Propagation d'un signal

Vue d'ensemble

La propagation d'un signal est le premier vrai chapitre d'ondes de ta scolarité : il pose le vocabulaire (amplitude, période, fréquence, pulsation, phase), introduit l'objet central de toute la physique ondulatoire — l'onde progressive — et culmine sur l'équation de d'Alembert qui régira ton année de spé en optique, électromagnétisme et physique quantique. Cette fiche regroupe les 10 résultats incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS, en colle et en concours.

Au programme MPSI (officiel) — Signal sinusoïdal (amplitude, période, fréquence, pulsation, phase, déphasage). Représentation complexe. Onde progressive 1D, célérité, équation de d'Alembert (admise). OPPM : longueur d'onde, double périodicité spatio-temporelle. Ondes sonores : vitesse, intensité, niveau sonore (dB). Spectre d'un signal périodique : Fourier (qualitatif). Interférences à deux ondes cohérentes : conditions constructive/destructive. Ondes stationnaires (qualitatif). Paquet d'ondes. Diffraction à l'infini (qualitatif).

Prérequis

Trigonométrie : $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ , formules de Simpson (somme/produit)
Exponentielle complexe $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ et notation phaseur
Dérivées partielles $\partial / \partial t$ et $\partial / \partial x$ (vues en math)
Analyse dimensionnelle : repérer la cohérence d'une équation aux dimensions $[L], [T], [M]$

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1. Signal et signal sinusoïdal

Définition 1.1 — Signal physique

Un signal est une grandeur physique $s (t)$ (tension, pression, hauteur d'eau, intensité lumineuse…) dépendant du temps. Lorsqu'il dépend aussi d'une variable d'espace, on le note $s (x, t)$ (signal spatio-temporel).

Définition 1.2 — Signal sinusoïdal

Un signal est dit sinusoïdal (ou harmonique) s'il s'écrit :

s (t) = A cos (ω t + φ),

avec $A > 0$ l'amplitude (même unité que $s$ ), $ω > 0$ la pulsation (en $rad \cdot s^{- 1}$ ) et $φ \in R$ la phase à l'origine (en radians).

Définition 1.3 — Période, fréquence, pulsation

Période $T$ : plus petite durée telle que $s (t + T) = s (t)$ pour tout $t$ . Unité : seconde (s).
Fréquence $ν = 1/ T$ (ou parfois notée $f$ ). Unité : hertz (Hz).
Pulsation $ω = 2 π / T = 2 π ν$ . Unité : $rad \cdot s^{- 1}$ .

Les trois grandeurs sont reliées par :

ω = \frac{2 π}{T} = 2 π ν .

⚠ Piège #1 du chapitre — fréquence vs pulsation. Beaucoup d'élèves écrivent

s (t) = A cos (ν t)

au lieu de

A cos (ω t)

. C'est faux dimensionnellement :

ν t

est en

Hz \cdot s =

sans unité, mais l'argument du cosinus doit être en radians — et

ν = 1/ T

ne donne pas un argument en radians sur une période. Mémo : « 2π pour faire un tour » ⇒ ω = 2π/T, et c'est ω (pas ν) qui entre dans

cos

Définition 1.4 — Déphasage entre deux signaux

Soient $s_{1} (t) = A_{1} cos (ω t + φ_{1})$ et $s_{2} (t) = A_{2} cos (ω t + φ_{2})$ deux signaux sinusoïdaux de même pulsation. Leur déphasage est :

Δ φ = φ_{2} - φ_{1} (mod 2 π) .

$Δ φ = 0 (mod 2 π)$ : signaux en phase
$Δ φ = π (mod 2 π)$ : signaux en opposition de phase
$Δ φ = \pm π /2 (mod 2 π)$ : signaux en quadrature

💡 Exemple — Lire un déphasage à l'oscilloscope. Sur deux voies, un décalage temporel

τ

entre les passages par zéro donne

Δ φ = 2 π τ / T (mod 2 π)

. Décalage

T /4

⇒ déphasage

π /2

; décalage

T /2

⇒ opposition de phase. Regarder qui passe le premier pour fixer le signe.

2. Représentation complexe d'un signal

Définition 2.1 — Signal complexe associé

À tout signal sinusoïdal $s (t) = A cos (ω t + φ)$ on associe le signal complexe :

\underline{s} (t) = A e^{i (ω t + φ)} = \underline{A} e^{iω t}, avec \underline{A} = A e^{i φ} .

$\underline{A}$ est l'amplitude complexe (ou phaseur). On retrouve le signal réel par $s (t) = Re (\underline{s} (t))$ .

Proposition 2.2 — Pourquoi passer en complexe ?

Dérivation et intégration deviennent des multiplications/divisions :

\frac{d s}{d t} = iω \underline{s} (t), \int \underline{s} (t) d t = \frac{s ( t )}{iω} .

Les équations différentielles linéaires à coefficients constants se ramènent à des équations algébriques en $\underline{A}$ — c'est tout l'intérêt du passage en complexe (et on l'utilisera intensivement en électrocinétique en régime sinusoïdal).

📐 Méthode-type — Résoudre une équation différentielle en régime sinusoïdal forcé.

Chercher une solution sinusoïdale de même pulsation $ω$ que l'excitation.
Passer en complexe : $s (t) \to \underline{s} (t) = \underline{A} e^{iω t}$ , avec $\frac{d}{d t} \to iω$ , $\frac{d ^{2}}{d t ^{2}} \to - ω^{2}$ .
Résoudre algébriquement en $\underline{A}$ , puis revenir au réel : $s (t) = ∣ \underline{A} ∣ cos (ω t + ar g \underline{A})$ .

Colonne vertébrale de l'électrocinétique du second semestre.

⚠ Piège. Le passage en complexe ne marche que pour les opérations linéaires. Calculer une puissance moyenne

⟨ s^{2} ⟩

ou un produit

s_{1} \cdot s_{2}

en complexe et prendre la partie réelle donne un résultat faux. Pour les produits, on revient au réel ou on utilise la formule

⟨ s_{1} s_{2} ⟩ = \frac{1}{2} Re (\underline{s_{1}} \underline{s_{2}}^{*})

3. Onde progressive et équation de d'Alembert

3.1 — Modèle de l'onde progressive

Définition 3.1 — Onde progressive à 1D

$ψ (x, t)$ est une onde progressive de célérité $c > 0$ vers les $x$ croissants s'il s'écrit $ψ (x, t) = f (t - x / c) = g (x - c t)$ , avec $f$ (ou $g$ ) une fonction quelconque d'une variable. Vers les $x$ décroissants : $ψ (x, t) = h (x + c t)$ .

📝 Interprétation. Si le profil à

t = 0

est

g (x)

, alors à l'instant

t

c'est

g (x - c t)

: exactement le même profil, décalé de $c t$ vers la droite. La forme se propage sans déformation à la vitesse

c

— c'est ce qui distingue une onde d'un phénomène local.

3.2 — Équation de d'Alembert

Théorème 3.2 — Équation de d'Alembert (admise) ★ À savoir démontrer

Toute onde progressive à 1D de célérité $c$ (dans un sens ou dans l'autre) vérifie l'équation aux dérivées partielles de d'Alembert :

\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} .

Réciproquement, la solution générale de cette équation est :

ψ (x, t) = f (x - c t) + g (x + c t),

somme d'une onde progressive « vers la droite » et d'une onde progressive « vers la gauche ».

Démonstration (sens direct : onde progressive ⇒ d'Alembert)

Soit $ψ (x, t) = g (x - c t)$ . Posons $u = x - c t$ . Par la règle de dérivation composée :

\frac{\partial ψ}{\partial x} = g^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = g^{'} (u), \frac{\partial ψ}{\partial t} = g^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial t} = - c g^{'} (u) .

En dérivant une seconde fois :

\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} = g^{''} (u), \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial t ^{2}} = - c \cdot (- c) g^{''} (u) = c^{2} g^{''} (u) .

On a donc bien $\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}}$ . Idem pour $f (x + c t)$ par le même calcul. Par linéarité de l'équation, toute combinaison $ψ = f (x - c t) + g (x + c t)$ est solution.

Réciproque (schéma) : on effectue le changement de variables $u = x - c t, v = x + c t$ . L'équation se transforme en $\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial u \partial v} = 0$ , dont les solutions sont exactement $ψ = f (u) + g (v) = f (x - c t) + g (x + c t)$ .

Proposition 3.3 — Linéarité et principe de superposition

L'équation de d'Alembert est linéaire : toute combinaison $λ_{1} ψ_{1} + λ_{2} ψ_{2}$ de solutions est solution. C'est le principe de superposition, fondement des interférences et de Fourier.

3.3 — Onde progressive sinusoïdale (OPPM)

Définition 3.4 — Onde progressive plane monochromatique (OPPM)

Une OPPM de pulsation $ω$ se propageant vers les $x$ croissants s'écrit $ψ (x, t) = A cos (ω t - k x + φ)$ , avec $k = ω / c$ le nombre d'onde (en $rad \cdot m^{- 1}$ ). Forme équivalente : $ψ (x, t) = A cos (ω (t - x / c) + φ)$ .

Théorème 3.5 — Longueur d'onde ★ À savoir démontrer

La longueur d'onde $λ$ est la période spatiale de l'OPPM. Elle vérifie :

λ = c T = \frac{c}{ν} = \frac{2 π}{k} .

Démonstration (par double périodicité)

Soit $ψ (x, t) = A cos (ω t - k x + φ)$ . À $t$ fixé, $ψ$ est une fonction sinusoïdale de $x$ : sa période spatiale $λ$ est la plus petite valeur telle que $ψ (x + λ, t) = ψ (x, t)$ , soit :

cos (ω t - k (x + λ) + φ) = cos (ω t - k x + φ),

ce qui équivaut à $k λ = 2 π (mod 2 π)$ . La plus petite valeur positive donne :

λ = \frac{2 π}{k} .

Comme $k = ω / c$ et $ω = 2 π / T$ , on obtient $λ = 2 π c / ω = c T = c / ν$ .

Proposition 3.6 — Double périodicité spatio-temporelle

Une OPPM est doublement périodique :

À position fixée, $ψ (x_{0}, t)$ est périodique en $t$ de période $T$ .
À instant fixé, $ψ (x, t_{0})$ est périodique en $x$ de période $λ$ .

Ces deux périodicités sont reliées par $λ = c T$ .

⚠ Piège fréquent — sens de propagation. Le signe relatif entre

ω t

k x

donne le sens :

cos (ω t - k x)

⇒ onde vers les

x

croissants ;

cos (ω t + k x)

⇒ onde vers les

x

décroissants. Mnémonique : « signes opposés ⇒ sens avant ». Vérification : suivre la phase

ω t - k x = cte

donne

x = (ω / k) t = c t

, bien croissant en

t

4. Ondes sonores

Définition 4.1 — Onde sonore

Une onde sonore est une perturbation de pression $p (x, t)$ (autour de la pression atmosphérique $p_{0}$ ) se propageant dans un fluide (gaz, liquide). C'est une onde longitudinale : la perturbation est parallèle à la direction de propagation.

Proposition 4.2 — Vitesse du son

Quelques ordres de grandeur à connaître par cœur :

Dans l'air à 20 °C : $c_{air} \approx 340 m \cdot s^{- 1}$
Dans l'eau : $c_{eau} \approx 1500 m \cdot s^{- 1}$
Dans l'acier : $c_{acier} \approx 5000 m \cdot s^{- 1}$

Dans un gaz parfait, $c = γ R T / M$ (hors-prog MPSI, mais l'expression revient en spé thermo).

Définition 4.3 — Intensité sonore et niveau sonore

L'intensité sonore $I$ est la puissance acoustique reçue par unité de surface (en $W \cdot m^{- 2}$ ). Le niveau sonore $L$ (en décibels, dB) est défini par :

L = 10 lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}}), I_{0} = 1 0^{- 12} W \cdot m^{- 2},

où $I_{0}$ est le seuil de l'audition à 1 kHz (référence conventionnelle).

💡 Exemple — Doubler l'intensité ≠ doubler le niveau sonore. Si

I \to 2 I

Δ L = 10 lo g_{10} (2) \approx 3 dB

. Pour

10 \times

plus intense :

+ 10 dB

; pour

100 \times

+ 20 dB

. Le décibel est logarithmique — un concert à 110 dB n'est « que » 30 dB au-dessus d'une conversation animée (80 dB), mais l'intensité est en réalité

1000 \times

plus grande.

⚠ Piège. Les niveaux sonores en dB ne s'additionnent pas. Pour sommer les contributions de deux sources incohérentes, additionne les intensités

I_{tot} = I_{1} + I_{2}

, puis recalcule

L_{tot} = 10 lo g_{10} (I_{tot} / I_{0})

. Deux sources à 60 dB donnent 63 dB (pas 120 dB !).

5. Spectre d'un signal périodique (analyse de Fourier qualitative)

Théorème 5.1 — Décomposition de Fourier (admise, qualitatif)

Tout signal $s (t)$ périodique de période $T$ (et suffisamment régulier) se décompose en somme infinie de signaux sinusoïdaux dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale $ν_{1} = 1/ T$ :

s (t) = a_{0} + n = 1 \sum + \infty a_{n} cos (n ω_{1} t) + b_{n} sin (n ω_{1} t), ω_{1} = \frac{2 π}{T} .

$ν_{1}$ est le fondamental, $n ν_{1}$ ( $n \geq 2$ ) sont les harmoniques.

Définition 5.2 — Spectre d'un signal

Le spectre d'un signal périodique est la représentation graphique de l'amplitude $a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ en fonction de la fréquence $n ν_{1}$ . C'est un spectre de raies (peignes de Dirac), espacées de $ν_{1}$ .

📝 Lire un spectre. Sinusoïdal pur ⇒ une seule raie à

ν

; périodique non sinusoïdal (créneau, triangle) ⇒ peigne à

ν, 2 ν, 3 ν, \dots

; non périodique ⇒ spectre continu (TF, vue en spé). Oreille humaine : ~20 Hz à ~20 kHz. La hauteur d'un son musical = fondamental ; le timbre = répartition des harmoniques.

🧑‍🏫 Décortique Fourier avec un mentor

L'analyse de Fourier est partout en spé : optique, électromagnétisme, physique quantique. En MPSI on en voit le squelette qualitatif, mais bien comprendre « spectre = projection sur une base de sinusoïdes » dès maintenant te fait gagner des mois en spé. Une séance avec un alumni X-ENS et tout s'éclaire.

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6. Interférences à deux ondes

Définition 6.1 — Sources cohérentes

Deux sources ponctuelles sont cohérentes si elles émettent des signaux sinusoïdaux de même pulsation $ω$ et présentant un déphasage constant dans le temps. Hors cohérence, le déphasage fluctue trop vite et les interférences « moyennent » à zéro (incohérence).

Théorème 6.2 — Conditions d'interférence ★ À savoir démontrer

Soient deux signaux sinusoïdaux cohérents de même amplitude $A$ et de déphasage $Δ φ$ au point d'observation :

s_{1} (t) = A cos (ω t), s_{2} (t) = A cos (ω t + Δ φ) .

La somme $s = s_{1} + s_{2}$ est une sinusoïde de même pulsation $ω$ et d'amplitude :

A_{tot} = 2 A cos (\frac{Δ φ}{2}) .

Interférence constructive ( $A_{tot}$ maximale $= 2 A$ ) : $Δ φ = 2 k π, k \in Z$ .
Interférence destructive ( $A_{tot} = 0$ ) : $Δ φ = (2 k + 1) π, k \in Z$ .

Démonstration (par formule de Simpson)

On utilise l'identité trigonométrique :

cos p + cos q = 2 cos (\frac{p + q}{2}) cos (\frac{p - q}{2}) .

Avec $p = ω t$ et $q = ω t + Δ φ$ :

s (t) = A [cos (ω t) + cos (ω t + Δ φ)] = 2 A cos (ω t + \frac{Δ φ}{2}) cos (\frac{Δ φ}{2}) .

Le facteur $cos (ω t + Δ φ /2)$ est une sinusoïde de même pulsation $ω$ ; le facteur $2 A cos (Δ φ /2)$ est une amplitude constante en temps mais qui dépend du déphasage. Son module vaut $A_{tot} = 2 A ∣ cos (Δ φ /2) ∣$ .

$A_{tot}$ est maximale ( $= 2 A$ ) quand $cos (Δ φ /2) = \pm 1$ , soit $Δ φ /2 = k π$ , donc $Δ φ = 2 k π$ . $A_{tot}$ est nulle quand $cos (Δ φ /2) = 0$ , soit $Δ φ /2 = π /2 + k π$ , donc $Δ φ = (2 k + 1) π$ .

Définition 6.3 — Différence de marche

Pour deux sources cohérentes $S_{1}, S_{2}$ en phase, à distance $r_{1}, r_{2}$ du point d'observation $M$ , la différence de marche est $δ = r_{2} - r_{1}$ et le déphasage en $M$ vaut $Δ φ = (2 π / λ) δ = k δ$ . D'où :

Constructive : $δ = nλ, n \in Z$
Destructive : $δ = (n + 1/2) λ, n \in Z$

💡 Exemple — Fentes d'Young (vu qualitativement en MPSI, détaillé en spé). Deux fentes parallèles distantes de

a

, éclairées par une source monochromatique de longueur d'onde

λ

, donnent sur un écran à distance

D

une figure de franges rectilignes équidistantes. L'interfrange (distance entre deux franges brillantes consécutives) vaut

i = λ D / a

. En MPSI tu retiens : plus $a$ est petit, plus l'interfrange est grand ; plus $λ$ est petite (bleu vs rouge), plus l'interfrange est petit.

⚠ Piège. La condition «

δ = nλ

» n'est valable que si les deux sources sont en phase. Si les sources émettent avec un déphasage initial

φ_{0}

, le déphasage total au point

M

est

Δ φ = \frac{2 π}{λ} δ + φ_{0}

, et la condition constructive devient

δ = (n - φ_{0} /2 π) λ

. À ne pas oublier en présence d'une lame ou d'un déphasage à la réflexion.

7. Ondes stationnaires, paquet d'ondes et diffraction

7.1 — Ondes stationnaires

Définition 7.1 — Onde stationnaire

Une onde stationnaire est une onde dont la dépendance en $x$ et $t$ se factorise : $ψ (x, t) = f (x) \cdot g (t)$ . Elle ne se propage pas : vibration sur place, avec des nœuds ( $f (x) = 0$ ) et des ventres (vibration max).

Proposition 7.2 — Onde stationnaire comme superposition

Deux OPPM de même amplitude en sens opposés produisent une onde stationnaire :

A cos (ω t - k x) + A cos (ω t + k x) = 2 A cos (k x) cos (ω t),

factorisation $f (x) = 2 A cos (k x)$ , $g (t) = cos (ω t)$ .

📝 Modes propres et corde vibrante. Sur une corde de longueur

L

fixée aux deux bouts (nœuds en

x = 0, L

), les ondes stationnaires possibles ont

λ_{n} = 2 L / n

ν_{n} = n c / (2 L)

n \in N^{*}

: ce sont les modes propres. C'est ce qui donne aux instruments à cordes leurs notes discrètes (fondamental + harmoniques entiers).

7.2 — Paquet d'ondes

Définition 7.3 — Paquet d'ondes

Un paquet d'ondes est la superposition d'OPPM de pulsations voisines autour d'une pulsation centrale $ω_{0}$ . Le résultat est une onde localisée dans l'espace, qui se propage globalement à la vitesse de groupe $v_{g} = d ω / d k$ , à distinguer de la vitesse de phase $v_{φ} = ω / k$ . Dans un milieu non dispersif, $v_{g} = v_{φ} = c$ ; dans un milieu dispersif (eau pour la houle, verre pour la lumière), $v_{g} \neq = v_{φ}$ et l'enveloppe (l'information) avance à $v_{g}$ . Sujet phare de spé.

7.3 — Diffraction (qualitative)

Définition 7.4 — Diffraction

La diffraction est le phénomène par lequel une onde, en rencontrant un obstacle ou une ouverture de taille $a$ comparable à sa longueur d'onde $λ$ , s'étale angulairement de l'autre côté. L'angle caractéristique de diffraction est :

θ \sim \frac{λ}{a} .

📝 Conséquences à retenir.

a ≫ λ

: pas (ou peu) de diffraction, optique géométrique.

a \sim λ

a < λ

: diffraction marquée. C'est pourquoi un son grave contourne un obstacle plus facilement qu'un son aigu, et pourquoi la lumière (

λ

très petite) donne des ombres nettes — sauf à passer par une fente très étroite.

📐 Méthode-type — Reconnaître le régime ondulatoire d'une expérience.

Identifier $λ = c / ν$ et la taille caractéristique $a$ (ouverture, fente, obstacle).
Comparer : $a ≫ λ$ ⇒ régime géométrique ; $a \sim λ$ ⇒ diffraction marquée, angle $\sim λ / a$ .
Deux ouvertures distantes de $d$ ⇒ interférences avec interfrange $\sim λ D / d$ .

Mémo-cadre : « diffraction = étalement, interférences = motif structuré ». Young combine les deux : enveloppe de diffraction + peigne d'interférences.

8. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des ondes. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Écrire $λ = c ν$ au lieu de $λ = c / ν$ . Erreur d'inversion classique. Vérification dimensionnelle :

[c / ν] = m \cdot s^{- 1} / s^{- 1} = m

, bien une longueur ;

[c \cdot ν] = m \cdot s^{- 2}

, absurde. Toujours vérifier la dimension.

⚠ Erreur 2 — Confondre vitesse de phase et célérité. En MPSI

c = v_{φ} = ω / k

. Mais dans un milieu dispersif, la vitesse à laquelle se propage l'énergie est

v_{g} = d ω / d k \neq = v_{φ}

. À l'écrit, justifier le milieu non dispersif ou citer explicitement « vitesse de phase ».

⚠ Erreur 3 — Oublier le facteur $2 π$ entre $T$ et $ω$ , $λ$ et $k$ . Beaucoup écrivent

ω = 1/ T

k = 1/ λ

au lieu de

2 π / T

2 π / λ

. Confusion avec

ν = 1/ T

(sans

2 π

). Mémo : « la lettre grecque mange le

2 π

».

⚠ Erreur 4 — Sommer des décibels comme des intensités. Deux sources à 60 dB ne donnent pas 120 dB. Repasser en intensité :

I_{tot} = 2 I \Rightarrow L_{tot} = 60 + 10 lo g_{10} (2) \approx 63 dB

⚠ Erreur 5 — Passer en complexe sur une grandeur quadratique. Calculer

s_{1} \cdot s_{2}

⟨ s^{2} ⟩

avec les complexes et prendre la partie réelle donne un résultat faux. Le formalisme est linéaire uniquement. Utiliser

⟨ s_{1} s_{2} ⟩ = \frac{1}{2} Re (\underline{s_{1}} \underline{s_{2}}^{*})

ou repasser au réel.

9. Pour aller plus loin

Ce chapitre est le squelette de toute la physique ondulatoire que tu rencontreras en MPSI, en spé et au-delà. Les chapitres qui le réinvestissent directement :

Optique physique (MPSI / spé) — Interférences à 2 ondes (Young, Michelson) et diffraction (fente, réseau) sont l'extension directe des sections 6 et 7.3.
Électrocinétique en régime sinusoïdal forcé (MPSI) — La représentation complexe (section 2) y est l'outil n°1 : impédances, fonctions de transfert, filtres.
Électromagnétisme dans le vide (spé) — Maxwell aboutit à d'Alembert sur $E$ et $B$ , avec $c = 1/ ε_{0} μ_{0}$ .
Physique quantique (spé) — La fonction d'onde $ψ (x, t)$ est un paquet d'ondes ; $v_{g}$ y est la vitesse classique de la particule.
Acoustique (spé) — Les ondes sonores obéissent à d'Alembert sur la surpression, dérivée d'Euler linéarisée.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la définition d'un signal sinusoïdal $s (t) = A cos (ω t + φ)$ et donner les unités de $A, ω, φ$ ?
Connais-tu les trois relations $ω = 2 π / T = 2 π ν$ et $λ = c T = c / ν = 2 π / k$ ?
Sais-tu passer un signal sinusoïdal en représentation complexe et résoudre une équation différentielle linéaire en régime forcé ?
Sais-tu énoncer la forme générale d'une onde progressive $f (t - x / c)$ et démontrer qu'elle vérifie l'équation de d'Alembert ?
Sais-tu retrouver $λ = c T$ à partir de la double périodicité ?
Connais-tu les ordres de grandeur de la vitesse du son dans l'air, l'eau, l'acier ?
Sais-tu calculer un niveau sonore et expliquer pourquoi 60 dB + 60 dB ≈ 63 dB ?
Sais-tu démontrer la condition d'interférences constructive (Δφ = 2kπ) et destructive (Δφ = (2k+1)π) avec la formule de Simpson ?
Sais-tu relier différence de marche $δ$ et déphasage $Δ φ = 2 π δ / λ$ ?
Sais-tu reconnaître une onde stationnaire à sa factorisation $ψ (x, t) = f (x) g (t)$ et identifier nœuds/ventres ?
Sais-tu donner l'angle caractéristique de diffraction $θ \sim λ / a$ et trancher entre régime géométrique et régime ondulatoire ?
Connais-tu les 5 erreurs classiques (λ vs c/ν, phase vs groupe, oubli du 2π, sommer des dB, complexe sur quadratique) ?

Démonstrations à savoir refaire

Onde progressive vérifie d'Alembert — changement de variable $u = x - c t$ , dérivation composée
Longueur d'onde $λ = c T$ — périodicité spatiale d'une OPPM, $k λ = 2 π$
Conditions d'interférence — formule de Simpson, $A_{tot} = 2 A ∣ cos (Δ φ /2) ∣$