Dispersion, paquets d'ondes et vitesse de groupe

Vue d'ensemble

Jusqu'ici, toutes les fréquences allaient à la même vitesse $c$ : le milieu était non dispersif. Mais dans la plupart des milieux réels — un plasma, une fibre optique, une eau profonde — la vitesse dépend de la fréquence : le milieu est dispersif. Une onde n'est jamais parfaitement monochromatique ; c'est un paquet d'ondes, une superposition de fréquences voisines. Ce paquet se propage à la vitesse de groupe $v_{g} = d ω / d k$ (celle de l'énergie et de l'information), distincte de la vitesse de phase $v_{φ} = ω / k$ de chaque composante. Et comme les composantes se désynchronisent, le paquet s'étale. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Milieux dispersifs : relation de dispersion

ω (k)

, vitesse de phase ; paquet d'ondes comme superposition d'ondes planes monochromatiques, vitesse de groupe

v_{g} = d ω / d k

; propagation d'un paquet d'ondes quasi-monochromatique, transport de l'énergie à la vitesse de groupe ; étalement d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif (approche qualitative) ; exemple de la dispersion.

Prérequis

Équation de d'Alembert et ondes : relation de dispersion, ondes progressives harmoniques
Notation complexe et développement de Taylor
Superposition d'ondes, battements (sup)

🎯 Accompagnement Majorant

Vitesse de phase, vitesse de groupe : tu confonds encore laquelle transporte quoi ? C'est la subtilité centrale de la physique des ondes — et une question d'oral favorite. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font construire un paquet d'ondes et suivre l'énergie jusqu'à ce que la distinction soit limpide.

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1. Relation de dispersion et vitesse de phase

Définition 1.1 — Relation de dispersion

Une relation de dispersion $ω = ω (k)$ relie la pulsation au vecteur d'onde pour les ondes planes harmoniques $e^{i (ω t - k x)}$ que le milieu peut propager. Le milieu est non dispersif si $ω = c k$ (relation linéaire, vitesse indépendante de la fréquence) ; dispersif sinon ( $ω$ non proportionnelle à $k$ ).

Définition 1.2 — Vitesse de phase

La vitesse de phase est la vitesse de déplacement d'un plan de phase constante d'une onde monochromatique :

v_{φ} = \frac{ω}{k} .

Elle dépend en général de $k$ (donc de la fréquence) dans un milieu dispersif. C'est la vitesse à laquelle « avance une crête » — mais PAS celle de l'énergie ni de l'information.

💡 Exemples de relations de dispersion.
— Corde, son, EM dans le vide :

ω = c k

, non dispersif (

v_{φ} = c

pour toutes les fréquences).
— Plasma :

ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}

(

ω_{p}

= pulsation plasma) : dispersif, et propagation impossible pour

ω < ω_{p}

(onde évanescente).
— Particule quantique libre :

ω = ℏ k^{2} /2 m

(de Broglie), fortement dispersif. Reconnaître le type de relation oriente tout le problème.

⚠ Piège — La vitesse de phase peut dépasser c. Dans un plasma,

v_{φ} = ω / k = c 1 + ω_{p}^{2} / (c^{2} k^{2}) > c

: la vitesse de phase EXCÈDE la vitesse de la lumière. Ce n'est PAS une violation de la relativité, car la phase ne transporte ni énergie ni information — seule la vitesse de GROUPE (

< c

) le fait. Croire que « quelque chose va plus vite que c » est un contresens que les oraux adorent débusquer.

2. Le paquet d'ondes et la vitesse de groupe

Définition 2.1 — Paquet d'ondes

Un paquet d'ondes est une superposition d'ondes planes monochromatiques de vecteurs d'onde voisins autour d'un $k_{0}$ central :

s (x, t) = \int A (k) e^{i (ω (k) t - k x)} d k,

où $A (k)$ est un profil d'amplitude concentré autour de $k_{0}$ (largeur $Δ k$ ). Un paquet « quasi-monochromatique » a $Δ k ≪ k_{0}$ : il ressemble à une onde de fréquence $ω_{0} = ω (k_{0})$ modulée par une enveloppe lente.

Définition 2.2 — Vitesse de groupe

La vitesse de groupe d'un paquet centré autour de $k_{0}$ est la dérivée de la relation de dispersion :

v_{g} = \frac{d ω}{d k}_{k_{0}} .

C'est la vitesse de déplacement de l'enveloppe du paquet — et donc de l'énergie et de l'information qu'il transporte. En milieu non dispersif ( $ω = c k$ ), $v_{g} = c = v_{φ}$ ; sinon les deux diffèrent.

Théorème 2.3 — La vitesse de groupe transporte l'enveloppe ★ À savoir démontrer

Un paquet d'ondes quasi-monochromatique se propage sans déformation notable (au premier ordre) : sa porteuse avance à la vitesse de phase $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ , et son enveloppe (donc l'énergie) à la vitesse de groupe :

v_{g} = \frac{d ω}{d k}_{k_{0}} .

Démonstration (deux ondes, puis développement de ω(k))

Modèle à deux ondes (battements). Superposons deux ondes de vecteurs $k_{0} \pm δ k$ et pulsations $ω_{0} \pm δ ω$ , même amplitude :

s = cos ((ω_{0} + δ ω) t - (k_{0} + δ k) x) + cos ((ω_{0} - δ ω) t - (k_{0} - δ k) x) .

Par la formule de factorisation $cos a + cos b = 2 cos \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$ :

s = 2 enveloppe lente cos (δ ω t - δ k x) porteuse rapide cos (ω_{0} t - k_{0} x) .

La porteuse se déplace à $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ , l'enveloppe à $δ ω / δ k$ . En passant à la limite continue ( $δ k \to 0$ ), l'enveloppe avance à $v_{g} = d ω / d k$ .

Cas général (développement de $ω$ ). Pour un paquet centré en $k_{0}$ , développons $ω (k) \approx ω_{0} + v_{g} (k - k_{0})$ au premier ordre. En reportant dans l'intégrale et en factorisant la porteuse $e^{i (ω_{0} t - k_{0} x)}$ , l'amplitude restante ne dépend de $(x, t)$ que par $x - v_{g} t$ : l'enveloppe se propage rigide à la vitesse $v_{g}$ . Le terme d'ordre 2 ( $ω^{''}$ ) est responsable de l'étalement (section 3).

Théorème 2.4 — Lien phase/groupe et transport de l'énergie

La vitesse de groupe s'exprime aussi $v_{g} = v_{φ} + k \frac{d v _{φ}}{d k}$ : elle coïncide avec $v_{φ}$ en milieu non dispersif ( $v_{φ}$ constante), et en diffère sinon. C'est $v_{g}$ qui transporte l'ÉNERGIE et l'INFORMATION — donc $v_{g} \leq c$ toujours (relativité), même si $v_{φ}$ peut dépasser $c$ .

⚠ Piège n°1 du chapitre — Ne pas confondre v_φ et v_g.

v_{φ} = ω / k

(rapport) : vitesse d'une crête.

v_{g} = d ω / d k

(dérivée) : vitesse de l'enveloppe, de l'énergie, de l'information. Elles sont ÉGALES seulement en milieu non dispersif. Utiliser

ω / k

là où il faut

d ω / d k

(ou l'inverse) est l'erreur structurante — repérée dans tous les rapports.

3. Étalement d'un paquet d'ondes

Définition 3.1 — Dispersion de vitesse de groupe

La dispersion de vitesse de groupe est mesurée par la courbure de la relation de dispersion $ω^{''} (k_{0}) = \frac{d ^{2} ω}{d k ^{2}}_{k_{0}}$ . Elle quantifie à quel point les composantes voisines du paquet ont des vitesses de groupe différentes : $ω^{''} = 0$ signifie « pas d'étalement », $ω^{''} \neq = 0$ signifie que le paquet se déforme (s'étale) au cours de sa propagation.

Théorème 3.2 — Dispersion et étalement ★ À savoir démontrer

Dans un milieu dispersif ( $v_{g}$ dépend de $k$ , soit $ω^{''} (k_{0}) \neq = 0$ ), les différentes composantes du paquet voyagent à des vitesses de groupe légèrement différentes : le paquet s'étale au cours de la propagation (sa largeur spatiale croît). L'énergie se conserve mais se dilue.

Démonstration (l'ordre 2 du développement de ω)

Reprenons le développement de la relation de dispersion à l'ordre 2 autour de $k_{0}$ :

ω (k) \approx ω_{0} + v_{g} (k - k_{0}) + \frac{1}{2} ω^{''} (k_{0}) (k - k_{0})^{2} .

Le terme d'ordre 1 ( $v_{g}$ ) fait avancer l'enveloppe rigidement. Le terme d'ordre 2 ( $ω^{''}$ ) introduit une dispersion des vitesses de groupe : une composante de vecteur $k = k_{0} + δ k$ a une vitesse de groupe $v_{g} (k) \approx v_{g} (k_{0}) + ω^{''} (k_{0}) δ k$ . Les composantes rapides et lentes se séparent progressivement, d'où l'élargissement de l'enveloppe.

Ordre de grandeur : un paquet de largeur initiale $Δ x_{0}$ (donc $Δ k \sim 1/Δ x_{0}$ ) s'élargit après un temps $t$ d'une quantité $\sim ∣ ω^{''} ∣ Δ k t \sim ∣ ω^{''} ∣ t /Δ x_{0}$ . Conséquence : plus le paquet est INITIALEMENT court (large $Δ k$ ), plus il s'étale VITE — un compromis fondamental (fibres optiques, impulsions laser). Milieu non dispersif ( $ω^{''} = 0$ ) : aucun étalement, le paquet garde sa forme.

💡 Exemple — La fibre optique. Une impulsion lumineuse (paquet d'ondes) parcourant une fibre s'étale à cause de la dispersion du verre (

ω^{''} \neq = 0

) : au bout de quelques dizaines de km, deux impulsions initialement distinctes se recouvrent, limitant le débit. On combat cela par des fibres à dispersion contrôlée et des impulsions plus longues (

Δ k

plus petit). Application technologique directe — un grand classique des sujets de physique appliquée.

📐 Méthode-type — Étudier la propagation dans un milieu dispersif.

Écrire la relation de dispersion $ω (k)$ (donnée par l'équation d'onde du milieu, souvent en cherchant des solutions $e^{i (ω t - k x)}$ ).
Vitesse de phase : $v_{φ} = ω / k$ — dépend-elle de $k$ ? Si oui, milieu dispersif.
Vitesse de groupe : $v_{g} = d ω / d k$ , évaluée au $k_{0}$ du paquet. C'est elle qui donne la vitesse de l'énergie / de l'impulsion.
Étalement : calculer $ω^{''} (k_{0})$ ; s'il est non nul, le paquet s'étale, d'autant plus vite qu'il est court. Discuter les conséquences physiques.

🧑‍🏫 Dispersion : la méthode maîtrisée

Relation de dispersion → v_φ → v_g → étalement : la chaîne à dérouler sans faute. Un mentor Majorant te fait traiter des milieux dispersifs variés (plasma, guide d'onde, fibre) jusqu'à l'automatisme — et clarifie une fois pour toutes qui transporte l'énergie.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La dispersion concentre des subtilités conceptuelles — le terrain des contresens physiques. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre v_φ = ω/k et v_g = dω/dk. L'un est un rapport (vitesse de crête), l'autre une dérivée (vitesse d'enveloppe). Ils ne coïncident qu'en milieu non dispersif. Écrire

d ω / d k = ω / k

sans justifier la non-dispersion est une faute de fond — la plus signalée du chapitre.

⚠ Erreur 2 — Croire que v_φ > c viole la relativité. La vitesse de phase peut dépasser

c

(plasma) sans rien violer : elle ne transporte ni énergie ni signal. Seule

v_{g} \leq c

compte pour la causalité. Ne jamais s'alarmer d'un

v_{φ} > c

— c'est même un résultat attendu dans certains milieux.

⚠ Erreur 3 — Oublier que l'étalement vient de l'ordre 2 (ω''). Au premier ordre (

v_{g}

constant), le paquet avance rigide. C'est le terme

ω^{''} (k_{0})

(courbure de la relation de dispersion) qui cause l'étalement.

ω^{''} = 0

⟹ pas d'étalement (milieu non dispersif). Confondre « dispersif » et « dispersion de vitesse de groupe » (ordre 2) mène à des raisonnements flous.

⚠ Erreur 4 — Négliger la condition quasi-monochromatique. La notion de vitesse de groupe « unique » n'a de sens que si

Δ k ≪ k_{0}

(paquet étroit en fréquence). Pour un paquet large, le développement au premier ordre échoue et il faut aller plus loin. Vérifier que le paquet est quasi-monochromatique avant de parler d'UNE vitesse de groupe.

⚠ Erreur 5 — Se tromper dans le calcul de dω/dk à partir d'une relation implicite. Pour

ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}

, dériver implicitement :

2 ω d ω = 2 c^{2} k d k

, donc

v_{g} = d ω / d k = c^{2} k / ω

. On vérifie alors

v_{φ} v_{g} = \frac{ω}{k} \cdot \frac{c ^{2} k}{ω} = c^{2}

: produit égal à

c^{2}

, relation à connaître pour le plasma. Ne pas confondre la dérivation implicite avec un simple quotient.

5. Pour aller plus loin

La dispersion clôt le bloc « ondes mécaniques » et prépare l'électromagnétisme et la quantique :

Ondes électromagnétiques dans les plasmas et conducteurs — la relation $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ y est établie ; réflexion des ondes radio par l'ionosphère, propagation dans les métaux.
Quantique — la fonction d'onde d'une particule libre est un paquet d'ondes dispersif ( $ω = ℏ k^{2} /2 m$ ) : sa vitesse de groupe est la vitesse classique de la particule, et son étalement traduit la délocalisation croissante.
Optique et télécommunications — dispersion chromatique des fibres, impulsions ultra-brèves, indice de groupe : applications directes de $v_{g}$ et de l'étalement.
Culture — vagues à la surface de l'eau ( $v_{g} = v_{φ} /2$ en eau profonde : les crêtes « traversent » le groupe), ondes gravitationnelles : la dispersion est partout.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir la relation de dispersion et distinguer milieu dispersif / non dispersif ?
Sais-tu définir la vitesse de phase v_φ = ω/k et ce qu'elle représente (crête) ?
Connais-tu des relations de dispersion types (ck ; plasma ω² = ω_p² + c²k² ; quantique ħk²/2m) ?
Sais-tu pourquoi v_φ > c ne viole pas la relativité ?
Sais-tu définir un paquet d'ondes (superposition, enveloppe, quasi-monochromatique) ?
Sais-tu démontrer que l'enveloppe avance à v_g = dω/dk (modèle des battements) ?
Sais-tu que v_g transporte l'énergie et l'information, avec v_g ≤ c ?
Sais-tu que l'étalement vient de l'ordre 2 (ω'') du développement de ω(k) ?
Sais-tu qu'un paquet initialement court s'étale plus vite (∼ ω''·t/Δx₀) ?
Sais-tu dérouler la méthode (dispersion → v_φ → v_g → étalement) ?
Sais-tu dériver v_g implicitement pour le plasma et retrouver v_φ·v_g = c² ?
Sais-tu que la vitesse de groupe n'a de sens que pour un paquet quasi-monochromatique ?

Démonstrations à savoir refaire

Vitesse de groupe — modèle des battements (deux ondes), puis développement de ω(k) à l'ordre 1
Étalement d'un paquet — terme d'ordre 2 ω'', dispersion des vitesses de groupe

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Relation de dispersion et vitesse de phase

2. Le paquet d'ondes et la vitesse de groupe

3. Étalement d'un paquet d'ondes

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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