Optique géométrique : formation des images

Vue d'ensemble

Après le chapitre « lois de Snell-Descartes », on quitte le rayon isolé pour s'intéresser à ce que fait un système optique d'un objet à partir de tous les rayons qui en sortent : il en forme — ou pas — une image. Cette fiche centralise les 3 démonstrations à savoir refaire (conjugaison du dioptre sphérique, grandissement transversal par Thalès, stigmatisme rigoureux du miroir plan), les 8 théorèmes/propositions fondamentaux et les pièges qui font perdre des points en DS et en colle.

Au programme MPSI (officiel) — Système optique centré, axe optique, objet et image (réels, virtuels), stigmatisme rigoureux et approché, conditions de Gauss (approximation paraxiale, aplanétisme), foyers objet et image, plan focal, distance focale et vergence, grandissements transversal et axial, formules de conjugaison de Descartes et de Newton pour un système centré, construction des images par les rayons remarquables, image d'un objet à l'infini.

Prérequis

Lois de Snell-Descartes : réflexion ( $i_{r} = i$ ), réfraction ( $n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2}$ )
Convention algébrique d'orientation des distances sur un axe $(\overline{S A}, \overline{S A^{'}}, \dots)$
Trigonométrie élémentaire et développements limités $sin α \approx α, tan α \approx α, cos α \approx 1$ pour $α$ petit (en radian)
Notion de similitude / théorème de Thalès (pour les calculs de grandissement)

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds objet réel / image virtuelle et tu te trompes de signe sur $\overline{O A}$ ? C'est l'erreur n°1 de MPSI sur ce chapitre — un signe perdu fait basculer toute la copie. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines remettent en place les conventions algébriques en 1 séance, avec des constructions au tableau et des exercices type concours.

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1. Système centré, objet, image

Définition 1.1 — Système optique centré

Un système optique centré est une succession de dioptres et/ou miroirs présentant une symétrie de révolution autour d'une droite appelée axe optique (noté Δ). Sur les schémas, l'axe est orienté dans le sens de propagation de la lumière, traditionnellement de la gauche vers la droite.

Définition 1.2 — Objet, image (réel et virtuel)

Un point-objet $A$ est l'origine des rayons incidents qui entrent dans le système. Il est réel si les rayons divergent effectivement de $A$ ( $A$ est en amont du système), virtuel si les rayons incidents convergeraient vers $A$ en aval du système s'il n'était pas là ( $A$ est « derrière » l'entrée).
Un point-image $A^{'}$ est le point de concours des rayons émergents. $A^{'}$ est réel si les rayons émergents convergent effectivement vers $A^{'}$ (en aval), virtuel si leurs prolongements en amont concourent en $A^{'}$ (l'image est « avant » la sortie).

📝 Mnémo réel / virtuel. Réel = là où la lumière passe vraiment (captable sur écran). Virtuel = là où ses prolongements géométriques se croisent (non captable sur écran). L'image dans un miroir plan, l'image d'un objet par une loupe : toutes virtuelles.

Définition 1.3 — Conjugaison

On dit que $A^{'}$ est le conjugué de $A$ par le système optique $S$ , et on note $A ⟷ S A^{'}$ , lorsque $A^{'}$ est l'image de $A$ par $S$ . La relation est réversible (principe de retour inverse de la lumière) : si on inverse le sens de propagation, $A$ devient l'image de $A^{'}$ .

⚠ Piège fondamental. « Image virtuelle » ne veut pas dire « inexistante » : tu la vois en plaçant ton œil dans le faisceau émergent (c'est ainsi qu'on voit son reflet). Ce qui distingue réel et virtuel, c'est la possibilité de capter l'image sur un écran — pas sa perception par l'œil.

2. Stigmatisme et aplanétisme

Définition 2.1 — Stigmatisme rigoureux

Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour le couple $(A, A^{'})$ si tous les rayons issus de $A$ émergent en passant par $A^{'}$ (ou par son prolongement pour une image virtuelle). Autrement dit, l'image d'un point-objet $A$ est un point unique $A^{'}$ , pas une tache.

Théorème 2.2 — Stigmatisme rigoureux du miroir plan ★ À savoir démontrer

Le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tout point de l'espace. L'image $A^{'}$ d'un point-objet $A$ est son symétrique par rapport au plan du miroir. Un objet réel donne une image virtuelle (et inversement).

Démonstration (géométrie élémentaire + loi de Descartes)

Soit $A$ un point-objet et $Π$ le plan du miroir. Soit $A^{'}$ le symétrique de $A$ par rapport à $Π$ . On veut montrer que tout rayon issu de $A$ qui frappe $Π$ en un point $I$ émerge selon une direction passant par $A^{'}$ .

En $I$ , la normale est perpendiculaire au plan $Π$ . Notons $H$ le pied de la perpendiculaire de $A$ sur $Π$ , de sorte que $A^{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $H$ (et $\overline{H A^{'}} = - \overline{H A}$ ). L'angle d'incidence $i$ est défini par $tan i = H I / H A$ . Par symétrie de $A$ et $A^{'}$ par rapport à $Π$ , le triangle $A^{'} H I$ est l'image du triangle $A H I$ par cette symétrie ; donc $A^{'} I H = A I H$ . La loi de la réflexion ( $i_{r} = i$ , même côté de la normale) implique que le rayon réfléchi en $I$ fait avec la normale le même angle que le rayon incident, et de l'autre côté de la normale dans le plan d'incidence.

Par construction, la droite $(I A^{'})$ fait avec la normale (perpendiculaire à $Π$ ) le même angle que la droite $(I A)$ , et du côté opposé : c'est exactement la direction du rayon réfléchi. Ainsi le rayon émergent passe par $A^{'}$ , et ceci pour tout rayon incident issu de $A$ . Comme $A$ était quelconque, le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tout point — c'est l'unique système optique non trivial à le vérifier pour tout l'espace.

📝 Le miroir plan est une exception. Pour tout autre système (dioptre sphérique, lentille mince, miroir sphérique…), le stigmatisme rigoureux n'est vérifié que pour des points très particuliers (les points de Weierstrass du dioptre sphérique, le centre et les foyers, etc.). En pratique, on travaille donc avec un stigmatisme approché.

Définition 2.3 — Stigmatisme approché

Un système est approximativement stigmatique pour $(A, A^{'})$ si les rayons issus de $A$ émergent en passant au voisinage de $A^{'}$ : ils forment dans le plan image une tache de dimension acceptable (typiquement inférieure à la résolution du détecteur utilisé — œil, capteur, plaque photo).

Définition 2.4 — Aplanétisme

Un système est aplanétique pour le plan $P$ perpendiculaire à l'axe en $A$ si tout point de $P$ admet une image (au moins approchée) dans le plan $P^{'}$ perpendiculaire à l'axe en $A^{'}$ . Autrement dit, l'image d'un petit objet plan orthogonal à l'axe est elle-même un petit objet plan orthogonal à l'axe.

3. Conditions de Gauss (approximation paraxiale)

Définition 3.1 — Conditions de Gauss

Un système centré est utilisé dans les conditions de Gauss (ou approximation paraxiale) lorsque les rayons considérés sont paraxiaux, c'est-à-dire :

(i) Peu inclinés par rapport à l'axe optique (les angles $α$ que les rayons font avec Δ sont petits : $sin α \approx tan α \approx α$ et $cos α \approx 1$ ).
(ii) Peu écartés de l'axe (les points d'incidence sur les dioptres sont proches de l'axe : on travaille au premier ordre en $h / R$ , où $h$ est la hauteur d'incidence et $R$ le rayon de courbure).

Théorème 3.2 — Propriétés dans les conditions de Gauss

Dans les conditions de Gauss, tout système optique centré est :

approximativement stigmatique pour tout point de l'espace,
approximativement aplanétique pour tout plan perpendiculaire à l'axe.

C'est la raison d'être de l'approximation paraxiale : elle « régularise » d'un coup tous les défauts géométriques (aberrations sphériques, coma, etc.) et permet de traiter le système comme un instrument idéal, avec des formules linéaires.

📐 Comment se mettre en pratique dans les conditions de Gauss. Trois leviers, à connaître pour les TP et les questions ouvertes de concours :

Diaphragmer : on place un trou (diaphragme d'ouverture) qui ne laisse passer que les rayons proches de l'axe — on coupe les rayons trop écartés.
Limiter l'inclinaison des rayons utiles (par exemple en éloignant l'objet de l'axe ou en utilisant un objet de petite taille angulaire).
Conception : optiquement, on combine des dioptres pour compenser les aberrations résiduelles — c'est l'art du concepteur d'objectif photo.

Sur une copie, la phrase rituelle est : « on se place dans les conditions de Gauss », et on enchaîne avec les formules linéaires. Sans cette mention, le correcteur peut sanctionner.

⚠ Piège — « petit » ne veut pas dire « 5° ». L'approximation paraxiale est acceptable tant que

α ≲ 5°

(

\approx 0, 09

rad) ; au-delà, l'écart

sin α - α \sim - α^{3} /6

croît rapidement (erreur relative

α^{2} /6

). Les objectifs photo diaphragment et combinent plusieurs lentilles pour élargir artificiellement le domaine de Gauss.

4. Foyers, plan focal, vergence

Définition 4.1 — Foyer image

F^{'}

Le foyer image $F^{'}$ d'un système centré est l'image d'un point-objet situé sur l'axe à l'infini ( $A \to - \infty$ sur Δ). Géométriquement : tout faisceau de rayons parallèles à l'axe, incident sur le système, émerge en convergeant en $F^{'}$ (image réelle) ou en semblant diverger de $F^{'}$ (image virtuelle).

Définition 4.2 — Foyer objet

F

Le foyer objet $F$ est le point-objet sur l'axe dont l'image se trouve à l'infini sur l'axe ( $A^{'} \to + \infty$ ). Tout rayon issu de $F$ , après passage dans le système, émerge parallèlement à l'axe optique.

Définition 4.3 — Plan focal image, plan focal objet

Le plan focal image est le plan perpendiculaire à l'axe en $F^{'}$ . C'est le lieu des images des objets situés à l'infini dans une direction quelconque (faisant un petit angle avec l'axe). De même, le plan focal objet est le plan perpendiculaire à l'axe en $F$ : c'est le lieu des points-objet dont l'image est à l'infini.

📝 Image d'un objet à l'infini. Un objet ponctuel à l'infini (étoile…) envoie un faisceau de rayons parallèles entre eux, faisant un angle

θ

avec l'axe ; son image se forme dans le plan focal image, à la hauteur

f^{'} \cdot tan θ \approx f^{'} θ

. Pour un objet étendu à l'infini (paysage), chaque direction donne un point dans ce plan : c'est le principe de la lunette astronomique réglée pour l'infini.

Définition 4.4 — Distance focale et vergence

La distance focale image est la mesure algébrique $f^{'} = \overline{O F^{'}}$ , où $O$ est un point de référence du système (centre optique d'une lentille mince, sommet d'un miroir, etc.). La distance focale objet est $f = \overline{O F}$ . Pour un système à entrée et sortie dans le même milieu (typiquement une lentille mince dans l'air), $f = - f^{'}$ .

La vergence du système est :

V = \frac{1}{f ^{'}} (en dioptries, 1 δ = 1 m^{- 1}) .

Une vergence positive ( $V > 0$ , donc $f^{'} > 0$ ) caractérise un système convergent ; négative, un système divergent.

💡 Exemple — Ordres de grandeur. Verres correcteurs :

+ 2 δ

signifie

f^{'} = + 50 cm

(convergente, presbytie) ;

- 3, 5 δ

donne

f^{'} \approx - 29 cm

(divergente, myopie). Un objectif photo de focale

50 mm

a une vergence

V = 20 δ

⚠ Piège de signe. En convention algébrique (Descartes),

f^{'}

est positive pour une convergente et négative pour une divergente. Si tu vois

f^{'} = - 3, 5 cm

, ce n'est pas une coquille : c'est une divergente. Ne confonds pas avec la distance focale arithmétique

∣ f^{'} ∣

5. Grandissement transversal et grandissement axial

Définition 5.1 — Grandissement transversal γ

Soit $A B$ un petit objet plan, $A$ sur l'axe et $B$ dans le plan perpendiculaire à l'axe en $A$ . Soit $A^{'} B^{'}$ son image (aplanétisme : $B^{'}$ dans le plan perpendiculaire à l'axe en $A^{'}$ ). On définit le grandissement transversal :

γ = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} .

C'est une grandeur algébrique :

$γ > 0$ : image dans le même sens que l'objet (image droite),
$γ < 0$ : image renversée,
$∣ γ ∣ > 1$ : image agrandie ; $∣ γ ∣ < 1$ : image réduite.

Théorème 5.2 — Expression géométrique de γ pour un système centré ★ À savoir démontrer

Pour un système centré utilisé dans les conditions de Gauss, possédant un point caractéristique $O$ (centre optique d'une lentille mince, sommet d'un miroir sphérique, centre d'un dioptre…) à travers lequel un rayon passe sans déviation, on a :

γ = \frac{O A ^{'}}{O A} pour la lentille mince ; γ = - \frac{S A ^{'}}{S A} pour le miroir sph \overset{e}{ˊ} rique.

La preuve repose sur un triangle semblable / théorème de Thalès appliqué au rayon non dévié.

Démonstration (cas de la lentille mince — Thalès sur le rayon passant par le centre)

On considère une lentille mince de centre optique $O$ . Soit un petit objet $A B$ avec $A$ sur l'axe et $B$ hors axe à la hauteur $\overline{A B}$ . Son image est $A^{'} B^{'}$ , avec $A^{'}$ sur l'axe et $B^{'}$ à la hauteur $\overline{A^{'} B^{'}}$ (aplanétisme dans les conditions de Gauss).

Parmi les rayons issus de $B$ , le rayon qui passe par le centre optique $O$ n'est pas dévié (propriété caractéristique de la lentille mince). Ce rayon entre dans la lentille en faisant un angle $α$ avec l'axe ; il en ressort avec exactement le même angle $α$ . Comme l'image $B^{'}$ est sur ce rayon prolongé, on a la configuration :

Triangle $O A B$ : rectangle en $A$ , avec $tan α = \overline{A B} / \overline{O A}$ (en algébrique, dans les conventions correctement choisies pour l'orientation des hauteurs). Triangle $O A^{'} B^{'}$ : rectangle en $A^{'}$ , avec le même angle $α$ (rayon non dévié), donc $tan α = \overline{A^{'} B^{'}} / \overline{O A^{'}}$ .

En égalant les deux expressions de $tan α$ :

\frac{A B}{O A} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{O A ^{'}} ⟺ γ = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{O A ^{'}}{O A} .

L'algébrisation porte les signes : si $A$ et $A^{'}$ sont du même côté de $O$ (objet et image virtuelle, par exemple loupe), $\overline{O A}$ et $\overline{O A^{'}}$ sont de même signe, donc $γ > 0$ (image droite). S'ils sont de part et d'autre (image réelle d'un objet réel), $γ < 0$ (image renversée). Le calcul de Thalès encode à lui seul le sens et l'amplitude du grandissement.

Définition 5.3 — Grandissement axial

γ_{a}

Si l'objet est un petit segment porté par l'axe ( $A_{1} A_{2}$ sur Δ, de longueur $\overline{A_{1} A_{2}}$ petite), son image $A_{1}^{'} A_{2}^{'}$ est aussi sur l'axe (le système est centré). On définit le grandissement axial :

γ_{a} = \frac{A _{1}^{'} A _{2}^{'}}{A _{1} A _{2}} .

Pour un système centré quelconque dans les conditions de Gauss, on a la relation remarquable $γ_{a} = γ_{1} \cdot γ_{2}$ où $γ_{i}$ est le grandissement transversal aux points $A_{i}$ . Au voisinage d'un point conjugué $γ_{a} \approx γ^{2}$ — l'image d'un cube se déforme donc en parallélépipède très allongé (effet « zoom » axial).

📝 Pourquoi $γ_{a} \neq = γ$ ? Profondeur (axiale) et largeur (transversale) ne sont pas mises à l'échelle par le même facteur : le système distord l'espace, un objet 3D n'est pas seulement agrandi mais aussi compressé ou étiré selon l'axe. C'est l'« effet télé » du téléobjectif.

6. Formules de conjugaison (Descartes et Newton)

Théorème 6.1 — Formule de Descartes (système centré quelconque, conditions de Gauss)

Pour un système optique centré utilisé dans les conditions de Gauss, possédant des foyers $F$ et $F^{'}$ (et un point caractéristique $O$ — centre, sommet…), la relation de conjugaison reliant les positions algébriques de l'objet $A$ et de son image $A^{'}$ prend la forme :

\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}} (lentille mince), \frac{1}{S A ^{'}} + \frac{1}{S A} = \frac{2}{S C} (miroir sph \overset{e}{ˊ} rique) .

L'idée commune : la conjugaison est une relation linéaire en $1/ \overline{O A}$ et $1/ \overline{O A^{'}}$ (homographique), de coefficients dépendant de la géométrie du système.

Théorème 6.2 — Conjugaison d'un dioptre sphérique en conditions de Gauss ★ À savoir démontrer

Soit un dioptre sphérique de sommet $S$ , de centre $C$ , séparant deux milieux d'indices $n_{1}$ (côté objet) et $n_{2}$ (côté image). Dans les conditions de Gauss, on a la formule de conjugaison :

\frac{n _{2}}{S A ^{'}} - \frac{n _{1}}{S A} = \frac{n _{2} - n _{1}}{S C} .

Démonstration (Snell-Descartes paraxial + relations dans les triangles)

Soit un rayon issu de $A$ sur l'axe, qui frappe le dioptre en $I$ à la hauteur $h$ (petite, Gauss). Notons $α = I A S$ (angle au sommet en $A$ ), $β = I C S$ (angle au centre), et $α^{'} = I A^{'} S$ (angle au sommet en $A^{'}$ ). L'angle d'incidence $i_{1}$ sur la normale (qui est $(C I)$ ) et l'angle réfracté $i_{2}$ vérifient Snell-Descartes : $n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2}$ , qui devient en Gauss $n_{1} i_{1} = n_{2} i_{2}$ (sinus $\approx$ angle).

Géométrie : l'angle externe du triangle $A I C$ en $I$ vaut $α + β$ , donc $i_{1} = α + β$ . De même, l'angle externe du triangle $A^{'} I C$ en $I$ vaut $α^{'} + β$ , mais avec la convention de sens, $i_{2} = β - α^{'}$ (ou l'inverse selon l'orientation : on tient les signes propres dans les conventions algébriques classiques). Snell paraxial donne :

n_{1} (α + β) = n_{2} (β - α^{'}) ⟺ n_{1} α + n_{2} α^{'} = (n_{2} - n_{1}) β .

Expressions des angles en fonction de $h$ (toujours en Gauss, où $tan x \approx x$ ) :

α \approx \frac{h}{S A}, α^{'} \approx \frac{h}{S A ^{'}}, β \approx \frac{h}{S C} .

(Les signes algébriques de ces rapports découlent de l'orientation : $h > 0$ au-dessus de l'axe ; $\overline{S A} < 0$ pour un objet réel placé en amont de $S$ , etc.) Substituant et divisant par $h \neq = 0$ :

\frac{n _{1}}{S A} + \frac{n _{2}}{S A ^{'}} = \frac{n _{2} - n _{1}}{S C} .

Le signe relatif des deux termes du membre de gauche dépend des conventions exactes choisies (orientations algébriques de $\overline{S A}$ et de $\overline{S A^{'}}$ , souvent opposées). Le résultat usuel, dans la convention standard où l'axe est orienté dans le sens de propagation et où $\overline{S A} < 0$ pour un objet réel, s'écrit :

\frac{n _{2}}{S A ^{'}} - \frac{n _{1}}{S A} = \frac{n _{2} - n _{1}}{S C} .

Remarque pédagogique. Le point clé est que l'angle d'incidence et l'angle de réfraction se sont éliminés au profit des seules positions des points conjugués et du rayon de courbure. C'est ce qu'on cherche dans toute formule de conjugaison : éliminer la géométrie du rayon particulier pour ne garder que les positions.

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Théorème 6.3 — Formule de Newton (avec origines aux foyers)

Pour un système centré dans les conditions de Gauss, en utilisant comme origines des distances les foyers $F$ et $F^{'}$ , on a :

\overline{F A} \cdot \overline{F^{'} A^{'}} = f \cdot f^{'} = - f^{'2} (syst \overset{e}{ˋ} me dans l’air, f = - f^{'}) .

Et le grandissement s'écrit :

γ = - \frac{F ^{'} A ^{'}}{f ^{'}} = - \frac{f}{F A} .

Ces formules sont équivalentes à celles de Descartes, juste avec un changement d'origine. Elles sont commodes quand l'énoncé donne directement la position par rapport aux foyers.

📐 Méthode-type — Choisir entre Descartes et Newton.

Énoncé donne $\overline{O A}$ ou $\overline{S A}$ (position par rapport au centre ou au sommet) : utilise Descartes.
Énoncé donne $\overline{F A}$ ou $\overline{F^{'} A^{'}}$ (position par rapport aux foyers) : utilise Newton.
Question demande le grandissement : utilise $γ = \overline{O A^{'}} / \overline{O A}$ si tu as les positions par rapport à $O$ , sinon Newton $γ = - \overline{F^{'} A^{'}} / f^{'}$ .
Toujours faire un schéma orienté avant de poser l'équation : c'est la seule façon de ne pas se tromper de signe.

7. Construction des images par les rayons remarquables

Pour construire géométriquement l'image d'un point $B$ (hors axe), on utilise au moins deux des trois rayons remarquables. Leur intersection (en aval ou par prolongement) donne $B^{'}$ .

📐 Les 3 rayons remarquables (lentille mince, à connaître par cœur).

Rayon passant par le centre optique $O$ : n'est pas dévié (propriété fondamentale des lentilles minces).
Rayon parallèle à l'axe en amont : émerge en passant par le foyer image $F^{'}$ (ou par son prolongement, si l'image de l'infini sur l'axe est virtuelle, cas divergent).
Rayon passant par le foyer objet $F$ en amont : émerge parallèlement à l'axe en aval (ou avec un prolongement parallèle à l'axe passant par $F$ en amont, cas divergent).

L'intersection (effective ou prolongée) des rayons émergents donne

B^{'}

; puis

A^{'}

est le pied de la perpendiculaire à Δ passant par

B^{'}

(aplanétisme).

💡 Exemple — Lentille convergente, objet réel. Si

A

est en amont de

F

: les rayons émergent en convergeant —

A^{'}

est réel, en aval, image renversée (

γ < 0

). Si

A

est entre

F

O

(loupe) : les rayons émergents divergent, leurs prolongements amont concourent en

B^{'}

— image virtuelle, droite, agrandie (

γ > 1

💡 Exemple — Image d'un objet à l'infini. Faisceau incident de rayons parallèles faisant un angle

θ

avec l'axe : le rayon passant par

O

sort à l'angle

θ

; le rayon parallèle à l'axe passe par

F^{'}

. Leur intersection est dans le plan focal image, à la hauteur

f^{'} θ

. Conclusion : l'image d'un objet à l'infini se forme dans le plan focal image (et l'image d'un point du plan focal objet est à l'infini).

📝 Pour un miroir sphérique. Rayons remarquables analogues, en remplaçant

O

par sommet

S

(rayon passant par le centre

C

du miroir = rayon non dévié), avec la subtilité que

F = F^{'}

(foyers confondus, au milieu de

\overline{S C}

). Pour un miroir plan : le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident.

8. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale-Supélec) sur les épreuves d'optique géométrique. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier de mentionner « conditions de Gauss ». Toutes les formules de conjugaison (Descartes, Newton, grandissement) ne sont valables que dans les conditions de Gauss. Si tu écris

\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}}

sans avoir préalablement écrit « on se place dans les conditions de Gauss », le correcteur peut couper. C'est la phrase rituelle obligatoire.

⚠ Erreur 2 — Confondre image et symétrique pour les miroirs sphériques. Le miroir plan donne pour image le symétrique de l'objet (stigmatisme rigoureux pour tout l'espace). Le miroir sphérique, lui, n'est rigoureusement stigmatique que pour son centre

C

(qui est sa propre image) — l'image d'un autre point se calcule par la formule de conjugaison

\frac{1}{S A ^{'}} + \frac{1}{S A} = \frac{2}{S C}

, pas par symétrie.

⚠ Erreur 3 — Erreurs de signe sur $\overline{O A}, \overline{O A^{'}}, f^{'}$ . En convention algébrique, l'axe est orienté dans le sens de propagation (gauche → droite). Un objet réel à gauche de la lentille a

\overline{O A} < 0

; un objet virtuel à droite a

\overline{O A} > 0

. Une lentille convergente a

f^{'} > 0

; une divergente a

f^{'} < 0

. Toujours commencer par un schéma orienté avant de poser l'équation : la moitié des erreurs vient d'un signe omis ou inversé.

⚠ Erreur 4 — Utiliser le grandissement $γ$ à la place du grandissement axial $γ_{a}$ . Si on te demande l'image d'un segment porté par l'axe (par exemple, l'épaisseur axiale d'un objet 3D), tu dois utiliser

γ_{a} \approx γ^{2}

, pas

γ

. C'est une erreur fréquente sur les sujets qui mêlent optique et géométrie 3D (microscope, lunette astronomique, projecteur).

⚠ Erreur 5 — Affirmer qu'un système est stigmatique « sans conditions ». Le miroir plan est l'unique exemple de stigmatisme rigoureux pour tout point de l'espace (en optique géométrique élémentaire). Tous les autres systèmes (lentilles minces, miroirs sphériques, dioptres) ne sont qu'approximativement stigmatiques, et uniquement dans les conditions de Gauss. Ne dis jamais « la lentille est stigmatique » sans préciser « approximativement, dans les conditions de Gauss ».

9. Pour aller plus loin

Ce chapitre pose la grammaire géométrique de toute l'optique : les conventions algébriques, les formules de conjugaison et les constructions par rayons remarquables seront réutilisées presque telles quelles dans les chapitres suivants.

Lentilles minces — application directe des formules de Descartes et Newton, étude des associations (œil, loupe, microscope, lunette).
Miroirs sphériques — extension du formalisme au cas de la réflexion ; télescope de Newton, télescope de Cassegrain.
Instruments optiques (TP) — focométrie (Bessel, Silbermann), réglage d'une lunette à l'infini, autocollimation : toutes les manipulations exigent une maîtrise des conditions de Gauss et du calcul de $γ$ .
Optique ondulatoire (spé) — Fraunhofer / Fresnel — l'image géométrique sera revisitée comme limite de la diffraction quand $λ \to 0$ . Le « point image » devient une tache d'Airy.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir précisément un objet réel, un objet virtuel, une image réelle, une image virtuelle ?
Sais-tu énoncer la différence entre stigmatisme rigoureux et stigmatisme approché, et citer le seul système rigoureusement stigmatique pour tout l'espace ?
Sais-tu énoncer les conditions de Gauss (paraxialité, rayons peu inclinés et peu écartés) et les conséquences (stigmatisme et aplanétisme approchés) ?
Sais-tu définir le foyer objet $F$ , le foyer image $F^{'}$ , le plan focal et la distance focale $f^{'}$ ?
Sais-tu calculer la vergence $V = 1/ f^{'}$ et donner son unité (dioptrie) ?
Sais-tu écrire la définition algébrique du grandissement transversal $γ = \overline{A^{'} B^{'}} / \overline{A B}$ et interpréter son signe et sa valeur absolue ?
Sais-tu démontrer $γ = \overline{O A^{'}} / \overline{O A}$ (lentille mince) par Thalès sur le rayon non dévié ?
Sais-tu énoncer la formule de conjugaison du dioptre sphérique dans les conditions de Gauss et en redémontrer les grandes étapes (Snell paraxial + triangles) ?
Sais-tu énoncer les formules de Descartes et de Newton pour un système centré, et choisir entre les deux selon l'origine donnée dans l'énoncé ?
Sais-tu démontrer le stigmatisme rigoureux du miroir plan (symétrie par rapport au plan + loi de la réflexion) ?
Sais-tu construire l'image $A^{'} B^{'}$ d'un objet $A B$ par une lentille mince avec les 3 rayons remarquables, et placer l'image d'un objet à l'infini dans le plan focal ?
Sais-tu reconnaître quand utiliser $γ_{a} \approx γ^{2}$ (grandissement axial) plutôt que $γ$ (transversal) ?

Démonstrations à savoir refaire

Stigmatisme rigoureux du miroir plan — symétrie + loi de la réflexion ( $i_{r} = i$ )
Grandissement transversal $γ = \overline{O A^{'}} / \overline{O A}$ — Thalès sur le rayon non dévié passant par $O$
Conjugaison d'un dioptre sphérique en Gauss — Snell paraxial $n_{1} i_{1} = n_{2} i_{2}$ + relations dans les triangles $A I C$ et $A^{'} I C$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Système centré, objet, image

2. Stigmatisme et aplanétisme

3. Conditions de Gauss (approximation paraxiale)

4. Foyers, plan focal, vergence

5. Grandissement transversal et grandissement axial

6. Formules de conjugaison (Descartes et Newton)

7. Construction des images par les rayons remarquables

8. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

9. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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