États liés et puits de potentiel

Vue d'ensemble

Que devient une particule quantique confinée dans une région de l'espace — un électron dans un atome, dans une boîte, dans un fil nanométrique ? La réponse est l'un des résultats les plus profonds de la physique : son énergie ne peut prendre que des valeurs DISCRÈTES. C'est la quantification de l'énergie, illustrée par le modèle emblématique du puits de potentiel infini (la « particule dans une boîte »). La résolution de l'équation de Schrödinger stationnaire avec les conditions aux bords donne des niveaux $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ et des fonctions d'onde sinusoïdales. Autre surprise : l'énergie minimale n'est PAS nulle ( $E_{1} > 0$ ), c'est l'énergie de point zéro, imposée par les inégalités de Heisenberg. Ce chapitre, application directe de Schrödinger, éclaire la structure discrète de la matière. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — États liés dans un puits de potentiel : équation de Schrödinger stationnaire, conditions aux limites ; puits de potentiel infini (particule dans une boîte), quantification de l'énergie

E_{n} = n^{2} π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2})

et fonctions d'onde stationnaires ; énergie de point zéro ; interprétation (nombre de nœuds, principe de correspondance) ; approche qualitative du puits de profondeur finie.

Prérequis

Fonction d'onde, équation de Schrödinger stationnaire
États stationnaires, normalisation, conditions de raccordement
Équations différentielles du second ordre (solutions sinusoïdales)

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1. États liés et puits de potentiel infini

Définition 1.1 — État lié, état de diffusion

Un état lié est un état où la particule est CONFINÉE (fonction d'onde localisée, de carré intégrable, tendant vers $0$ à l'infini) : l'énergie y est quantifiée. Un état de diffusion (ou état libre) correspond à une particule non confinée, d'énergie continue. Le confinement est la CAUSE de la quantification.

Définition 1.2 — Puits de potentiel infini

Le puits infini (« particule dans une boîte » 1D) est le potentiel :

V (x) = {0 + \infty si 0 \leq x \leq L, sinon.

La particule est piégée entre deux murs infranchissables en $x = 0$ et $x = L$ . C'est le modèle le plus simple d'état lié — et il capture l'essentiel de la quantification.

Définition 1.3 — Nombre quantique

Les états stationnaires du puits sont indexés par un nombre quantique entier $n \in N^{*}$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ). Chaque valeur de $n$ correspond à un niveau d'énergie $E_{n}$ et à une fonction d'onde $φ_{n}$ . $n = 1$ est le fondamental (énergie minimale) ; $n \geq 2$ sont les états excités.

Théorème 1.1 — Quantification de l'énergie du puits infini ★ À savoir démontrer

Les seules énergies possibles d'une particule de masse $m$ dans un puits infini de largeur $L$ sont :

E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}, n \in N^{*} .

Le spectre est DISCRET : l'énergie est quantifiée. Les niveaux s'écartent comme $n^{2}$ ( $E_{1}, 4 E_{1}, 9 E_{1}, \dots$ ) et $E_{n} \propto 1/ L^{2}$ : plus la boîte est petite, plus les niveaux sont hauts et espacés.

Démonstration (Schrödinger + conditions aux bords)

Dans le puits ( $0 \leq x \leq L$ , $V = 0$ ), l'équation de Schrödinger stationnaire est $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} = E φ$ , soit $φ^{''} = - k^{2} φ$ avec $k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}}$ ( $E > 0$ ). Les solutions sont $φ (x) = A sin (k x) + B cos (k x)$ .

Conditions aux limites : la fonction d'onde est nulle sur les murs (probabilité de présence nulle dans la zone interdite, où $V = + \infty$ ), et par continuité $φ (0) = φ (L) = 0$ . De $φ (0) = 0$ : $B = 0$ . De $φ (L) = A sin (k L) = 0$ avec $A \neq = 0$ (sinon $φ \equiv 0$ ) : $sin (k L) = 0$ , donc $k L = nπ$ , $n \in N^{*}$ .

Quantification : $k_{n} = \frac{nπ}{L}$ , d'où $E_{n} = \frac{ℏ ^{2} k _{n}^{2}}{2 m} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ . Seules ces valeurs discrètes sont permises ( $n = 0$ donnerait $φ \equiv 0$ , exclu). CQFD.

2. Fonctions d'onde et énergie de point zéro

Définition 2.1 — États stationnaires du puits

À chaque niveau $E_{n}$ correspond une fonction d'onde stationnaire $φ_{n}$ , fonction propre du hamiltonien. Elle est de la forme $φ_{n} (x) = A sin (nπ x / L)$ sur $[0, L]$ (et nulle ailleurs), la constante $A$ étant fixée par la normalisation.

Théorème 2.1 — Fonctions d'onde normalisées ★ À savoir démontrer

Les fonctions d'onde stationnaires normalisées du puits infini sont :

φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin (\frac{nπ x}{L}), 0 \leq x \leq L .

Démonstration (condition de normalisation)

La fonction d'onde $φ_{n} (x) = A sin (nπ x / L)$ doit être normalisée : $\int_{0}^{L} ∣ φ_{n} (x) ∣^{2} d x = 1$ . Calculons l'intégrale avec $sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$ : $\int_{0}^{L} sin^{2} (\frac{nπ x}{L}) d x = \int_{0}^{L} \frac{1 - cos ( 2 nπ x / L )}{2} d x = \frac{L}{2} - \frac{1}{2} = 0 \int_{0}^{L} cos (\frac{2 nπ x}{L}) d x = \frac{L}{2},$ l'intégrale du cosinus étant nulle sur un nombre entier de périodes.

Donc $A^{2} \cdot \frac{L}{2} = 1$ , d'où $A = \frac{2}{L}$ et $φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin (\frac{nπ x}{L})$ . CQFD. La densité $∣ φ_{n} ∣^{2}$ présente $n$ ventres : le fondamental est une « bosse », les excités oscillent de plus en plus.

Définition 2.2 — Énergie de point zéro

L'énergie de point zéro est l'énergie du fondamental :

E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} > 0.

Elle est STRICTEMENT POSITIVE : une particule confinée ne peut jamais être au repos ( $E = 0$ interdit). C'est une conséquence des inégalités de Heisenberg — confiner ( $Δ x \sim L$ fini) impose une quantité de mouvement non nulle ( $Δ p ≳ ℏ/ L$ ), donc une énergie cinétique minimale.

Théorème 2.2 — Propriétés du spectre

Les états $φ_{n}$ forment une famille orthonormée ( $\int_{0}^{L} φ_{n} φ_{m} = δ_{nm}$ ). La fonction $φ_{n}$ possède $n - 1$ nœuds intérieurs (points où elle s'annule). Pour $n$ grand, la densité de probabilité s'uniformise : on retrouve le comportement classique (particule équiprobable partout) — c'est le principe de correspondance.

💡 Exemple — Ordre de grandeur pour un électron confiné. Pour un électron (

m \approx 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg

) dans une boîte de taille atomique

L = 0, 1 nm

E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} \approx 6 \times 1 0^{- 18} J \approx 38 eV

— du bon ordre de grandeur des énergies atomiques (quelques eV à quelques dizaines d'eV). Pour un objet macroscopique (

L = 1 cm

E_{1}

est fantastiquement petite : la quantification est inobservable, on retrouve le continuum classique.

📐 Méthode-type — Résoudre un puits de potentiel.

Poser l'équation de Schrödinger stationnaire dans chaque région ( $φ^{''} = - k^{2} φ$ où $E > V$ , $φ^{''} = κ^{2} φ$ où $E < V$ ).
Écrire les conditions aux limites : $φ = 0$ sur un mur infini ; continuité de $φ$ (et $φ^{'}$ si $V$ fini) aux interfaces.
Quantifier : les conditions aux limites imposent des valeurs discrètes de $k$ (donc de $E$ ).
Normaliser : $\int ∣ φ_{n} ∣^{2} = 1$ fixe l'amplitude. Vérifier l'ordre de grandeur de $E_{1}$ et le nombre de nœuds.

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le puits de potentiel est un calcul balisé — les erreurs viennent des conditions aux limites et de l'interprétation. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Inclure n = 0. Le nombre quantique commence à

n = 1

n = 0

donnerait

k = 0

, donc

φ \equiv 0

— une fonction d'onde nulle, non normalisable, non physique. Le fondamental est

n = 1

, avec

E_{1} > 0

. Ne jamais écrire

n \in N

(inclure

0

) mais

n \in N^{*}

⚠ Erreur 2 — Oublier l'énergie de point zéro (E₁ ≠ 0). L'énergie minimale n'est PAS nulle :

E_{1} = π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2}) > 0

. Croire que la particule peut être « au repos » (

E = 0

) est faux et contredit Heisenberg. C'est une différence FONDAMENTALE avec la mécanique classique.

⚠ Erreur 3 — Se tromper dans la normalisation (facteur √(2/L)).

\int_{0}^{L} sin^{2} (nπ x / L) d x = L /2

(pas

L

), d'où

A = 2/ L

(pas

1/ L

). Le facteur

2

vient de la moyenne de

sin^{2}

qui vaut

1/2

. Erreur de normalisation très fréquente.

⚠ Erreur 4 — Mauvaise dépendance en n ou en L.

E_{n} \propto n^{2}

(pas

n

) et

E_{n} \propto 1/ L^{2}

(pas

1/ L

). Les niveaux montent en

n^{2}

et l'échelle d'énergie varie comme l'inverse du CARRÉ de la taille. Vérifier ces exposants par analyse dimensionnelle (

[E] = ℏ^{2} / (m L^{2})

⚠ Erreur 5 — Raccorder φ' sur un mur infini. À un mur de potentiel INFINI, seule

φ

est continue (

φ = 0

) ; sa dérivée

φ^{'}

peut être DISCONTINUE (le potentiel infini l'autorise). Ne PAS imposer la continuité de

φ^{'}

sur un mur infini (contrairement à une marche finie, où

φ^{'}

est continue).

4. Pour aller plus loin

Le puits de potentiel est le prototype de toute la matière quantifiée :

Puits de profondeur finie — la fonction d'onde « déborde » (onde évanescente hors du puits) ; nombre fini d'états liés.
Oscillateur harmonique quantique — niveaux équidistants $E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ , l'autre grand modèle exactement soluble.
Boîtes et fils quantiques — nanotechnologies, LED, lasers à puits quantiques : la quantification exploitée en ingénierie.
Atome et molécules — les orbitales et niveaux électroniques sont des états liés (puits coulombien), fondement de la chimie quantique.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu distinguer état lié (confiné, énergie quantifiée) et état de diffusion ?
Sais-tu poser le puits infini (V = 0 sur [0,L], +∞ ailleurs) ?
Sais-tu que le nombre quantique est n ∈ ℕ* (n ≥ 1) ?
Sais-tu démontrer Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²) (Schrödinger + conditions aux bords) ?
Sais-tu que φ(0) = φ(L) = 0 impose kL = nπ ?
Sais-tu que le spectre est discret et que Eₙ ∝ n² et ∝ 1/L² ?
Sais-tu démontrer φₙ(x) = √(2/L) sin(nπx/L) (normalisation) ?
Sais-tu que ∫₀^L sin²(nπx/L) dx = L/2 (d'où le √(2/L)) ?
Sais-tu que l'énergie de point zéro E₁ > 0 (Heisenberg) ?
Sais-tu que φₙ a n−1 nœuds intérieurs ?
Connais-tu le principe de correspondance (n grand → classique) ?
Sais-tu qu'on ne raccorde PAS φ' sur un mur infini ?

Démonstrations à savoir refaire

Quantification de l'énergie — Schrödinger, φ(0)=φ(L)=0, kL=nπ, Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²)
Fonctions d'onde normalisées — ∫sin² = L/2, φₙ = √(2/L) sin(nπx/L)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. États liés et puits de potentiel infini

2. Fonctions d'onde et énergie de point zéro

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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