Mécanique : point de vue énergétique

Vue d'ensemble

Le point de vue énergétique en mécanique est la contrepartie scalaire du principe fondamental de la dynamique : au lieu de manipuler des vecteurs forces et accélérations, on raisonne sur des scalaires — travaux, énergies cinétique, potentielle, mécanique. C'est l'outil indispensable dès qu'une trajectoire devient complexe (pendule, montagne russe, oscillations 1D) ou que tu veux éviter de résoudre une équation différentielle. Cette fiche regroupe les 6 théorèmes clés, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS et aux concours.

Au programme MPSI (officiel) — Travail et puissance d'une force, théorème de l'énergie cinétique et théorème de la puissance cinétique, forces conservatives, énergie potentielle (pesanteur, ressort élastique, gravitation newtonienne, interaction coulombienne), énergie mécanique, théorème de l'énergie mécanique, équilibre et stabilité d'un système conservatif à un degré de liberté, petites oscillations autour d'un équilibre stable.

Prérequis

Cinématique du point : vitesse $v = d r / d t$ , accélération $a = d v / d t$
Principe fondamental de la dynamique : $m a = \sum F$ dans un référentiel galiléen
Produit scalaire $u \cdot v = u v cos θ$ et calcul intégral 1D
Gradient en coordonnées cartésiennes : $\nabla f = (\partial_{x} f, \partial_{y} f, \partial_{z} f)$

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds encore travail et puissance, ou tu écris « ΔE_c = W » sans savoir d'où ça vient ? Ce chapitre est le pivot entre la mécanique vectorielle de septembre et l'oscillateur harmonique. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font construire la méthode énergétique en cours particuliers, sur tes propres DS de prépa.

Trouver un mentor MPSI →

1. Travail et puissance d'une force

Définition 1.1 — Travail élémentaire d'une force

Soit un point matériel M soumis à une force $F$ , parcourant un déplacement élémentaire $d r$ (vecteur tangent à la trajectoire, de norme $d ℓ$ ). Le travail élémentaire de $F$ est le scalaire :

δ W = F \cdot d r = F d ℓ cos θ,

où $θ$ est l'angle entre $F$ et $d r$ . L'unité SI est le joule (J = N·m).

📝 Pourquoi « δW » et pas « dW » ? La notation

δ

souligne que le travail élémentaire n'est pas, en général, la différentielle d'une fonction d'état : il dépend du chemin parcouru. La variation d'énergie cinétique, elle, est bien une différentielle

d E_{c}

. Tu verras cette distinction réapparaître en thermodynamique avec

δ W

δ Q

Définition 1.2 — Travail le long d'un trajet AB

Le travail de $F$ entre A et B le long d'un trajet orienté $Γ$ est l'intégrale curviligne :

W_{A \to B} (F) = \int_{Γ} F \cdot d r .

C'est l'accumulation du travail élémentaire le long du trajet. Le travail dépend a priori du chemin choisi entre A et B (sauf pour les forces conservatives, cf. section 3).

Définition 1.3 — Puissance d'une force

La puissance de $F$ à l'instant $t$ est :

P = \frac{δ W}{d t} = F \cdot v,

où $v = d r / d t$ est la vitesse du point d'application. L'unité SI est le watt (W = J/s). On retrouve le travail entre $t_{A}$ et $t_{B}$ par intégration : $W_{A \to B} = \int_{t_{A}}^{t_{B}} P d t$ .

Proposition 1.4 — Travail moteur, résistant, nul

Moteur : $\theta < \pi/2$ , $\cos\theta > 0$ , $\delta W > 0$ — la force accélère le mouvement.
Résistant : $\theta > \pi/2$ , $\cos\theta < 0$ , $\delta W < 0$ — la force freine.
Nul : $θ = π /2$ , $F ⊥ v$ — la force ne travaille pas (ex. tension d'un fil dans un pendule, force magnétique de Lorentz).

💡 Exemple — Travail du poids dans une chute libre. Soit un point M de masse

m

tombant verticalement (axe

O z

ascendant) entre A (altitude

z_{A}

) et B (altitude

z_B &lt; z_A

). Le poids vaut

P = - m g u_{z}

, le déplacement

d r = d z u_{z}

. Donc

δ W = - m g d z

, d'où :

W_{A\to B}(\vec{P}) = -mg\int_{z_A}^{z_B} \mathrm{d}z = mg(z_A - z_B) &gt; 0.

Le travail du poids est positif lors d'une descente — cohérent : la force « pousse » dans le sens du mouvement.

⚠ Piège #1 — La réaction normale d'un support ne travaille pas… si. Sur un sol fixe, la réaction normale

R_{N}

est perpendiculaire au déplacement, donc

δ W (R_{N}) = 0

. Mais si le support est mobile (un ascenseur qui accélère, un plateau de balance qui descend), le déplacement du point d'application n'est plus orthogonal à

R_{N}

et il faut recalculer. Confondre «

R_{N} ⊥

surface » et «

δ W = 0

» est l'erreur n°1 sanctionnée sur les exercices d'ascenseur.

2. Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique

Définition 2.1 — Énergie cinétique d'un point

Pour un point matériel M de masse $m$ et de vitesse $v$ dans un référentiel $R$ , l'énergie cinétique est :

E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} .

Elle est positive ou nulle (nulle ssi le point est immobile dans $R$ ) et dépend du référentiel choisi. Unité : joule.

Théorème 2.2 — Théorème de la puissance cinétique (TPC) ★ À savoir démontrer

Dans un référentiel galiléen $R$ , pour un point matériel soumis à la résultante des forces $\sum F$ :

\frac{d E _{c}}{d t} = P_{tot} = (\sum F) \cdot v .

Démonstration (à partir du PFD — schéma à savoir refaire)

On part du principe fondamental de la dynamique dans un référentiel galiléen : $m a = \sum F$ . Multiplions scalairement par $v$ :

m a \cdot v = (\sum F) \cdot v .

Or $a \cdot v = \frac{d v}{d t} \cdot v = \frac{1}{2} \frac{d ( v \cdot v )}{d t} = \frac{1}{2} \frac{d ( v ^{2} )}{d t}$ (dérivation du carré scalaire). Donc :

\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) = \frac{d E _{c}}{d t} = (\sum F) \cdot v = P_{tot} . ■

En intégrant entre $t_{A}$ et $t_{B}$ , on obtient la forme intégrale (théorème de l'énergie cinétique, TEC) :

Δ E_{c} = E_{c} (B) - E_{c} (A) = \int_{t_{A}}^{t_{B}} P_{tot} d t = i \sum W_{A \to B} (F_{i}) .

Théorème 2.3 — Théorème de l'énergie cinétique (TEC, forme intégrale)

Entre deux instants $t_{A}$ et $t_{B}$ , la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux de toutes les forces (intérieures et extérieures) :

Δ E_{c} = E_{c} (B) - E_{c} (A) = i \sum W_{A \to B} (F_{i}) .

📐 Méthode-type — Quand préférer le TEC au PFD ?

Le problème est à 1 degré de liberté (mouvement le long d'une courbe paramétrée par une seule variable, ex. $θ$ pour un pendule, $x$ pour un ressort horizontal). Le TEC donne directement une équation du 1er ordre en la vitesse.
On cherche une vitesse en un point particulier (vitesse au bas d'une piste, vitesse minimale pour un looping). Inutile de résoudre l'EDO complète : intégre le TEC entre départ et arrivée.
Certaines forces ne travaillent pas (tension d'un fil de pendule, réaction normale sans frottement). Elles disparaissent du bilan énergétique → équation très épurée.
Toutes les forces sont conservatives → passe directement à la conservation de l'énergie mécanique (cf. §4), plus court encore.

Réflexe : si l'énoncé te demande une vitesse en fonction d'une altitude, d'un angle ou d'une position, c'est presque toujours « TEC » ou « conservation de

E_{m}

».

💡 Exemple canonique — Vitesse au bas d'un plan incliné sans frottement. Un point de masse

m

part du repos d'une hauteur

h

sur un plan incliné d'angle

α

. Les forces : poids

P

(travail moteur

W (P) = m g h

) et réaction normale

R_{N}

(travail nul, perpendiculaire au déplacement). TEC entre haut (A,

v_{A} = 0

) et bas (B) :

\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - 0 = m g h ⟹ v_{B} = 2 g h .

Remarquable : la vitesse au bas ne dépend ni de l'angle

α

, ni de la masse.

⚠ Piège #2 — Référentiel galiléen obligatoire. Le TEC est démontré à partir du PFD, donc valable seulement dans un référentiel galiléen. Dans un référentiel non galiléen, il faut ajouter le travail des forces d'inertie (entraînement, Coriolis). Beaucoup d'élèves appliquent le TEC dans un référentiel en rotation (ex. manège) sans ce terme correctif — sanction immédiate.

3. Forces conservatives et énergie potentielle

3.1 — Définition d'une force conservative

Définition 3.1 — Force conservative

Une force $F$ est conservative si son travail entre deux points A et B ne dépend que des positions A et B, pas du chemin suivi entre eux :

\forall Γ_{1}, Γ_{2} allant de A \overset{a}{ˋ} B : \int_{Γ_{1}} F \cdot d r = \int_{Γ_{2}} F \cdot d r .

De manière équivalente : le travail sur tout contour fermé est nul, $\oint F \cdot d r = 0$ .

Proposition 3.2 — Test différentiel (complément utile)

Sur un domaine simplement connexe, $F$ est conservative ssi $\nabla \times F = 0$ (rotationnel nul). En MPSI, on se contente en pratique de vérifier qu'on peut écrire $F = - \nabla E_{p}$ .

Définition 3.3 — Énergie potentielle associée

À toute force conservative $F$ on associe une fonction scalaire $E_{p}$ , appelée énergie potentielle, définie à une constante additive près par la relation :

F = - \nabla E_{p} ⟺ δ W = F \cdot d r = - d E_{p} .

En particulier, le travail entre A et B s'exprime simplement :

W_{A \to B} (F) = - [E_{p} (B) - E_{p} (A)] = E_{p} (A) - E_{p} (B) .

📝 En 1D, ça se simplifie. Si le mouvement est à un seul degré de liberté

x

F = F (x) u_{x}

, alors la relation

F = - \nabla E_{p}

devient simplement

F (x) = - \frac{d E _{p}}{d x}

. C'est la formule que tu utiliseras dans 90 % des exos de MPSI (oscillateur, pendule projeté sur

θ

, interaction radiale).

3.2 — Énergies potentielles à connaître par cœur

Théorème 3.4 — Quatre énergies potentielles canoniques ★ À savoir démontrer

Pour les quatre forces conservatives au programme :

Pesanteur uniforme (axe $O z$ ascendant) : $P = - m g u_{z}$ , d'où $E_{p}^{pes} (z) = m g z + cste$ .
Ressort élastique (longueur naturelle $ℓ_{0}$ , allongement $x - x_{0}$ , raideur $k$ ) : $F = - k (x - x_{0}) u_{x}$ , d'où $E_{p}^{ress} (x) = \frac{1}{2} k (x - x_{0})^{2} + cste$ .
Gravitation newtonienne (M attire m à distance r, $F = - \frac{GM m}{r ^{2}} u_{r}$ ) : $E_{p}^{grav} (r) = - \frac{GM m}{r} + cste$ . Convention usuelle : $E_{p} \to 0$ à l'infini.
Interaction coulombienne (charges $q_{1}, q_{2}$ , $F = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} u_{r}$ ) : $E_{p}^{coul} (r) = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0} r} + cste$ . Signe : $> 0$ si charges de même signe (répulsion), $< 0$ sinon.

Démonstration (à partir de F = −dE_p/dx ou F = −∇E_p)

Pesanteur. En 1D vertical, $F_{z} = - m g$ . On cherche $E_{p}$ telle que $F_{z} = - \frac{d E _{p}}{d z}$ , donc $\frac{d E _{p}}{d z} = m g$ , d'où $E_{p} (z) = m g z + cste$ . On choisit usuellement $E_{p} (0) = 0$ (référence au sol).

Ressort. En 1D horizontal, $F (x) = - k (x - x_{0})$ . Alors $\frac{d E _{p}}{d x} = k (x - x_{0})$ , d'où par primitivation $E_{p} (x) = \frac{1}{2} k (x - x_{0})^{2} + cste$ . On choisit usuellement $E_{p} (x_{0}) = 0$ (référence à la longueur naturelle).

Gravitation. En coordonnées sphériques, la force est radiale $F = F_{r} (r) u_{r}$ avec $F_{r} = - GM m / r^{2}$ . La relation $F = - \nabla E_{p}$ projetée sur $u_{r}$ donne $F_{r} = - \frac{d E _{p}}{d r}$ ( $E_{p}$ ne dépend que de $r$ par symétrie). Donc $\frac{d E _{p}}{d r} = \frac{GM m}{r ^{2}}$ , d'où en primitivant : $E_{p} (r) = - \frac{GM m}{r} + cste$ . Avec la convention $E_{p} \to 0$ à l'infini, la constante est nulle.

Coulomb. Calcul identique en remplaçant $- GM m$ par $\frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0}}$ : $E_{p} (r) = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0} r} + cste$ . $■$

⚠ Piège #3 — Le signe de l'énergie potentielle gravitationnelle. L'énergie potentielle gravitationnelle est négative, et tend vers

0^{-}

à l'infini. Beaucoup d'élèves écrivent

E_{p} = + GM m / r

en pensant que « le potentiel est positif quand on est haut » — erreur. La règle : plus on est proche de M, plus

E_{p}

est basse (puits de potentiel attractif). De même pour Coulomb attractif (charges de signes opposés) :

E_p &lt; 0

Proposition 3.5 — Forces non conservatives usuelles

Forces classiques non conservatives :

Frottement solide ( $F = - μ N v / v$ ) : sa direction change avec celle de la vitesse, le travail dépend du chemin (et est toujours négatif). On parle de force dissipative.
Frottement fluide ( $F = - λ v$ ou $- β v v$ ) : idem, dissipative.
Forces d'inertie de Coriolis : travail nul (perpendiculaire à $v$ ) mais non dérivable d'un $E_{p}$ (au sens de fonction de la position seule).

🧑‍🏫 Maîtrise la gradiente avec un mentor

Le passage $F = - \nabla E_{p}$ bloque la moitié des MPSI. Le gradient n'est pas encore officiellement au programme de maths quand tu vois ce chapitre — un mentor Majorant te le construit en 1h, avec applications mécaniques directes (pesanteur, ressort, Coulomb).

Réserver une séance ciblée →

4. Énergie mécanique et théorème de l'énergie mécanique

Définition 4.1 — Énergie mécanique

L'énergie mécanique d'un système soumis à des forces conservatives d'énergie potentielle totale $E_{p}$ (somme des $E_{p}$ de chaque force conservative) est :

E_{m} = E_{c} + E_{p} .

Théorème 4.2 — Théorème de l'énergie mécanique (TEM) ★ À savoir démontrer

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie mécanique d'un point matériel entre deux instants est égale au travail des seules forces non conservatives :

Δ E_{m} = W_{A \to B} (F_{non cons}) .

En particulier, si toutes les forces sont conservatives (ou de travail nul, comme la tension d'un fil ou la réaction normale d'un support fixe) : $Δ E_{m} = 0$ , l'énergie mécanique se conserve.

Démonstration (à partir du TEC + définition de E_p)

Partons du théorème de l'énergie cinétique en séparant les forces en deux catégories :

Δ E_{c} = W_{A \to B} (F_{cons}) + W_{A \to B} (F_{non cons}) .

Or, pour les forces conservatives, par définition de l'énergie potentielle :

W_{A \to B} (F_{cons}) = - [E_{p} (B) - E_{p} (A)] = - Δ E_{p} .

Substituant dans le TEC et regroupant :

Δ E_{c} + Δ E_{p} = W_{A \to B} (F_{non cons}),

soit $Δ (E_{c} + E_{p}) = Δ E_{m} = W_{A \to B} (F_{non cons})$ . $■$

Forme infinitésimale (TPM, théorème de la puissance mécanique) : en dérivant par rapport au temps, $\frac{d E _{m}}{d t} = P_{non cons}$ .

Corollaire 4.3 — Conservation de l'énergie mécanique

Si toutes les forces qui travaillent sont conservatives, alors $E_{m}$ est une constante du mouvement :

\frac{1}{2} m v^{2} + E_{p} (position) = E_{m}^{(0)} = cste .

C'est l'équivalent énergétique d'une intégrale première du mouvement ; on l'utilise pour relier directement vitesse et position sans résoudre l'équation différentielle.

💡 Exemple canonique — Pendule simple. Pendule de longueur

ℓ

, masse

m

, angle

θ

avec la verticale descendante. Forces : poids (conservatif,

E_{p} = - m g ℓ cos θ

avec référence au point de suspension) et tension du fil (travail nul,

T ⊥ v

). Conservation de

E_{m}

\frac{1}{2} m ℓ^{2} \dot{θ}^{2} - m g ℓ cos θ = E_{m}^{(0)} .

Par dérivation par rapport au temps :

m ℓ^{2} \dot{θ} \ddot{θ} + m g ℓ sin θ \dot{θ} = 0

, soit

\ddot{θ} + (g / ℓ) sin θ = 0

— on retrouve l'équation du pendule sans passer par le PFD.

📐 Méthode-type — Étude d'un système conservatif à 1 degré de liberté.

Identifier le degré de liberté $q$ (peut être $x$ , $θ$ , $r$ …) et exprimer $E_{c}$ en fonction de $\overset{q}{˙}$ .
Recenser les forces et trier : conservatives (calcul de $E_{p}$ ) / non conservatives qui travaillent / forces de travail nul (à exclure du bilan).
Écrire $E_{p} (q)$ (somme des $E_{p}$ de chaque force conservative) et $E_{m} (q, \overset{q}{˙}) = E_{c} + E_{p}$ .
Si toutes les forces qui travaillent sont conservatives : poser $E_{m} = E_{m}^{(0)} = cste$ . Dériver par rapport au temps pour obtenir l'EDO du mouvement, OU exploiter directement $E_{m} = cste$ pour relier vitesse et position.
Sinon : appliquer le TEM ou le TPM avec $d E_{m} / d t = P_{non cons}$ (souvent négatif → dissipation).

5. Équilibre, stabilité et petites oscillations

5.1 — Position d'équilibre

Définition 5.1 — Position d'équilibre

Pour un système conservatif à 1 degré de liberté $q$ d'énergie potentielle $E_{p} (q)$ , une position d'équilibre est un point $q_{e}$ où la résultante des forces conservatives s'annule, c'est-à-dire :

\frac{d E _{p}}{d q}_{q = q_{e}} = 0.

Si le système est placé en $q_{e}$ avec une vitesse nulle, il y reste. Les positions d'équilibre sont les extrema de $E_{p}$ (minima locaux, maxima locaux, ou points d'inflexion à dérivée nulle).

5.2 — Stabilité d'un équilibre

Théorème 5.2 — Critère de stabilité par l'énergie potentielle

Soit $q_{e}$ une position d'équilibre ( $E_{p}^{'} (q_{e}) = 0$ ).

Équilibre stable : $q_{e}$ est un minimum local de $E_{p}$ . Condition suffisante (cas non dégénéré) : $E_p''(q_e) > 0$ . Une petite perturbation engendre une force de rappel.
Équilibre instable : $q_{e}$ est un maximum local de $E_{p}$ . Condition : $E_p''(q_e) < 0$ . Une petite perturbation est amplifiée.
Équilibre indifférent : $E_{p}$ est constante au voisinage de $q_{e}$ (palier). Le système y reste mais aussi à proximité immédiate.
Cas dégénéré $E_{p}^{''} (q_{e}) = 0$ : il faut étudier les dérivées d'ordre supérieur pour conclure.

💡 Exemple — Pendule simple, équilibres haut et bas. Avec

E_{p} (θ) = - m g ℓ cos θ

, on a

E_{p}^{'} (θ) = m g ℓ sin θ

, nul en

θ = 0

(bas) et

θ = π

(haut). Ensuite

E_{p}^{''} (θ) = m g ℓ cos θ

E_p''(0) = mg\ell &gt; 0 \;\Rightarrow\; \text{équilibre bas STABLE}, \qquad E_p''(\pi) = -mg\ell &lt; 0 \;\Rightarrow\; \text{équilibre haut INSTABLE}.

Tu connais le résultat intuitivement — le critère énergétique te permet de le démontrer rigoureusement et de l'étendre à des potentiels plus complexes.

⚠ Piège #4 — Confondre extremum de $E_{p}$ et extremum de $E_{c}$ . Un point d'équilibre stable est un minimum de $E_{p}$ , donc un point où la vitesse (et donc

E_{c}

) atteint son maximum dans le mouvement (

E_{m} = E_{c} + E_{p}

étant constante). Et réciproquement : aux points de rebroussement (

v = 0

E_{c} = 0

E_{p} = E_{m}

. Ne mélange pas les deux logiques.

5.3 — Petites oscillations autour d'un équilibre stable

Théorème 5.3 — Linéarisation harmonique

Soit un système conservatif d'énergie cinétique $E_{c} = \frac{1}{2} μ \overset{q}{˙}^{2}$ (avec $μ$ une masse effective constante) et d'énergie potentielle $E_{p} (q)$ admettant un minimum local en $q_{e}$ avec $E_p''(q_e) > 0$ . Au voisinage de $q_{e}$ , en posant $ξ = q - q_{e}$ (petit écart), un développement de Taylor donne :

E_{p} (q) \approx E_{p} (q_{e}) + \frac{1}{2} E_{p}^{''} (q_{e}) ξ^{2},

(le terme linéaire est nul car $E_{p}^{'} (q_{e}) = 0$ ). L'équation du mouvement se réduit alors à un oscillateur harmonique :

μ \ddot{ξ} + E_{p}^{''} (q_{e}) ξ = 0, soit \ddot{ξ} + ω_{0}^{2} ξ = 0, ω_{0} = \frac{E _{p}^{''} ( q _{e} )}{μ} .

La période des petites oscillations est $T_{0} = 2 π / ω_{0} = 2 π μ / E_{p}^{''} (q_{e})$ .

💡 Exemple — Pulsation des petites oscillations du pendule. Pour le pendule simple,

E_{c} = \frac{1}{2} m ℓ^{2} \dot{θ}^{2}

(donc

μ = m ℓ^{2}

) et

E_{p}^{''} (0) = m g ℓ

. Donc :

ω_{0} = \frac{m g ℓ}{m ℓ ^{2}} = \frac{g}{ℓ}, T_{0} = 2 π \frac{ℓ}{g} .

Formule iconique à connaître par cœur — et tu peux maintenant la démontrer proprement, pas juste la réciter.

📐 Méthode-type — Trouver la pulsation des petites oscillations.

Identifier le degré de liberté $q$ , exprimer $E_{c} = \frac{1}{2} μ \overset{q}{˙}^{2}$ (lire $μ$ ).
Calculer $E_{p} (q)$ , résoudre $E_{p}^{'} (q) = 0$ pour trouver $q_{e}$ .
Calculer $E_{p}^{''} (q_{e})$ . Si $> 0$ → équilibre stable, oscillations possibles ; si $< 0$ → instable, pas d'oscillations.
En déduire $ω_{0} = E_{p}^{''} (q_{e}) / μ$ , $T_{0} = 2 π / ω_{0}$ .

Cette méthode est universelle : pendule, ressort, atome dans un puits de potentiel, molécule diatomique (Morse), satellite proche d'une orbite circulaire — tu l'utiliseras toute l'année puis en spé en physique des ondes et chimie quantique.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les rapports de jury CCINP, Mines-Ponts, Centrale et X-ENS reviennent chaque année sur les mêmes erreurs énergétiques. Elles coûtent 1 à 3 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier les forces de travail nul dans le bilan. Quand tu écris « la tension du fil et la réaction normale ne travaillent pas », tu dois le justifier (

T ⊥ v

R_{N} ⊥

déplacement sur surface fixe). Beaucoup d'élèves les oublient simplement sans dire un mot — le correcteur le voit. Le mot-clé attendu : « travail nul » avec la raison géométrique.

⚠ Erreur 2 — Confondre $Δ E_{c}$ et $W$ global.

Δ E_{c} = W_{total}

(toutes forces), pas

Δ E_{c} = W_{une F}

. Si tu n'écris qu'un seul travail sans préciser « total », tu commets une erreur de bilan. Toujours présenter l'équation sous la forme :

Δ E_{c} = W (P) + W (R_{N}) + W (F_{frot}) + \dots

avec chaque terme calculé séparément.

⚠ Erreur 3 — Mélanger $E_{p}$ et $W$ dans le TEM. Le théorème de l'énergie mécanique s'écrit

Δ E_{m} = W (F_{non cons})

, pas

Δ E_{m} = - Δ E_{p}

. Les forces conservatives sont déjà « comptabilisées » dans

E_{p}

— ne les recompte pas en ajoutant leur travail. Le piège classique : écrire

Δ E_{m} = W (P) + W (f_{frot})

au lieu de

Δ E_{m} = W (f_{frot})

seul.

⚠ Erreur 4 — Conclure « équilibre stable » avec seulement $E_{p}^{'} (q_{e}) = 0$ .

E_{p}^{'} (q_{e}) = 0

caractérise un équilibre, pas sa stabilité. Pour la stabilité, il faut en plus étudier le signe de

E_{p}^{''} (q_{e})

&gt; 0

→ stable,

&lt; 0

→ instable. Beaucoup d'élèves oublient l'étape « dérivée seconde » et concluent au pif.

⚠ Erreur 5 — $ω_{0}$ avec la mauvaise « masse effective ». Dans la formule

ω_{0} = E_{p}^{''} (q_{e}) / μ

, le

μ

est le coefficient de

\frac{1}{2} \overset{q}{˙}^{2}

dans

E_{c}

, pas systématiquement la masse

m

! Pour le pendule,

E_{c} = \frac{1}{2} m ℓ^{2} \dot{θ}^{2}

, donc

μ = m ℓ^{2}

, pas

m

. C'est l'erreur qui fait perdre le résultat final même quand toute la démarche est correcte.

7. Pour aller plus loin

Le point de vue énergétique est l'infrastructure qui irrigue la suite du programme. Les chapitres qui le réinvestissent directement :

Oscillateur harmonique — l'équation $\ddot{ξ} + ω_{0}^{2} ξ = 0$ obtenue par linéarisation de $E_{p}$ est exactement le cadre de l'oscillateur. La fiche oscillateur s'enchaîne immédiatement.
Oscillateurs amortis — la dissipation par frottement fluide se modélise via $d E_{m} / d t = - β \overset{q}{˙}^{2} \leq 0$ , forme énergétique du décroissement amorti.
Mouvement dans un champ central (spé MP/PSI/PC) — la combinaison « conservation de l'énergie + conservation du moment cinétique » réduit le problème à un mouvement 1D dans un potentiel effectif $E_{p}^{eff} (r)$ .
Thermodynamique — la notation $δ W$ (travail) versus $d U$ (différentielle exacte d'une fonction d'état) prolonge la distinction « travail dépend du chemin / énergie ne dépend que de l'état ».
Électromagnétisme — la force de Lorentz magnétique a un travail nul ( $F ⊥ v$ ), ce qui est la clé du mouvement circulaire des particules chargées dans un champ $B$ .

🚀 Stage intensif Majorant

Tu veux verrouiller toute la mécanique avant le DS ? Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) reprennent cinématique, dynamique et point de vue énergétique en exos type concours — encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines.

Voir les stages MPSI →

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir travail élémentaire $δ W = F \cdot d r$ , travail intégral $W_{A \to B}$ et puissance $P = F \cdot v$ sans hésiter ?
Sais-tu justifier qu'une réaction normale ou une tension de fil ne travaillent pas (et identifier le piège du support mobile) ?
Sais-tu énoncer (et démontrer) le théorème de la puissance cinétique et le TEC à partir du PFD ?
Sais-tu reconnaître quand utiliser le TEC plutôt que le PFD (problème 1D, forces qui ne travaillent pas, vitesse cherchée à un point précis) ?
Sais-tu définir une force conservative (3 caractérisations équivalentes : travail indépendant du chemin, $\oint = 0$ , $F = - \nabla E_{p}$ ) ?
Connais-tu par cœur les 4 énergies potentielles canoniques (pesanteur, ressort, gravitation, Coulomb) avec leur signe ?
Sais-tu démontrer $E_{p}^{pes} = m g z$ et $E_{p}^{ress} = \frac{1}{2} k (x - x_{0})^{2}$ à partir de $F = - d E_{p} / d x$ ?
Sais-tu démontrer le théorème de l'énergie mécanique $Δ E_{m} = W (F_{non cons})$ ?
Sais-tu reconnaître un équilibre ( $E_{p}^{'} (q_{e}) = 0$ ) et trancher stable / instable ( $E_{p}^{''} (q_{e}) ≷ 0$ ) ?
Sais-tu linéariser $E_{p}$ autour d'un minimum pour retrouver $ω_{0} = E_{p}^{''} (q_{e}) / μ$ (avec le BON $μ$ ) ?
Sais-tu retrouver la période $T_{0} = 2 π ℓ / g$ du pendule simple par la méthode énergétique ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème de la puissance cinétique (TPC) et TEC — produit scalaire du PFD par $v$ , reconnaissance de $\frac{1}{2} d (v^{2}) / d t$
Énergies potentielles pesanteur, ressort, gravitation, Coulomb — primitivation de $F = - d E_{p} / d q$
Théorème de l'énergie mécanique — TEC + définition de $E_{p}$ pour les forces conservatives

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Travail et puissance d'une force

2. Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique

3. Forces conservatives et énergie potentielle

3.1 — Définition d'une force conservative

3.2 — Énergies potentielles à connaître par cœur

4. Énergie mécanique et théorème de l'énergie mécanique

5. Équilibre, stabilité et petites oscillations

5.1 — Position d'équilibre

5.2 — Stabilité d'un équilibre

5.3 — Petites oscillations autour d'un équilibre stable

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Oscillateur harmonique

Propagation d'un signal

Optique géométrique : principes et lois

Lentilles minces

Optique géométrique : formation des images

L'œil et les instruments d'optique

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?