Oscillateur harmonique

Vue d'ensemble

L'oscillateur harmonique est le chapitre fondateur de la mécanique MPSI : ressort, pendule simple, circuit LC, dipôle RLC, atome dans un puits de potentiel… tous obéissent à la même équation différentielle linéaire $\overset{x}{¨} + ω_{0}^{2} x = 0$ . Apprends-le bien : tu vas le revoir des dizaines de fois jusqu'aux concours. Cette fiche regroupe les 3 régimes d'amortissement, le phénomène de résonance, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges les plus sanctionnés en copie.

Au programme MPSI (officiel) — Oscillateur harmonique non amorti : équation différentielle, pulsation propre, période, solution générale, conditions initiales, portrait de phase, énergie mécanique. Oscillateur amorti par frottement fluide : régimes pseudopériodique, critique et apériodique, facteur de qualité

Q

. Oscillations forcées : résonance en amplitude, bande passante. Analogies électromécaniques (circuit RLC série).

Prérequis

Principe fondamental de la dynamique $m a = \sum F$ et projection sur une base
Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants (équation caractéristique)
Énergies cinétique $E_{c} = \frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2}$ , potentielle élastique $E_{p} = \frac{1}{2} k (ℓ - ℓ_{0})^{2}$ et théorème de l'énergie mécanique
Notation complexe : $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ , module et argument

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1. Oscillateur harmonique libre non amorti

1.1 — Le modèle masse-ressort horizontal

Définition 1.1 — Oscillateur harmonique

Un oscillateur harmonique est un système à un degré de liberté $x (t)$ dont l'écart à l'équilibre satisfait l'équation différentielle linéaire :

\ddot{X} + ω_{0}^{2} X = 0,

où $ω_{0} > 0$ est appelée pulsation propre. Modèle de référence : une masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $ℓ_{0}$ , glissant sans frottement sur un support horizontal.

Définition 1.2 — Pulsation, fréquence et période propres

Pulsation propre : $ω_{0} = k / m$ , unité rad·s⁻¹.
Fréquence propre : $f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π}$ , unité Hz.
Période propre : $T_{0} = \frac{1}{f _{0}} = \frac{2 π}{ω _{0}} = 2 π \frac{m}{k}$ , unité s.

📝 Isochronisme des petites oscillations. La période

T_{0}

ne dépend ni de l'amplitude ni de la phase initiale : c'est la propriété fondamentale qui distingue un oscillateur harmonique de tous les autres. Un pendule simple à grande amplitude n'est plus harmonique — sa période dépend alors de l'amplitude.

1.2 — Mise en équation par le PFD

Théorème 1.3 — Équation de l'oscillateur masse-ressort horizontal ★ À savoir démontrer

Soit une masse $m$ accrochée à un ressort horizontal de raideur $k$ et de longueur à vide $ℓ_{0}$ , sans frottement. Soit $x (t)$ la longueur du ressort. Alors l'écart à l'équilibre $X (t) = x (t) - ℓ_{0}$ satisfait :

\ddot{X} + ω_{0}^{2} X = 0 avec ω_{0} = \frac{k}{m} .

Démonstration (PFD + projection + simplification autour de l'équilibre)

Système : la masse ponctuelle. Référentiel : terrestre, supposé galiléen. Repère : $(O, e_{x}, e_{y}, e_{z})$ avec $O$ à l'extrémité fixe du ressort, $e_{x}$ horizontal dans l'axe du ressort.

Bilan des forces sur la masse :

Poids : $P = - m g e_{y}$
Tension du ressort : $T = - k (x (t) - ℓ_{0}) e_{x}$ (force de rappel)
Réaction normale du support : $R = R_{y} e_{y} + R_{z} e_{z}$ (sans frottement)

PFD : $m a = P + T + R$ avec $a = \overset{x}{¨} e_{x}$ .

Projection sur $e_{x}$ : $m \overset{x}{¨} (t) = - k (x (t) - ℓ_{0})$ . On obtient l'équation du mouvement :

m \overset{x}{¨} (t) + k (x (t) - ℓ_{0}) = 0.

Position d'équilibre : $\overset{x}{˙}_{eq} = \overset{x}{¨}_{eq} = 0$ donne $x_{eq} = ℓ_{0}$ (ressort ni étiré ni comprimé).

Changement de variable : on pose $X (t) = x (t) - ℓ_{0}$ (écart à l'équilibre). Alors $\ddot{X} = \overset{x}{¨}$ et l'équation devient :

m \ddot{X} (t) = - k X (t) ⟺ \ddot{X} + \frac{k}{m} X = 0.

On pose $ω_{0}^{2} = k / m$ ( $> 0$ car $k > 0$ et $m > 0$ ), et on retient $ω_{0} = k / m > 0$ (seule racine positive).

1.3 — Solution générale et conditions initiales

Proposition 1.4 — Solution générale

La solution générale de $\ddot{X} + ω_{0}^{2} X = 0$ s'écrit, sous deux formes équivalentes :

X (t) = A cos (ω_{0} t) + B sin (ω_{0} t) = C cos (ω_{0} t - φ),

avec $C = A^{2} + B^{2}$ , $cos φ = A / C$ , $sin φ = B / C$ . $C$ est l'amplitude, $φ$ la phase à l'origine.

📐 Méthode-type — Déterminer la loi horaire à partir des conditions initiales.

Identifier l'équilibre et poser $X (t) = x (t) - x_{eq}$ .
Écrire l'équation sous la forme canonique $\ddot{X} + ω_{0}^{2} X = 0$ , identifier $ω_{0}$ .
Forme $X (t) = A cos (ω_{0} t) + B sin (ω_{0} t)$ :
- $X (0) = X_{0}$ donne $A = X_{0}$
- $\dot{X} (0) = V_{0}$ donne $B = V_{0} / ω_{0}$ (car $\dot{X} (0) = B ω_{0}$ )
Revenir à $x (t) = X (t) + x_{eq}$ pour la position dans le repère initial.
Vérifier la dimension de chaque terme et le signe en $t = 0$ .

💡 Exemple — Ressort lâché avec vitesse initiale. Une masse

m = 100

g, ressort

k = 10

N·m⁻¹. À

t = 0

, on l'écarte de

X_{0} = 5

cm avec

V_{0} = 0, 5

m·s⁻¹. Pulsation :

ω_{0} = 10/0, 1 = 10

rad·s⁻¹, période

T_{0} = 2 π /10 \approx 0, 63

s. Loi horaire :

X (t) = 0, 05 cos (10 t) + 0, 05 sin (10 t) (en m) .

Amplitude :

C = 0, 0 5^{2} + 0, 0 5^{2} \approx 7, 1

cm. La masse oscille entre

ℓ_{0} - C

ℓ_{0} + C

⚠ Piège — Confondre $x (t)$ et l'écart $X (t)$ à l'équilibre. L'équation

\ddot{X} + ω_{0}^{2} X = 0

porte sur l'écart, pas sur la position absolue. Pour un ressort vertical, l'équilibre n'est plus

ℓ_{0}

mais

ℓ_{0} + m g / k

: oublier ce décalage est l'erreur n°1 sur les copies de DS.

2. Énergie mécanique de l'oscillateur

Définition 2.1 — Énergies cinétique, potentielle et mécanique

Énergie cinétique : $E_{c} (t) = \frac{1}{2} m \overset{x}{˙} (t)^{2}$ .
Énergie potentielle élastique du ressort : $E_{p} (t) = \frac{1}{2} k X (t)^{2}$ (avec $X = x - x_{eq}$ ).
Énergie mécanique : $E_{m} (t) = E_{c} (t) + E_{p} (t)$ .

Théorème 2.2 — Conservation de l'énergie mécanique ★ À savoir démontrer

Pour un oscillateur harmonique non amorti, l'énergie mécanique est constante :

E_{m} (t) = \frac{1}{2} m \dot{X}^{2} + \frac{1}{2} k X^{2} = \frac{1}{2} m V_{0}^{2} + \frac{1}{2} k X_{0}^{2} = \frac{1}{2} k C^{2} .

Le système est dit conservatif.

Démonstration (dérivation de E_m + équation du mouvement)

On dérive $E_{m} (t) = \frac{1}{2} m \dot{X}^{2} + \frac{1}{2} k X^{2}$ par rapport au temps :

\frac{d E _{m}}{d t} = m \dot{X} \ddot{X} + k X \dot{X} = \dot{X} (m \ddot{X} + k X) .

Or l'équation du mouvement donne exactement $m \ddot{X} + k X = 0$ , donc $\frac{d E _{m}}{d t} = 0$ . Par conséquent $E_{m}$ est constante au cours du mouvement.

Évaluation à $t = 0$ : $E_{m} = \frac{1}{2} m V_{0}^{2} + \frac{1}{2} k X_{0}^{2}$ . En utilisant $C^{2} = X_{0}^{2} + V_{0}^{2} / ω_{0}^{2}$ et $ω_{0}^{2} = k / m$ , on obtient également $E_{m} = \frac{1}{2} k C^{2}$ .

Proposition 2.3 — Équipartition en moyenne temporelle

Sur une période, les valeurs moyennes des énergies cinétique et potentielle sont égales :

⟨ E_{c} ⟩ = ⟨ E_{p} ⟩ = \frac{1}{4} k C^{2} = \frac{1}{2} E_{m} .

C'est le théorème d'équipartition de l'énergie pour l'oscillateur harmonique : en moyenne, l'énergie totale se répartit à 50/50 entre cinétique et potentielle. $E_{c}$ et $E_{p}$ oscillent à la fréquence $2 f_{0}$ , double de la fréquence du mouvement.

📝 Méthode énergétique pour retrouver l'équation. En écrivant

d E_{m} / d t = 0

et en simplifiant par

\dot{X}

(non identiquement nul), on obtient directement

m \ddot{X} + k X = 0

. Cette voie est obligatoire quand on ne sait pas faire le bilan des forces — par exemple en présence d'une liaison non triviale.

⚠ Piège — Confondre les fréquences de $E_{c}$ , $E_{p}$ et $x (t)$ . La position oscille à la pulsation

ω_{0}

, mais les énergies (qui dépendent de carrés) oscillent à

2 ω_{0}

(utiliser

cos^{2} θ = (1 + cos 2 θ) /2

pour le vérifier). C'est une question classique de khôlle.

3. Oscillateur amorti par frottement fluide

3.1 — Équation du mouvement et facteur de qualité

Définition 3.1 — Oscillateur amorti

Un oscillateur soumis à un frottement fluide $f = - h v$ ( $h > 0$ ) satisfait l'équation linéaire :

\ddot{X} + \frac{ω _{0}}{Q} \dot{X} + ω_{0}^{2} X = 0,

où $ω_{0} = k / m$ est la pulsation propre et $Q = \frac{m ω _{0}}{h} = \frac{k m}{h}$ est le facteur de qualité (sans dimension).

📝 Forme à coefficient d'amortissement $ξ$ . Une écriture équivalente très fréquente est

\ddot{X} + 2 ξ ω_{0} \dot{X} + ω_{0}^{2} X = 0

, avec

ξ = \frac{1}{2 Q}

(coefficient d'amortissement réduit). Selon le manuel/programme, on utilise

Q

(formulation Majorant/MPSI) ou

ξ

(formulation SII).

Théorème 3.2 — Les trois régimes d'amortissement

L'équation caractéristique $r^{2} + \frac{ω _{0}}{Q} r + ω_{0}^{2} = 0$ a pour discriminant $Δ = ω_{0}^{2} (\frac{1}{Q ^{2}} - 4)$ . Le signe de $Δ$ gouverne le régime :

Régime pseudopériodique ( $Q > 1/2$ , $Δ < 0$ ) : $X (t) = e^{- ω_{0} t / (2 Q)} (A cos (ω t) + B sin (ω t)),$ avec pseudopulsation $ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}$ et pseudopériode $T = 2 π / ω > T_{0}$ . Oscillations exponentiellement amorties.
Régime critique ( $Q = 1/2$ , $Δ = 0$ ) : $X (t) = (A + B t) e^{- ω_{0} t}$ . Retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation.
Régime apériodique ( $Q < 1/2$ , $Δ > 0$ ) : $X (t) = A e^{r_{1} t} + B e^{r_{2} t}$ avec $r_{1}, r_{2} < 0$ . Retour exponentiel à l'équilibre, plus lent qu'au régime critique.

💡 Exemple — Amortisseurs de voiture. Les amortisseurs sont dimensionnés pour fonctionner proches du régime critique (

Q \approx 1/2

) : on veut un retour rapide à l'assiette horizontale sans rebonds (oscillations désagréables et dangereuses). Trop d'amortissement (apériodique) = suspension dure ; trop peu (pseudopériodique) = la voiture rebondit après un dos d'âne.

3.2 — Décrément logarithmique et facteur de qualité

Définition 3.3 — Décrément logarithmique

En régime pseudopériodique, on appelle décrément logarithmique la quantité :

δ = ln \frac{X ( t )}{X ( t + T )} = \frac{ω _{0} T}{2 Q} = \frac{π}{Q 1 - 1/ ( 4 Q ^{2} )} .

Pour $Q ≫ 1$ (amortissement faible), $δ \approx π / Q$ : mesurer $δ$ sur un enregistrement expérimental donne directement $Q$ .

Proposition 3.4 — Interprétation énergétique de Q

Pour un oscillateur faiblement amorti ( $Q ≫ 1$ ), le facteur de qualité est lié à la perte d'énergie par cycle :

Q \approx 2 π \frac{e ˊ nergie stock e ˊ e}{e ˊ nergie perdue par p e ˊ riode} .

Plus $Q$ est grand, plus l'oscillateur conserve longtemps son énergie : un diapason a $Q \sim 1 0^{3}$ , un cristal de quartz d'horloge $Q \sim 1 0^{5}$ , un atome $Q \sim 1 0^{7}$ .

⚠ Piège — Pseudo-période $T$ vs période propre $T_{0}$ . En régime pseudopériodique,

T = 2 π / ω \neq = T_{0}

. On a toujours

T > T_{0}

(la pseudopulsation est plus petite que la pulsation propre). Pour

Q

grand, l'écart est faible (

T \approx T_{0}

), mais formellement, ne pas écrire

T = 2 π / ω_{0}

en régime amorti.

4. Oscillations forcées et résonance

4.1 — Régime forcé sinusoïdal

Définition 4.1 — Oscillateur forcé

On soumet l'oscillateur amorti à une excitation sinusoïdale de pulsation $ω$ (typiquement, une force extérieure $F (t) = F_{m} cos (ω t)$ ou une tension dans un RLC série). L'équation devient :

\ddot{X} + \frac{ω _{0}}{Q} \dot{X} + ω_{0}^{2} X = \frac{F _{m}}{m} cos (ω t) .

La solution est la somme du régime transitoire (solution homogène, qui s'éteint en quelques $τ = 2 Q / ω_{0}$ ) et du régime permanent (forcé) sinusoïdal de pulsation $ω$ .

📐 Méthode-type — Résoudre un régime forcé en notation complexe.

Complexifier : on cherche la solution forcée sous la forme $X (t) = Re (\underline{X} e^{iω t})$ , avec $\underline{X}$ amplitude complexe à déterminer, et excitation $\underline{F} = F_{m}$ .
Substituer dans l'équation : $\dot{X} \to iω \underline{X}$ , $\ddot{X} \to - ω^{2} \underline{X}$ . On obtient : $(- ω^{2} + iω ω_{0} / Q + ω_{0}^{2}) \underline{X} = F_{m} / m .$
Résoudre : $\underline{X} (ω) = \frac{F _{m} / m}{ω _{0}^{2} - ω ^{2} + iω ω _{0} / Q}$ .
Amplitude réelle : $∣ \underline{X} ∣ (ω) = \frac{F _{m} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( ω ω _{0} / Q ) ^{2}}$ .
Déphasage : $tan φ (ω) = \frac{- ω ω _{0} / Q}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}$ (entre force et position).

4.2 — Résonance en amplitude

Théorème 4.2 — Résonance en amplitude ★ À savoir démontrer

Pour un oscillateur forcé, il y a résonance en amplitude (maximum de $∣ \underline{X} ∣ (ω)$ ) si et seulement si $Q > 1/ 2$ . La pulsation de résonance vaut alors :

ω_{r} = ω_{0} 1 - \frac{1}{2 Q ^{2}} < ω_{0} .

Pour $Q \leq 1/ 2$ , $∣ \underline{X} ∣$ est décroissante sur $[0, + \infty [$ : pas de résonance.

Démonstration (étude du minimum du dénominateur)

Posons $D (ω) = (ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} + ω^{2} ω_{0}^{2} / Q^{2}$ . L'amplitude $∣ \underline{X} ∣ (ω) = (F_{m} / m) / D (ω)$ est maximale ssi $D$ est minimale. On dérive $D$ par rapport à $u = ω^{2}$ :

\frac{d D}{d u} = - 2 (ω_{0}^{2} - u) + \frac{ω _{0}^{2}}{Q ^{2}} = 2 u - 2 ω_{0}^{2} + \frac{ω _{0}^{2}}{Q ^{2}} .

Cette dérivée s'annule pour $u_{r} = ω_{0}^{2} - \frac{ω _{0}^{2}}{2 Q ^{2}} = ω_{0}^{2} (1 - \frac{1}{2 Q ^{2}})$ .

Cas 1 : $Q > 1/ 2$ . Alors $1 - 1/ (2 Q^{2}) > 0$ : $u_{r} > 0$ est dans le domaine. C'est un minimum de $D$ ( $d^{2} D / d u^{2} = 2 > 0$ ). D'où la résonance à $ω_{r} = u_{r} = ω_{0} 1 - 1/ (2 Q^{2})$ .

Cas 2 : $Q \leq 1/ 2$ . Alors $u_{r} \leq 0$ : le point critique est hors domaine. Sur $u \geq 0$ , $d D / d u \geq 2 (u + ω_{0}^{2} / (2 Q^{2}) - ω_{0}^{2}) \geq 0$ : $D$ est croissante, donc $∣ \underline{X} ∣$ est décroissante. Pas de résonance.

📝 Hiérarchie des résonances. Trois fréquences à distinguer (souvent confondues en copie) :

$ω_{0}$ : pulsation propre (théorique).
$ω = ω_{0} 1 - 1/ (4 Q^{2})$ : pseudopulsation (régime libre amorti).
$ω_{r} = ω_{0} 1 - 1/ (2 Q^{2})$ : pulsation de résonance en amplitude (régime forcé).

Pour

Q \to + \infty

, les trois tendent vers

ω_{0}

. Pour

Q

modéré, elles sont ordonnées :

ω_{r} < ω < ω_{0}

Proposition 4.3 — Résonance en vitesse

L'amplitude de la vitesse $∣ \dot{X} ∣ = ω ∣ \underline{X} ∣$ admet toujours un maximum (quelle que soit la valeur de $Q$ ), atteint exactement pour $ω = ω_{0}$ . On parle de résonance en vitesse, qui coïncide avec la résonance d'intensité en RLC (courant maximal pour $ω = 1/ L C$ ).

💡 Exemple — Pont de Tacoma (1940). Un vent régulier à fréquence proche de la fréquence propre du pont a provoqué une résonance en amplitude qui a fait osciller la structure jusqu'à l'effondrement. C'est l'illustration historique du phénomène — désormais, les ouvrages d'art sont dimensionnés avec

Q

faible (forte dissipation) pour éviter la résonance.

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5. Analogies électromécaniques

L'équation $\ddot{X} + \frac{ω _{0}}{Q} \dot{X} + ω_{0}^{2} X = f (t)$ gouverne aussi bien un ressort qu'un circuit RLC, qu'un pendule de torsion, qu'un circuit acoustique. Toute grandeur physique qui satisfait cette équation est un oscillateur harmonique amorti — et tous les résultats de la fiche s'appliquent.

Proposition 5.1 — Correspondance mécanique ↔ électrique

Pour un circuit RLC série excité par une tension $e (t)$ , avec $q (t)$ la charge du condensateur :

L \overset{q}{¨} + R \overset{q}{˙} + \frac{q}{C} = e (t) .

Le dictionnaire d'analogie est :

Position $X \leftrightarrow$ charge $q$
Masse $m \leftrightarrow$ inductance $L$ (inertie)
Raideur $k \leftrightarrow$ inverse de la capacité $1/ C$ (rappel)
Frottement $h \leftrightarrow$ résistance $R$ (dissipation)
Pulsation propre $ω_{0} = k / m \leftrightarrow ω_{0} = 1/ L C$
Facteur de qualité $Q = m ω_{0} / h \leftrightarrow Q = L ω_{0} / R = \frac{1}{R} L / C$
Énergie cinétique $\frac{1}{2} m \dot{X}^{2} \leftrightarrow$ énergie magnétique $\frac{1}{2} L i^{2}$
Énergie potentielle $\frac{1}{2} k X^{2} \leftrightarrow$ énergie électrostatique $\frac{1}{2} q^{2} / C$

💡 Exemple — Pendule simple en petites oscillations. Pour un pendule de longueur

ℓ

, le théorème du moment cinétique donne

\ddot{θ} + \frac{g}{ℓ} sin θ = 0

. En linéarisant

sin θ \approx θ

(petits angles,

θ ≲ 15°

), on obtient

\ddot{θ} + ω_{0}^{2} θ = 0

avec

ω_{0} = g / ℓ

et donc

T_{0} = 2 π ℓ / g

. C'est l'archétype du modèle harmonique obtenu par linéarisation d'un système non linéaire.

⚠ Piège — Oublier la linéarisation $sin θ \approx θ$ . Le pendule simple n'est PAS un oscillateur harmonique en toute généralité : la période exacte dépend de l'amplitude (intégrale elliptique). On obtient un oscillateur harmonique seulement pour les petites oscillations. Toujours justifier la linéarisation en copie : « pour

θ ≪ 1

sin θ \approx θ

».

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves contenant un oscillateur. Elles coûtent typiquement de 0,5 à 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Mal choisir l'origine ou oublier le décalage à l'équilibre. Pour un ressort vertical, la position d'équilibre est

ℓ_{0} + m g / k

, pas

ℓ_{0}

. En négligeant le décalage, on garde un terme constant

- m g

dans l'équation, ce qui empêche d'identifier la forme canonique

\ddot{X} + ω_{0}^{2} X = 0

. Réflexe : toujours poser

X = x - x_{eq}

après avoir déterminé

x_{eq}

par

\overset{x}{˙} = \overset{x}{¨} = 0

⚠ Erreur 2 — Linéariser sans le dire. Pour un pendule simple, écrire directement

\ddot{θ} + ω_{0}^{2} θ = 0

sans justifier le passage de

sin θ

θ

est sanctionné. Phrase-type à écrire : « En se plaçant dans le cadre des petites oscillations $∣ θ ∣ ≪ 1$ , on linéarise $sin θ \approx θ$ , et l'équation devient harmonique. »

⚠ Erreur 3 — Confondre $ω_{0}$ , $ω$ (pseudopulsation) et $ω_{r}$ (pulsation de résonance). Trois pulsations différentes, trois contextes différents. En particulier, écrire « la résonance a lieu à

ω = ω_{0}

» est faux pour la résonance en amplitude (sauf à la limite

Q \to + \infty

). En revanche, c'est exact pour la résonance en vitesse (RLC : résonance d'intensité).

⚠ Erreur 4 — Donner $ω_{0}$ sans dimension ou avec une mauvaise unité. Vérifie systématiquement :

[ω_{0}] = T^{- 1}

(rad·s⁻¹),

[Q] = 1

(sans dimension),

[k] = M T^{- 2}

(kg·s⁻² = N·m⁻¹),

[h] = M T^{- 1}

(kg·s⁻¹). Une erreur de dimension en début de calcul invalide tout le reste — beaucoup de copies perdent 3 points sur une formule fausse en

m / k

au lieu de

k / m

7. Pour aller plus loin

L'oscillateur harmonique est l'infrastructure de toute la physique du sup et de la spé. Les chapitres qui le réinvestissent directement :

Circuits RLC en régime sinusoïdal forcé (MPSI/PSI/PC) — diagramme de Bode, fonction de transfert, bande passante à -3 dB, facteur de qualité d'un filtre.
Mécanique du point en spé — petites oscillations autour d'un équilibre stable : linéarisation systématique de $U (x)$ au minimum.
Ondes mécaniques et électromagnétiques — l'équation d'onde dérive d'une infinité d'oscillateurs couplés (corde vibrante, ligne LC).
Physique quantique (oscillateur harmonique quantique) — modèle de l'atome dans un puits de potentiel, niveaux $E_{n} = ℏ ω_{0} (n + 1/2)$ . Base de la physique du laser, de la spectroscopie infrarouge, de l'électrodynamique quantique.
Filtrage du signal (SI) — tout filtre d'ordre 2 (passe-bas, passe-haut, passe-bande) se ramène à un oscillateur amorti.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la définition d'un oscillateur harmonique et la forme canonique $\ddot{X} + ω_{0}^{2} X = 0$ ?
Sais-tu retrouver $ω_{0} = k / m$ par le PFD sur une masse-ressort horizontale ?
Sais-tu identifier la position d'équilibre $x_{eq}$ et poser $X = x - x_{eq}$ sans te tromper (ressort vertical inclus) ?
Connais-tu les deux formes équivalentes de la solution générale : $A cos + B sin$ et $C cos (ω_{0} t - φ)$ ?
Sais-tu démontrer la conservation de l'énergie mécanique $E_{m} = \frac{1}{2} m \dot{X}^{2} + \frac{1}{2} k X^{2}$ ?
Sais-tu énoncer le théorème d'équipartition $⟨ E_{c} ⟩ = ⟨ E_{p} ⟩ = E_{m} /2$ ?
Connais-tu les trois régimes d'amortissement et leurs critères en $Q$ ( $Q > 1/2$ , $Q = 1/2$ , $Q < 1/2$ ) ?
Sais-tu exprimer la pseudopulsation $ω = ω_{0} 1 - 1/ (4 Q^{2})$ et le décrément logarithmique $δ = π / Q$ (pour $Q$ grand) ?
Sais-tu démontrer la condition d'existence de la résonance en amplitude ( $Q > 1/ 2$ ) et calculer $ω_{r}$ ?
Sais-tu distinguer résonance en amplitude ( $ω_{r} < ω_{0}$ ) et résonance en vitesse ( $ω = ω_{0}$ ) ?
Connais-tu par cœur le dictionnaire d'analogie mécanique/électrique $m \leftrightarrow L$ , $k \leftrightarrow 1/ C$ , $h \leftrightarrow R$ ?
Sais-tu retrouver la période d'un pendule simple en linéarisant $sin θ \approx θ$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Équation du mouvement masse-ressort — PFD, projection, position d'équilibre, changement de variable
Conservation de l'énergie mécanique — dériver $E_{m}$ et utiliser l'équation du mouvement
Condition de résonance en amplitude — étude du minimum du dénominateur $D (ω)$ , seuil $Q > 1/ 2$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Oscillateur harmonique libre non amorti

1.1 — Le modèle masse-ressort horizontal

1.2 — Mise en équation par le PFD

1.3 — Solution générale et conditions initiales

2. Énergie mécanique de l'oscillateur

3. Oscillateur amorti par frottement fluide

3.1 — Équation du mouvement et facteur de qualité

3.2 — Décrément logarithmique et facteur de qualité

4. Oscillations forcées et résonance

4.1 — Régime forcé sinusoïdal

4.2 — Résonance en amplitude

5. Analogies électromécaniques

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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