Machines thermiques

Vue d'ensemble

Les machines thermiques sont l'aboutissement opérationnel de toute la thermo MPSI : le premier principe disait que l'énergie se conserve, le second qu'elle se dégrade ; les machines thermiques montrent ce qu'on peut en faire concrètement — moteurs, frigos, pompes à chaleur. Une machine thermique est un système qui parcourt un cycle, échangeant du travail $W$ avec l'extérieur et de la chaleur avec au moins deux sources à températures différentes. Le premier principe sur un cycle ( $Δ U = 0$ ) et le second ( $Δ S = 0$ pour le fluide, avec inégalité de Clausius pour les échanges) suffisent à tout classer : moteur, frigo, pompe à chaleur, et la borne maximale du rendement — le célèbre théorème de Carnot. Cette fiche regroupe les 5 définitions clés, les 6 théorèmes / bilans incontournables et les 3 démonstrations à savoir refaire (théorème de Carnot pour moteur, COP plafonnés pour frigo et pompe à chaleur, cycle de Carnot réversible).

Au programme MPSI (officiel) — Machines thermiques cycliques avec une ou deux sources : premier principe sur un cycle

W + Q_{c} + Q_{f} = 0

, inégalité de Clausius

Q_{c} / T_{c} + Q_{f} / T_{f} \leq 0

; classification moteur / récepteur, machine ditherme, rendement

η

d'un moteur, coefficient de performance

COP

d'un frigo et d'une pompe à chaleur ; théorème de Carnot (rendement maximal d'un moteur ditherme), cycle de Carnot (deux isothermes réversibles + deux adiabatiques réversibles) ; applications : moteur à essence (Otto), Diesel, réfrigérateur et climatisation domestiques, pompe à chaleur.

Prérequis

Premier principe : $Δ U = W + Q$ , bilan sur un cycle $Δ U_{cycle} = 0$
Second principe : entropie $S$ fonction d'état, $Δ S = S_{\overset{e}{ˊ} ch} + S_{cr \overset{e}{ˊ} \overset{e}{ˊ} e}$ avec $S_{cr \overset{e}{ˊ} \overset{e}{ˊ} e} \geq 0$ , inégalité de Clausius $\oint δ Q / T_{e} \leq 0$
Notion de source thermique idéale : capacité calorifique infinie, température $T$ constante
Convention de signe thermodynamique : $W, Q > 0$ si reçus par le système, $W, Q < 0$ si fournis par le système
Gaz parfait : équation d'état $P V = n R T$ , travail isotherme réversible $W = - n R T ln (V_{f} / V_{i})$

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1. Cycles et machines — cadre général

Définition 1.1 — Machine thermique

Une machine thermique est un système thermodynamique fermé qui décrit, de façon répétée, un cycle : il revient périodiquement dans le même état. Au cours de chaque cycle, le système échange du travail $W$ avec un opérateur mécanique (piston, arbre, compresseur) et de la chaleur avec une ou plusieurs sources thermiques. Le fluide qui parcourt le cycle est appelé fluide thermodynamique ou fluide caloporteur.

Définition 1.2 — Source thermique (ou thermostat)

Une source thermique à la température $T$ est un système de capacité calorifique infinie : sa température reste constante quels que soient les échanges thermiques qu'il subit. On parle aussi de thermostat. En pratique : l'atmosphère, l'eau d'une rivière, un four bien régulé, l'évaporateur ou le condenseur d'un frigo.

Définition 1.3 — Machine monotherme et ditherme

Machine monotherme : une seule source thermique, à température $T$ .
Machine ditherme : deux sources, une chaude à $T_{c}$ et une froide à $T_{f}$ , avec $T_{c} > T_{f}$ . C'est le modèle ditherme qui couvre tous les moteurs, frigos et pompes à chaleur étudiés en MPSI.

Proposition 1.4 — Premier principe sur un cycle

Pour un cycle, le système revient à son état initial donc $Δ U_{cycle} = 0$ (l'énergie interne est une fonction d'état). Notant $W$ le travail total reçu et $Q$ la chaleur totale reçue sur le cycle :

W + Q = 0 soit W = - Q .

Pour une machine ditherme échangeant $Q_{c}$ avec la source chaude et $Q_{f}$ avec la source froide : $W + Q_{c} + Q_{f} = 0$ .

Proposition 1.5 — Inégalité de Clausius (second principe sur un cycle)

Le fluide étant en cycle, son entropie est aussi une fonction d'état : $Δ S_{cycle} = 0$ . Par le second principe, $Δ S_{cycle} = S_{\overset{e}{ˊ} ch} + S_{cr \overset{e}{ˊ} \overset{e}{ˊ} e}$ avec $S_{cr \overset{e}{ˊ} \overset{e}{ˊ} e} \geq 0$ , donc $S_{\overset{e}{ˊ} ch} \leq 0$ . Pour une machine ditherme avec sources idéales à $T_{c}$ et $T_{f}$ :

\frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}} \leq 0

avec égalité si et seulement si le cycle est réversible. C'est l'inégalité de Clausius, l'outil n°1 de tout problème de machines thermiques.

⚠ Piège #1 — Convention de signe. Toujours adopter la convention thermodynamique :

Q_{c}, Q_{f}, W

sont algébriques, comptés positivement quand le fluide les reçoit. La nature « chaude » ou « froide » d'une source n'impose rien sur le signe : pour un moteur,

Q_{c} > 0

(le fluide reçoit) mais

Q_{f} < 0

(le fluide cède). Pour un frigo c'est l'inverse. Si tu poses

Q_{c}

en valeur absolue, tu vas te contredire au moment d'appliquer Clausius.

1.1 — Théorème de Kelvin (machine monotherme cyclique)

Théorème 1.6 — Impossibilité du moteur monotherme

Une machine cyclique en contact avec une seule source thermique ne peut pas produire de travail. Autrement dit, le travail $W$ reçu sur un cycle vérifie $W \geq 0$ : la machine ne peut que consommer du travail (ou être triviale, $W = 0$ ).

Démonstration éclair. Cycle : $Δ U = 0$ donc $W = - Q$ . Clausius monotherme : $Q / T \leq 0$ , donc $Q \leq 0$ , donc $W \geq 0$ . CQFD.

📝 Conséquence physique. Pour faire un moteur, il faut au minimum deux sources à températures différentes. C'est la justification fondamentale de la machine ditherme — et la raison pour laquelle on ne peut pas faire avancer un bateau en pompant simplement la chaleur de l'océan, même si cet océan en contient des quantités gigantesques.

2. Moteur thermique et théorème de Carnot

Définition 2.1 — Moteur thermique ditherme

Un moteur thermique est une machine ditherme qui fournit du travail à l'extérieur sur un cycle : $W < 0$ . Conventionnellement, le fluide :

reçoit $Q_{c} > 0$ de la source chaude (combustion, chaudière, soleil),
cède $Q_{f} < 0$ à la source froide (atmosphère, eau de refroidissement),
fournit $W < 0$ à l'opérateur (arbre tournant, piston en mouvement).

Définition 2.2 — Rendement d'un moteur

Le rendement $η$ d'un moteur est le rapport du travail récupéré $∣ W ∣ = - W$ sur la chaleur dépensée à la source chaude $Q_{c}$ (qu'on paye via le carburant) :

η = \frac{- W}{Q _{c}} = \frac{Q _{c} + Q _{f}}{Q _{c}} = 1 + \frac{Q _{f}}{Q _{c}}

avec $Q_{f} < 0$ donc $Q_{f} / Q_{c} < 0$ , d'où $η < 1$ : on ne récupère jamais toute la chaleur fournie en travail. La deuxième expression utilise $W + Q_{c} + Q_{f} = 0$ .

Théorème 2.3 — Théorème de Carnot ★ À savoir démontrer

Pour tout moteur ditherme fonctionnant entre une source chaude à $T_{c}$ et une source froide à $T_{f}$ (avec $T_{c} > T_{f}$ ), le rendement est borné par :

η \leq η_{Carnot} = 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}}

avec égalité si et seulement si le cycle est réversible. Cette borne ne dépend que des températures des sources et constitue la limite thermodynamique universelle du rendement d'un moteur ditherme.

Démonstration (bilan entropique sur le cycle)

Soit un moteur ditherme. On écrit les deux principes sur un cycle pour le fluide :

1er principe : $Δ U_{cycle} = 0$ , soit $W + Q_{c} + Q_{f} = 0$ , donc $- W = Q_{c} + Q_{f}$ .

2nd principe (Clausius) : les sources étant idéales à $T_{c}$ et $T_{f}$ ,

\frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}} \leq 0,

avec égalité ssi le cycle est réversible. On en tire :

Q_{f} \leq - \frac{T _{f}}{T _{c}} Q_{c} .

En substituant dans $- W = Q_{c} + Q_{f}$ :

- W \leq Q_{c} - \frac{T _{f}}{T _{c}} Q_{c} = Q_{c} (1 - \frac{T _{f}}{T _{c}}) .

Pour un moteur, $Q_{c} > 0$ , on peut donc diviser par $Q_{c}$ sans changer le sens de l'inégalité :

η = \frac{- W}{Q _{c}} \leq 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}} = η_{Carnot} .

L'égalité est atteinte ssi l'inégalité de Clausius est saturée, c'est-à-dire ssi le cycle est réversible. CQFD.

💡 Exemple chiffré — Centrale thermique. Une centrale fonctionne entre une chaudière à

T_{c} = 800

K et un condenseur à

T_{f} = 300

K. Rendement de Carnot :

η_{Carnot} = 1 - 300/800 = 0, 625

soit 62,5 %. En pratique on observe environ 35–40 % à cause des irréversibilités (frottements visqueux, échanges thermiques sous écart fini). Aucune ingénierie ne permettra jamais de dépasser les 62,5 %.

⚠ Piège #2 — Températures en kelvins absolus. Le théorème de Carnot s'écrit avec

T_{c}

T_{f}

en kelvins (température thermodynamique absolue). Si tu mets des Celsius dans

1 - T_{f} / T_{c}

, tu obtiens des absurdités du type

1 - 20/100 = 0, 80

alors que la vraie valeur (avec

293/373

) est

0, 21

. C'est l'erreur la plus fréquente sur cette formule aux concours.

3. Cycle de Carnot — la machine réversible idéale

Définition 3.1 — Cycle de Carnot

Le cycle de Carnot est le cycle ditherme réversible formé de quatre transformations enchaînées :

Isotherme réversible à $T_{c}$ : le fluide reçoit $Q_{c} > 0$ de la source chaude en se détendant (moteur) ou en se comprimant (frigo).
Adiabatique réversible : pas d'échange thermique, la température passe de $T_{c}$ à $T_{f}$ (moteur) ou de $T_{f}$ à $T_{c}$ (frigo). Réversible adiabatique = isentropique.
Isotherme réversible à $T_{f}$ : le fluide cède $Q_{f} < 0$ à la source froide en se comprimant (moteur) ou en se détendant (frigo).
Adiabatique réversible : retour à l'état initial, température passe de $T_{f}$ à $T_{c}$ (moteur) ou de $T_{c}$ à $T_{f}$ (frigo).

Théorème 3.2 — Rendement du moteur de Carnot ★ À savoir démontrer

Le cycle de Carnot étant réversible, le rendement du moteur de Carnot ditherme atteint la borne de Carnot avec égalité :

η_{Carnot} = 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}} .

Démonstration directe (gaz parfait, isothermes réversibles)

On calcule $Q_{c}$ et $Q_{f}$ explicitement pour un gaz parfait parcourant le cycle de Carnot. Notons les états : $A iso T_{c} B adia C iso T_{f} D adia A$ .

Isotherme $T_{c}$ ( $A \to B$ ). Pour un gaz parfait, $Δ U = 0$ sur une isotherme, donc $Q_{c} = - W_{A B} = n R T_{c} ln (V_{B} / V_{A}) > 0$ .

Isotherme $T_{f}$ ( $C \to D$ ). Similairement, $Q_{f} = n R T_{f} ln (V_{D} / V_{C}) < 0$ (car $V_{D} < V_{C}$ ).

Adiabatiques réversibles. Loi de Laplace $T V^{γ - 1} = cte$ : $T_{c} V_{B}^{γ - 1} = T_{f} V_{C}^{γ - 1}$ et $T_{c} V_{A}^{γ - 1} = T_{f} V_{D}^{γ - 1}$ . En divisant ces deux relations on obtient $V_{B} / V_{A} = V_{C} / V_{D}$ , soit $ln (V_{B} / V_{A}) = - ln (V_{D} / V_{C})$ .

On calcule le rendement :

η = 1 + \frac{Q _{f}}{Q _{c}} = 1 + \frac{n R T _{f} ln ( V _{D} / V _{C} )}{n R T _{c} ln ( V _{B} / V _{A} )} = 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}} .

Le rendement du cycle de Carnot vaut exactement la borne de Carnot — confirmant que la réversibilité sature l'inégalité du théorème 2.3. CQFD.

📐 Méthode-type — Reconnaître et exploiter un cycle de Carnot.

Identification. Le cycle est composé de deux isothermes et deux adiabatiques, toutes réversibles. Diagramme $(T, S)$ : un rectangle (isothermes horizontales, adiabatiques réversibles verticales). Diagramme $(P, V)$ : quatre arcs courbes.
Aire du rectangle dans $(T, S)$ . Travail récupéré $∣ W ∣ = (T_{c} - T_{f}) \cdot Δ S$ , avec $Δ S$ la variation d'entropie sur l'isotherme chaude (l'entropie échangée vaut $Q_{c} / T_{c}$ ).
Rendement. Application directe : $η = 1 - T_{f} / T_{c}$ . Pas besoin de repasser par les volumes si l'énoncé donne les températures.
Sens du cycle. Sens horaire dans $(T, S)$ = moteur ; sens trigonométrique = récepteur (frigo / pompe à chaleur).

📝 Pourquoi le cycle de Carnot n'est pas utilisé en pratique. Il est idéal en rendement mais impraticable industriellement : ses transformations réversibles sont infiniment lentes et la puissance fournie tend vers zéro. Les moteurs réels (Otto pour l'essence, Diesel pour le gazole, Brayton pour les turbines, Rankine pour la vapeur) sacrifient une partie du rendement de Carnot pour obtenir une puissance utilisable.

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4. Machine frigorifique et pompe à chaleur

Frigos et pompes à chaleur sont des machines récepteuses : elles reçoivent du travail ( $W > 0$ ) pour déplacer de la chaleur d'une source froide vers une source chaude — contre le sens naturel. Le second principe rend ce déplacement possible, mais coûteux en travail.

Définition 4.1 — Machine frigorifique

Une machine frigorifique est une machine ditherme qui extrait de la chaleur d'une source froide (intérieur du frigo, salle climatisée) pour l'évacuer vers une source chaude (cuisine, extérieur). Sur un cycle :

$W > 0$ (le compresseur fournit du travail au fluide),
$Q_{f} > 0$ (le fluide reçoit de la chaleur de la source froide — c'est l'effet utile : le frigo refroidit),
$Q_{c} < 0$ (le fluide cède à la source chaude).

Définition 4.2 — Pompe à chaleur

Une pompe à chaleur est physiquement la même machine qu'un frigo, mais avec une finalité inversée : on chauffe la source chaude (la maison) en pompant la chaleur d'une source froide (air extérieur, eau de nappe, sol). Sur un cycle :

$W > 0$ ,
$Q_{f} > 0$ (le fluide pompe de la chaleur dehors),
$Q_{c} < 0$ (le fluide cède dans la maison — c'est l'effet utile : la PAC chauffe).

Définition 4.3 — Coefficients de performance (COP)

Pour un récepteur, on ne parle pas de rendement mais de coefficient de performance (toujours positif, et souvent supérieur à 1) défini comme le rapport effet utile sur énergie dépensée :

COP_{frigo} = \frac{Q _{f}}{W} COP_{PAC} = \frac{- Q _{c}}{W} = \frac{∣ Q _{c} ∣}{W} .

Numérateurs positifs dans les deux cas, dénominateur positif ( $W > 0$ ). Relation simple : $COP_{PAC} = COP_{frigo} + 1$ (s'obtient en utilisant $W + Q_{c} + Q_{f} = 0$ ).

Théorème 4.4 — Plafonds des COP (théorème de Carnot pour récepteurs) ★ À savoir démontrer

Pour toute machine frigorifique et toute pompe à chaleur fonctionnant en ditherme entre $T_{c}$ et $T_{f}$ ( $T_{c} > T_{f}$ ) :

COP_{frigo} \leq \frac{T _{f}}{T _{c} - T _{f}} COP_{PAC} \leq \frac{T _{c}}{T _{c} - T _{f}}

avec égalité si et seulement si le cycle est réversible (cycle de Carnot parcouru à l'envers).

Démonstration (bilan entropique pour récepteur)

On part des deux mêmes principes appliqués au fluide sur un cycle.

1er principe : $W + Q_{c} + Q_{f} = 0$ , soit $W = - Q_{c} - Q_{f}$ .

Clausius : $\frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}} \leq 0$ , avec égalité ssi réversible.

Cas du frigo. Pour un frigo, $Q_{f} > 0$ et $Q_{c} < 0$ . Multiplions Clausius par $- T_{c}$ (positif, conserve le sens) :

- Q_{c} - \frac{T _{c}}{T _{f}} Q_{f} \geq 0 ⟺ - Q_{c} \geq \frac{T _{c}}{T _{f}} Q_{f} .

Or $W = - Q_{c} - Q_{f}$ , donc :

W = - Q_{c} - Q_{f} \geq \frac{T _{c}}{T _{f}} Q_{f} - Q_{f} = Q_{f} (\frac{T _{c}}{T _{f}} - 1) = Q_{f} \cdot \frac{T _{c} - T _{f}}{T _{f}} .

Divisons par $W > 0$ (récepteur) :

1 \geq \frac{Q _{f}}{W} \cdot \frac{T _{c} - T _{f}}{T _{f}} ⟺ COP_{frigo} = \frac{Q _{f}}{W} \leq \frac{T _{f}}{T _{c} - T _{f}} .

Cas de la PAC. On part de la même inégalité $W \geq Q_{f} \cdot (T_{c} - T_{f}) / T_{f}$ . Premier principe : $Q_{f} = - W - Q_{c}$ , donc :

W \geq (- W - Q_{c}) \cdot \frac{T _{c} - T _{f}}{T _{f}} ⟺ W \cdot T_{f} \geq - (W + Q_{c}) (T_{c} - T_{f}) .

En développant et en regroupant $W$ à gauche : $W \cdot T_{f} + W (T_{c} - T_{f}) \geq - Q_{c} (T_{c} - T_{f})$ , soit $W \cdot T_{c} \geq - Q_{c} \cdot (T_{c} - T_{f})$ . En divisant par $W \cdot (T_{c} - T_{f}) > 0$ :

\frac{T _{c}}{T _{c} - T _{f}} \geq \frac{- Q _{c}}{W} = COP_{PAC} .

Dans les deux cas, l'égalité provient de la saturation de Clausius — donc d'un cycle réversible. CQFD.

💡 Exemple chiffré — Pompe à chaleur domestique. Une PAC air-eau pompe de l'air extérieur à

T_{f} = 273

K (0 °C) et chauffe un plancher à

T_{c} = 308

K (35 °C). Borne de Carnot :

COP_{PAC} \leq 308/35 \approx 8, 8

. En pratique on observe

COP \approx 3

4

, ce qui signifie qu'on récupère 3 à 4 fois plus d'énergie thermique que d'énergie électrique consommée — comparé à un chauffage électrique direct (résistance) à

COP = 1

, c'est 3 à 4 fois plus efficace.

⚠ Piège #3 — Effet utile mal identifié. Frigo et PAC sont la même machine mécaniquement. Le seul truc qui change, c'est quelle chaleur tu paies en effet utile : pour le frigo, c'est

Q_{f}

(on extrait du froid) ; pour la PAC, c'est

∣ Q_{c} ∣

(on injecte du chaud). D'où les deux

COP

différents. Si tu confonds, tu obtiens la mauvaise borne (

T_{f} / (T_{c} - T_{f})

au lieu de

T_{c} / (T_{c} - T_{f})

) — différence énorme à basse température extérieure.

5. Moteurs réels — aperçu des cycles industriels

Les moteurs industriels ne suivent pas le cycle de Carnot (impraticable), mais des cycles optimisés pour la puissance. En MPSI, il faut savoir qu'ils existent et donner leur description qualitative ; les calculs détaillés sont en 2e année.

Proposition 5.1 — Cycle de Otto (moteur à essence)

4 temps : (1) admission isobare, (2) compression adiabatique, (3) combustion isochore (allumage par bougie), (4) détente adiabatique motrice, échappement isochore. Rendement théorique $η_{Otto} = 1 - 1/ a^{γ - 1}$ où $a = V_{m a x} / V_{m i n}$ est le taux de compression. Pour $a = 10$ et $γ = 1, 4$ : $η \approx 60 %$ (en pratique 30–35 % à cause des pertes).

Proposition 5.2 — Cycle Diesel (moteur Diesel)

Variante du Otto : la combustion se fait à pression constante (auto-allumage par compression du gazole, pas de bougie). Permet des taux de compression plus élevés (15–22) et donc un meilleur rendement (40–45 % en pratique). C'est ce qui rend le diesel plus économique que l'essence à puissance égale.

Proposition 5.3 — Cycle de Rankine (centrales à vapeur)

Cycle moteur utilisé dans les centrales thermiques (charbon, gaz, nucléaire) : pompe adiabatique → chaudière isobare → turbine adiabatique → condenseur isobare. Le fluide passe en cycle de l'état liquide à vapeur. Rendement réel : 35–45 %.

📝 Tous ces cycles ont un rendement inférieur à Carnot. C'est une conséquence immédiate du théorème de Carnot — aucun cycle réel ditherme ne peut le dépasser. La marge entre

η_{r \overset{e}{ˊ} el}

η_{Carnot}

mesure le poids des irréversibilités : frottements, échanges thermiques sous écart fini, combustion brutale.

💡 Exemple — Comparaison frigo domestique / PAC. Un frigo domestique pompe à

T_{f} = 268

K (-5 °C compartiment) et rejette à

T_{c} = 298

K (cuisine 25 °C). Borne de Carnot :

COP_{frigo} \leq 268/30 \approx 8, 9

. Frigos réels :

COP \approx 2

3

. Une PAC qui pomperait dans cette même cuisine pour chauffer un plancher à 35 °C aurait

COP_{PAC} \leq 308/10 = 30, 8

théoriquement — gigantesque, ce qui justifie l'intérêt énergétique d'avoir une source froide relativement chaude.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les problèmes de machines thermiques. Elles coûtent typiquement entre 1 et 3 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Mélanger conventions algébriques et valeurs absolues. Avant tout problème, écris noir sur blanc : « toutes les chaleurs et le travail sont comptés positivement quand le fluide les reçoit ». Ensuite reste cohérent :

Q_{c}

est algébrique, son signe dépend du type de machine (moteur ou récepteur). Mélanger

Q_{c}

∣ Q_{c} ∣

dans le même calcul est l'erreur n°1 sanctionnée — elle conduit à des bornes de Carnot fausses ou des rendements négatifs.

⚠ Erreur 2 — Oublier que les températures sont en kelvins.

1 - T_{f} / T_{c}

avec des Celsius donne des absurdités physiques (rendements > 1, ou négatifs si

T_{f} < 0

°C). Toujours convertir en kelvins absolus avant le calcul. Mnémo : si tu vois apparaître un °C dans une formule de rendement, ARRÊTE et convertis.

⚠ Erreur 3 — Confondre rendement de moteur et COP. Un moteur a

η < 1

(on récupère moins de travail que de chaleur dépensée). Une PAC ou un frigo a un

COP > 1

en général (on déplace plus de chaleur que le travail consommé). Si tu écris « le rendement d'une PAC est 8 » au lieu de « le

COP

», tu signales au correcteur que tu n'as pas compris la différence essentielle entre les deux — perte de points garantie.

⚠ Erreur 4 — Appliquer Clausius avec des températures du fluide au lieu des sources. L'inégalité de Clausius

Q_{c} / T_{c} + Q_{f} / T_{f} \leq 0

utilise les températures des sources (extérieures, idéales), pas celles du fluide. Pour un cycle irréversible, le fluide peut très bien avoir une température différente lors de l'échange — c'est même l'origine de l'irréversibilité. Bien lire : « $T_{e}$ température extérieure de la source ».

⚠ Erreur 5 — Affirmer qu'un cycle réversible existe physiquement. Le cycle de Carnot est un idéal asymptotique : ses transformations sont infiniment lentes, sa puissance est nulle. Aucun moteur réel n'est ni ne sera jamais Carnot — et ce n'est pas un problème d'ingénierie, c'est un problème thermodynamique structurel. C'est une borne indépassable, pas un objectif atteignable.

7. Pour aller plus loin

Les machines thermiques sont l'aboutissement opérationnel de la thermo MPSI et le point d'entrée de la thermo MP / PC / PSI. Les chapitres et notions qui les réinvestissent directement :

Thermodynamique en système ouvert (2e année) — Reprise des bilans d'énergie et d'entropie pour fluides en écoulement (turbines, compresseurs, échangeurs). Le cycle de Rankine y trouve sa forme complète.
Diffusion thermique — Les irréversibilités des moteurs réels viennent en bonne partie d'échanges thermiques sous écart fini, gouvernés par la loi de Fourier $ = - λ \nabla T$ .
Cycles frigorifiques industriels — Cycle inverse de Rankine avec détente isenthalpique (Joule-Thomson), utilisé en climatisation et liquéfaction des gaz.
Énergétique et transition — Le rendement de Carnot fixe la limite thermodynamique de toute conversion thermique : centrales nucléaires (35 %), centrales solaires thermiques (30 %), PAC géothermiques ( $COP \approx 4$ ). Sans cette borne, pas de débat sérieux sur l'efficacité énergétique.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer la convention de signe thermodynamique et l'appliquer correctement à un moteur, un frigo, une PAC ?
Sais-tu écrire le premier principe sur un cycle ( $W + Q_{c} + Q_{f} = 0$ ) et l'inégalité de Clausius ( $Q_{c} / T_{c} + Q_{f} / T_{f} \leq 0$ ) ?
Sais-tu démontrer qu'une machine monotherme cyclique ne peut pas être motrice (Kelvin) ?
Sais-tu démontrer le théorème de Carnot $η \leq 1 - T_{f} / T_{c}$ en deux principes ?
Sais-tu démontrer les bornes $COP_{frigo} \leq T_{f} / (T_{c} - T_{f})$ et $COP_{PAC} \leq T_{c} / (T_{c} - T_{f})$ ?
Sais-tu décrire le cycle de Carnot (2 isothermes + 2 adiabatiques, toutes réversibles) et le dessiner dans $(P, V)$ et $(T, S)$ ?
Sais-tu démontrer directement $η_{Carnot} = 1 - T_{f} / T_{c}$ pour un cycle de Carnot avec gaz parfait (calcul explicite des $Q_{c}$ et $Q_{f}$ ) ?
Sais-tu reconnaître que les cycles Otto, Diesel, Rankine ont tous un rendement $< η_{Carnot}$ ?
Connais-tu les ordres de grandeur : moteur essence ≈ 35 %, Diesel ≈ 45 %, centrale ≈ 40 %, PAC domestique $COP \approx 3$ à $4$ ?
Sais-tu différencier rendement et coefficient de performance (numérateur = effet utile, dénominateur = ce qu'on paye) ?
Sais-tu pourquoi le cycle de Carnot n'est pas utilisé industriellement (puissance nulle) ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème de Carnot pour un moteur — bilan entropique + Clausius, $η \leq 1 - T_{f} / T_{c}$
Rendement du cycle de Carnot — calcul direct gaz parfait, isothermes + Laplace adiabatique, $η = 1 - T_{f} / T_{c}$
Plafonds des COP frigo et PAC — bilan entropique, $COP_{f} \leq T_{f} / (T_{c} - T_{f})$ et $COP_{PAC} \leq T_{c} / (T_{c} - T_{f})$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Cycles et machines — cadre général

1.1 — Théorème de Kelvin (machine monotherme cyclique)

2. Moteur thermique et théorème de Carnot

3. Cycle de Carnot — la machine réversible idéale

4. Machine frigorifique et pompe à chaleur

5. Moteurs réels — aperçu des cycles industriels

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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