Électrostatique

Vue d'ensemble

L'électrostatique étudie les champs créés par des charges immobiles. En MP, on passe de la description « à la Coulomb » (sommer les contributions de chaque charge) au point de vue local : deux équations de Maxwell ( $div E = ρ / ε_{0}$ et $rot E = 0$ ), un potentiel $V$ , et deux outils de calcul redoutables — le théorème de Gauss (exploite les symétries) et l'équation de Poisson. C'est le socle de tout l'électromagnétisme, et la grammaire des trois chapitres suivants (magnétostatique, Maxwell, ondes). Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Électrostatique : champ et potentiel créés par une distribution de charges, relations locales (

div E = ρ / ε_{0}

E = - \nabla V

rot E = 0

) ; circulation du champ et potentiel ; théorème de Gauss (forme intégrale et locale), calculs de champs à haute symétrie (sphère, cylindre, plan) ; équations de Poisson et de Laplace ; énergie potentielle et énergie électrostatique ; analogie avec le champ gravitationnel ; condensateur, capacité.

Prérequis

Loi de Coulomb et champ électrostatique d'une charge ponctuelle (sup)
Opérateurs vectoriels : gradient, divergence, rotationnel, flux, circulation
Symétries et invariances (plans de symétrie, systèmes de coordonnées)

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1. Champ, potentiel et relations locales

Définition 1.1 — Champ et potentiel électrostatiques

Une distribution de charges de densité volumique $ρ$ crée en tout point un champ électrostatique $E$ (V/m) et un potentiel $V$ (V) reliés par :

E = - \nabla V .

Pour une charge ponctuelle $q$ en $O$ : $V = \frac{q}{4 π ε _{0} r}$ et $E = \frac{q}{4 π ε _{0} r ^{2}} u_{r}$ . Le champ pointe des charges + vers les charges −, des hauts potentiels vers les bas.

Théorème 1.2 — Les équations locales de l'électrostatique ★ À savoir démontrer

Le champ électrostatique vérifie les deux équations de Maxwell statiques :

div E = \frac{ρ}{ε _{0}} (Maxwell-Gauss), rot E = 0 (le champ d \overset{e}{ˊ} rive d’un potentiel) .

Démonstration (rotationnel nul, et Gauss local depuis le flux)

$rot E = 0$ . Le champ dérive d'un potentiel : $E = - \nabla V$ . Or le rotationnel d'un gradient est toujours nul ( $rot (\nabla V) = 0$ , identité vectorielle). D'où $rot E = 0$ : le champ est à circulation conservative (sa circulation sur un contour fermé est nulle).

$div E = ρ / ε_{0}$ . Elle traduit localement le théorème de Gauss (théorème 2.2) : le flux de $E$ à travers une surface fermée vaut $Q_{in t} / ε_{0}$ . En appliquant le théorème de Green-Ostrogradski (flux = intégrale de la divergence), $\iint E \cdot d S = ∭ div E d τ$ , et en identifiant à $∭ \frac{ρ}{ε _{0}} d τ$ pour tout volume, on obtient $div E = ρ / ε_{0}$ point par point.

Définition 1.3 — Circulation et différence de potentiel

La circulation du champ entre deux points $A$ et $B$ donne la différence de potentiel :

V (A) - V (B) = \int_{A}^{B} E \cdot d ℓ .

Le champ étant à rotationnel nul, cette circulation ne dépend PAS du chemin (champ conservatif) : sur un contour fermé, $\oint E \cdot d ℓ = 0$ .

⚠ Piège — Le potentiel est défini À UNE CONSTANTE PRÈS. Seules les DIFFÉRENCES de potentiel ont un sens physique (

E = - \nabla V

ne change pas si l'on ajoute une constante à

V

). On fixe la référence par convention :

V \to 0

à l'infini pour une distribution bornée, ou

V = 0

sur une électrode. Parler de « la » valeur de

V

sans référence est un abus.

2. Le théorème de Gauss et les calculs de champ

Définition 2.1 — Angle solide

L'angle solide $d Ω$ sous lequel une surface élémentaire $d S$ est vue depuis un point $O$ est $d Ω = \frac{u _{r} \cdot d S}{r ^{2}}$ (en stéradians). C'est l'analogue à trois dimensions de l'angle plan. Une surface FERMÉE est vue sous un angle solide total de $4 π$ depuis un point intérieur, et de $0$ depuis un point extérieur — c'est la clé de la démonstration du théorème de Gauss.

Théorème 2.2 — Théorème de Gauss ★ À savoir démontrer

Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée $S$ (surface de Gauss) est égal à la charge intérieure divisée par $ε_{0}$ :

\iint_{S} E \cdot d S = \frac{Q _{in t}}{ε _{0}} .

Démonstration (angle solide pour une charge ponctuelle)

Charge ponctuelle $q$ intérieure. Le flux élémentaire à travers $d S$ vaut $E \cdot d S = \frac{q}{4 π ε _{0} r ^{2}} u_{r} \cdot d S = \frac{q}{4 π ε _{0}} d Ω$ , où $d Ω = \frac{u _{r} \cdot d S}{r ^{2}}$ est l'angle solide sous lequel $d S$ est vu depuis $q$ . En intégrant sur la surface fermée, l'angle solide total vaut $4 π$ (une charge intérieure « voit » tout l'espace) :

\iint E \cdot d S = \frac{q}{4 π ε _{0}} \times 4 π = \frac{q}{ε _{0}} .

Charge extérieure : l'angle solide total vu depuis un point extérieur est NUL (les contributions entrante et sortante se compensent) : flux nul. Cas général : par superposition, seules les charges INTÉRIEURES contribuent, d'où $\iint E \cdot d S = Q_{in t} / ε_{0}$ .

📐 Méthode-type — Calculer un champ par le théorème de Gauss.

Symétries du champ : déterminer la DIRECTION de $E$ (plans de symétrie de la distribution : $E$ est dans les plans de symétrie, orthogonal aux plans d'antisymétrie).
Invariances : déterminer les VARIABLES dont $E$ dépend (translation → indépendance de la variable ; rotation → idem). Ex. sphérique : $E = E (r) u_{r}$ .
Surface de Gauss adaptée : une surface fermée sur laquelle $E \cdot d S$ est constant ou nul (sphère, cylindre, boîte) — le flux se calcule alors trivialement ( $E \times S_{u t i l e}$ ).
Égaler au $Q_{in t} / ε_{0}$ et isoler $E$ . Vérifier les cas limites (loin de la distribution : champ d'une charge ponctuelle totale).

💡 Les trois champs de référence (à connaître par cœur).
— Sphère uniformément chargée (charge

Q

, rayon

R

) : à l'extérieur

E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}

(comme une charge ponctuelle au centre) ; à l'intérieur

E = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}}

(croît linéairement).
— Fil / cylindre infini (densité linéique

λ

) :

E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}

(décroît en

1/ r

).
— Plan infini (densité surfacique

σ

) :

E = \frac{σ}{2 ε _{0}}

(UNIFORME, indépendant de la distance !). Ces trois résultats structurent la moitié des exercices d'électrostatique.

⚠ Piège — Gauss ne donne le champ QUE si la symétrie le permet. Le théorème de Gauss est TOUJOURS vrai, mais il ne permet de CALCULER

E

que si la symétrie rend

E \cdot d S

constant sur la surface (haute symétrie). Sans symétrie exploitable (distribution quelconque), Gauss ne suffit pas — il faut Coulomb ou Poisson. Choisir la surface de Gauss AVANT d'avoir établi les symétries est l'erreur type.

3. Équation de Poisson et énergie électrostatique

Théorème 3.1 — Équation de Poisson ★ À savoir démontrer

Le potentiel vérifie l'équation de Poisson :

Δ V = - \frac{ρ}{ε _{0}},

qui se réduit à l'équation de Laplace $Δ V = 0$ dans les régions sans charge ( $ρ = 0$ ).

Démonstration (combiner E = −∇V et div E = ρ/ε₀)

Partons des deux relations fondamentales : $E = - \nabla V$ et $div E = ρ / ε_{0}$ (Maxwell-Gauss). En reportant la première dans la seconde :

div (- \nabla V) = \frac{ρ}{ε _{0}} ⟹ - div (\nabla V) = \frac{ρ}{ε _{0}} .

Or $div (\nabla V) = Δ V$ (définition du laplacien scalaire). D'où $- Δ V = ρ / ε_{0}$ , soit $Δ V = - ρ / ε_{0}$ . Cette équation, avec les conditions aux limites (valeurs de $V$ sur les conducteurs, comportement à l'infini), détermine ENTIÈREMENT le potentiel — c'est la voie de calcul quand la symétrie ne suffit pas pour Gauss.

Définition 3.2 — Énergie électrostatique

L'énergie potentielle d'une charge $q$ placée en un point de potentiel $V$ est $E_{p} = q V$ . L'énergie électrostatique stockée dans une distribution s'écrit, en termes du champ :

W = ∭ \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} d τ,

où $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ est la densité volumique d'énergie électrostatique (J/m³) : l'énergie est « stockée dans le champ », partout où il existe.

Définition 3.3 — Condensateur et capacité

Un condensateur est un système de deux conducteurs (armatures) en influence, portant des charges opposées $\pm Q$ . Sa capacité $C$ (en farads) relie la charge à la tension $U$ entre armatures :

Q = C U, C = \frac{Q}{U} > 0.

$C$ ne dépend que de la géométrie et du milieu. L'énergie stockée vaut $W = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C}$ .

💡 Exemple — Le condensateur plan. Deux armatures de surface

S

distantes de

e

, portant

\pm Q

: le champ entre elles est uniforme

E = σ / ε_{0} = Q / (ε_{0} S)

, la tension

U = E e = \frac{Q e}{ε _{0} S}

, d'où la capacité

C = \frac{Q}{U} = \frac{ε _{0} S}{e}

. Énergie stockée :

W = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C} = \frac{1}{2} C U^{2}

— retrouvée aussi par

\int \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} d τ = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} \times S e

. Cohérence des deux points de vue (charge et champ), à savoir vérifier.

🧑‍🏫 L'électrostatique méthodique

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

L'électrostatique est un chapitre de méthode — les erreurs viennent surtout de symétries mal analysées. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Choisir la surface de Gauss avant les symétries. L'ordre est : symétries (direction de

E

) → invariances (variables) → SURFACE adaptée. Poser une sphère de Gauss sans avoir justifié que

E = E (r) u_{r}

est un raisonnement à l'envers, sanctionné.

⚠ Erreur 2 — Oublier que le potentiel est défini à une constante près. Seules les différences de potentiel comptent. Fixer la référence (∞ ou électrode) est obligatoire avant de donner une valeur de

V

. Comparer deux potentiels sans même référence n'a pas de sens.

⚠ Erreur 3 — Se tromper de facteur pour plan et fil. Plan infini :

E = σ / (2 ε_{0})

(facteur 2 : le champ « sort » des deux côtés). Fil infini :

E = λ / (2 π ε_{0} r)

. Les facteurs

2

2 π

4 π

(sphère) viennent de la géométrie de la surface de Gauss — les confondre est l'erreur de calcul n°1.

⚠ Erreur 4 — Croire que E = 0 implique V = 0 (ou l'inverse).

E = - \nabla V

: un champ nul signifie un potentiel CONSTANT (pas forcément nul), et un potentiel constant sur une région (conducteur à l'équilibre) donne un champ nul à l'intérieur. Ne pas confondre « nul » et « constant ».

⚠ Erreur 5 — Appliquer Gauss avec la charge TOTALE au lieu de la charge INTÉRIEURE. Le second membre est

Q_{in t} / ε_{0}

: SEULES les charges à l'intérieur de la surface de Gauss comptent (les charges extérieures créent un flux total nul). Pour le champ intérieur d'une sphère chargée,

Q_{in t}

n'est qu'une fraction de

Q

— d'où le champ en

r

et non en

1/ r^{2}

5. Pour aller plus loin

L'électrostatique est la grammaire de tout l'électromagnétisme de MP :

Magnétostatique — le pendant magnétique : $B$ , théorème d'Ampère (analogue de Gauss), potentiel vecteur ; même méthode par symétries.
Équations de Maxwell — les quatre équations complètes unifient électrostatique et magnétostatique, et ajoutent les termes dépendant du temps (induction, courant de déplacement).
Énergie électromagnétique et Poynting — la densité $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ se complète du terme magnétique ; le vecteur de Poynting décrit le transport d'énergie.
Analogie gravitationnelle — le champ de gravitation vérifie un théorème de Gauss ( $\iint G \cdot d S = - 4 π G M_{in t}$ ) : mêmes méthodes, mêmes calculs (champ d'une planète).

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu relier champ et potentiel (E = −∇V) et donner V, E d'une charge ponctuelle ?
Sais-tu démontrer les deux équations locales (rot E = 0 par gradient, div E = ρ/ε₀ par Gauss) ?
Sais-tu que le champ est conservatif (circulation nulle sur un contour fermé) ?
Sais-tu que le potentiel est défini à une constante près (choix de référence) ?
Sais-tu démontrer le théorème de Gauss par l'angle solide (4π intérieur, 0 extérieur) ?
Sais-tu dérouler la méthode symétries → invariances → surface de Gauss → champ ?
Connais-tu les trois champs de référence (sphère, fil en 1/r, plan uniforme σ/2ε₀) ?
Sais-tu pourquoi Gauss ne donne le champ que sous haute symétrie ?
Sais-tu démontrer l'équation de Poisson ΔV = −ρ/ε₀ (et Laplace) ?
Sais-tu écrire l'énergie électrostatique W = ∫ ½ε₀E² dτ et E_p = qV ?
Sais-tu traiter le condensateur plan (C = ε₀S/e, W = ½CU²) par les deux points de vue ?
Sais-tu que seule la charge INTÉRIEURE compte dans Gauss (champ en r à l'intérieur d'une sphère) ?

Démonstrations à savoir refaire

Équations locales — rot(∇V) = 0 et Gauss local par Green-Ostrogradski
Théorème de Gauss — angle solide, 4π pour une charge intérieure, 0 pour l'extérieure
Équation de Poisson — combiner E = −∇V et div E = ρ/ε₀

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Champ, potentiel et relations locales

2. Le théorème de Gauss et les calculs de champ

3. Équation de Poisson et énergie électrostatique

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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