β E_{i}}$ .

Or, en dérivant $Z = \sum_{i} e^{- β E_{i}}$ par rapport à $β$ : $\frac{\partial Z}{\partial β} = i \sum (- E_{i}) e^{- β E_{i}} = - i \sum E_{i} e^{- β E_{i}} .$ Donc $\sum_{i} E_{i} e^{- β E_{i}} = - \frac{\partial Z}{\partial β}$ , d'où $⟨ E ⟩ = \frac{1}{Z} (- \frac{\partial Z}{\partial β}) = - \frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial β} = - \frac{\partial ln Z}{\partial β}$ (car $\partial_{β} ln Z = \frac{1}{Z} \partial_{β} Z$ ). CQFD.

Définition 2.1 — Système à deux niveaux

Un système à deux niveaux a exactement deux micro-états d'énergies $0$ et $ε > 0$ (état fondamental et état excité). C'est le modèle le plus simple de la physique statistique : spin dans un champ, défaut cristallin, molécule à deux états. Sa fonction de partition est $Z = 1 + e^{- β ε}$ .

Théorème 2.2 — Énergie moyenne du système à deux niveaux ★ À savoir démontrer

Pour le système à deux niveaux, l'énergie moyenne vaut :

⟨ E ⟩ = \frac{ε}{e ^{β ε} + 1}, ⟨ E ⟩ T \to 0 0, ⟨ E ⟩ T \to \infty \frac{ε}{2} .

Démonstration (calcul direct + limites)

$Z = e^{0} + e^{- β ε} = 1 + e^{- β ε}$ . Par le théorème 2.1 : $⟨ E ⟩ = - \frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial β} = - \frac{1}{1 + e ^{- β ε}} \cdot (- ε e^{- β ε}) = \frac{ε e ^{- β ε}}{1 + e ^{- β ε}} = \frac{ε}{e ^{β ε} + 1}$ (en multipliant par $e^{β ε} / e^{β ε}$ ).

Limites : quand $T \to 0$ ( $β \to + \infty$ ), $e^{β ε} \to + \infty$ , donc $⟨ E ⟩ \to 0$ : le système est gelé dans son état fondamental. Quand $T \to + \infty$ ( $β \to 0$ ), $e^{β ε} \to 1$ , donc $⟨ E ⟩ \to ε /2$ : les deux états sont équiprobables (énergie moyenne au milieu). CQFD.

💡 Exemple — L'anomalie de Schottky. La capacité thermique du système à deux niveaux,

C = \frac{d ⟨ E ⟩}{d T}

, n'est PAS monotone : elle est nulle à

T = 0

(système gelé) et à

T \to \infty

(les deux niveaux saturés), et passe par un MAXIMUM pour

k_{B} T \sim ε

. Ce pic, l'anomalie de Schottky, est une signature expérimentale d'un système à deux niveaux — on la détecte dans les solides à basse température (défauts, impuretés magnétiques).

🧑‍🏫 La fonction de partition au point

Écrire Z, dériver ln Z, obtenir ⟨E⟩ et C : la chaîne qui résout tous les sujets de stat. Un mentor Majorant te fait dérouler le système à deux niveaux et ses limites (Schottky) avec l'aisance attendue au concours — jusqu'à ne plus jamais buter sur un calcul de moyenne.

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3. Loi barométrique et distribution spatiale

Définition 2.2 — Loi barométrique (nivellement barométrique)

Pour un gaz de particules de masse $m$ dans le champ de pesanteur (énergie potentielle $m g z$ ), le facteur de Boltzmann donne la densité en fonction de l'altitude :

n (z) = n (0) e^{- m g z / (k_{B} T)} = n (0) e^{- z / H}, H = \frac{k _{B} T}{m g} .

La densité (et donc la pression, $P = n k_{B} T$ ) décroît exponentiellement avec l'altitude, sur une hauteur caractéristique $H = k_{B} T / (m g)$ . C'est le facteur de Boltzmann appliqué à l'énergie potentielle de pesanteur.

📐 Méthode-type — Exploiter le facteur de Boltzmann.

Recenser les micro-états et leurs énergies $E_{i}$ (niveaux discrets, ou énergie continue $E (z), E (v)$ ).
Écrire la fonction de partition $Z = \sum_{i} e^{- β E_{i}}$ (ou une intégrale en continu), sans oublier les dégénérescences.
Probabilités : $P (i) = e^{- β E_{i}} / Z$ ; pour une répartition spatiale, $n (z) \propto e^{- β E (z)}$ .
Grandeurs moyennes : $⟨ E ⟩ = - \partial_{β} ln Z$ , puis $C = d ⟨ E ⟩ / d T$ . Vérifier les limites $T \to 0$ et $T \to \infty$ .

💡 Exemple — Hauteur caractéristique de l'atmosphère. Pour le diazote (

m \approx 4, 7 \times 1 0^{- 26} kg

) à

T = 290 K

H = \frac{k _{B} T}{m g} = \frac{1 , 38 \times 1 0 ^{- 23} \times 290}{4 , 7 \times 1 0 ^{- 26} \times 9 , 8} \approx 8, 7 km

. L'ordre de grandeur (~8 km) explique pourquoi l'air se raréfie vite en altitude et pourquoi l'Everest (8,8 km) est à la limite du respirable. Un classique d'oral qui relie micro et macro.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le facteur de Boltzmann est simple mais ses applications regorgent de pièges. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Oublier de normaliser (diviser par Z). Le facteur de Boltzmann

e^{- β E_{i}}

n'est PAS une probabilité : c'est un poids. La probabilité est

P (i) = e^{- β E_{i}} / Z

. Oublier la division par

Z

donne des « probabilités » qui ne somment pas à

1

. Toujours calculer

Z

d'abord.

⚠ Erreur 2 — Se tromper de signe dans β ou dans ⟨E⟩ = −∂ ln Z/∂β.

β = 1/ (k_{B} T) > 0

, et

⟨ E ⟩ = - \partial_{β} ln Z

(signe MOINS). L'oubli du signe donne une énergie négative ou une capacité négative — absurde. Contrôle :

⟨ E ⟩

doit croître avec

T

⚠ Erreur 3 — Confondre haute et basse température.

T

grand

\Leftrightarrow β

petit

\Leftrightarrow k_{B} T ≫ ε

: tous les états deviennent équiprobables.

T

petit

\Leftrightarrow β

grand : seul le fondamental est peuplé. Bien traduire « chaud/froid » en

β

grand/petit — l'inversion est fréquente.

⚠ Erreur 4 — Sommer sur les niveaux au lieu des micro-états. Si un niveau est dégénéré

g

fois, il compte

g

fois dans

Z

Z = \sum_{niveaux} g_{n} e^{- β E_{n}}

. Oublier la dégénérescence

g_{n}

fausse

Z

, donc toutes les grandeurs. La somme porte sur les micro-états.

⚠ Erreur 5 — Mauvaise homogénéité de βE. L'argument de l'exponentielle

β E = E / (k_{B} T)

doit être SANS dimension. Vérifier que

[E] = [k_{B} T] =

joules. Une erreur d'unité (mettre

T

en °C, ou oublier

k_{B}

) rend le facteur de Boltzmann faux. Contrôle systématique de l'adimensionnalité.

5. Pour aller plus loin

Le facteur de Boltzmann est le socle de toute la physique statistique :

Distribution de Maxwell-Boltzmann — la loi des vitesses dans un gaz découle de $e^{- β \frac{1}{2} m v^{2}}$ .
Capacités thermiques — l'équipartition et les écarts quantiques (gel des degrés de liberté) s'expliquent par les fonctions de partition.
Statistiques quantiques — Fermi-Dirac, Bose-Einstein généralisent Boltzmann aux particules indiscernables (post-bac).
Cinétique chimique — la loi d'Arrhenius $k \propto e^{- E_{a} / (k_{B} T)}$ est un facteur de Boltzmann : proportion de molécules assez énergétiques pour réagir.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu ce qu'est un micro-état et un thermostat à température T ?
Sais-tu écrire le facteur de Boltzmann e^(−βE) avec β = 1/(k_B T) ?
Sais-tu définir la fonction de partition Z = Σ e^(−βEᵢ) ?
Sais-tu que P(i) = e^(−βEᵢ)/Z (avec normalisation par Z) ?
Sais-tu prendre en compte la dégénérescence des niveaux ?
Sais-tu démontrer ⟨E⟩ = −∂ ln Z / ∂β ?
Sais-tu écrire Z = 1 + e^(−βε) pour un système à deux niveaux ?
Sais-tu démontrer ⟨E⟩ = ε/(e^(βε)+1) et ses limites (0 et ε/2) ?
Connais-tu l'anomalie de Schottky (pic de capacité pour k_B T ∼ ε) ?
Sais-tu établir la loi barométrique n(z) = n(0) e^(−mgz/(k_B T)) ?
Sais-tu que la hauteur caractéristique est H = k_B T/(mg) ∼ 8 km ?
Sais-tu vérifier que βE est sans dimension ?

Démonstrations à savoir refaire

Énergie moyenne ⟨E⟩ = −∂ ln Z/∂β — dérivation de la fonction de partition
Système à deux niveaux — ⟨E⟩ = ε/(e^(βε)+1), limites T → 0 et T → ∞

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Facteur de Boltzmann et fonction de partition

2. Énergie moyenne et système à deux niveaux

3. Loi barométrique et distribution spatiale

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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