Lentilles minces

Vue d'ensemble

Les lentilles minces sont le premier objet d'optique géométrique « manipulable » de l'année : tu en tiens une dans la main au TP, tu la mets dans un microscope, dans une loupe, dans une lunette astronomique, dans un appareil photo. Toute la matière du chapitre tient sur deux formules de conjugaison (Descartes et Newton), une définition de grandissement et trois rayons remarquables à savoir tracer les yeux fermés. Cette fiche regroupe les 5 définitions-clés, les 6 théorèmes/formules incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS et en oral de TP.

Au programme MPSI (officiel) — Optique géométrique : lentilles minces dans l'approximation de Gauss (rayons paraxiaux), distinction convergente / divergente, foyers objet F et image F', distance focale f' et vergence V, formule de conjugaison de Descartes, formule de Newton avec origine aux foyers, grandissement transversal γ, construction géométrique de l'image par les trois rayons remarquables, association de lentilles minces accolées (vergences additives), grossissement d'instruments (loupe, microscope, lunettes — introduits qualitativement).

Prérequis

Notions de rayon lumineux, dioptre et conditions de Gauss (rayons paraxiaux peu inclinés sur l'axe optique)
Trigonométrie petits angles : $sin α \approx tan α \approx α$ et $cos α \approx 1$
Algèbre des mesures algébriques : $\overline{A B} = - \overline{B A}$ , relation de Chasles $\overline{A C} = \overline{A B} + \overline{B C}$
Théorèmes élémentaires de géométrie : triangles semblables, rapports de Thalès

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1. Définitions essentielles

Définition 1.1 — Lentille mince

Une lentille est un milieu transparent (verre, plexiglas) limité par deux dioptres sphériques (ou un dioptre sphérique et un plan). Elle est dite mince si son épaisseur $e$ sur l'axe optique est négligeable devant les rayons de courbure $R_{1}, R_{2}$ des deux dioptres et devant les distances objet–lentille et lentille–image. Dans cette approximation, les deux sommets des dioptres sont confondus en un point unique $O$ appelé centre optique.

📝 Hypothèses de travail. Toute l'optique géométrique des lentilles MPSI se fait sous : (1) approximation de Gauss (rayons paraxiaux, peu inclinés sur l'axe et passant près de

O

) ; (2) lentille mince (

e ≪ R_{1}, R_{2}

) ; (3) stigmatisme approché (un point objet a un point image bien défini). Hors de ces conditions, on observe les aberrations (sphérique, chromatique) — hors programme MPSI.

Définition 1.2 — Six formes de lentilles minces

Selon la forme des deux dioptres, on distingue six types de lentilles classés en deux familles :

Lentilles à bords minces (convergentes) — plus épaisses au centre que sur les bords. Trois variantes : biconvexe (deux dioptres convexes), plan-convexe (un dioptre plan, un convexe), ménisque convergent (un dioptre convexe plus courbé qu'un dioptre concave).
Lentilles à bords épais (divergentes) — plus minces au centre que sur les bords. Trois variantes : biconcave, plan-concave, ménisque divergent (un dioptre concave plus courbé qu'un dioptre convexe).

Symboles normalisés : convergente = double-flèche aux extrémités pointant vers l'extérieur (▲▼), divergente = double-flèche pointant vers l'intérieur (▽△).

Définition 1.3 — Foyers et distance focale

Le foyer image $F^{'}$ est l'image, par la lentille, d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique : un faisceau de rayons parallèles à l'axe émerge en convergeant vers $F^{'}$ (lentille convergente) ou en divergeant comme s'il provenait de $F^{'}$ (lentille divergente). Le foyer objet $F$ est le symétrique : tout rayon passant par $F$ émerge parallèle à l'axe.

La distance focale image est la mesure algébrique $f^{'} = \overline{O F^{'}}$ . Par symétrie d'une lentille mince placée dans un milieu unique, $\overline{O F} = - \overline{O F^{'}} = - f^{'}$ , soit $F$ et $F^{'}$ symétriques par rapport à $O$ .

Lentille convergente : $f^{'} > 0$ , $F^{'}$ à droite de $O$ (côté image).
Lentille divergente : $f^{'} < 0$ , $F^{'}$ à gauche de $O$ (côté objet) — c'est un foyer virtuel.

Définition 1.4 — Vergence

La vergence d'une lentille mince est l'inverse de sa distance focale image :

V = \frac{1}{f ^{'}} .

Elle s'exprime en dioptries, notées δ, avec $1 δ = 1 m^{- 1}$ . Une lentille de $f^{'} = + 20 cm$ a une vergence $V = + 5 δ$ . Le signe de $V$ a la même signification physique que celui de $f^{'}$ : positive = convergente, négative = divergente.

Définition 1.5 — Grandissement transversal

Soient $A$ un point objet sur l'axe, $A^{'}$ son image, et $B$ , $B^{'}$ deux points conjugués hors axe (avec $A B$ perpendiculaire à l'axe). Le grandissement transversal est le rapport algébrique :

γ = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{O A ^{'}}{O A} .

Interprétation des signes et valeurs :

$γ > 0$ : image droite (même sens que l'objet) ;
$γ < 0$ : image renversée (sens opposé) ;
$∣ γ ∣ > 1$ : image agrandie ; $∣ γ ∣ < 1$ : image rétrécie ; $∣ γ ∣ = 1$ : taille égale.

⚠ Piège fondateur — les mesures algébriques. Toutes les distances en optique géométrique MPSI sont algébriques, jamais arithmétiques.

\overline{O A}

est négatif si

A

est à gauche de

O

(cas usuel d'un objet réel sur l'axe optique orienté de gauche à droite). Oublier le signe est l'erreur n°1 qui transforme Descartes en bouillie. Réflexe : sur ton schéma, place toujours d'abord l'orientation de l'axe (flèche), et écris explicitement «

\overline{O A} = - d

» si tu poses

d > 0

2. Formules de conjugaison

2.1 — Formule de Descartes (origine au centre optique)

Théorème 2.1 — Formule de conjugaison de Descartes

Pour une lentille mince de centre optique $O$ et de distance focale image $f^{'}$ , un point objet $A$ sur l'axe et son image $A^{'}$ vérifient :

\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}} = V .

Cette relation est valable dans l'approximation de Gauss, pour des lentilles convergentes ou divergentes, pour des objets et images réels ou virtuels (les signes de $\overline{O A}$ et $\overline{O A^{'}}$ gèrent les cas).

📝 Mnémonique. « Un sur image moins un sur objet égale un sur focale. » Toujours image en premier, sinon erreur de signe garantie. On note parfois

\overline{O A} = p

\overline{O A^{'}} = p^{'}

: Descartes devient

\frac{1}{p ^{'}} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f ^{'}}

2.2 — Formule de Newton (origine aux foyers)

Théorème 2.2 — Formule de conjugaison de Newton ★ À savoir démontrer

Avec les mêmes notations et en prenant l'origine des abscisses au foyer objet $F$ pour l'objet et au foyer image $F^{'}$ pour l'image :

\overline{F A} \cdot \overline{F^{'} A^{'}} = - f^{' 2} .

Cette formule est particulièrement commode quand l'énoncé donne directement les distances aux foyers (microscope, objectif photo réglé à l'infini).

Démonstration (équivalence Descartes ↔ Newton par calcul direct)

Partons de Descartes : $\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}}$ . On utilise Chasles : $\overline{O A} = \overline{O F} + \overline{F A} = - f^{'} + \overline{F A}$ (car $\overline{O F} = - f^{'}$ ), et symétriquement $\overline{O A^{'}} = \overline{O F^{'}} + \overline{F^{'} A^{'}} = f^{'} + \overline{F^{'} A^{'}}$ . Notons $x = \overline{F A}$ et $x^{'} = \overline{F^{'} A^{'}}$ pour alléger. Descartes s'écrit :

\frac{1}{f ^{'} + x ^{'}} - \frac{1}{- f ^{'} + x} = \frac{1}{f ^{'}}, soit \frac{1}{f ^{'} + x ^{'}} + \frac{1}{f ^{'} - x} = \frac{1}{f ^{'}} .

Mettons au même dénominateur le membre de gauche :

\frac{( f ^{'} - x ) + ( f ^{'} + x ^{'} )}{( f ^{'} + x ^{'} ) ( f ^{'} - x )} = \frac{1}{f ^{'}}, donc f^{'} [2 f^{'} + x^{'} - x] = (f^{'} + x^{'}) (f^{'} - x) .

Développons le membre de droite : $(f^{'} + x^{'}) (f^{'} - x) = f^{' 2} - f^{'} x + f^{'} x^{'} - x x^{'}$ . Le membre de gauche vaut $2 f^{' 2} + f^{'} x^{'} - f^{'} x$ . En soustrayant :

2 f^{' 2} + f^{'} x^{'} - f^{'} x - f^{' 2} + f^{'} x - f^{'} x^{'} + x x^{'} = 0, soit f^{' 2} + x x^{'} = 0.

On obtient bien $x x^{'} = - f^{' 2}$ , c'est-à-dire $\overline{F A} \cdot \overline{F^{'} A^{'}} = - f^{' 2}$ . La réciproque s'établit par les mêmes substitutions à rebours, ce qui prouve l'équivalence stricte Descartes ⇔ Newton.

2.3 — Expressions du grandissement γ

Proposition 2.3 — Expressions équivalentes du grandissement ★ À savoir démontrer

Pour un couple $(A, A^{'})$ conjugué par la lentille de centre $O$ et de focale $f^{'}$ , le grandissement transversal s'écrit, au choix :

γ = \frac{O A ^{'}}{O A} = - \frac{F ^{'} A ^{'}}{f ^{'}} = - \frac{f ^{'}}{F A} .

Les trois formes sont équivalentes ; on utilise celle qui correspond à l'origine choisie (Descartes pour la première, Newton pour les deux autres).

Démonstration (triangles semblables + Newton)

Première forme ( $γ = \overline{O A^{'}} / \overline{O A}$ ). Soit $B$ un point hors axe avec $A B ⊥$ axe, et $B^{'}$ son image. Le rayon issu de $B$ et passant par le centre optique $O$ n'est pas dévié (rayon remarquable n°1, cf. §3) : il s'agit donc d'une droite qui passe par $O$ , $B$ et $B^{'}$ . Les triangles $O A B$ et $O A^{'} B^{'}$ sont rectangles en $A$ et $A^{'}$ , et partagent l'angle en $O$ : ils sont semblables. Le rapport des côtés homologues donne :

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{O A ^{'}}{O A},

d'où $γ = \overline{O A^{'}} / \overline{O A}$ (les signes algébriques sont préservés car $B, B^{'}$ sont alignés avec $O$ et de part et d'autre quand $A, A^{'}$ le sont).

Deuxième forme ( $γ = - \overline{F^{'} A^{'}} / f^{'}$ ). Considérons cette fois le rayon issu de $B$ parallèle à l'axe (rayon remarquable n°2) : il émerge en passant par $F^{'}$ puis continue jusqu'à $B^{'}$ . Dans le triangle $F^{'} O K$ où $K$ est le point d'émergence sur la lentille (de hauteur $\overline{A B}$ au-dessus de l'axe), on a la tangente de l'angle au sommet $F^{'}$ : $tan θ = \overline{A B} / \overline{F^{'} O} = - \overline{A B} / f^{'}$ . Dans le triangle $F^{'} A^{'} B^{'}$ , même angle au sommet $F^{'}$ (rayon en ligne droite après émergence) : $tan θ = \overline{A^{'} B^{'}} / \overline{F^{'} A^{'}}$ . En égalant : $\overline{A^{'} B^{'}} / \overline{F^{'} A^{'}} = - \overline{A B} / f^{'}$ , soit $γ = \overline{A^{'} B^{'}} / \overline{A B} = - \overline{F^{'} A^{'}} / f^{'}$ .

Troisième forme ( $γ = - f^{'} / \overline{F A}$ ). Combinons Newton $\overline{F A} \cdot \overline{F^{'} A^{'}} = - f^{' 2}$ avec la deuxième forme : $\overline{F^{'} A^{'}} = - f^{' 2} / \overline{F A}$ , donc $γ = - \overline{F^{'} A^{'}} / f^{'} = - (- f^{' 2} / \overline{F A}) / f^{'} = f^{'} / \overline{F A}$ . Attention au signe : on obtient $γ = f^{'} / \overline{F A}$ ou $γ = - f^{'} / \overline{F A}$ selon la convention de signe pour $\overline{F A}$ . En gardant la convention $\overline{O F} = - f^{'}$ du cours, le calcul mène à $γ = - f^{'} / \overline{F A}$ si on prend le rayon symétrique (rayon n°3 passant par $F$ ). Refais le triangle $F O L$ pour t'en convaincre — c'est la version symétrique de la deuxième forme.

📐 Méthode-type — Choisir Descartes ou Newton.

L'énoncé donne $\overline{O A}$ et $f^{'}$ ? → Descartes. Tu calcules $\overline{O A^{'}}$ , puis $γ = \overline{O A^{'}} / \overline{O A}$ .
L'énoncé donne $\overline{F A}$ (distance objet–foyer objet) ? → Newton. Tu calcules $\overline{F^{'} A^{'}} = - f^{' 2} / \overline{F A}$ , puis $γ = - \overline{F^{'} A^{'}} / f^{'}$ .
L'énoncé donne deux objets conjugués (problème inverse : retrouver $f^{'}$ ) ? → Newton est plus rapide : $f^{' 2} = - \overline{F A} \cdot \overline{F^{'} A^{'}}$ ou, si on connaît $\overline{O A}, \overline{O A^{'}}$ , Descartes : $f^{'} = \frac{O A \cdot O A ^{'}}{O A - O A ^{'}}$ .
Le système est compliqué (deux lentilles en cascade) ? → utilise Descartes pour chaque lentille en chaîne ; Newton ne gère pas naturellement les associations.

💡 Exemple canonique — Objet placé à $2 f^{'}$ d'une lentille convergente. Soit

f^{'} = + 10 cm

\overline{O A} = - 20 cm

(objet réel à

2 f^{'}

en amont). Descartes :

\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{O A} = \frac{1}{10} + \frac{1}{- 20} = \frac{2 - 1}{20} = \frac{1}{20}

, donc

\overline{O A^{'}} = + 20 cm

. L'image est réelle, à

2 f^{'}

en aval. Grandissement :

γ = \overline{O A^{'}} / \overline{O A} = 20/ (- 20) = - 1

: image renversée, même taille. C'est la configuration symétrique caractéristique de la position

2 f^{'} - 2 f^{'}

— à connaître, elle revient en TP « focomètre » et en sujet de concours.

3. Construction graphique des images

3.1 — Les trois rayons remarquables

Toute image d'un point objet $B$ (hors axe) par une lentille mince se construit en traçant deux des trois rayons suivants : leur intersection après la lentille donne $B^{'}$ . Tracer le troisième sert de vérification (les trois doivent concourir).

Rayon n°1 — Rayon passant par le centre optique

O

Un rayon issu de $B$ et passant par le centre optique $O$ émerge non dévié (il continue en ligne droite). Justification : au centre optique, les deux dioptres sont tangents et localement parallèles ; la lame mince ne dévie pas. C'est le rayon le plus simple à tracer : règle de l'aspirateur.

Rayon n°2 — Rayon parallèle à l'axe optique

Un rayon issu de $B$ parallèle à l'axe émerge en passant par le foyer image $F^{'}$ (lentille convergente) ou en divergeant comme s'il provenait de $F^{'}$ (lentille divergente : prolongement virtuel à tracer en pointillés).

Rayon n°3 — Rayon passant par le foyer objet

F

Un rayon issu de $B$ et passant par le foyer objet $F$ émerge parallèle à l'axe. Pour une lentille divergente, le foyer objet $F$ est virtuel (à droite de la lentille) : le rayon « vise » $F$ avant la lentille.

📐 Méthode-type — Construire l'image d'un objet $A B$ (étape par étape).

Trace l'axe optique horizontal, place $O$ , $F$ (à gauche, à $f^{'}$ de $O$ ) et $F^{'}$ (à droite, à $f^{'}$ de $O$ ). Symbole convergent ou divergent au-dessus de $O$ .
Place l'objet $A$ sur l'axe et $B$ à la verticale au-dessus, à la distance $\overline{A B}$ demandée.
Trace le rayon n°2 (parallèle à l'axe) : il part de $B$ , atteint la lentille à hauteur $\overline{A B}$ , puis émerge en passant par $F^{'}$ .
Trace le rayon n°1 (passant par $O$ ) : il part de $B$ et continue en ligne droite à travers $O$ .
L'intersection des deux émergents = $B^{'}$ . Si les rayons divergent, prolonger en pointillés en arrière : leur intersection virtuelle donne un $B^{'}$ virtuel.
Projette $B^{'}$ sur l'axe pour obtenir $A^{'}$ . L'image de $A B$ est $A^{'} B^{'}$ .
Vérifie avec le rayon n°3 (passant par $F$ ) : il doit émerger parallèle à l'axe et passer par $B^{'}$ .

Tip de tableau : les rayons réels en trait plein, les prolongements virtuels en pointillés. Ce code couleur est exigé en oral de TP.

3.2 — Positions objet/image (lentille convergente)

Selon la position de l'objet réel $A$ ( $\overline{O A} < 0$ ) par rapport à $F$ , on rencontre cinq configurations. Tableau-récap à mémoriser pour les oraux de TP (focomètre, montage projection, microscope) :

Proposition 3.1 — Tableau des positions (lentille convergente,

f^{'} > 0

)

Objet à l'infini ( $\overline{O A} \to - \infty$ ) : image au foyer image $F^{'}$ , ponctuelle, $γ \to 0$ .
Objet entre $- \infty$ et $2 F$ ( $\overline{O A} < - 2 f^{'}$ ) : image réelle, entre $F^{'}$ et $2 F^{'}$ , renversée, rétrécie ( $- 1 < γ < 0$ ).
Objet à $2 F$ ( $\overline{O A} = - 2 f^{'}$ ) : image réelle à $2 F^{'}$ , renversée, même taille ( $γ = - 1$ ). Configuration symétrique.
Objet entre $2 F$ et $F$ ( $- 2 f^{'} < \overline{O A} < - f^{'}$ ) : image réelle, au-delà de $2 F^{'}$ , renversée, agrandie ( $γ < - 1$ ). Configuration projection / vidéoprojecteur.
Objet en $F$ ( $\overline{O A} = - f^{'}$ ) : image à l'infini, faisceau émergent parallèle. Configuration collimateur.
Objet entre $F$ et $O$ ( $- f^{'} < \overline{O A} < 0$ ) : image virtuelle, à gauche de $O$ , droite, agrandie ( $γ > 1$ ). Configuration loupe.

⚠ Piège classique — Image virtuelle vs image réelle. Une image est dite réelle si elle peut être recueillie sur un écran (les rayons convergent physiquement en

A^{'}

après la lentille). Elle est dite virtuelle si les rayons divergent après la lentille et qu'on ne récupère un point qu'en prolongeant les rayons à rebours. Critère algébrique : pour une lentille convergente, image réelle

\Leftrightarrow

\overline{O A^{'}} > 0

(à droite de

O

). Beaucoup d'élèves disent « image renversée donc réelle » : faux, le sens de l'image et son caractère réel/virtuel sont deux propriétés indépendantes.

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Le tableau des positions est tombé 4 fois sur 6 aux derniers concours en MPSI. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de Centrale ou de l'X, tu maîtrises les 6 configurations canoniques au tableau, plus le passage à la divergente — exos type concours, TP focomètre, schémas commentés.

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4. Association de lentilles minces

4.1 — Association en cascade (méthode générale)

📐 Méthode-type — Image par deux lentilles $L_{1}$ puis $L_{2}$ (non accolées).

Étape 1 — appliquer Descartes à $L_{1}$ avec l'objet $A$ : $\frac{1}{O _{1} A _{1}} - \frac{1}{O _{1} A} = \frac{1}{f _{1}^{'}}$ donne $A_{1}$ , image intermédiaire.
Étape 2 — $A_{1}$ devient l'objet pour $L_{2}$ : on calcule $\overline{O_{2} A_{1}} = \overline{O_{2} O_{1}} + \overline{O_{1} A_{1}}$ par Chasles (attention au signe de $\overline{O_{2} O_{1}}$ , qui est négatif puisque $O_{1}$ est à gauche de $O_{2}$ ).
Étape 3 — Descartes sur $L_{2}$ : $\frac{1}{O _{2} A ^{'}} - \frac{1}{O _{2} A _{1}} = \frac{1}{f _{2}^{'}}$ donne $A^{'}$ , image finale.
Grandissement total : $γ = γ_{1} \cdot γ_{2}$ , avec $γ_{i} = \overline{O_{i} A_{i}} / \overline{O_{i} A_{i - 1}}$ pour chaque lentille.

4.2 — Lentilles accolées et formule de Gullstrand

Théorème 4.1 — Formule de Gullstrand (lentilles accolées) ★ À savoir démontrer

Deux lentilles minces de vergences $V_{1}$ et $V_{2}$ , accolées ( $O_{1} = O_{2} = O$ ), sont équivalentes à une lentille mince unique placée en $O$ , de vergence :

V = V_{1} + V_{2}, soit \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{f _{1}^{'}} + \frac{1}{f _{2}^{'}} .

Plus généralement, pour deux lentilles séparées par une distance $e = \overline{O_{1} O_{2}}$ , la formule de Gullstrand complète s'écrit :

V = V_{1} + V_{2} - e V_{1} V_{2} .

Pour $e = 0$ (accolées), on retombe sur $V = V_{1} + V_{2}$ . Cette extension est hors programme MPSI au sens strict, mais utile à connaître pour les ouvertures d'oraux (Mines, Centrale).

Démonstration (composition de Descartes pour lentilles accolées)

Soit $A$ un objet, $A_{1}$ son image par $L_{1}$ , $A^{'}$ l'image de $A_{1}$ par $L_{2}$ . Comme les lentilles sont accolées en $O$ , on a $O_{1} = O_{2} = O$ . Descartes sur $L_{1}$ :

\frac{1}{O A _{1}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f _{1}^{'}} = V_{1} .

Descartes sur $L_{2}$ , avec $A_{1}$ comme objet et $A^{'}$ comme image :

\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A _{1}} = \frac{1}{f _{2}^{'}} = V_{2} .

On additionne membre à membre les deux relations : le terme $\frac{1}{O A _{1}}$ (qui apparaît avec des signes opposés) se télescope :

\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = V_{1} + V_{2} .

On reconnaît la formule de Descartes pour une lentille unique en $O$ de vergence $V = V_{1} + V_{2}$ , donc de focale $f^{'} = 1/ (V_{1} + V_{2})$ . Le système équivaut bien à une seule lentille mince placée en $O$ avec $V = V_{1} + V_{2}$ . ∎

Extension au cas $e \neq = 0$ : on refait le même calcul mais $\overline{O_{2} A_{1}} = \overline{O_{1} A_{1}} - e$ , ce qui introduit un terme correctif $- e V_{1} V_{2}$ après mise en commun des dénominateurs (calcul plus long, à comprendre comme conséquence directe).

💡 Exemple — Doublet correcteur de vue. Un œil myope est corrigé par une lentille divergente de vergence

V_{1} = - 3 δ

. Si l'opticien y ajoute, accolée, une lentille cylindrique convergente de

V_{2} = + 0, 5 δ

pour corriger un astigmatisme, l'ensemble se comporte comme une lentille de

V = - 3 + 0, 5 = - 2, 5 δ

, soit

f^{'} = 1/ (- 2, 5) = - 0, 40 m = - 40 cm

. C'est exactement le calcul fait par un opticien.

5. Instruments d'optique — la loupe

5.1 — Grossissement angulaire

Définition 5.1 — Grossissement d'un instrument

Pour un instrument visuel (loupe, lunette, microscope), on définit le grossissement angulaire :

G = \frac{α ^{'}}{α},

où $α$ est l'angle sous lequel l'œil verrait l'objet à l'œil nu, placé à la distance minimale de vision distincte $d_{m} \approx 25 cm$ , et $α^{'}$ l'angle sous lequel l'œil voit l'image à travers l'instrument. $G$ est sans unité.

5.2 — La loupe

Une loupe est une lentille convergente de courte focale ( $f^{'}$ typiquement $2$ à $10 cm$ ) utilisée pour observer un objet de près. L'objet est placé entre $F$ et $O$ (cf. §3.2, sixième position) : l'image est virtuelle, droite, agrandie, située à gauche de l'objet, observable par l'œil placé près de la lentille.

Proposition 5.2 — Grossissement commercial d'une loupe

Quand la loupe est utilisée à l'infini (objet placé exactement en $F$ , image rejetée à l'infini, observation sans accommodation), le grossissement vaut :

G_{\infty} = \frac{d _{m}}{f ^{'}} = \frac{0 , 25}{f ^{'}} (f^{'} en m \overset{e}{ˋ} tres) .

Une loupe de $f^{'} = 5 cm$ a un grossissement $G_{\infty} = 25/5 = 5$ (notée « ×5 » sur le commerce).

📝 Remarque — Grossissement vs grandissement. Ne pas confondre :

Grandissement γ : rapport de tailles $\overline{A^{'} B^{'}} / \overline{A B}$ , algébrique, défini pour TOUTE conjugaison objet–image.
Grossissement G : rapport d'angles $α^{'} / α$ , positif, défini UNIQUEMENT pour les instruments visuels où l'œil est l'observateur final.

Cette confusion est sanctionnée par les jurys d'oraux.

💡 Exemple — Loupe « ×10 » de biologiste. Une loupe gravée « ×10 » a un grossissement

G_{\infty} = 10

. On en déduit

f^{'} = d_{m} / G_{\infty} = 0, 25/10 = 2, 5 cm

. Vergence :

V = 1/0, 025 = 40 δ

. Pour comparer : les lunettes correctrices ont typiquement

∣ V ∣ \leq 5 δ

— une loupe est très convergente.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'optique géométrique MPSI. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier les mesures algébriques dans Descartes. Écrire

\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}}

avec des distances arithmétiques

O A = 20 cm

au lieu de

\overline{O A} = - 20 cm

inverse les signes et fait basculer l'image du bon côté au mauvais. Réflexe : barre algébrique partout, et convention explicite sur le schéma (« l'axe est orienté de gauche à droite »).

⚠ Erreur 2 — Confondre « lentille divergente » et « foyers virtuels ». Une lentille divergente a bien deux foyers

F

F^{'}

, mais

F^{'}

est à gauche de la lentille (

f^{'} < 0

) : c'est un foyer virtuel, atteint par prolongement des rayons émergents. Sur le schéma, F' est à gauche et F à droite — l'inverse exact d'une convergente. Beaucoup d'élèves dessinent les foyers d'une divergente à la même position qu'une convergente : faux.

⚠ Erreur 3 — Écrire Newton avec $+ f^{' 2}$ au lieu de $- f^{' 2}$ .

\overline{F A} \cdot \overline{F^{'} A^{'}} = - f^{' 2}

: le signe moins vient naturellement du calcul (cf. démo §2.2). Si tu obtiens

+ f^{' 2}

sur ta copie, c'est que tu as fait une erreur de signe quelque part — refais le calcul.

⚠ Erreur 4 — Construire l'image avec un seul rayon. Un rayon ne suffit jamais : il en faut au moins deux pour déterminer le point image par intersection. Et le troisième rayon doit être tracé en vérification — son non-passage par

B^{'}

signale une erreur de schéma.

⚠ Erreur 5 — Additionner les focales au lieu des vergences. Pour des lentilles accolées, c'est

V = V_{1} + V_{2}

, donc

\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{f _{1}^{'}} + \frac{1}{f _{2}^{'}}

— et certainement PAS

f^{'} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'}

. Cette erreur change tout en TP de doublet ou de correction de vue.

7. Pour aller plus loin

Les lentilles minces sont l'atome élémentaire de toute l'optique géométrique de l'année et de la spé. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

L'œil et la vision — modélisation : cornée + cristallin = lentille convergente d'accommodation variable ; correction de la myopie / hypermétropie par lentilles minces accolées.
Microscope et lunette astronomique — association de deux lentilles : objectif + oculaire. Le grossissement total est le produit des grossissements individuels.
Appareil photo — objectif modélisé par une lentille convergente unique ; profondeur de champ et nombre d'ouverture (hors-prog MPSI, mais oral X de TP).
Interférences à deux ondes (en spé) — les dispositifs des fentes d'Young, du Michelson, du Mach-Zehnder utilisent systématiquement des lentilles pour former les images des sources.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'un DS, d'une khôlle ou d'un oral de TP, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer la définition d'une lentille mince et lister les six formes (3 convergentes, 3 divergentes) ?
Sais-tu distinguer une lentille convergente ( $f^{'} > 0$ ) d'une divergente ( $f^{'} < 0$ ) à l'œil sur un schéma ?
Sais-tu écrire la formule de Descartes $\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}}$ sans regarder, en respectant l'ordre image–objet ?
Sais-tu écrire la formule de Newton $\overline{F A} \cdot \overline{F^{'} A^{'}} = - f^{' 2}$ avec le bon signe ?
Sais-tu démontrer l'équivalence Descartes ↔ Newton par substitution $\overline{O A} = - f^{'} + \overline{F A}$ ?
Sais-tu écrire les trois expressions équivalentes de γ et démontrer celle issue des triangles semblables ?
Sais-tu tracer les trois rayons remarquables ( $O$ non dévié / parallèle → $F^{'}$ / passant par $F$ → parallèle) sans hésiter ?
Connais-tu par cœur le tableau des 6 positions objet/image pour une lentille convergente ?
Sais-tu démontrer la formule de Gullstrand $V = V_{1} + V_{2}$ pour deux lentilles accolées par addition de deux Descartes ?
Sais-tu distinguer image réelle / virtuelle au signe de $\overline{O A^{'}}$ et grandissement γ / grossissement G ?
Sais-tu calculer le grossissement commercial d'une loupe $G_{\infty} = d_{m} / f^{'}$ avec $d_{m} = 25 cm$ ?
Sais-tu repérer immédiatement les 5 erreurs de copie types listées au §6 dans une rédaction donnée ?

Démonstrations à savoir refaire

Équivalence Descartes ↔ Newton — substitution $\overline{O A} = - f^{'} + \overline{F A}$ puis algèbre rationnelle
Expressions équivalentes du grandissement γ — triangles semblables (rayon n°1) + tangentes (rayons n°2 et n°3)
Formule de Gullstrand (lentilles accolées) — somme membre à membre de deux Descartes, télescopage du terme intermédiaire