Thermodynamique : premier principe

Vue d'ensemble

Le premier principe de la thermodynamique est l'un des deux piliers du cours de thermo MPSI (l'autre étant le second principe, vu juste après). Il dit, en une seule équation, que l'énergie interne d'un système ne change que par échange avec l'extérieur, sous forme de travail ou de chaleur. Cette fiche regroupe les 9 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS comme en concours (la convention de signe, l'oubli du caractère quasi-statique, le mauvais coefficient $C_{v}$ ou $C_{p}$ …).

Au programme MPSI (officiel) — Énergie interne U d'un système fermé, travail des forces de pression W = −∫P_ext dV, transfert thermique Q, premier principe ΔU = W + Q, enthalpie H = U + PV, ΔH = Q en transformation monobare, capacités calorifiques C_v et C_p, cas du gaz parfait (U = nC_v T, H = nC_p T, relation de Mayer C_p − C_v = nR), transformations isotherme, isobare, isochore, adiabatique, loi de Laplace PV^γ = cte pour adiabatique réversible d'un GP.

Prérequis

Description d'un gaz parfait : équation d'état PV = nRT, modèle cinétique
Énergétique du point : travail d'une force, théorème de l'énergie cinétique
Calcul intégral : intégration d'une fonction continue, primitive de 1/V
Différentielle d'une fonction d'état : dU, dH, dV, dP (différences vs δW, δQ)

🎯 Accompagnement Majorant

La convention de signe W > 0 si reçu te fait perdre des points en DS ? C'est l'erreur n°1 du chapitre, sanctionnée chaque année par les correcteurs Mines-Ponts. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font systématiser la convention thermo et te font refaire les démos clés (Laplace, travail isotherme réversible) en séance ciblée.

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1. Énergie interne U et premier principe

Définition 1.1 — Énergie interne U d'un système

L'énergie interne $U$ d'un système thermodynamique est la somme de toutes les énergies microscopiques :

U = E_{c, micro} + E_{p, micro},

où $E_{c, micro}$ est la somme des énergies cinétiques d'agitation thermique de toutes les particules et $E_{p, micro}$ la somme des énergies potentielles d'interaction entre particules. $U$ est extensive (proportionnelle à la quantité de matière) et est une fonction d'état : sa variation $Δ U$ ne dépend que des états initial et final, pas du chemin suivi.

Définition 1.2 — Énergie interne du gaz parfait

Pour un gaz parfait, les particules n'interagissent pas ( $E_{p, micro} = 0$ ) et l'énergie cinétique microscopique ne dépend que de la température. On a donc, pour $n$ moles à la température $T$ :

U = n C_{v} T (1 ˆ re loi de Joule),

où $C_{v}$ est la capacité calorifique molaire à volume constant (en J·K⁻¹·mol⁻¹). En particulier, pour un GP, $U$ ne dépend que de $T$ — pas de $V$ ni de $P$ .

Définition 1.3 — Travail W reçu par le système

Le travail des forces de pression reçu par le système quand son volume varie de $d V$ sous une pression extérieure $P_{ext}$ est :

δ W = - P_{ext} d V, W = - \int_{V_{i}}^{V_{f}} P_{ext} d V .

Convention thermodynamique : $W > 0$ si le système reçoit du travail (compression : $dV < 0$ ) ; $W < 0$ si le système cède du travail à l'extérieur (détente : $dV > 0$ ). C'est l'opposé de la convention mécanique du système isolé.

⚠ Piège #1 du chapitre — la convention de signe. En thermo, tout est compté POUR le système :

W

est le travail reçu,

Q

la chaleur reçue. Si tu lis « le gaz fournit 100 J de travail à l'extérieur », alors

W = - 100

J. Le signe « moins » dans

W = - \int P_{ext} d V

vient précisément de cette convention : une détente (

dV &gt; 0

) fait perdre de l'énergie au système, d'où

W &lt; 0

. Mets-toi un post-it sur ta calculatrice — c'est l'erreur n°1 sanctionnée en Mines-Ponts et Centrale.

Définition 1.4 — Transfert thermique Q

Le transfert thermique $Q$ (ou « chaleur reçue ») est l'énergie transférée au système par contact thermique avec un thermostat ou un autre corps, sans déplacement macroscopique. Comme $W$ , $Q$ est compté algébriquement : $Q > 0$ si le système reçoit de la chaleur, $Q < 0$ sinon.

Contrairement à $U$ , $Q$ et $W$ ne sont PAS des fonctions d'état : ils dépendent du chemin suivi entre les deux états. On note souvent $δ Q$ et $δ W$ (différentielles non exactes), à distinguer de $d U$ , $d H$ (différentielles exactes).

Théorème 1.5 — Premier principe de la thermodynamique

Pour un système fermé subissant une transformation quelconque entre un état initial et un état final :

Δ U = W + Q ou en diff \overset{e}{ˊ} rentiel : d U = δ W + δ Q .

Lecture physique : l'énergie interne d'un système ne peut varier qu'en échangeant avec l'extérieur, sous l'une des deux formes mécaniquement distinctes : travail (déplacement macroscopique) ou chaleur (contact thermique).

⚠ Différentielle exacte vs inexacte.

d U

est exacte (intégrable indépendamment du chemin), mais

δ W

δ Q

ne le sont pas — d'où la notation

δ

. Écrire «

d Q

» ou «

d W

» est incorrect. Sur un cycle,

\oint d U = 0

mais

\oint δ W \neq = 0

\oint δ Q \neq = 0

en général.

2. Calcul du travail W selon la transformation

2.1 — Quatre cas à connaître par cœur

Proposition 2.1 — Travail dans une transformation isochore

Si $V = cte$ (transformation isochore), alors $d V = 0$ sur tout le chemin, donc :

W_{isochore} = - \int P_{ext} d V = 0.

Tout l'échange énergétique passe alors par la chaleur : $Δ U = Q$ .

Proposition 2.2 — Travail dans une transformation monobare

Si la pression extérieure est constante ( $P_{ext} = P_{0}$ , transformation monobare), on peut sortir $P_{0}$ de l'intégrale :

W = - P_{0} (V_{f} - V_{i}) = - P_{0} Δ V .

Cas particulier — transformation isobare : la pression du système lui-même est constante et égale à $P_{ext}$ tout au long, formule identique.

Théorème 2.3 — Travail réversible (quasi-statique mécanique)

Si la transformation est quasi-statique mécaniquement (à tout instant, la pression du système $P$ est définie et égale à $P_{ext}$ ), on peut remplacer $P_{ext}$ par $P$ dans la définition du travail :

W_{rev} = - \int_{V_{i}}^{V_{f}} P d V .

$P$ est alors une fonction du seul état du système (via l'équation d'état), ce qui rend l'intégrale calculable explicitement.

⚠ Piège — quasi-statique ≠ réversible. Une transformation quasi-statique est lente (équilibre mécanique à tout instant) ; une transformation réversible est de plus renversable (équilibre thermique aussi, pas de frottement, pas de dissipation). En MPSI on confond souvent les deux pour le calcul de

W

— c'est licite tant qu'on a

P = P_{ext}

, mais à mentionner explicitement.

2.2 — Travail isotherme réversible d'un gaz parfait

Théorème 2.4 — Travail isotherme réversible d'un GP ★ À savoir démontrer

Pour $n$ moles d'un gaz parfait subissant une transformation isotherme ( $T = cte$ ) et réversible entre des volumes $V_{i}$ et $V_{f}$ :

W_{iso} = - n R T ln (\frac{V _{f}}{V _{i}}) = n R T ln (\frac{V _{i}}{V _{f}}) = n R T ln (\frac{P _{f}}{P _{i}}) .

Démonstration (intégration directe avec PV = nRT)

Hypothèses : (i) GP donc $P V = n R T$ ; (ii) transformation réversible donc $P_{ext} = P$ à tout instant ; (iii) isotherme donc $T$ constant le long du chemin. On part de la définition du travail :

W = - \int_{V_{i}}^{V_{f}} P_{ext} d V = - \int_{V_{i}}^{V_{f}} P d V .

On exprime $P$ en fonction de $V$ via l'équation d'état du GP : $P = \frac{n R T}{V}$ . Comme $T$ est constant, on sort $n R T$ :

W = - \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{d V}{V} = - n R T [ln V]_{V_{i}}^{V_{f}} = - n R T ln (\frac{V _{f}}{V _{i}}) .

On peut réécrire en pressions : à $T$ fixé, $P_{i} V_{i} = P_{f} V_{f}$ , donc $V_{f} / V_{i} = P_{i} / P_{f}$ , d'où la forme $W = n R T ln (P_{f} / P_{i})$ . Vérification du signe : en détente isotherme ( $V_f > V_i$ ), $\ln(V_f/V_i) > 0$ donc $W < 0$ — le gaz cède du travail à l'extérieur, conforme à l'intuition.

💡 Exemple — Détente isotherme réversible. Une mole de GP à

T = 300

K passe de

V_{i} = 1

L à

V_{f} = 2

L. Alors

W = - n R T ln 2 \approx - 1729

J. Comme

Δ U = 0

(1^re loi de Joule), le 1^er principe donne

Q = - W \approx + 1729

J : le gaz reçoit cette chaleur du thermostat pour maintenir

T

constante en détente.

📐 Méthode-type — Calculer W et Q pour une transformation d'un GP.

Identifier la nature. Isotherme (T cte) ? Isobare (P cte) ? Isochore (V cte) ? Adiabatique (Q = 0) ? Réversible/irréversible ?
Calculer W. Utiliser la formule adaptée : $W = 0$ (isochore), $W = - P_{ext} Δ V$ (monobare), $W = - n R T ln (V_{f} / V_{i})$ (isotherme réversible GP), $W = Δ U$ (adiabatique).
Calculer ΔU. Pour un GP : $Δ U = n C_{v} (T_{f} - T_{i})$ . Si isotherme, $Δ U = 0$ .
Déduire Q par le 1er principe. $Q = Δ U - W$ . Vérifie le signe : Q > 0 si réception, Q < 0 si cession.
Vérification croisée. Pour une isobare, $Q = Δ H = n C_{p} Δ T$ — ça doit redonner le même résultat.

3. Enthalpie H et capacités calorifiques

Définition 3.1 — Enthalpie H

L'enthalpie du système est la fonction d'état définie par :

H = U + P V .

$H$ est une fonction d'état (somme et produit de fonctions d'état), extensive, et homogène à une énergie (en joules). Pour un gaz parfait, $P V = n R T$ donc $H = n C_{v} T + n R T = n (C_{v} + R) T = n C_{p} T$ — c'est la deuxième loi de Joule : $H$ du GP ne dépend que de $T$ .

Définition 3.2 — Capacités calorifiques

À volume constant : $C_{v} = (\frac{\partial U}{\partial T})_{V}$ , exprimée en J·K⁻¹·mol⁻¹ (molaire) ou J·K⁻¹·kg⁻¹ (massique).
À pression constante : $C_{p} = (\frac{\partial H}{\partial T})_{P}$ .
Coefficient adiabatique : $γ = \frac{C _{p}}{C _{v}}$ (sans dimension, > 1).

Pour un GP monoatomique : $C_{v} = \frac{3}{2} R$ , $C_{p} = \frac{5}{2} R$ , $γ = \frac{5}{3} \approx 1, 67$ . Pour un GP diatomique (à T ambiante, type N₂, O₂) : $C_{v} = \frac{5}{2} R$ , $C_{p} = \frac{7}{2} R$ , $γ = \frac{7}{5} = 1, 4$ .

Théorème 3.3 — Relation de Mayer (GP)

Pour un gaz parfait :

C_{p} - C_{v} = R (en molaire) .

Conséquence immédiate avec $γ = C_{p} / C_{v}$ : $C_{v} = \frac{R}{γ - 1}$ et $C_{p} = \frac{γ R}{γ - 1}$ — formules très utiles pour Laplace et pour les calculs énergétiques rapides.

Théorème 3.4 — En transformation isobare, ΔH = Q ★ À savoir démontrer

Pour un système fermé subissant une transformation isobare ( $P = P_{ext} = cte$ ), la chaleur reçue est exactement la variation d'enthalpie :

Q_{isobare} = Δ H = n C_{p} Δ T (pour un GP) .

Démonstration (à partir de H = U + PV et du 1er principe)

On part de la définition $H = U + P V$ et on différencie :

d H = d U + d (P V) = d U + P d V + V d P .

On injecte le premier principe $d U = δ W + δ Q$ avec $δ W = - P_{ext} d V$ :

d H = - P_{ext} d V + δ Q + P d V + V d P .

En isobare, $P = P_{ext}$ à tout instant et $d P = 0$ . Les termes $- P_{ext} d V$ et $+ P d V$ se compensent exactement, le terme $V d P$ disparaît, et il reste :

d H = δ Q ⟹ Δ H = Q_{isobare} .

Pour un gaz parfait, on ajoute la deuxième loi de Joule $H = n C_{p} T$ (à $n$ fixé), donc $Δ H = n C_{p} Δ T$ — et la chaleur isobare devient directement calculable à partir des températures.

Proposition 3.5 — Chaleur d'une isochore (GP)

En transformation isochore, $W = 0$ et donc, par le premier principe :

Q_{isochore} = Δ U = n C_{v} Δ T (pour un GP) .

Vérification croisée : en isochore, c'est $C_{v}$ qui apparaît ; en isobare, c'est $C_{p}$ . Ne jamais inverser — c'est le piège n°2 du chapitre.

⚠ Piège #2 — Cv vs Cp. En isochore

Q = n C_{v} Δ T

, en isobare

Q = n C_{p} Δ T

. Comme

C_p &gt; C_v

, il faut plus de chaleur pour chauffer un gaz à

P

cte qu'à

V

cte — parce qu'à

P

cte, une partie de

Q

sert à fournir le travail de dilatation

P Δ V

. Pense « Cp = Cv + travail de dilatation », c'est exactement Mayer pour le GP.

🧑‍🏫 Décortique ΔH = Q avec un mentor

La démo ΔH = Q en isobare paraît miraculeuse — mais c'est juste 3 lignes d'algèbre. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni X/Centrale, tu la refais au tableau les yeux fermés, et tu en profites pour boucler Laplace (idée identique : différencier U et coller le 1er principe).

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4. Quatre transformations particulières

Quatre transformations modèles sont à connaître par cœur, avec leurs caractéristiques, leur travail et leur chaleur. Le tableau de synthèse est plus bas.

4.1 — Isotherme, isobare, isochore, adiabatique

Isotherme ( $T = cte$ ) : GP donne $Δ U = Δ H = 0$ , donc $Q = - W$ . Si réversible : $W = - n R T ln (V_{f} / V_{i})$ .
Isobare ( $P = cte$ ) : $W = - P Δ V$ , $Q = Δ H = n C_{p} Δ T$ (GP), $Δ U = n C_{v} Δ T$ .
Isochore ( $V = cte$ ) : $W = 0$ , $Q = Δ U = n C_{v} Δ T$ (GP).
Adiabatique ( $Q = 0$ , système calorifugé ou transformation rapide) : $Δ U = W$ . Pour un GP : $W = n C_{v} Δ T$ (compression chauffe, détente refroidit).

4.2 — Loi de Laplace (adiabatique réversible d'un GP)

Théorème 4.1 — Loi de Laplace ★ À savoir démontrer

Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique et réversible, en notant $γ = C_{p} / C_{v}$ :

P V^{γ} = cte, T V^{γ - 1} = cte, T^{γ} P^{1 - γ} = cte .

Démonstration (1er principe + équation d'état + intégration)

Hypothèses : (i) GP, donc $P V = n R T$ et $d U = n C_{v} d T$ ; (ii) adiabatique, donc $δ Q = 0$ ; (iii) réversible, donc $δ W = - P d V$ avec $P$ pression du système.

Étape 1. On écrit le premier principe en différentiel :

d U = δ W + δ Q ⟹ n C_{v} d T = - P d V .

Étape 2. On élimine $d T$ en différenciant l'équation d'état $P V = n R T$ :

d (P V) = n R d T ⟹ P d V + V d P = n R d T ⟹ d T = \frac{P d V + V d P}{n R} .

En réinjectant dans $n C_{v} d T = - P d V$ :

\frac{C _{v}}{R} (P d V + V d P) = - P d V ⟹ C_{v} V d P = - (C_{v} + R) P d V .

Par la relation de Mayer, $C_{v} + R = C_{p}$ , donc :

\frac{d P}{P} = - \frac{C _{p}}{C _{v}} \frac{d V}{V} = - γ \frac{d V}{V} .

Étape 3. Intégration entre l'état initial et l'état final (transformation réversible, on intègre le long du chemin quasi-statique) :

ln (\frac{P _{f}}{P _{i}}) = - γ ln (\frac{V _{f}}{V _{i}}) ⟹ \frac{P _{f}}{P _{i}} = (\frac{V _{i}}{V _{f}})^{γ} ⟹ P_{i} V_{i}^{γ} = P_{f} V_{f}^{γ} .

D'où $P V^{γ} = cte$ . Les deux autres formes ( $T V^{γ - 1} = cte$ , $T^{γ} P^{1 - γ} = cte$ ) s'en déduisent en réinjectant $P V = n R T$ .

📝 Représentation graphique (diagramme de Clapeyron P–V). Une isotherme est une hyperbole

P = n R T / V

; une adiabatique réversible est aussi une courbe décroissante, mais plus pentue que l'isotherme passant par le même point (car

\gamma &gt; 1

). En détente adiabatique, le gaz se refroidit ; en compression adiabatique, il chauffe (intuition du moteur Diesel : la compression seule suffit à enflammer le carburant).

📝 Synthèse — GP, transformations modèles. Isotherme rév. :

W = - n R T ln (V_{f} / V_{i})

Q = - W

Δ U = Δ H = 0

. Isobare :

W = - P Δ V

Q = Δ H = n C_{p} Δ T

Δ U = n C_{v} Δ T

. Isochore :

W = 0

Q = Δ U = n C_{v} Δ T

Δ H = n C_{p} Δ T

. Adiabatique rév. :

Q = 0

W = Δ U = n C_{v} Δ T

P V^{γ} = cte

5. Applications — moteur thermique et machine frigorifique

Le premier principe est l'outil de base pour comprendre les machines thermiques : moteurs (qui convertissent de la chaleur en travail) et machines frigorifiques (qui déplacent de la chaleur d'une source froide vers une source chaude au prix d'un travail reçu).

5.1 — Cycle thermodynamique

Définition 5.1 — Cycle

Un cycle est une transformation qui ramène le système à son état initial. Sur un cycle, toute fonction d'état revient à sa valeur initiale, donc $Δ U = 0$ et $Δ H = 0$ . Le premier principe donne immédiatement :

W_{cycle} + Q_{cycle} = 0 ⟹ W_{cycle} = - Q_{cycle} .

Cas moteur : sur un cycle, le système reçoit de la chaleur nette $Q_{\text{cycle}} > 0$ et fournit du travail au monde extérieur $W_{\text{cycle}} < 0$ . Cas frigo : on inverse les signes.

5.2 — Cycle de Otto (moteur à essence 4 temps)

💡 Cycle de Otto — moteur à essence 4 temps. Modélisation idéale, fluide GP, quatre étapes :

1 → 2 : compression adiabatique réversible ( $P_{1} V_{1}^{γ} = P_{2} V_{2}^{γ}$ ) ;
2 → 3 : combustion isochore (étincelle de la bougie, $V$ fixé, $T$ saute, $Q_{h} = n C_{v} (T_{3} - T_{2})$ ) ;
3 → 4 : détente adiabatique réversible (« temps moteur », $W < 0$ ) ;
4 → 1 : refroidissement isochore (échappement, $Q_c = nC_v(T_1 - T_4) < 0$ ).

Rendement théorique :

η = 1 - 1/ r^{γ - 1}

où

r = V_{1} / V_{2}

est le taux de compression. Pour

r = 10

γ = 1, 4

η \approx 60%

5.3 — Machine frigorifique (inverse de Carnot)

💡 Machine frigorifique — inverse de Carnot. Un fluide caloporteur (HFC, ammoniac) décrit un cycle dans le sens horaire inverse au diagramme P–V. Le système reçoit du travail (

W &gt; 0

, compresseur électrique), prend de la chaleur

Q_f &gt; 0

à la source froide (intérieur du réfrigérateur) et cède

Q_c &lt; 0

à la source chaude (la pièce). Bilan cyclique :

W + Q_{f} + Q_{c} = 0

. Efficacité (COP) :

ε = Q_{f} / W

, typiquement entre 2 et 5.

📝 Pourquoi un cycle ? Une isotherme réversible convertit en théorie 100% de la chaleur reçue en travail (

W = - Q

)… mais l'état final diffère de l'état initial. Pour produire du travail en continu, il faut une machine cyclique — et le second principe (chapitre suivant) impose alors

\eta &lt; 1

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de thermo. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre la convention thermo (W reçu) avec la convention mécanique (W exercé). En thermo,

W = - \int P_{ext} d V

compte POUR le système. En compression,

W &gt; 0

. En détente,

W &lt; 0

. Beaucoup d'élèves importent la convention mécanique (W = travail des forces extérieures sur le centre de masse) et inversent les signes. Toujours commencer par écrire explicitement la convention au début de la copie.

⚠ Erreur 2 — Appliquer la loi de Laplace à une adiabatique IRréversible.

P V^{γ} = cte

suppose adiabatique ET réversible (la démo utilise

δ W = - P d V

avec

P

pression du système, ce qui exige la quasi-staticité). Pour une adiabatique irréversible (détente brutale de Joule-Gay-Lussac par exemple), Laplace ne s'applique PAS — il faut repartir du 1er principe avec

δ W = - P_{ext} d V

et la donnée de

P_{ext}

⚠ Erreur 3 — Inverser Cv et Cp. Isochore → Cv. Isobare → Cp. Mnémotechnique : « V comme V_olume constant pour C_v ». L'erreur typique : écrire

Q = n C_{v} Δ T

pour une isobare et perdre 1 à 2 points sur l'application numérique.

⚠ Erreur 4 — Oublier que U et H sont des fonctions d'état. Si l'énoncé demande

Δ U

entre deux états (i) et (f) d'un GP, la réponse est

n C_{v} (T_{f} - T_{i})

quel que soit le chemin suivi. Pas besoin de recalculer pour chaque branche du chemin — c'est exactement le sens de « fonction d'état ». L'erreur consiste à intégrer pas à pas alors qu'on a la formule globale.

⚠ Erreur 5 — Écrire « dQ » ou « dW ». Q et W ne sont pas des fonctions d'état, leurs différentielles sont notées

δ Q

δ W

. L'usage de

d

(différentielle exacte) est réservé à U, H, V, P, T, S… L'erreur paraît mineure mais elle est sanctionnée en colle et indique au correcteur que le chapitre n'est pas digéré.

7. Pour aller plus loin

Le premier principe est la base sur laquelle se construit tout le reste de la thermo MPSI puis spé. Les chapitres qui le réinvestissent directement :

Second principe et entropie — Le 1er principe dit ce qui se conserve, le 2nd dit ce qui est interdit (transformer 100% de chaleur en travail sur un cycle, transférer spontanément de la chaleur du froid vers le chaud). L'entropie S formalise cette flèche du temps.
Machines thermiques (cycles Carnot, Beau de Rochas, Stirling, frigo) — Étude quantitative des rendements et des efficacités, à partir de ΔU = W + Q appliqué sur chaque branche du cycle.
Diffusion thermique (équation de la chaleur, spé) — Modélise le transfert Q comme un flux d'énergie par conduction. Bilan local d'énergie via le 1er principe sur un volume élémentaire.
Changements d'état (spé) — Chaleur latente $L = Δ h_{transition}$ , équilibre liquide-vapeur, formule de Clapeyron. Tout repose sur dH = δQ en transformation isobare (ce qu'on a démontré dans cette fiche).

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire le premier principe $Δ U = W + Q$ et expliquer la convention de signe (W et Q comptés pour le système) ?
Sais-tu calculer le travail W d'une transformation isobare, isochore, isotherme réversible d'un GP, adiabatique ?
Sais-tu démontrer $W = - n R T ln (V_{f} / V_{i})$ en isotherme réversible d'un GP ?
Connais-tu la définition de l'enthalpie $H = U + P V$ et la 2^e loi de Joule pour le GP ?
Sais-tu démontrer que $Δ H = Q$ en transformation isobare ?
Connais-tu la relation de Mayer $C_{p} - C_{v} = R$ et les valeurs (3/2 R, 5/2 R) pour le GP monoatomique ?
Sais-tu démontrer la loi de Laplace $P V^{γ} = cte$ à partir du 1er principe et de l'équation d'état ?
Sais-tu identifier les 4 transformations modèles (iso T, iso P, iso V, adiabatique) et donner W et Q pour chacune ?
Sais-tu expliquer pourquoi $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ sur un cycle ?
Sais-tu décrire les 4 étapes du cycle de Otto et donner son rendement $η = 1 - 1/ r^{γ - 1}$ ?
Sais-tu pourquoi Laplace ne s'applique PAS à une adiabatique irréversible ?
Sais-tu distinguer $δ W$ , $δ Q$ (différentielles inexactes) et $d U$ , $d H$ (fonctions d'état) ?

Démonstrations à savoir refaire

Travail isotherme réversible d'un GP — intégrer $P = n R T / V$ entre $V_{i}$ et $V_{f}$ à T constant
ΔH = Q en transformation isobare — différencier $H = U + P V$ , injecter le 1er principe, utiliser $d P = 0$ et $P = P_{ext}$
Loi de Laplace $P V^{γ} = cte$ — 1er principe + équation d'état + Mayer + intégration de $d P / P = - γ d V / V$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Énergie interne U et premier principe

2. Calcul du travail W selon la transformation

2.1 — Quatre cas à connaître par cœur

2.2 — Travail isotherme réversible d'un gaz parfait

3. Enthalpie H et capacités calorifiques

4. Quatre transformations particulières

4.1 — Isotherme, isobare, isochore, adiabatique

4.2 — Loi de Laplace (adiabatique réversible d'un GP)

5. Applications — moteur thermique et machine frigorifique

5.1 — Cycle thermodynamique

5.2 — Cycle de Otto (moteur à essence 4 temps)

5.3 — Machine frigorifique (inverse de Carnot)

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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