📘 Fiche de cours · 1re année📐 MPSI⚡ Physique

Un monde quantique : expériences fondamentales

Les 4 expériences qui ont fondé la quantique (corps noir, photoélectrique, Young photons un à un, Davisson-Germer), la dualité onde-corpuscule, la relation de de Broglie λ = h/p et l'inégalité de Heisenberg Δx·Δp ≥ ℏ/2 — avec les 3 démonstrations Planck-Einstein, seuil photoélectrique et longueur d'onde de de Broglie à savoir refaire.

Fiche rédigée par les mentors Majorant — alumni Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

5 définitions5 théorèmes3 démos à savoirMis à jour le 2026-05-18

Vue d'ensemble

Au tournant du XXᵉ siècle, une poignée d'expériences refuse obstinément de rentrer dans le cadre de la physique classique : le rayonnement du corps noir, l'effet photoélectrique, l'expérience de Young avec photons un à un, et la diffraction d'électrons de Davisson-Germer. Toutes pointent vers la même rupture : la matière et la lumière sont à la fois ondes et corpuscules — c'est la dualité onde-corpuscule. Cette fiche couvre les 4 expériences fondatrices, les 3 relations quantitatives à connaître par cœur (Planck-Einstein, de Broglie, Heisenberg), les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS.

Au programme MPSI (officiel) — Dualité onde-corpuscule pour la lumière et la matière. Relation de Planck-Einstein

E = h ν

. Effet photoélectrique : énergie d'extraction, énergie cinétique des photoélectrons, seuil. Expérience de Young avec photons un à un : interprétation probabiliste. Diffraction d'électrons (Davisson-Germer). Longueur d'onde de de Broglie

λ = h / p

. Inégalité de Heisenberg position-impulsion

Δ x \cdot Δ p \geq ℏ/2

. Principe de superposition et probabilité de présence

∣ ψ ∣^{2}

(notions qualitatives avant le chapitre fonction d'onde).

Prérequis

Ondes mécaniques et lumineuses : longueur d'onde $λ$ , fréquence $ν$ , célérité $c$ , relation $c = λ ν$
Interférences à deux ondes (fentes de Young classiques) : interfrange $i = λ D / a$
Énergie cinétique $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ , quantité de mouvement $p = m v$ (cas non relativiste)
Notion qualitative de probabilité et de distribution statistique

🎯 Accompagnement Majorant

La quantique te paraît contre-intuitive ? C'est NORMAL — et c'est exactement pour ça qu'elle est piégeuse au concours. Le programme MPSI demande des intuitions précises (dualité, probabilité, incertitude) qu'aucun cours classique de lycée ne t'a données. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font passer le cap en cours particuliers, avec exos type CCINP et Mines-Ponts.

Trouver un mentor MPSI →

1. Le corps noir et la naissance du quantum

1.1 — L'expérience et la catastrophe ultraviolette

Définition 1.1 — Corps noir

Un corps noir est un objet idéal qui absorbe l'intégralité du rayonnement électromagnétique qu'il reçoit, et qui, à l'équilibre thermique à la température $T$ , émet un rayonnement dont le spectre ne dépend que de $T$ (et pas de la nature du matériau). Modèle expérimental : une cavité percée d'un petit trou.

À la fin du XIXᵉ siècle, on mesure expérimentalement la densité spectrale d'énergie émise par un corps noir en fonction de la longueur d'onde $λ$ et de la température $T$ . Le spectre observé possède un maximum à une longueur d'onde $λ_{max}$ qui décroît quand $T$ augmente (loi du déplacement de Wien : $λ_{max} T \approx 2, 9 \cdot 1 0^{- 3}$ m·K).

⚠ La catastrophe ultraviolette. Le calcul classique (Rayleigh-Jeans, basé sur l'équipartition de l'énergie entre modes du champ) prédit une densité spectrale qui diverge quand

λ \to 0

: un corps noir devrait émettre une énergie infinie dans l'ultraviolet. C'est manifestement faux : on observe expérimentalement une décroissance aux courtes longueurs d'onde. Cette contradiction est le premier indice que la physique classique est incomplète.

1.2 — L'hypothèse de Planck (1900)

Postulat 1.2 — Quantification de Planck ★ À savoir démontrer

Pour rendre compte du spectre du corps noir, Planck postule que les échanges d'énergie entre matière et rayonnement ne peuvent se faire que par paquets discrets (quanta) d'énergie :

E = h ν = \frac{h c}{λ},

où $ν$ est la fréquence du rayonnement, $λ = c / ν$ sa longueur d'onde, et $h \approx 6, 626 \cdot 1 0^{- 34}$ J·s est la constante de Planck.

Raisonnement de Planck-Einstein — énergie d'un photon

L'argument se déploie en trois temps. Étape 1 — l'échec classique. Le théorème d'équipartition attribue à chaque mode du champ électromagnétique une énergie moyenne $k_{B} T$ ; comme le nombre de modes par unité de volume diverge en $1/ λ^{4}$ quand $λ \to 0$ , l'énergie totale rayonnée diverge — c'est la catastrophe ultraviolette.

Étape 2 — l'hypothèse de discrétisation. Planck suppose qu'un oscillateur de fréquence $ν$ ne peut échanger d'énergie avec le champ que par multiples entiers d'une quantité $ε (ν)$ . Dans ce cadre, l'énergie moyenne d'un mode à la température $T$ est donnée par la statistique de Boltzmann :

⟨ E ⟩ = \frac{ε}{e ^{ε / (k_{B} T)} - 1} .

Étape 3 — calage sur l'expérience. Pour que la densité spectrale observée (avec sa décroissance aux petites $λ$ ) soit reproduite, il faut $ε = h ν$ avec $h$ constante universelle. Quand $h ν ≫ k_{B} T$ (UV), $⟨ E ⟩ \to 0$ — les modes UV sont « gelés », plus de catastrophe. Quand $h ν ≪ k_{B} T$ (IR), on retrouve $⟨ E ⟩ \to k_{B} T$ (limite classique). Einstein (1905) prolonge en attribuant cette énergie quantifiée non plus aux échanges, mais à la lumière elle-même : un rayonnement de fréquence $ν$ est composé de grains indivisibles d'énergie $E = h ν$ , que l'on appellera plus tard photons.

Définition 1.3 — Photon

Un photon est le « grain » de lumière introduit par Einstein : pour un rayonnement monochromatique de fréquence $ν$ , c'est une particule sans masse, sans charge, d'énergie $E = h ν$ et d'impulsion $p = h ν / c = h / λ$ . Un faisceau lumineux est composé d'un grand nombre de photons ; son intensité fixe le nombre de photons par seconde traversant l'unité de surface, tandis que sa fréquence fixe l'énergie de chacun.

📝 Ordres de grandeur à mémoriser. Lumière visible (

λ \approx 500

nm) :

E \approx 2, 5

eV. Rayon X (

λ \approx 1

nm) :

E \approx 1, 2

keV. Ondes radio (

λ \approx 1

m) :

E \approx 1 0^{- 25}

J — l'aspect quantique est négligeable, on ne « voit » pas les photons radio individuellement.

2. L'effet photoélectrique

2.1 — Le dispositif et les faits observés

Définition 2.1 — Effet photoélectrique

L'effet photoélectrique est l'émission d'électrons par un métal éclairé par un rayonnement électromagnétique. L'expérience type : une plaque métallique reliée à un électroscope est éclairée par une source monochromatique réglable en fréquence $ν$ et en intensité $I$ . On mesure le courant photoélectrique et l'énergie cinétique des électrons éjectés.

Trois faits expérimentaux résistent à toute interprétation ondulatoire classique :

Fait 1 — seuil en fréquence. Il existe une fréquence seuil $ν_{s}$ (dépendant du métal) en dessous de laquelle aucun électron n'est éjecté, quelle que soit l'intensité de la lumière incidente. Une lumière rouge très intense n'arrache aucun électron à un métal pour lequel le seuil est dans l'UV.
Fait 2 — énergie cinétique linéaire en $ν$ . Pour $ν > ν_{s}$ , l'énergie cinétique maximale des photoélectrons est une fonction affine de $ν$ , indépendante de l'intensité $I$ .
Fait 3 — instantanéité. L'émission est instantanée ( $≲ 1 0^{- 9}$ s), alors que le modèle ondulatoire classique prévoyait un délai d'accumulation d'énergie.

⚠ Pourquoi l'onde classique échoue. Dans le modèle ondulatoire, l'énergie transportée est proportionnelle à l'intensité

I

(carré du champ). On s'attendrait donc à ce que (a) une lumière assez intense, même de basse fréquence, finisse par arracher des électrons, et (b) l'énergie cinétique des photoélectrons dépende de

I

, pas de

ν

. L'expérience dit le contraire — c'est une réfutation directe du modèle ondulatoire pour ce phénomène.

2.2 — L'interprétation d'Einstein (1905)

Théorème 2.2 — Relation d'Einstein pour l'effet photoélectrique ★ À savoir démontrer

Si la lumière de fréquence $ν$ est composée de photons d'énergie $E = h ν$ , et si chaque photon ne peut interagir qu'avec un électron à la fois, alors :

E_{c, max} = h ν - W_{s}

où $W_{s}$ est l'énergie d'extraction du métal (aussi appelée travail de sortie). Le seuil photoélectrique vaut $ν_{s} = W_{s} / h$ , et la relation $E_{c, max} (ν)$ est une droite de pente $h$ coupant l'axe des $ν$ en $ν_{s}$ .

Démonstration du seuil photoélectrique

Hypothèse fondamentale. Un faisceau lumineux de fréquence $ν$ est un flux de photons, chacun d'énergie $h ν$ . L'interaction est granulaire : un photon est absorbé en entier par un seul électron du métal, ou pas du tout.

Bilan énergétique. L'électron lié au métal possède une énergie négative $- W_{s}$ (référence à l'infini ; $W_{s} > 0$ est l'énergie qu'il faut fournir pour l'extraire). Après absorption d'un photon, son énergie devient $- W_{s} + h ν$ . Pour qu'il soit éjecté avec une énergie cinétique $E_{c} \geq 0$ , il faut que cette quantité soit positive :

E_{c} = h ν - W_{s} .

Existence d'un seuil. La condition $E_{c} \geq 0$ impose $h ν \geq W_{s}$ , soit $ν \geq ν_{s} := W_{s} / h$ . En dessous de $ν_{s}$ , aucun photon n'a individuellement assez d'énergie pour extraire un électron — et comme l'absorption est granulaire (un photon = un électron, pas de cumul possible dans ce modèle), augmenter l'intensité ne change rien : on a simplement plus de photons, mais chacun reste sous le seuil.

Linéarité en $ν$ et indépendance vis-à-vis de $I$ . $E_{c, max} = h ν - W_{s}$ est affine en $ν$ (Fait 2). L'intensité $I$ contrôle le nombre de photons par seconde, donc le courant photoélectrique (nombre d'électrons éjectés), mais pas l'énergie de chacun d'eux (Fait 2). Instantanéité (Fait 3) : l'absorption photon-électron est une interaction ponctuelle, pas une accumulation d'énergie.

Cette démonstration vaut à Einstein le prix Nobel 1921 — c'est elle qui consacre l'idée que la lumière elle-même est quantifiée, et pas seulement ses échanges avec la matière.

📐 Méthode-type — Exploitation d'une courbe $E_{c} (ν)$ . Question classique : on te donne la courbe expérimentale

E_{c, max} (ν)

. Procède en 4 étapes :

Pente = $h$ . Mesure expérimentale de la constante de Planck. Vérifie l'ordre de grandeur $h \approx 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J·s.
Ordonnée à l'origine = $- W_{s}$ ; intersection avec l'axe horizontal = $ν_{s} = W_{s} / h$ .
Convertir en eV. $1$ eV $\approx 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ J. Énergies d'extraction usuelles : Cs 2,1 ; K 2,3 ; Na 2,4 ; Zn 4,3 ; Pt 6,3 eV.
Vérifier le seuil en $λ$ . $λ_{s} = h c / W_{s}$ . Pour K : $λ_{s} \approx 540$ nm (vert).

💡 Exemple chiffré. Une plaque de césium (

W_{s} = 2, 1

eV) est éclairée par une lumière de longueur d'onde

λ = 400

nm (violet). Énergie d'un photon :

E = h c / λ = 1240/400 = 3, 1

eV. Comme

E > W_{s}

, il y a effet photoélectrique, avec

E_{c, max} = 3, 1 - 2, 1 = 1, 0

eV par électron. Si on remplace par une lumière rouge

λ = 700

nm :

E = 1, 77

eV <

W_{s}

, donc aucune émission, même si l'intensité est très grande.

🧑‍🏫 Décortique cette démo avec un mentor

L'effet photoélectrique est LA démo Einstein qui tombe en oral CCINP et Mines. Le piège, c'est de bien articuler les trois faits expérimentaux à expliquer avec l'une hypothèse quantique. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de l'X ou des Mines, tu maîtrises l'enchaînement pour de bon — schéma au tableau, variantes en oral avec courbe à lire.

Réserver une séance ciblée →

3. Young avec photons un à un — la dualité onde-corpuscule

3.1 — Rappel du dispositif classique

Dans l'expérience de Young classique, un faisceau lumineux cohérent éclaire deux fentes parallèles séparées de $a$ ; sur un écran à distance $D$ , on observe des franges d'interférence avec un interfrange $i = λ D / a$ . Le motif est interprété par la superposition des deux ondes émises par les fentes — c'est la signature d'un comportement ondulatoire de la lumière.

3.2 — Le même dispositif avec photons un à un

L'expérience cruciale (Taylor 1909, raffinée jusqu'aux années 1980) consiste à diminuer l'intensité du faisceau jusqu'à ce qu'il n'y ait, en moyenne, qu'un photon dans le dispositif à la fois. On remplace l'écran par un détecteur sensible (plaque photo, CCD, photomultiplicateur) qui enregistre l'arrivée individuelle de chaque photon, position par position.

Observation 3.1 — Construction probabiliste du motif d'interférence

Photon par photon : chaque photon est détecté en un point ponctuel et imprévisible — comportement corpusculaire.
Sur un grand nombre de photons : la distribution statistique des impacts reproduit exactement le motif d'interférence classique, avec franges sombres et brillantes — comportement ondulatoire.
Interprétation probabiliste : la probabilité $P (M)$ qu'un photon arrive en un point $M$ de l'écran est proportionnelle à l'intensité ondulatoire classique en ce point. Là où l'onde interfère constructivement, $P$ est maximale ; là où elle interfère destructivement, $P = 0$ .

⚠ Le piège conceptuel — par où est passé le photon ? Question naïve : « par quelle fente est passé chaque photon ? ». La réponse quantique est : la question n'a pas de sens tant qu'on n'a pas mesuré. Si l'on installe un détecteur derrière une fente pour le savoir, le motif d'interférence disparaît immédiatement : la mesure a perturbé le système et détruit la superposition. Le photon ne « passe » pas par une fente, ni par l'autre, ni par les deux — il est dans un état de superposition jusqu'à la détection.

Définition 3.2 — Principe de superposition (énoncé qualitatif)

Si un système quantique peut se trouver dans un état $ψ_{1}$ (par exemple « photon passé par la fente 1 ») ou dans un état $ψ_{2}$ (« photon passé par la fente 2 »), alors il peut aussi se trouver dans toute superposition linéaire $ψ = c_{1} ψ_{1} + c_{2} ψ_{2}$ ( $c_{1}, c_{2} \in C$ ). C'est cette superposition cohérente qui produit, à la détection, des interférences entre les deux « chemins » possibles.

Définition 3.3 — Probabilité de présence

∣ ψ ∣^{2}

À un état $ψ (M)$ (la fonction d'onde, étudiée en détail au chapitre suivant) est associée une densité de probabilité de présence $ρ (M) = ∣ ψ (M) ∣^{2}$ . La probabilité de détecter la particule dans un domaine $D$ est :

P (M \in D) = \int_{D} ∣ ψ (M) ∣^{2} d V .

Pour une onde lumineuse classique d'intensité $I (M)$ , c'est exactement cette intensité qui joue le rôle de $∣ ψ ∣^{2}$ — d'où la coïncidence entre figure d'interférence classique et histogramme des impacts photoniques.

📝 Le mot-clé : indiscernabilité des chemins. Les interférences apparaissent parce que les deux chemins (fente 1 et fente 2) sont indiscernables expérimentalement. Toute mesure qui rendrait les chemins discernables (détecteur, marquage de polarisation différent pour chaque fente, etc.) supprime les interférences. C'est la règle générale : « chemins indiscernables : on somme les amplitudes ; chemins discernables : on somme les probabilités ».

4. Davisson-Germer et la longueur d'onde de de Broglie

4.1 — La diffraction d'électrons

Symétriquement, on peut se demander si la matière manifeste un comportement ondulatoire. La réponse vient en 1927 avec l'expérience de Davisson et Germer : un faisceau d'électrons monocinétiques (accélérés sous une tension $U$ connue) est envoyé sur un cristal de nickel. On observe sur un détecteur une figure de diffraction identique à celle qu'on obtiendrait avec une onde de longueur d'onde $λ$ bien définie — c'est-à-dire un motif avec des maxima et des minima angulaires, gouverné par la loi de Bragg.

Théorème 4.1 — Relation de de Broglie ★ À savoir démontrer

À toute particule de quantité de mouvement $p$ est associée une longueur d'onde de de Broglie :

λ_{dB} = \frac{h}{p}

où $h$ est la constante de Planck. Pour un électron non relativiste accéléré sous une tension $U$ , $p = 2 m_{e} e U$ et donc $λ_{dB} = h / 2 m_{e} e U$ .

Démonstration — analogie ondulatoire et longueur d'onde de de Broglie

Étape 1 — relation Planck-Einstein pour le photon. Pour un photon de fréquence $ν$ et longueur d'onde $λ = c / ν$ , l'énergie vaut $E = h ν = h c / λ$ . Or, en relativité, un photon (de masse nulle) possède une quantité de mouvement $p = E / c$ . En combinant :

p = \frac{E}{c} = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ}, soit λ = \frac{h}{p} .

Étape 2 — le pari de de Broglie (1924). Puisque la lumière, dont on croyait qu'elle était purement ondulatoire, manifeste des aspects corpusculaires (photons), pourquoi la matière, dont on croit qu'elle est purement corpusculaire, ne manifesterait-elle pas des aspects ondulatoires ? De Broglie postule que la relation $p = h / λ$ , démontrée pour le photon, s'étend à toute particule de quantité de mouvement $p$ .

Étape 3 — application à l'électron accéléré. Un électron accéléré depuis le repos par une tension $U$ acquiert une énergie cinétique $e U$ . En régime non relativiste, $e U = p^{2} / (2 m_{e})$ , d'où $p = 2 m_{e} e U$ et :

λ_{dB} = \frac{h}{2 m _{e} e U} .

Application numérique pour $U = 54$ V (Davisson-Germer) : $λ_{dB} \approx 0, 17$ nm — exactement l'ordre de grandeur des distances interatomiques dans un cristal. C'est pour cela que le cristal joue le rôle de « réseau de diffraction » et que la figure observée est conforme à la loi de Bragg. L'accord quantitatif entre la prédiction $λ = h / p$ et la position des maxima de diffraction valide expérimentalement la conjecture de de Broglie.

💡 Ordres de grandeur — quand la dualité est-elle observable ? Une particule manifeste son caractère ondulatoire si

λ_{dB}

est comparable aux dimensions du dispositif. Électron à 100 eV :

λ_{dB} \approx 0, 12

nm (microscopie électronique). Proton thermique à 300 K :

0, 15

nm. Balle de tennis (60 g, 30 m·s⁻¹) :

4 \cdot 1 0^{- 34}

m — inobservable. Règle d'or : la quantique se manifeste quand

λ_{dB}

n'est plus négligeable devant les longueurs caractéristiques.

4.2 — Symétrie photon–matière : la dualité, mode d'emploi

Proposition 4.2 — Relations Planck-Einstein-de Broglie unifiées

Pour toute « particule quantique » (photon, électron, neutron, atome, molécule…), on associe à un état d'impulsion $p$ et d'énergie $E$ une onde de pulsation $ω$ et de vecteur d'onde $k$ telles que :

E = ℏ ω, p = ℏ k, ℏ = \frac{h}{2 π} .

La longueur d'onde associée vaut $λ = 2 π /∥ k ∥ = h /∥ p ∥$ . Pour un photon, $E = p c$ (masse nulle) ; pour une particule massive non relativiste, $E = p^{2} / (2 m)$ .

📝 Constante de Planck réduite ℏ. En physique quantique, on utilise plus souvent

ℏ = h / (2 π) \approx 1, 055 \cdot 1 0^{- 34}

J·s. L'emploi de

ℏ

plutôt que

h

est lié à l'usage des pulsations

ω = 2 π ν

et des vecteurs d'onde

k

(au lieu de

ν

λ

). Les deux écritures sont équivalentes mais

ℏ

est la « bonne » constante des formules quantiques.

5. Principe d'incertitude de Heisenberg et probabilité de présence

5.1 — Énoncé et signification

Théorème 5.1 — Inégalité de Heisenberg position-impulsion

Pour une particule quantique en une dimension, l'écart-type de la position $Δ x$ et l'écart-type de l'impulsion $Δ p_{x}$ (selon le même axe) vérifient l'inégalité de Heisenberg :

Δ x \cdot Δ p_{x} \geq \frac{ℏ}{2}

Pour les estimations en ordre de grandeur, on retiendra souvent la forme $Δ x \cdot Δ p_{x} ≳ ℏ$ , suffisante en MPSI.

⚠ Ce que l'incertitude N'EST PAS. L'inégalité de Heisenberg n'est pas une question d'imperfection de mesure :

Δ x

Δ p_{x}

ne sont pas les « erreurs » de l'expérimentateur. Ce sont les écarts-types intrinsèques de la distribution de probabilité associée à l'état quantique du système. Même avec un appareillage parfait, ces deux écarts ne peuvent pas être simultanément aussi petits qu'on veut — c'est une propriété fondamentale du formalisme, liée à la nature ondulatoire (un « paquet d'ondes » bien localisé en position est forcément étalé en impulsion, par le même mécanisme que la transformée de Fourier d'une gaussienne étroite est une gaussienne large).

📐 Méthode-type — Estimation par Heisenberg (énergie de l'état fondamental). Une application classique : estimer l'énergie minimale d'un système confiné, sans résoudre l'équation de Schrödinger. Procédure :

Identifier la longueur de confinement $L$ . C'est l'extension spatiale typique où la particule est piégée (largeur d'un puits, rayon atomique…).
Poser $Δ x \sim L$ . La particule est localisée dans une zone de taille $L$ .
En déduire $Δ p \sim ℏ/ L$ . Par Heisenberg.
Estimer l'énergie cinétique minimale. $E_{c} \sim (Δ p)^{2} / (2 m) \sim ℏ^{2} / (2 m L^{2})$ .
Ajouter l'énergie potentielle et minimiser sur $L$ si nécessaire.

Exemple : pour l'atome d'hydrogène, en équilibrant l'énergie cinétique

ℏ^{2} / (2 m_{e} L^{2})

avec l'attraction coulombienne

- e^{2} / (4 π ε_{0} L)

et en minimisant sur

L

, on retrouve le rayon de Bohr

a_{0} \approx 5, 3 \cdot 1 0^{- 11}

m et l'énergie de liaison

E_{0} \approx - 13, 6

eV — à l'ordre de grandeur près, avec un calcul d'une demi-page.

💡 Pourquoi un atome ne s'effondre-t-il pas ? Classiquement, l'électron en orbite autour du noyau devrait, par rayonnement, perdre son énergie et s'effondrer sur le proton en

1 0^{- 11}

s. Argument quantique : si l'électron était à distance

L \to 0

du noyau, son impulsion serait

Δ p ≳ ℏ/ L \to \infty

, son énergie cinétique

ℏ^{2} / (2 m_{e} L^{2}) \to + \infty

divergeant plus vite que l'attraction coulombienne

- e^{2} / (4 π ε_{0} L)

. Il existe donc une distance optimale

L^{*} \sim a_{0}

qui minimise l'énergie totale — c'est la stabilité quantique de la matière.

5.2 — Superposition et probabilité |ψ|² — bilan

Les chapitres suivants formaliseront ces idées avec la fonction d'onde $ψ (x, t)$ , solution de l'équation de Schrödinger, et la règle de Born : $∣ ψ (x, t) ∣^{2}$ est la densité de probabilité de présence de la particule au point $x$ à l'instant $t$ . Les notions à retenir dès maintenant :

Superposition cohérente : un état quantique est, en général, une combinaison linéaire d'états « classiques » (les amplitudes $c_{i}$ sont des nombres complexes).
Probabilité de présence : la prédiction quantique pour la position d'une particule n'est pas une valeur unique, mais une distribution de probabilité $∣ ψ ∣^{2}$ .
Indéterminisme fondamental : même connaissant parfaitement l'état $ψ$ , le résultat d'une mesure individuelle reste aléatoire — seules les statistiques sur un grand nombre de mesures sont prédites par la théorie.
Compatibilité avec l'expérience de Young : la figure d'interférence est la matérialisation, sur un grand nombre de photons, de la distribution $∣ ψ ∣^{2}$ où $ψ = ψ_{fente 1} + ψ_{fente 2}$ .

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant de la physique quantique introductive. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre seuil en fréquence et seuil en longueur d'onde. L'effet photoélectrique apparaît pour

ν \geq ν_{s}

ou de façon équivalente pour

λ \leq λ_{s} = c / ν_{s} = h c / W_{s}

. Beaucoup d'élèves écrivent

λ \geq λ_{s}

— c'est l'inverse, puisque

λ

ν

varient en sens contraires. Réflexe : retiens «

λ

petit =

ν

grand =

E

grand = effet photoélectrique possible ».

⚠ Erreur 2 — Croire que doubler l'intensité augmente l'énergie cinétique des photoélectrons. Non : doubler

I

double le nombre de photons par seconde (et donc le courant photoélectrique), mais pas l'énergie cinétique de chaque photoélectron, qui ne dépend que de

ν

via

E_{c, max} = h ν - W_{s}

. C'est le fait expérimental qui a réfuté le modèle classique — ne refais pas l'erreur.

⚠ Erreur 3 — Interpréter Heisenberg comme un défaut de mesure. Phrases à proscrire en copie : « on ne peut pas mesurer

x

p

en même temps », « l'appareil est imprécis ». L'inégalité

Δ x \cdot Δ p \geq ℏ/2

est une propriété intrinsèque de l'état quantique, indépendamment de toute mesure. La bonne formulation : « aucun état

ψ

ne peut avoir simultanément

Δ x

Δ p

arbitrairement petits ».

⚠ Erreur 4 — Appliquer $λ = h / p$ avec une formule relativiste fausse. En MPSI, on travaille en non relativiste :

p = m v

E_{c} = p^{2} / (2 m)

. Si tu calcules

λ_{dB}

pour un électron à

U = 10

kV ou plus, vérifie que

e U ≪ m_{e} c^{2} \approx 511

keV — sinon il faut la formule relativiste

p c = E^{2} - (m c^{2})^{2}

, hors-programme MPSI mais à connaître en oral X-ENS.

⚠ Erreur 5 — Sommer les intensités au lieu des amplitudes dans Young photons. Si tu écris

I_{total} = I_{1} + I_{2}

(avec

I_{i} = ∣ ψ_{i} ∣^{2}

), tu perds le terme d'interférence et tu obtiens un fond uniforme — pas de franges. La bonne formule est

ψ = ψ_{1} + ψ_{2}

PUIS

I = ∣ ψ ∣^{2} = ∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ ψ_{2} ∣^{2} + 2 Re (ψ_{1}^{*} ψ_{2})

, le dernier terme étant le terme d'interférence. Règle : indiscernabilité des chemins ⇒ on somme les amplitudes $ψ$ , pas les probabilités $∣ ψ ∣^{2}$ .

7. Pour aller plus loin

Ce chapitre est la porte d'entrée de toute la physique quantique. Les chapitres qui le réinvestissent directement :

Fonction d'onde et équation de Schrödinger (chapitre suivant) — Formalisation de $ψ (x, t)$ et règle de Born $∣ ψ ∣^{2}$ . Puits infini, marche de potentiel, effet tunnel.
Modèle atomique de Bohr — Quantification via $2 π r = n λ_{dB}$ , niveaux d'énergie de l'hydrogène.
Spectroscopie atomique (chimie) — Raies spectrales = transitions entre niveaux quantifiés, $h ν = E_{n} - E_{p}$ .
Laser, émission stimulée, bandes d'énergie (2ᵉ année) — Tout repose sur la quantification et le caractère ondulatoire des électrons.

🚀 Stage intensif Majorant

Tu veux verrouiller tout le bloc quantique avant le DS de fin de semestre ? Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) reprennent dualité, photoélectrique, Heisenberg, fonction d'onde et puits infini avec exos type CCINP, khôlles blanches et plan de révision personnalisé. Encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines.

Voir les stages MPSI →

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu expliquer la catastrophe ultraviolette et pourquoi l'hypothèse $E = h ν$ la résout ?
Sais-tu donner la valeur numérique de $h$ et de $ℏ$ , et calculer $E = h c / λ$ pour $λ = 500$ nm ?
Sais-tu énoncer les 3 faits expérimentaux que le modèle ondulatoire classique ne peut pas expliquer dans l'effet photoélectrique ?
Sais-tu démontrer la relation $E_{c, max} = h ν - W_{s}$ à partir de l'hypothèse photonique ?
Sais-tu lire une courbe expérimentale $E_{c} (ν)$ pour en extraire $h$ et $W_{s}$ ?
Sais-tu décrire l'expérience de Young avec photons un à un et expliquer pourquoi le motif d'interférence se construit progressivement ?
Sais-tu expliquer pourquoi installer un détecteur derrière une fente détruit les interférences (chemins discernables vs indiscernables) ?
Sais-tu énoncer le principe de superposition et la règle $P (M) \propto ∣ ψ (M) ∣^{2}$ ?
Sais-tu démontrer $λ_{dB} = h / p$ à partir de la relation de Planck-Einstein, et l'appliquer à un électron accéléré sous $U$ volts ?
Sais-tu énoncer l'inégalité de Heisenberg $Δ x \cdot Δ p \geq ℏ/2$ et expliquer pourquoi ce n'est PAS un défaut de mesure ?
Sais-tu estimer l'énergie de l'état fondamental d'un système confiné par la méthode $E \sim ℏ^{2} / (2 m L^{2})$ ?
Sais-tu donner les ordres de grandeur $λ_{dB}$ pour électron, proton et objet macroscopique, et en déduire quand la quantique se manifeste ?

Démonstrations à savoir refaire

Énergie d'un photon $E = h ν$ — raisonnement de Planck-Einstein (catastrophe UV → quanta d'énergie → photon)
Seuil photoélectrique $E_{c, max} = h ν - W_{s}$ — bilan énergétique photon ↔ électron et existence du seuil $ν_{s} = W_{s} / h$
Longueur d'onde de de Broglie $λ = h / p$ — extension de la relation photonique $p = h / λ$ à toute particule + application à l'électron accéléré

Fiches associées

📐 MPSI·Physique

Oscillateur harmonique

La fiche Majorant complète de l'oscillateur harmonique en MPSI : mise en équation par le PFD, conservation de l'énergie, régimes pseudopériodique/critique/apériodique, résonance en amplitude et analogies électromécaniques. 3 démonstrations à savoir refaire et tous les pièges classiques de copie.

📐 MPSI·Physique

Propagation d'un signal

Signal sinusoïdal, représentation complexe, onde progressive, équation de d'Alembert, OPPM, longueur d'onde λ=cT, double périodicité, ondes sonores et niveau sonore (dB), spectre de Fourier qualitatif, interférences constructive/destructive, ondes stationnaires, paquet d'ondes et diffraction — la fiche tout-en-un du chapitre ondes en MPSI.

📐 MPSI·Physique

Optique géométrique : principes et lois

La fiche Majorant pour maîtriser les fondations de l'optique en MPSI : rayon lumineux, indice de réfraction, principe de Fermat, lois de Snell-Descartes (réflexion et réfraction), angle limite et réflexion totale, dioptre plan, miroir plan, conditions de Gauss. 11 définitions, 6 théorèmes, 4 démos à savoir refaire.

📐 MPSI·Physique

Lentilles minces

Tout ce qu'il faut savoir sur les lentilles minces en MPSI : définition et types (convergente / divergente), distance focale et vergence, formules de conjugaison de Descartes et Newton, grandissement γ, construction d'images par les 3 rayons remarquables, association de lentilles avec la formule de Gullstrand, et grossissement d'une loupe. 3 démonstrations à savoir refaire + 5 erreurs de copie à éviter.

📐 MPSI·Physique

Optique géométrique : formation des images

Le chapitre charnière entre les lois de Snell et les lentilles : système centré, objet/image, stigmatisme rigoureux et approché, aplanétisme, approximation paraxiale (conditions de Gauss), foyers principal/secondaire, plan focal, vergence d'un système, grandissement transversal et axial. 13 définitions, 6 théorèmes, 3 démos à savoir.

📐 MPSI·Physique

L'œil et les instruments d'optique

Modèle de l'œil réduit, punctum proximum (25 cm) et remotum, accommodation, myopie/hypermétropie/presbytie et leurs corrections, loupe et grossissement commercial G = 25/f', microscope (objectif + oculaire), lunette astronomique afocale (G = f'1/f'2) et télescope. 15 définitions, 3 théorèmes, 3 démos à savoir refaire.

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?

Nos mentors alumni de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris t'accompagnent en cours particuliers — démonstrations détaillées, exos type concours, oraux blancs.

Trouver un mentor →