Effet tunnel

Vue d'ensemble

Classiquement, une bille lancée contre une colline trop haute rebrousse chemin : si son énergie $E$ est inférieure à la hauteur $V_{0}$ du sommet, elle ne peut pas passer. En mécanique quantique, c'est faux ! Une particule d'énergie $E < V_{0}$ a une probabilité NON NULLE de traverser une barrière de potentiel : c'est l'effet tunnel, l'un des phénomènes les plus spectaculaires de la quantique. L'origine : dans la zone classiquement interdite, la fonction d'onde ne s'annule pas brutalement mais décroît exponentiellement (onde évanescente). Si la barrière est assez fine, l'onde émerge de l'autre côté avec une amplitude réduite mais réelle. Le coefficient de transmission décroît comme $e^{- 2 κ L}$ — d'où une sensibilité extrême à la largeur, exploitée par le microscope à effet tunnel. Ce chapitre applique l'équation de Schrödinger stationnaire aux marches et barrières. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Marches et barrières de potentiel : équation de Schrödinger stationnaire, solutions oscillantes (

E > V

) et évanescentes (

E < V

) ; onde évanescente dans une zone classiquement interdite, longueur de pénétration ; effet tunnel, coefficient de transmission et sa décroissance exponentielle

T \sim e^{- 2 κ L}

; conservation du courant de probabilité (

R + T = 1

) ; applications (microscope à effet tunnel, radioactivité α).

Prérequis

Fonction d'onde, équation de Schrödinger stationnaire
États stationnaires, conditions de raccordement (continuité de φ et φ')
Équations différentielles linéaires du second ordre (solutions e^(±kx))

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1. Marche de potentiel et onde évanescente

Définition 1.1 — Marche et barrière de potentiel

Une marche de potentiel est un potentiel qui passe brutalement de $0$ à $V_{0}$ en $x = 0$ . Une barrière (rectangulaire) vaut $V_{0}$ sur $[0, L]$ et $0$ ailleurs (largeur $L$ , hauteur $V_{0}$ ). On envoie une particule d'énergie $E$ depuis $- \infty$ et on étudie ce qui est réfléchi et transmis. Le cas intéressant (tunnel) est $0 < E < V_{0}$ .

Définition 1.2 — Coefficients de réflexion et de transmission

On décompose l'onde en incidente, réfléchie, transmise. Le coefficient de réflexion $R$ et le coefficient de transmission $T$ sont les rapports des courants de probabilité :

R = \frac{∣ j _{r \overset{e}{ˊ} fl \overset{e}{ˊ} chi} ∣}{∣ j _{incident} ∣}, T = \frac{∣ j _{transmis} ∣}{∣ j _{incident} ∣} .

$R$ est la probabilité que la particule reparte, $T$ qu'elle passe. La conservation du courant impose $R + T = 1$ .

Définition 1.3 — Onde évanescente et longueur de pénétration

Dans une zone où $E < V_{0}$ (classiquement interdite), la fonction d'onde est évanescente : elle décroît en $e^{- κ x}$ , avec

κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}, δ = \frac{1}{κ} = \frac{ℏ}{2 m ( V _{0} - E )} .

$δ$ est la longueur de pénétration : profondeur typique sur laquelle l'onde pénètre la zone interdite avant de s'éteindre. Plus la barrière est haute ( $V_{0} - E$ grand), plus $δ$ est petite.

Théorème 1.1 — Onde évanescente dans la zone interdite ★ À savoir démontrer

Dans une région où $V = V_{0} > E$ , les solutions de l'équation de Schrödinger stationnaire sont des exponentielles RÉELLES $φ (x) = A e^{- κ x} + B e^{+ κ x}$ , avec $κ = 2 m (V_{0} - E) /ℏ$ . La fonction d'onde ne s'annule PAS dans la zone interdite (contrairement au cas classique) : elle y pénètre en décroissant.

Démonstration (Schrödinger stationnaire pour E < V₀)

Dans la région où $V = V_{0}$ (constant), l'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V_{0} φ = E φ$ , soit $φ^{''} (x) = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} φ (x) = κ^{2} φ (x), κ^{2} = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} > 0$ (positif car $E < V_{0}$ ).

C'est une équation différentielle linéaire à coefficient POSITIF : ses solutions sont les exponentielles réelles $φ (x) = A e^{- κ x} + B e^{+ κ x}$ (et non des sinusoïdes). Dans une barrière semi-infinie ou pour une onde entrant dans la zone interdite, la solution physique (bornée, décroissante) est $φ (x) = A e^{- κ x}$ : c'est l'onde évanescente. Comme $φ \neq = 0$ , la densité $∣ φ ∣^{2} = ∣ A ∣^{2} e^{- 2 κ x}$ est non nulle : la particule a une probabilité de présence NON NULLE dans la zone classiquement interdite. CQFD.

2. L'effet tunnel

Définition 2.1 — Effet tunnel

L'effet tunnel est la traversée, par une particule quantique d'énergie $E < V_{0}$ , d'une barrière de potentiel de hauteur $V_{0}$ — un franchissement IMPOSSIBLE en physique classique. La particule « passe à travers » grâce à l'onde évanescente qui, si la barrière est assez fine, ne s'est pas complètement éteinte à la sortie. Le coefficient de transmission $T$ est alors non nul.

Théorème 2.1 — Coefficient de transmission (barrière épaisse) ★ À savoir démontrer

Pour une barrière de largeur $L$ et de hauteur $V_{0} > E$ , dans la limite d'une barrière « épaisse » ( $κ L ≫ 1$ ), le coefficient de transmission décroît exponentiellement :

T \sim e^{- 2 κ L}, κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ} .

Démonstration (estimation par l'amplitude évanescente)

À l'entrée de la barrière ( $x = 0$ ), la fonction d'onde a une amplitude $φ (0) = A$ . Dans la barrière, elle est évanescente : $φ (x) \approx A e^{- κ x}$ (le terme croissant $e^{+ κ x}$ est négligeable pour une barrière épaisse). À la sortie ( $x = L$ ) : $φ (L) \approx A e^{- κ L} .$

Le coefficient de transmission est un rapport de courants, donc d'AMPLITUDES au carré : $T \sim \frac{φ ( L )}{φ ( 0 )}^{2} = e^{- κ L}^{2} = e^{- 2 κ L} .$ Le facteur exponentiel $e^{- 2 κ L}$ domine tout : $T$ est exponentiellement petit mais NON NUL. Le calcul exact ajoute un préfacteur (de la forme $16 \frac{E}{V _{0}} (1 - \frac{E}{V _{0}})$ ) sans changer la dépendance dominante. CQFD.

Théorème 2.2 — Conservation du courant de probabilité

En régime stationnaire, le courant de probabilité est le même partout, ce qui impose :

R + T = 1.

La particule est soit réfléchie, soit transmise : les probabilités se complètent. C'est un excellent CONTRÔLE de cohérence des calculs (si l'on trouve $R + T \neq = 1$ , il y a une erreur).

💡 Exemple — Le microscope à effet tunnel (STM). Une pointe métallique est approchée à une distance

d

(~ 1 nm) d'une surface conductrice. Les électrons traversent le vide (barrière) par effet tunnel : le courant tunnel varie comme

I \propto e^{- 2 κ d}

. Comme

κ \sim 1 0^{10} m^{- 1}

, une variation de

d

de seulement

0, 1 nm

(un rayon atomique !) change

I

d'un facteur

e^{2} \approx 7

. Cette sensibilité EXPONENTIELLE permet de « voir » les atomes un par un — prix Nobel 1986.

📐 Méthode-type — Traiter une barrière de potentiel.

Découper l'espace en régions (avant, dans, après la barrière) et poser l'équation de Schrödinger stationnaire dans chacune.
Résoudre par région : oscillant $e^{\pm ik x}$ ( $k = 2 m E /ℏ$ ) si $E > V$ ; évanescent $e^{\pm κ x}$ ( $κ = 2 m (V_{0} - E) /ℏ$ ) si $E < V_{0}$ .
Raccorder $φ$ et $φ^{'}$ aux interfaces → relations entre amplitudes.
Calculer T (et $R$ ) ; pour une barrière épaisse, retenir l'estimation $T \sim e^{- 2 κ L}$ . Vérifier $R + T = 1$ .

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3. Applications et ordres de grandeur

Définition 2.2 — Sensibilité exponentielle

La caractéristique de l'effet tunnel est sa sensibilité exponentielle aux paramètres : $T \sim e^{- 2 κ L}$ avec $κ \propto V_{0} - E$ . Une petite variation de la largeur $L$ ou de la hauteur $V_{0}$ change $T$ de plusieurs ordres de grandeur. C'est à la fois ce qui rend l'effet observable (STM) et ce qui explique l'immense gamme de durées de vie en radioactivité α.

💡 Exemple — La radioactivité alpha (Gamow). Un noyau lourd émet une particule α (deux protons, deux neutrons) qui doit franchir la barrière coulombienne le retenant dans le noyau. Classiquement, elle n'a pas assez d'énergie : elle reste piégée. Par effet tunnel, elle a une PETITE probabilité de s'échapper à chaque « tentative ». La sensibilité exponentielle de

T

explique pourquoi les durées de vie des noyaux α vont de la microseconde à des milliards d'années (loi de Geiger-Nuttall) — une variation gigantesque pour une petite variation d'énergie. Modèle de Gamow, 1928.

⚠ Piège — La particule ne « gagne » pas d'énergie. L'effet tunnel n'est PAS un franchissement par-dessus la barrière : la particule ne dépasse jamais l'énergie

E < V_{0}

. Elle ne fait que « traverser » grâce au caractère ondulatoire. À la sortie, elle a la MÊME énergie

E

qu'à l'entrée. Ne pas dire qu'elle « emprunte » de l'énergie (une image populaire mais fausse au niveau MP).

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

L'effet tunnel mêle résolution d'équation et interprétation physique — les pièges sont nombreux. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Écrire des sinusoïdes dans la zone interdite. Pour

E < V_{0}

, l'équation est

φ^{''} = κ^{2} φ

(coefficient POSITIF), dont les solutions sont des EXPONENTIELLES réelles

e^{\pm κ x}

, PAS des

e^{\pm ik x}

(sinusoïdes). Se tromper de régime (oscillant vs évanescent) est l'erreur n°1. Bien comparer

E

V

⚠ Erreur 2 — Garder le terme croissant e^(+κx) dans une barrière épaisse. Pour une barrière semi-infinie ou épaisse, la solution physique est la SEULE exponentielle décroissante

e^{- κ x}

(le terme

e^{+ κ x}

divergerait). Dans une barrière FINIE, les deux termes coexistent, mais le décroissant domine largement si

κ L ≫ 1

. Justifier le choix des termes.

⚠ Erreur 3 — Confondre amplitude et probabilité pour T. Le coefficient de transmission

T

est un rapport de courants, donc d'amplitudes au CARRÉ :

T \sim ∣ e^{- κ L} ∣^{2} = e^{- 2 κ L}

(facteur

2

dans l'exposant !). Écrire

T \sim e^{- κ L}

(sans le

2

) est une erreur fréquente. Le

2

vient du passage amplitude → probabilité.

⚠ Erreur 4 — Oublier que R + T = 1. En régime stationnaire sans absorption,

R + T = 1

: c'est un contrôle. Trouver

T > 1

R + T \neq = 1

signale une erreur de calcul (souvent dans les courants ou les vitesses de groupe de part et d'autre). Toujours vérifier cette conservation.

⚠ Erreur 5 — Croire l'effet tunnel négligeable « parce que c'est quantique ». L'effet tunnel est infime pour un objet macroscopique (

κ L

énorme), mais DOMINANT à l'échelle atomique : radioactivité, STM, jonctions, fusion stellaire en dépendent. Ne pas le balayer : c'est un phénomène observable et technologiquement exploité.

5. Pour aller plus loin

L'effet tunnel est au cœur de nombreux dispositifs et phénomènes :

États liés (puits de potentiel) — l'autre grand cas quantique 1D, où la quantification de l'énergie apparaît explicitement.
Diode tunnel, jonction Josephson — l'électronique quantique repose sur le passage tunnel contrôlé.
Fusion nucléaire stellaire — les protons du Soleil fusionnent par effet tunnel malgré la répulsion coulombienne.
Microscopie à effet tunnel — imagerie atomique, manipulation d'atomes individuels.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu ce qu'est une marche et une barrière de potentiel ?
Sais-tu définir les coefficients de réflexion R et de transmission T ?
Sais-tu que dans la zone interdite (E < V₀) l'onde est évanescente ?
Sais-tu démontrer φ'' = κ²φ et κ = √(2m(V₀−E))/ℏ ?
Sais-tu que |φ|² ≠ 0 dans la zone classiquement interdite ?
Sais-tu définir la longueur de pénétration δ = 1/κ ?
Sais-tu ce qu'est l'effet tunnel (traversée avec E < V₀) ?
Sais-tu démontrer/estimer T ∼ e^(−2κL) (barrière épaisse) ?
Sais-tu pourquoi il y a un facteur 2 dans l'exposant (amplitude²) ?
Sais-tu que R + T = 1 (conservation du courant) ?
Connais-tu le microscope à effet tunnel (I ∝ e^(−2κd)) ?
Sais-tu que la particule ne gagne pas d'énergie (E inchangée) ?

Démonstrations à savoir refaire

Onde évanescente — Schrödinger pour E < V₀, φ = A e^(−κx), κ = √(2m(V₀−E))/ℏ
Coefficient de transmission — amplitude évanescente, T ∼ e^(−2κL)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Marche de potentiel et onde évanescente

2. L'effet tunnel

3. Applications et ordres de grandeur

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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