Diffusion thermique

Vue d'ensemble

Comment la chaleur se propage-t-elle dans un solide — la poignée d'une casserole qui chauffe, un mur qui isole ? Par conduction thermique : de proche en proche, sans mouvement de matière. Ce transfert obéit à la loi de Fourier $j_{Q} = - λ grad T$ — le flux de chaleur descend le gradient de température (du chaud vers le froid). Couplée au premier principe (bilan d'énergie), elle donne l'équation de la diffusion thermique $\partial_{t} T = D Δ T$ , où $D = λ / (ρ c)$ est la diffusivité. Contrairement à une onde, la diffusion est irréversible et non propagative : le temps de diffusion croît comme le CARRÉ de la distance ( $τ \sim L^{2} / D$ ). En régime stationnaire, on retrouve une belle analogie électrique : la résistance thermique joue le rôle d'une résistance ohmique. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Diffusion thermique : vecteur densité de flux thermique, loi de Fourier et conductivité thermique ; bilan d'énergie et équation de la diffusion thermique (équation de la chaleur), diffusivité ; caractère irréversible et loi d'échelle

τ \sim L^{2} / D

; régime stationnaire, résistance thermique, analogie avec l'électrocinétique. (Diffusion unidirectionnelle ; pas de conditions aux limites convectives exigibles.)

Prérequis

Premier principe de la thermodynamique, capacité thermique
Analyse vectorielle : gradient, divergence, laplacien
Électrocinétique : loi d'Ohm, associations de résistances (pour l'analogie)

🎯 Accompagnement Majorant

L'équation de la chaleur se démontre en un bilan — et se lit comme une loi d'Ohm. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font dériver l'équation de diffusion (bilan + Fourier) et manier la résistance thermique jusqu'à l'automatisme, avec les réflexes d'ordre de grandeur attendus à l'oral.

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1. Loi de Fourier et équation de la chaleur

Définition 1.1 — Vecteur densité de flux thermique

Le vecteur densité de flux thermique $j_{Q}$ (W/m²) décrit le transport local d'énergie thermique. La puissance thermique traversant une surface $S$ est son flux :

P = \iint_{S} j_{Q} \cdot d S (en watts) .

$j_{Q}$ pointe dans le sens du transfert de chaleur (du chaud vers le froid).

Définition 1.2 — Loi de Fourier, conductivité thermique

La loi de Fourier (phénoménologique) relie le flux au gradient de température :

j_{Q} = - λ grad T,

où $λ > 0$ est la conductivité thermique du matériau (W·m⁻¹·K⁻¹). Le signe $-$ traduit le second principe : la chaleur va spontanément du chaud vers le froid, donc DESCEND le gradient. Un bon conducteur (métal, $λ \sim 100$ ) diffuse vite ; un isolant (air, laine, $λ \sim 0, 03$ ) freine le transfert.

Définition 1.3 — Diffusivité thermique

La diffusivité thermique regroupe les paramètres du matériau :

D = \frac{λ}{ρ c} (m^{2} \cdot s^{- 1}),

avec $ρ$ la masse volumique et $c$ la capacité thermique massique. $D$ mesure la RAPIDITÉ de diffusion : plus $D$ est grand, plus la température s'homogénéise vite. C'est la grandeur qui gouverne la dynamique.

Théorème 1.1 — Équation de la diffusion thermique ★ À savoir démontrer

En l'absence de source interne, la température obéit à l'équation de la chaleur :

\frac{\partial T}{\partial t} = D Δ T, D = \frac{λ}{ρ c} .

C'est une équation aux dérivées partielles du premier ordre en temps et second ordre en espace — d'où son caractère diffusif (et non propagatif comme d'Alembert, d'ordre 2 en temps).

Démonstration (bilan d'énergie sur une tranche)

Diffusion 1D selon $x$ , barre de section $S$ . Considérons la tranche entre $x$ et $x + d x$ . Pendant $d t$ , elle reçoit par conduction :

en $x$ , l'énergie entrante $j_{Q} (x) S d t$ ;
en $x + d x$ , l'énergie sortante $j_{Q} (x + d x) S d t$ .

Le bilan net reçu est $[j_{Q} (x) - j_{Q} (x + d x)] S d t = - \frac{\partial j _{Q}}{\partial x} S d x d t$ . Par le premier principe (pas de travail, pas de source), ceci égale la variation d'énergie interne $d U = ρ (S d x) c d T = ρ c S d x \frac{\partial T}{\partial t} d t$ . D'où :

ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j _{Q}}{\partial x} .

En injectant la loi de Fourier $j_{Q} = - λ \partial_{x} T$ : $ρ c \partial_{t} T = λ \partial_{xx} T$ , soit $\partial_{t} T = D \partial_{xx} T$ avec $D = λ / (ρ c)$ . En 3D, le même bilan (théorème de la divergence) donne $\partial_{t} T = D Δ T$ . CQFD.

⚠ Piège — Diffusion n'est pas propagation. L'équation de la chaleur est du PREMIER ordre en temps : il n'y a pas de « vitesse de propagation » de la chaleur, pas de solution en onde

f (x - v t)

. La diffusion est IRRÉVERSIBLE (changer

t \to - t

change l'équation) et non symétrique dans le temps — contrairement à l'équation de d'Alembert

\partial_{tt} = c^{2} \partial_{xx}

, réversible et propagative. Ne jamais parler de « vitesse » de la chaleur.

2. Régime stationnaire et résistance thermique

Définition 2.1 — Résistance thermique

En régime stationnaire, pour un système traversé par une puissance $P$ sous une différence de température $Δ T = T_{1} - T_{2}$ , la résistance thermique est :

R_{t h} = \frac{Δ T}{P} (K/W),

strict analogue de la loi d'Ohm $R = U / I$ . Correspondances : $Δ T \leftrightarrow U$ , $P \leftrightarrow I$ , $R_{t h} \leftrightarrow R$ . Les résistances thermiques s'associent en série et en parallèle comme les résistances électriques.

Théorème 2.1 — Profil stationnaire et résistance d'un mur ★ À savoir démontrer

En régime stationnaire 1D sans source, le profil de température est affine et la résistance d'un mur (épaisseur $L$ , section $S$ , conductivité $λ$ ) vaut :

T (x) = T_{1} + (T_{2} - T_{1}) \frac{x}{L}, R_{t h} = \frac{L}{λ S} .

Démonstration (équation stationnaire + loi de Fourier)

Profil : en stationnaire, $\partial_{t} T = 0$ , donc l'équation de la chaleur 1D donne $\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = 0$ : $T$ est AFFINE, $T (x) = a x + b$ . Les conditions $T (0) = T_{1}$ , $T (L) = T_{2}$ donnent $T (x) = T_{1} + (T_{2} - T_{1}) \frac{x}{L}$ .

Flux : $j_{Q} = - λ \frac{d T}{d x} = - λ \frac{T _{2} - T _{1}}{L} = λ \frac{T _{1} - T _{2}}{L}$ (constant, cohérent avec la conservation en stationnaire). La puissance à travers la section $S$ est $P = j_{Q} S = \frac{λ S}{L} (T_{1} - T_{2})$ .

Résistance : $R_{t h} = \frac{T _{1} - T _{2}}{P} = \frac{L}{λ S}$ . On lit l'analogie $R = ρ_{e} L / S$ de l'électricité, avec $1/ λ$ jouant le rôle de la résistivité. CQFD.

📐 Méthode-type — Résoudre un problème de conduction.

Régime ? Stationnaire ( $\partial_{t} T = 0$ ) → équation $Δ T = 0$ , profil affine en 1D. Transitoire → équation complète $\partial_{t} T = D Δ T$ .
Écrire le bilan / l'équation et intégrer avec les conditions aux limites (températures ou flux imposés aux bords).
Flux et résistance : calculer $j_{Q} = - λ grad T$ , puis $P$ et $R_{t h} = Δ T / P$ .
Associer les résistances (murs multicouches = série ; surfaces en parallèle) exactement comme en électrocinétique.

💡 Exemple — Double vitrage. Un double vitrage = deux vitres (

R_{1}, R_{3}

) séparées par une lame d'air (

R_{2}

), en SÉRIE :

R_{t h} = R_{1} + R_{2} + R_{3}

. Comme l'air est très isolant (

λ_{ai r} \approx 0, 025

contre

λ_{v er r e} \approx 1

), c'est la lame d'air qui domine la résistance — d'où l'efficacité du double vitrage. La puissance perdue est

P = Δ T / R_{t h}

: doubler

R_{t h}

divise par deux les pertes. Application directe de l'analogie électrique.

🧑‍🏫 L'analogie thermique-électrique au point

Résistance thermique, associations série/parallèle, ordres de grandeur : le trio des sujets de diffusion. Un mentor Majorant te fait traiter murs multicouches et régimes transitoires avec l'aisance d'un circuit électrique — jusqu'à ne plus jamais bloquer sur un bilan.

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3. Aspects temporels et loi d'échelle

Définition 2.2 — Temps caractéristique de diffusion

Le temps caractéristique pour que la chaleur diffuse sur une distance $L$ est :

τ \sim \frac{L ^{2}}{D} .

Le CARRÉ de la distance : diffuser deux fois plus loin prend quatre fois plus de temps. C'est la signature de tout phénomène diffusif (contre $τ \sim L / v$ pour une propagation). Corollaire : la diffusion est efficace à petite échelle, très lente à grande échelle.

Théorème 3.1 — Loi d'échelle par analyse dimensionnelle

La forme $τ \sim L^{2} / D$ découle directement de l'équation $\partial_{t} T = D Δ T$ : les deux membres ont pour ordre de grandeur $\frac{T}{τ}$ et $D \frac{T}{L ^{2}}$ . En les égalant :

\frac{T}{τ} \sim D \frac{T}{L ^{2}} ⟹ τ \sim \frac{L ^{2}}{D} .

Cette lecture dimensionnelle de l'équation est un réflexe de physicien : elle donne l'ordre de grandeur SANS résoudre. Ex. : pour une casserole ( $L \sim 5$ mm de fer, $D \sim 2 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$ ), $τ \sim (5 \times 1 0^{- 3})^{2} / (2 \times 1 0^{- 5}) \sim 1 s$ — la poignée chauffe vite.

⚠ Piège — La loi d'échelle est en L², pas en L. Beaucoup écrivent

τ \sim L / D

par analogie hâtive avec une vitesse. FAUX : dimensionnellement,

[D] = m^{2} /s

, donc

L^{2} / D

est bien un temps, alors que

L / D

ne l'est pas. Le facteur

L^{2}

est la marque de la diffusion — à ne jamais confondre avec la propagation linéaire en

L

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La diffusion thermique récompense les bilans propres et la rigueur dimensionnelle. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Oublier le signe moins de la loi de Fourier.

j_{Q} = - λ grad T

: le

-

est ESSENTIEL, il encode le second principe (chaleur du chaud vers le froid). L'oublier donne un flux qui remonterait le gradient — physiquement absurde et immédiatement sanctionné.

⚠ Erreur 2 — Confondre conductivité λ et diffusivité D.

λ

(W·m⁻¹·K⁻¹) régit le FLUX (loi de Fourier) et le régime stationnaire ;

D = λ / (ρ c)

(m²/s) régit la DYNAMIQUE (rapidité de diffusion). Deux matériaux peuvent avoir même

λ

mais des

D

différents. Bien distinguer selon la question.

⚠ Erreur 3 — Mal poser le bilan (oublier ρc ou la section). Le bilan d'énergie sur une tranche fait intervenir la capacité thermique

ρ c

et le volume

S d x

. Une erreur fréquente est d'oublier

ρ c

(l'énergie interne) ou de mélanger flux surfacique

j_{Q}

et puissance

P = j_{Q} S

. Toujours vérifier l'homogénéité de chaque terme du bilan.

⚠ Erreur 4 — Croire à une vitesse de la chaleur. L'équation étant du premier ordre en temps, il n'y a pas de front qui se propage à vitesse finie. Parler de « vitesse de propagation de la chaleur » est une faute conceptuelle : utiliser le temps caractéristique

τ \sim L^{2} / D

, pas une vitesse.

⚠ Erreur 5 — Additionner des résistances thermiques en parallèle comme en série. Murs empilés (le flux les traverse successivement) = SÉRIE :

R = \sum R_{i}

. Surfaces côte à côte (le flux se répartit) = PARALLÈLE :

1/ R = \sum 1/ R_{i}

. Se tromper d'association inverse le résultat — raisonner comme un circuit électrique, en suivant le chemin du flux.

5. Pour aller plus loin

La diffusion thermique est le prototype de tous les phénomènes de transport :

Diffusion de particules — la loi de Fick $j = - D grad n$ a la MÊME structure : même équation, mêmes méthodes.
Effet de peau — la pénétration d'un champ dans un conducteur est une diffusion (même $τ \sim L^{2} / D$ , même caractère irréversible).
Bilans radiatifs et convection — en physique de l'ingénieur, la conduction se couple au rayonnement et à la convection (résistances en série).
Ailettes et isolation — dimensionnement thermique des composants, un grand classique des sujets de SI et de physique appliquée.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir le vecteur densité de flux thermique et la puissance P = ∬ j_Q·dS ?
Sais-tu écrire la loi de Fourier j_Q = −λ grad T et justifier le signe moins ?
Sais-tu distinguer conductivité λ et diffusivité D = λ/(ρc) ?
Sais-tu démontrer l'équation de la chaleur ∂ₜT = D ΔT (bilan sur une tranche) ?
Sais-tu que l'équation est du 1er ordre en temps (diffusion, pas propagation) ?
Sais-tu que la diffusion est irréversible (t → −t change l'équation) ?
Sais-tu qu'en régime stationnaire 1D le profil est affine (ΔT = 0) ?
Sais-tu définir la résistance thermique R_th = ΔT/P et l'analogie avec la loi d'Ohm ?
Sais-tu démontrer R_th = L/(λS) pour un mur ?
Sais-tu associer les résistances thermiques (série / parallèle) ?
Connais-tu la loi d'échelle τ ∼ L²/D (le carré de la distance) ?
Sais-tu la retrouver par analyse dimensionnelle de l'équation ?

Démonstrations à savoir refaire

Équation de la chaleur — bilan d'énergie sur une tranche, loi de Fourier
Résistance thermique d'un mur — profil affine, flux, R_th = L/(λS)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Loi de Fourier et équation de la chaleur

2. Régime stationnaire et résistance thermique

3. Aspects temporels et loi d'échelle

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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